专题04 与勾股定理相关的两个模型（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理两大核心模型，通过背景溯源-典例示范-变式拓展构建系统性训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股树模型|1典例+13变式|基于勾股定理的面积关系迁移（正方形→半圆→迭代生长）|从基本正方形面积关系到复杂图形及动态迭代的应用拓展| |弦图模型|1典例+11变式|内/外弦图全等三角形构造与面积转化|从赵爽弦图证明原理到模型在面积计算与证明中的综合应用|

专题04 与勾股定理相关的两个模型 （题型突破·举一反三） 题型01 勾股树模型 题型02 弦图模型 ▌题型01 勾股树模型 背景介绍：勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 毕达哥拉斯树是一个分形，通过迭代地从一个直角三角形构造而成，该三角形的每条边上都竖立着正方形。随后的迭代在先前迭代的正方形外向边上添加额外的相似直角三角形和竖立的正方形。使用等腰直角三角形会得到一个有吸引力的对称形状，类似于树，而使用一般的直角三角形会得到一个弯曲的树，有点让人想起柳树。下面展示了两种形式的例子。 【典例1】如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．12 B．16 C．25 D．38 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z， 由勾股定理得：，， ∴． 故最大正方形E的面积是． 故选：D． 【变式1-1】如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定理计算判断即可． 【详解】如图，设面积分别，…的正方形的边长分别为， 则 ， 根据题意，得， ∴， 故A正确； 同理可证，，， ∴，， 故B，D正确； 无法证明， 故不一定成立，符合题意， 故选C． 【变式1-2】（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    根据勾股定理，得， ∴， ， 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为和．若，则的值是（    ）    A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    解：由题意可知：， 在直角三角形和中， ， 即， ∵ ∴ 故选B． 【变式1-4】如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．16 C．12 D．6 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到，，之间的关系，结合题目中的条件得解 【详解】是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 【变式1-5】（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次为，则之间的关系正确的是（    ）    A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识，由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半圆的面积即可得出答案，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为，则三个半圆的半径分别为 由勾股定理得：即 故选：． 【变式1-6】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2027． 故答案为：2027． 【变式1-7】如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 【变式1-8】如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 【变式1-9】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　 　 【答案】55 【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案. 【详解】解：进行如下图所示标注， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【变式1-10】（25-26八年级上·吉林奉化·期中）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（　　） A．18 B．24 C．25 D．36 【答案】A 【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得. 【详解】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图， ∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD， ∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL）， ∴ S2=S△ABC， ∵ Rt△TAC≌Rt△KFD， ∴ AT=FK， ∴ AF-AT=FE-FK， ∴ FT=EK， ∴ △FPT≌△EMK（AAS）， ∴ S1+S3=S△ABC， ∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN， ∴ △ABC≌△EBN（AAS）， ∴ S4=S△ABC， ∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18. 故答案为：A. 【变式1-11】勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， .点D，E，F，G，H，I都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（　　）． A．288 B．400 C．432 D．440 【答案】D 【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得ABC、PFB、QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。 【详解】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q， 则△ABC≌△PFB≌△QCG， ∴PB=AC=8，CQ=AB=6， ∵图2是由图1放入矩形内得到， ∴IP=8+6+8=22， DQ=6+8+6=20， ∴矩形KLMJ的面积=22×20=440． 故答案为：D． 【变式1-12】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：过点作于点，延长交于点，则若，则其中正确的结论个数是(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：可得：，即可判定①；过点F作交NA延长NA延长线于点O，证明得到：得到：，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作，证得：得到：同理得到：CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理得到： 同理可证得：然后再进行判定即可求解④. 【详解】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，∴ ，，故①正确；如图所示：过点F作交NA延长NA延长线于点O， 故在和中：， 故②正确；如图所示：过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作 在和中：故同理可证得：又在和中，故正确；又 ，同理可证得： 故正确，综上所述，正确的结论个数为4个. 故答案为：D. 【变式1-13】如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为． (1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和． (2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积． 【答案】(1) (2)正方形，，，的面积分别为：，，， 【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理，列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为，， 由勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积；正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ，，，四个正方形的面积之和正方形的面积， 答：，，，四个正方形的面积之和为； （2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为， 设中间的直角三角形的较短的直角边为，斜边为，由题意得：，解得， 较短的直角边为，另一直角边为， 设的边长为，的边长为，则，解得：， 的面积是：；的面积是：， 同理： 设的边长为，的边长为，则，解得：， 的面积是；；的面积是：， 答：正方形，，，的面积分别为：，，，． ▌题型02 弦图模型 1.模型背景 《周髀算经》中写道：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄”。翻译为：把勾和股分别相乘，然后把他们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。“赵爽弦图”最早是我国数学家赵爽对勾股定理的证明，并创制了一幅 “勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。 赵爽的证明是极具有创新意识。既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一树立了一个典范。 2.模型特点 (1)内弦图模型： 如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. (2)外弦图模型： 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH. 【典例2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图是世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”．他通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明的重要数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．勾股定理的逆定理 D．斜边、直角边定理 【答案】B 【分析】“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【详解】解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证　 故选：B 【变式2-1】在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】勾股定理是直角三角形三边的数量关系，弦图是包含直角三角形和正方形的一个图形 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 【变式2-2】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式2-3】如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键． 先求出小三角形的面积，然后根据勾股定理分析即可． 【详解】解：因为大正方形的面积是52，小正方形的面积是4， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：C． 【变式2-4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ，故， ， 所以， 故选：B 【变式2-5】用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． （1）图2中大正方形的边长是 ，里面小正方形的边长为 ； （2）大正方形面积可以表示为 ，也可以表示为 ； （3）对比这两种表示方法，可得出 ，整理得 ． 【答案】（1），；（2） ，；（3）， 【分析】本题考查图形验证勾股定理，数形结合找准面积关系是解决问题的关键． 由图2可得大正方形的边长、小正方形的边长，再结合正方形及三角形面积公式即可用两种方式表示出大正方形面积，列出等式后整理即可得到勾股定理． 【详解】解：如图所示： 图2中大正方形的边长是，里面小正方形的边长为； 大正方形面积可以表示为，也可以表示为； 对比这两种表示方法，可得出， 则， 整理得， 故答案为：，，，，，． 【变式2-6】如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则： （1）由可列等式： + ； （2）若，那么与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式的变形运算是解题的关键． （1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解； （2）根据图示，可得，由此可得，根据直角三角形的性质，乘法公式的变形可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， （1）， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：①；②；③ ． 【变式2-7】如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 故答案为： 【变式2-8】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；“赵爽弦图”模型 【详解】解：设AC于BF相交于点Q，如图所示： 由题意得：△AEB≌△BFC≌△CGD≌△DHA， ∴AE=BF=CG=DH，BE=CF=DG=AH，∠CGD=90°=∠CGH， ∴AE－AH=BF－BE=CG－CF=DH－DG，即HE=EF=GF=HG， ∴四边形GHEF是正方形， ∴AE//CG，DH//BF， ∴∠EAQ=∠CGP ∴△EAQ=△CGP（ASA）， ∴GP=EQ. ∵DH//BF，AH=HE， ∴HP为中位线， ∴GP=EQ=2HP. ∴ ∵AH=HE，设， ∴，AE=BF=CG=DH=2a. ∴， ∴解得：， ∴在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为30， 故答案为：B． 【变式2-9】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（　　）． A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】先证明，得到，，再设 ，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积. 【详解】解：由题意：， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴设， ∴ ∴FG∶CG=2∶1 ∴ ∵正方形的面积为 ∴ ∴，解得 ∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积 ∴阴影部分的面积之和为 =2×8 =16 ∴阴影部分的面积之和为16． 故答案为：C． 【变式2-10】（25-26八年级上·甘肃白银·期中）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的勾股定理和正方形的面积公式，然后再根据“ 图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4 ”，建立方程：和，从而得到ab的值，大正方形的面积等于4个底为a，高为b加上1个边长为c的正方形，代入数据即可求解 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c， ∵图1中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为24， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴， ∴ab=10 ∵将这四个直角三角形拼成图2， ∴图2中最大的正方形的面积为：． 故答案为：A． 【变式2-11】（25-26八年级上·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）． （1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝　 　； （2）如图2，若，则＝　 　（用含的代数式表示）． 【答案】； 【分析】（1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，根据三角形ABF面积为5，可知Aab=10；根据小正方形FGHK的面积为9.得到，通过代数式的化简得到，而，可求出 （2）. . 用a、b表示它们的面积，根据 。求出a、b、k之间的关系。而化简并把a、b、k代入求值即可。 【详解】 （1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b ∵若的面积为，∴ab=10 ① ∵小正方形的面积为，∴ 即② ①代②得 ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ，化简得 ∴． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与勾股定理相关的两个模型 （题型突破·举一反三） 题型01 勾股树模型 题型02 弦图模型 ▌题型01 勾股树模型 背景介绍：勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 毕达哥拉斯树是一个分形，通过迭代地从一个直角三角形构造而成，该三角形的每条边上都竖立着正方形。随后的迭代在先前迭代的正方形外向边上添加额外的相似直角三角形和竖立的正方形。使用等腰直角三角形会得到一个有吸引力的对称形状，类似于树，而使用一般的直角三角形会得到一个弯曲的树，有点让人想起柳树。下面展示了两种形式的例子。 【典例1】如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．12 B．16 C．25 D．38 【变式1-1】如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为和．若，则的值是（    ）    A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-4】如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．16 C．12 D．6 【变式1-5】（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次为，则之间的关系正确的是（    ）    A．或 B． C． D． 【变式1-6】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【变式1-7】如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 【变式1-8】如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【变式1-9】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　 　 【变式1-10】（25-26八年级上·吉林奉化·期中）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（　　） A．18 B．24 C．25 D．36 【变式1-11】勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， .点D，E，F，G，H，I都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（　　）． A．288 B．400 C．432 D．440 【变式1-12】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：过点作于点，延长交于点，则若，则其中正确的结论个数是(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-13】如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为． (1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和． (2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积． ▌题型02 弦图模型 1.模型背景 《周髀算经》中写道：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄”。翻译为：把勾和股分别相乘，然后把他们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。“赵爽弦图”最早是我国数学家赵爽对勾股定理的证明，并创制了一幅 “勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。 赵爽的证明是极具有创新意识。既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一树立了一个典范。 2.模型特点 (1)内弦图模型： 如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. (2)外弦图模型： 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH. 【典例2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图是世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”．他通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明的重要数学定理是（    ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．勾股定理的逆定理 D．斜边、直角边定理 【变式2-1】在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【变式2-2】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2-4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【变式2-5】用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． （1）图2中大正方形的边长是 ，里面小正方形的边长为 ； （2）大正方形面积可以表示为 ，也可以表示为 ； （3）对比这两种表示方法，可得出 ，整理得 ． 【变式2-6】如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则： （1）由可列等式： + ； （2）若，那么与之间的数量关系是 ． 【变式2-7】如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【变式2-8】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 【变式2-9】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（　　）． A．8 B．12 C．16 D．20 【变式2-10】（25-26八年级上·甘肃白银·期中）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2-11】（25-26八年级上·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）． （1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝　 　； （2）如图2，若，则＝　 　（用含的代数式表示）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与勾股定理相关的两个模型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 勾股树模型 【典例1】 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z， 由勾股定理得：，， ∴． 故最大正方形E的面积是． 故选：D． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定理计算判断即可． 【详解】如图，设面积分别，…的正方形的边长分别为， 则 ， 根据题意，得， ∴， 故A正确； 同理可证，，， ∴，， 故B，D正确； 无法证明， 故不一定成立，符合题意， 故选C． 【变式1-2】 【答案】B 【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    根据勾股定理，得， ∴， ， 故选：B． 【变式1-3】 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    解：由题意可知：， 在直角三角形和中， ， 即， ∵ ∴ 故选B． 【变式1-4】 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到，，之间的关系，结合题目中的条件得解 【详解】是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 【变式1-5】 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识，由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半圆的面积即可得出答案，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为，则三个半圆的半径分别为 由勾股定理得：即 故选：． 【变式1-6】 【答案】2027 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2027． 故答案为：2027． 【变式1-7】 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 【变式1-8】 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 【变式1-9】 【答案】55 【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案. 【详解】解：进行如下图所示标注， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【变式1-10】 【答案】A 【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得. 【详解】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图， ∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD， ∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL）， ∴ S2=S△ABC， ∵ Rt△TAC≌Rt△KFD， ∴ AT=FK， ∴ AF-AT=FE-FK， ∴ FT=EK， ∴ △FPT≌△EMK（AAS）， ∴ S1+S3=S△ABC， ∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN， ∴ △ABC≌△EBN（AAS）， ∴ S4=S△ABC， ∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18. 故答案为：A. 【变式1-11】 【答案】D 【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得ABC、PFB、QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。 【详解】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q， 则△ABC≌△PFB≌△QCG， ∴PB=AC=8，CQ=AB=6， ∵图2是由图1放入矩形内得到， ∴IP=8+6+8=22， DQ=6+8+6=20， ∴矩形KLMJ的面积=22×20=440． 故答案为：D． 【变式1-12】 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：可得：，即可判定①；过点F作交NA延长NA延长线于点O，证明得到：得到：，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作，证得：得到：同理得到：CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理得到： 同理可证得：然后再进行判定即可求解④. 【详解】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，∴ ，，故①正确；如图所示：过点F作交NA延长NA延长线于点O， 故在和中：， 故②正确；如图所示：过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作 在和中：故同理可证得：又在和中，故正确；又 ，同理可证得： 故正确，综上所述，正确的结论个数为4个. 故答案为：D. 【变式1-13】 【答案】(1) (2)正方形，，，的面积分别为：，，， 【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理，列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为，， 由勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积；正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ，，，四个正方形的面积之和正方形的面积， 答：，，，四个正方形的面积之和为； （2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为， 设中间的直角三角形的较短的直角边为，斜边为，由题意得：，解得， 较短的直角边为，另一直角边为， 设的边长为，的边长为，则，解得：， 的面积是：；的面积是：， 同理： 设的边长为，的边长为，则，解得：， 的面积是；；的面积是：， 答：正方形，，，的面积分别为：，，，． ▌题型02 弦图模型 【典例2】 【答案】B 【分析】“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【详解】解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证　 故选：B 【变式2-1】 【答案】C 【分析】勾股定理是直角三角形三边的数量关系，弦图是包含直角三角形和正方形的一个图形 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 【变式2-2】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式2-3】 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键． 先求出小三角形的面积，然后根据勾股定理分析即可． 【详解】解：因为大正方形的面积是52，小正方形的面积是4， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：C． 【变式2-4】 【答案】B 【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ，故， ， 所以， 故选：B 【变式2-5】 【答案】（1），；（2） ，；（3）， 【分析】本题考查图形验证勾股定理，数形结合找准面积关系是解决问题的关键． 由图2可得大正方形的边长、小正方形的边长，再结合正方形及三角形面积公式即可用两种方式表示出大正方形面积，列出等式后整理即可得到勾股定理． 【详解】解：如图所示： 图2中大正方形的边长是，里面小正方形的边长为； 大正方形面积可以表示为，也可以表示为； 对比这两种表示方法，可得出， 则， 整理得， 故答案为：，，，，，． 【变式2-6】 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式的变形运算是解题的关键． （1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解； （2）根据图示，可得，由此可得，根据直角三角形的性质，乘法公式的变形可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， （1）， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：①；②；③ ． 【变式2-7】 【答案】 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 故答案为： 【变式2-8】 【答案】B 【分析】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；“赵爽弦图”模型 【详解】解：设AC于BF相交于点Q，如图所示： 由题意得：△AEB≌△BFC≌△CGD≌△DHA， ∴AE=BF=CG=DH，BE=CF=DG=AH，∠CGD=90°=∠CGH， ∴AE－AH=BF－BE=CG－CF=DH－DG，即HE=EF=GF=HG， ∴四边形GHEF是正方形， ∴AE//CG，DH//BF， ∴∠EAQ=∠CGP ∴△EAQ=△CGP（ASA）， ∴GP=EQ. ∵DH//BF，AH=HE， ∴HP为中位线， ∴GP=EQ=2HP. ∴ ∵AH=HE，设， ∴，AE=BF=CG=DH=2a. ∴， ∴解得：， ∴在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为30， 故答案为：B． 【变式2-9】 【答案】C 【分析】先证明，得到，，再设 ，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积. 【详解】解：由题意：， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴设， ∴ ∴FG∶CG=2∶1 ∴ ∵正方形的面积为 ∴ ∴，解得 ∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积 ∴阴影部分的面积之和为 =2×8 =16 ∴阴影部分的面积之和为16． 故答案为：C． 【变式2-10】 【答案】A 【分析】根据直角三角形的勾股定理和正方形的面积公式，然后再根据“ 图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4 ”，建立方程：和，从而得到ab的值，大正方形的面积等于4个底为a，高为b加上1个边长为c的正方形，代入数据即可求解 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c， ∵图1中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为24， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴， ∴ab=10 ∵将这四个直角三角形拼成图2， ∴图2中最大的正方形的面积为：． 故答案为：A． 【变式2-11】 【答案】； 【分析】（1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，根据三角形ABF面积为5，可知Aab=10；根据小正方形FGHK的面积为9.得到，通过代数式的化简得到，而，可求出 （2）. . 用a、b表示它们的面积，根据 。求出a、b、k之间的关系。而化简并把a、b、k代入求值即可。 【详解】 （1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b ∵若的面积为，∴ab=10 ① ∵小正方形的面积为，∴ 即② ①代②得 ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ，化简得 ∴． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $