1.2 一定是直角三角形吗（六大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理的系统性应用，通过六类梯度题型构建“概念理解-情境应用-综合拓展”的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股树问题|3题|结合正方形面积与勾股数|勾股定理几何意义的直观表达| |三边判断|3题|直接应用逆定理判断|从数到形的抽象能力训练| |网格判断|3题|网格背景下边长计算与判断|空间观念与几何直观结合| |逆定理求解|3题|四边形面积分割与计算|复杂图形向直角三角形转化| |拓展问题|3题|锐角/钝角三角形判断|逆定理的深化与延伸| |解三角形|3题|综合应用勾股定理及逆定理|知识综合运用与模型意识培养|

1.2 一定是直角三角形吗 题型一 勾股树（数）问题 1．勾股数是能构成直角三角形三边长的一组正整数．据此判断，下列是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，需要同时满足两个条件：三个数都是正整数，两个较小数的平方和等于最大数的平方． 据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对选项A：，，，因此A不符合要求． 对选项B：不是正整数，因此B不符合要求． 对选项C：，，，因此C不符合要求． 对选项D：，，都是正整数，且，满足定义，因此D是勾股数． 2．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 3．问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】(1)16，5 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 题型二 判断三边能否构成直角三角形 4．三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 【答案】A 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 5．如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 6．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求证：为直角三角形； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1)，， ， 是直角三角形； (2)米． 【分析】（1）先计算三角形三边的平方，因为已知的三边长，所以用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形． （2）设的长度为，那么，，因为（1）已证是直角，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略； （2）解：设米，则米，米， 在中，， ， 解得． 答：这架无人机向下飞行的距离（的长）为米． 题型三 在网络中判断直角三角形 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 8．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 9．如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 10．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，从而四边形的面积即为两个直角三角形的面积的和求解． 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 11．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 12．如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，，． 由勾股定理，得， ，， ， 为直角三角形， (2)36 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而可证明，据此可证明结论； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 13．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 14．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； 【答案】锐角三角形 【分析】直接利用定义结合三角形三边得出答案； 【详解】解：∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形. 15．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1) 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 题型六 用勾股定理解三角形 16．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 17．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 【答案】(1) (2)符合图纸上的安装要求 【分析】（1）由勾股定理直接求解即可； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理可得， 因此，即的长度为； （2）解：在中，， ∴， ∴是直角三角形，，即该车棚符合图纸上的安装要求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 一定是直角三角形吗 题型一 勾股树（数）问题 1．勾股数是能构成直角三角形三边长的一组正整数．据此判断，下列是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 3．问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 题型二 判断三边能否构成直角三角形 4．三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 5．如图，在中，，，，则的面积是___________． 6．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求证：为直角三角形； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 题型三 在网络中判断直角三角形 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 9．如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 10．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 11．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 12．如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 13．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 14．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； 15．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 题型六 用勾股定理解三角形 16．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 17．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 18．某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $