专题09：比的化简与求值（计算专项训练）数学青岛版（五四制）五年级上册（新教材）

**基本信息** 以比的意义与性质为核心，构建“概念-方法-应用”三阶训练体系，突出分类化简技巧与易错点突破，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|1典例+跟踪训练|意义辨析与联系区别|从比的本质到与除法、分数的关联| |化简方法|3类基础比+混合比|分类化简（整数/分数/小数比）|基于基本性质的方法迁移与转化| |求比值|3类比求值|前项除以后项求商|与除法运算的直接关联| |带单位比|5种单位换算|单位统一后化简求值|量感培养与单位换算规则| |实际应用|4个生活场景|场景化比的构建与转化|实际问题中的数学表达与应用|

专题09：比的化简与求值 计算专项训练 一、比的意义与各部分名称 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比，用来表示两个数量之间的倍比关系。 各部分名称：在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 字母表示：，其中是前项，“” 是比号，是后项，计算结果为比值。 比与除法、分数的联系与区别 联系：比的前项对应除法的被除数、分数的分子；比号对应除号、分数线；后项对应除数、分母；比值对应商、分数值。 区别：比是一种数量关系，除法是一种运算，分数是一个数；比的后项、除数、分数分母都不能为 0。 二、比的基本性质 核心内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这是化简比的核心依据。 最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且只有公因数 1（即前项和后项互质），这样的比叫做最简整数比。化简比的最终结果必须是最简整数比。 三、化简比的常用方法 根据比的前后项的类型，选择对应的化简方法： 整数比化简：比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，直到前项、后项互质。 分数比化简：比的前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，先转化为整数比，再按整数比的方法化简；也可以用前项除以后项，得到结果后写成比的形式。 小数比化简：比的前项和后项同时乘 10、100、1000…… 把小数比转化为整数比，再按整数比的方法化简。 混合类型比：既有分数又有小数的比，先统一成分数或小数，再按对应方法化简。 四、求比值的计算方法 求比值的本质是计算前项除以后项的商，用比的前项 ÷ 比的后项进行计算。 比值可以是整数、小数，也可以是最简分数。 比值是一个具体的数值，不能带有比号。 五、带单位的比的处理规则 若比的前后项带有单位，且单位不统一，必须先统一单位，再进行化简或求比值。 化简比的结果是一个比，单位会在化简过程中抵消，最终不带单位；求比值的结果是数值，同样不带单位。 六、高频易错点提示 概念混淆：误将化简比的结果写成一个数，或将求比值的结果写成比的形式。 性质误用：应用比的基本性质时，前项和后项没有同时乘除同一个数，或遗漏 “0 除外” 的前提。 单位遗漏：带有不同单位的比，未统一单位就直接化简或求比值，导致结果错误。 前后项颠倒：写比时未看清对应关系，颠倒前项和后项的位置。 结果不规范：化简比的最终结果不是最简整数比，前项和后项仍有除 1 外的公因数。 题型 1：基础化简比（整数、分数、小数比） 本题型为核心基础，掌握三类基础比的化简方法，熟练运用比的基本性质。 典型例题 化简下面各比： （1） （2） （3） 解题思路 三道题分别对应整数比、分数比、小数比。整数比除以最大公因数化简；分数比乘分母最小公倍数转整数比再化简；小数比乘整十整百数转整数比再化简，最终都化为最简整数比。 解题过程 （1）整数比化简：18 和 24 的最大公因数是 6 （2）分数比化简：分母 4 和 6 的最小公倍数是 12 （3）小数比化简：同时乘 100 转化为整数比 答：化简结果分别是、、。 跟踪训练 1 化简下面各比： 题型 2：求比值 本题型巩固求比值的计算方法，区分比值与化简比的不同结果形式。 典型例题 求下面各比的比值： （1） （2） （3） 解题思路 求比值统一用 “前项 ÷ 后项” 的方法计算，整数比、分数比、小数比都可以转化为除法运算，结果可以是整数、分数或小数。 解题过程 （1）（或） （2） （3） 答：比值分别是、、。 跟踪训练 2 求下面各比的比值： 题型 3：带单位的比的化简与求值 本题型突破带单位比的易错点，掌握统一单位的步骤，区分化简结果与比值的不同。 典型例题 先化简比，再求比值：米 厘米 解题思路 带单位的比单位不统一，先统一成相同单位（都化成厘米），再按整数比的方法化简；求比值用化简后的前项除以后项，结果是数值。 解题过程 统一单位：米 厘米 米 厘米 厘米 厘米 化简比： 求比值： 答：最简整数比是，比值是。 跟踪训练 3 先化简，再求比值： 吨 千克 分 时 分米 毫米 升 毫升 千米 米 题型 4：比的实际应用 本题型结合生活场景，在实际问题中正确写出比，并完成化简或求比值。 典型例题 学校美术小组有男生 20 人，女生 25 人。 （1）写出男生人数和女生人数的比，并化简； （2）写出女生人数和美术小组总人数的比，并求比值。 解题思路 写比时先确定前项和后项的对应关系，第（1）题男生是前项、女生是后项；第（2）题先算出总人数，女生是前项、总人数是后项，再分别化简和求比值。 解题过程 （1）男生人数女生人数 化简： （2）总人数：（人） 女生人数总人数 化简： 比值： 答：（1）男女生人数比化简后是；（2）女生与总人数的比的比值是。 跟踪训练 4 果园里有苹果树 36 棵，梨树 24 棵，写出苹果树和梨树的棵数比，并化简。 一辆汽车 3 小时行驶 180 千米，写出这辆汽车行驶的路程与时间的比，并求比值。 把 10 克盐溶解在 100 克水中，写出盐与盐水的质量比，并化简。 一个长方形的长是 12 厘米，宽是 8 厘米，写出长与宽的比、宽与周长的比，并分别化简。 五年级一班有男生 28 人，女生 21 人，分别写出男、女生人数与全班总人数的比，并求比值。 练习巩固 1．把下面各比化成最简单的整数比。 （1）          （2）15分钟∶1.5小时 2．化简下列各比并求比值。 4.2∶         ∶        20分钟∶小时       0.5吨∶300千克 3．化简。                          4．化简比。 6∶15＝                0.18∶0.6＝            3∶＝ 100∶40＝            ∶0.6＝            30分∶2时＝ 5．求比值。 10∶8＝   7∶＝     0.25∶3＝ 6．化简比。                 7．求比值。                                                  8．求比值。 （1）    （2）（3）（4） 9．求比值。                     6∶5                                         10．化简比。          30分钟∶1.5小时         11．求下面各比的比值： （1）∶                     （2） 0.3∶0.02 （3）45厘米∶20米              （4）90千克∶0.25吨 12．化简下面各比： （1）28∶1524                    （2）30分钟∶1.5小时     （3）30吨∶800克               （4）0.625∶20 13．化简整数比，并求比值。 0.2吨：50千克＝           0.2：＝             ：＝ 0.45：0.5＝                 ：0.25＝            32：40＝ 14．化简下面各比,并求比值． 4.5∶2.7　　　　    12∶16 2∶0.5　　　    1.2∶36 15．求比值． 18:40            ：          0.625：       ： 16．化简比．           0.625:       3m：2.5dm 17．求比值． 3：5= 8:16=    6:9=      2:10=      12:24= 18．求比值． 1.8:1.2     0.5:0.001         19．化简比． 1.7：      ÷       0.5米：500厘米 20．求比值． : 0.7 : 0.21 1 : 0.125       0.28米：16分米 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 跟踪训练 1 解析 【分析】整数比化简，先找 32 和 48 的最大公因数 16，同时除以最大公因数。 【详解】 【答案】 【分析】分数比化简，分母 5 和 10 的最小公倍数是 10，同时乘 10 转整数比再化简。 【详解】 【答案】 【分析】小数比化简，同时乘 10 转整数比，再除以最大公因数 3 化简。 【详解】 【答案】 【分析】分数比化简，分母 12 和 15 的最小公倍数是 60，乘 60 转整数比后化简。 【详解】 【答案】 【分析】小数与分数混合的比，先统一为分数或小数，再化简。 【详解】 【答案】 跟踪训练 2 解析 【分析】前项除以后项求比值，结果为整数。 【详解】 【答案】 【分析】分数比求比值，转化为分数除法计算。 【详解】 【答案】 【分析】小数比求比值，前项除以后项，结果化为最简分数。 【详解】 【答案】 【分析】分数与小数混合，统一为分数后用除法求比值。 【详解】 【答案】 【分析】统一为小数或分数后计算，本题化小数更简便。 【详解】 【答案】 跟踪训练 3 解析 吨 千克 【分析】先统一单位为千克，再化简并求比值。 【详解】 吨 千克 化简： 比值： 【答案】最简比，比值 分 时 【分析】先统一单位为分，时 = 40 分，再化简求值。 【详解】 时 分 化简： 比值： 【答案】最简比，比值 分米 毫米 【分析】统一单位为毫米，1.5 分米 = 150 毫米，再化简求值。 【详解】 分米 毫米 化简： 比值： 【答案】最简比，比值 升 毫升 【分析】统一单位为毫升，2 升 = 2000 毫升，再化简求值。 【详解】 升 毫升 化简： 比值： 【答案】最简比，比值 千米 米 【分析】统一单位为米，千米 = 250 米，再化简求值。 【详解】 千米 米 化简： 比值： 【答案】最简比，比值 跟踪训练 4 解析 苹果树 36 棵，梨树 24 棵，求棵数比并化简 【分析】苹果树棵数为前项，梨树为后项，写比后化简。 【详解】 【答案】 3 小时行驶 180 千米，路程与时间的比及比值 【分析】路程为前项，时间为后项，写比后求比值，比值表示速度。 【详解】 路程时间 比值： 【答案】比为，比值 10 克盐溶入 100 克水，盐与盐水的质量比并化简 【分析】先算盐水质量 = 盐 + 水，再写盐与盐水的比并化简。 【详解】 盐水质量：（克） 盐盐水 【答案】 长方形长 12cm，宽 8cm，长与宽的比、宽与周长的比并化简 【分析】先算周长，再分别写比化简，注意前后项对应关系。 【详解】 长宽 周长：（厘米） 宽周长 【答案】长与宽的比，宽与周长的比 男生 28 人，女生 21 人，男、女生与总人数的比及比值 【分析】先算总人数，分别写比并求比值。 【详解】 总人数：（人） 男生与总人数的比：，比值 女生与总人数的比：，比值 【答案】男生与总人数比值，女生与总人数比值 巩固练习 1．（1）；（2） 【分析】（1）将0.125换成分数，再根据比的基本性质化简； （2）先将15分钟换算成以小时为单位，再根据比的基本性质化简。 【详解】（1） （2）15分钟∶1.5小时 小时∶小时 2．12∶5；；2∶3；；1∶2；；5∶3； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项即得比值。 【详解】4.2∶ ＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝84∶35 ＝（84÷7）∶（35÷7） ＝12∶5 12∶5＝12÷5＝ ∶ ＝（×16）∶（×16） ＝10∶15 ＝（10÷5）∶（15÷5） ＝2∶3 2∶3＝2÷3＝ 20分钟∶小时 ＝20分钟∶（×60）分钟 ＝20∶40 ＝（20÷20）∶（40÷20） ＝1∶2 1∶2＝1÷2＝ 0.5吨∶300千克 ＝（0.5×1000）千克∶300千克 ＝500∶300 ＝（500÷100）∶（300÷100） ＝5∶3 5∶3＝5÷3＝ 3． ；；； 【分析】依据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。 分数比：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比后再化简。 小数比：前项和后项同时乘10、100等，转化为整数比后再化简。 分数与整数比：前项和后项同时乘分母或除以公因数，转化为整数比后再化简。 【详解】（1） （2） （3） （4） 4．2∶5；3∶10；7∶2； 5∶2；2∶3；1∶4 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再化简比。 【详解】（1）6∶15 ＝（6÷3）∶（15÷3） ＝2∶5 （2）0.18∶0.6 ＝（0.18×100）∶（0.6×100） ＝18∶60 ＝（18÷6）∶（60÷6） ＝3∶10 （3）3∶ ＝（3×7）∶（×7） ＝21∶6 ＝（21÷3）∶（6÷3） ＝7∶2 （4）100∶40 ＝（100÷20）∶（40÷20） ＝5∶2 （5）∶0.6 ＝∶ ＝（×5）∶（×5） ＝2∶3 （6）30分∶2时 ＝30分∶（2×60）分 ＝30∶120 ＝（30÷30）∶（120÷30） ＝1∶4 5．；14； 【分析】求比值用比的前项除以后项即可。 【详解】10∶8 ＝10÷8 ＝ 7∶ ＝7÷ ＝7×2 ＝14 0.25∶3 ＝0.25÷3 ＝ 6．；； 【分析】化简比根据比的基本性质，化简比的结果还是一个比，据此化简比。 【详解】 7．；9.6；2.4； 【分析】求比值，直接用前项÷后项，求得的比值是一个数。 【详解】 6∶2.5＝6÷2.5＝2.4 8．（1）；（2）4；（3）；（4） 【分析】用比的前项除以比的后项求比值即可。 【详解】（1）＝＝； （2）＝6÷1.5＝4； （3）＝10.5÷45＝； （4）＝＝ 9．；；； 【分析】用比的前项除以后项，求出比值。 【详解】＝÷＝； 6∶5＝6÷5＝； ＝10.5÷45＝； ＝÷＝ 10．；； ； 【分析】（1）整数比的化简方法：比的前项和后项同时除以它们的最大公因数； （2）小数比的化简方法：先根据比的基本性质移动小数点的位置，把小数比化为整数比，再按照整数比的化简方法计算； （3）分数比的化简方法：比的前项和后项同时乘分母的最小公倍数，把分数比化为整数比，再按照整数比的化简方法计算。 【详解】（1） （2） （3）30分钟∶1.5小时＝30分钟∶（1.5×60）分钟＝30∶90＝（30÷30）∶（90÷30）＝1∶3 （4） 11． ；15； 0.0225；0.36 【详解】略 12．7∶381；1∶3； 37500∶1；1∶32； 【详解】略 13．4：1、比值4；   3：10、比值；     5：26、比值； 9：10、比值；         4：5、比值；       4：5、比值； 【分析】（1）根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比； （2）根据求比值的方法，就用最简比的前项除以后项即得比值． 【详解】（1）0.2吨：50千克， ＝200千克：50千克， ＝（200÷50）：（50÷50）， ＝4：1； 0.2吨：50千克， ＝4：1， ＝4÷1， ＝4． （2）0.2：， ＝（0.2×30）：（ ×30）， ＝6：20， ＝3：10； 0.2：， ＝3：10， ＝3÷10， ＝． （3）：，＝4：5； 32：40， ＝（×65）：（×65）， ＝5：26； ：， ＝5：26， ＝5÷26， ＝． （4）0.45：0.5， ＝（0.45×20）：（0.5×20）， ＝9：10； 0.45：0.5， ＝9：10， ＝9÷10， ＝． （5）：0.25， ＝（×20）：（×20）， ＝4：5； ：0.25， ＝4：5， ＝4÷5， ＝． （6）32：40， ＝（32÷8）：（40÷8）， ＝4：5； 32：40， ＝4：5， ＝4÷5， ＝． 【点睛】此题考查化简比和求比值的方法，要注意区分：化简比的结果是一个比，而求比值的结果是一个数；还要注意无论是求比值还是化简比，比的前后项是名数的，都要先把单位化统一再计算． 14．5∶3　；　3∶4　；　 4∶1　4；　1∶30　； 【详解】略 15．0.45；2.88；；1.25 【详解】比值是一个数，可以是整数或者小数（分数）． 16．5：6   12：1 【解析】略 17． 【解析】略 18．1.5；500； 【解析】略 19．17：5；8：3；1：10 【解析】略 20． 【解析】略 第 11 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $