专题07：分数与整数的除法（计算专项训练）数学青岛版（五四制）五年级上册（新教材）

**基本信息** 以倒数概念为基础，通过“乘倒数”统一法则构建分数与整数除法的完整计算体系，强化算理理解与实际应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倒数|1典例+5训练|分类求法（真/假分数、整数、带分数）|从定义（乘积为1）到特殊数（1、0）的认知递进| |分数÷整数|1典例+5训练|乘倒数法/分子直除法|基于除法意义（平均分）推导计算法则| |整数÷分数|1典例+5训练|乘倒数法（先约分）|从包含除意义抽象出统一计算逻辑| |商与被除数关系|3规律|比较法则（除数与1关系）|通过计算归纳商的大小变化规律| |实际应用|1典例+5训练|问题转化（平均分/包含除）|运用运算能力解决生活情境问题|

专题07：分数与整数的除法 计算专项训练 一、倒数的意义与求法 倒数的定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。“互为” 说明倒数是相互依存的关系，不能单独说某一个数是倒数，必须说一个数是另一个数的倒数。 不同类型数的倒数求法： 真分数、假分数：直接交换分子和分母的位置，即可得到它的倒数。 整数（0 除外）：先把整数看作分母是 1 的假分数，再交换分子和分母的位置，即非零整数的倒数是 “整数分之一”。 带分数：先把带分数化成假分数，再交换分子和分母的位置求倒数。 特殊情况：1 的倒数是它本身；0 没有倒数，因为 0 和任何数相乘都不等于 1。 二、分数除以整数的计算 意义：分数除以整数的意义与整数除法完全相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算；也可以表示把一个分数平均分成若干份，求每份是多少。 计算法则：分数除以整数（0 除外），等于分数乘这个整数的倒数。 字母表示：（，） 简便算法：当分数的分子能被整数整除时，可以直接用 “分子除以整数，分母保持不变” 的方法计算，这是乘倒数法的特殊形式。 三、整数除以分数的计算 意义：整数除以分数，可以表示求这个整数里面包含多少个几分之几（包含除）；也可以表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 计算法则：整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。 字母表示：（，） 统一规律：分数与整数的除法，核心计算逻辑一致 ——除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。计算时遵循 “一变、二倒、三计算”：除号变乘号，除数换成它的倒数，再按照分数乘法的规则计算。 四、商与被除数的大小关系 一个数（0 除外）除以大于 1 的数，商小于被除数； 一个数（0 除外）除以大于 0 且小于 1 的数，商大于被除数； 一个数除以 1，商与被除数大小相等； 0 除以任何不为 0 的数，商都等于 0。 五、分数除法的验算方法 分数除法的验算逻辑与整数除法一致： 用商乘除数，验证结果是否等于被除数； 用被除数除以商，验证结果是否等于除数。 六、高频易错点提示 计算时遗漏转化步骤：只改除号不改倒数，或只换倒数不改除号，必须同时完成 “除号变乘号、除数变倒数” 两步。 分数除以整数时，错误地用分母除以整数，正确应为分子参与运算（或乘整数的倒数）。 求整数的倒数时，误将整数作分子，正确形式是分母为原整数、分子为 1。 带分数参与除法时，没有先化成假分数就直接求倒数，导致计算错误。 计算完成后未将结果约分为最简分数，假分数未化成带分数或整数。 题型 1：倒数的认识与求法 本题型是分数除法的基础，重点掌握不同类型数的倒数求解方法，理解倒数的意义。 典型例题 写出下面各数的倒数：、8、、1、0 解题思路 根据不同数的类型对应求解：真分数直接交换分子分母；整数转化为分母是 1 的分数再交换；带分数先化为假分数再求倒数；1 和 0 按特殊规则处理。 解题过程 ：交换分子与分母，倒数是 ：，交换分子分母后为，倒数是 ：先化为假分数，交换后为，倒数是 ：1 的倒数是它本身，即 1 ：0 和任何数相乘都不为 1，因此 0 没有倒数 答：的倒数是；8 的倒数是；的倒数是；1 的倒数是 1；0 没有倒数。 跟踪训练 1 写出的倒数。 写出 15 的倒数。 写出的倒数。 判断：是倒数。（填 “对” 或 “错”） 填空： 题型 2：分数除以整数的基础计算 本题型巩固分数除以整数的计算法则，熟练掌握乘倒数法与分子直除法两种计算方式。 典型例题 计算： 解题思路 本题中分数的分子 8 能被整数 4 整除，既可以用 “分子除以整数、分母不变” 的简便方法，也可以用通用的 “乘倒数” 法计算，两种方法可互相验证结果。 解题过程 方法一：分子直除法（分子能被整数整除时适用） 方法二：乘倒数法（通用方法） 答：计算结果是。 跟踪训练 2 题型 3：整数除以分数的计算 本题型重点掌握整数除以分数的计算法则，熟练运用 “乘倒数” 的核心逻辑进行计算。 典型例题 计算： 解题思路 整数除以分数，根据计算法则转化为整数乘分数的倒数，观察发现整数 12 和分母 3 可以约分，先约分再计算更简便。 解题过程 答：计算结果是 16。 跟踪训练 3 题型 4：分数除法的实际应用 本题型结合生活场景，巩固分数除法的意义，提升解决实际问题的计算能力。 典型例题 把米长的绳子平均分成 3 段，每段长多少米？ 解题思路 把一个总量平均分成若干份，求每份的量，用除法计算。本题本质是把米平均分成 3 份，求每份长度，列式为，按分数除以整数的法则计算即可。 解题过程 （米） 答：每段长米。 跟踪训练 4 把千克的糖果平均分给 4 个小朋友，每个小朋友分得多少千克？ 一根长 6 米的钢管，每米锯成一段，可以锯成多少段？ 小明 3 天看完一本书的，平均每天看这本书的几分之几？ 一辆汽车行驶 12 千米耗油升，平均每千米耗油多少升？ 王师傅小时做了 6 个零件，他 1 小时能做多少个零件？ 练习巩固 1．直接写出得数。                                   2．直接写出得数。                                                   3．直接写出得数。                                                              4．直接写出得数。                                                                           5．直接写得数。                                                                                       6．看图列式计算。 7．看图列式。 列式：____________ 8．看图列式。 列式：____________ 9．直接写出得数。 630÷30＝    ＝    3.4＋2.6＝    2.86÷2＝     ×35＝    24÷＝    ÷6＝ 10．宇树人形机器人参加半程马拉松比赛，今年完赛用时90分钟，是去年用时的，去年用时多少分钟？ 11．一项工程，甲、乙合作10天完成，乙、丙合作12天完成，现在先由甲单独做9天，接着乙做6天，最后丙独做4天，刚好完成，甲独做这项工程要多少天完成任务？ 12．妈妈买回了一袋15千克的大米，每天吃掉千克，这袋大米可以吃多少天？ 13．把一根米长的木料锯成相等的若干段，一共锯了5次，每段长多少米？ 14．乐乐20分钟走了千米，豆豆30分钟走了千米。谁走得快一些？ 15．把一根长的木料按如下图所示的方式锯成长度相等的小段，共锯了3次。每段木料长多少米？ 16．图书馆建成后，学校投入10万元购买图书，比原计划多投入了。购买图书原计划投入多少万元？ 17．实验小学科技节上一共有90人获奖，其中获得一等奖的人数占总人数的，获得一等奖的人数是获得二等奖的，获得二等奖的有多少人？ 18．雅戈尔西装每套价格是960元，裤子的价格相当于上衣的。裤子和上衣各是多少元？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 跟踪训练 1 解析 求的倒数 【分析】真分数求倒数，直接交换分子和分母的位置。 【详解】交换分子 4 和分母 7，得到倒数。 【答案】 求 15 的倒数 【分析】非零整数的倒数是整数分之一。 【详解】，交换后为。 【答案】 求的倒数 【分析】带分数先化为假分数，再交换分子分母。 【详解】，交换后倒数为。 【答案】 判断：是倒数 【分析】倒数是相互依存的，不能单独说一个数是倒数。 【详解】应该说是的倒数，表述错误。 【答案】错 填空： 【分析】乘积为 1 的两个数互为倒数，填的倒数即可。 【详解】的倒数是。 【答案】 跟踪训练 2 解析 【分析】分子 6 能被 3 整除，可直接分子相除，也可用乘倒数法。 【详解】 【答案】 【分析】分子不能被整数整除，用乘倒数法计算，先约分。 【详解】 【答案】 【分析】转化为乘倒数，先约分再计算。 【详解】 【答案】 【分析】转化为乘倒数，分子与整数约分后计算。 【详解】 【答案】 【分析】分子能被 2 整除，两种方法均可。 【详解】 【答案】 跟踪训练 3 解析 【分析】整数除以分数，转化为乘倒数，先约分再计算。 【详解】 【答案】15 【分析】转化为乘倒数，整数与分母约分。 【详解】 【答案】28 【分析】转化为乘倒数，先约分再计算。 【详解】 【答案】8 【分析】转化为乘倒数，整数与分母约分。 【详解】 【答案】12 【分析】转化为乘倒数，先约分再计算，结果化为最简。 【详解】 【答案】 跟踪训练 4 解析 把千克糖果平均分给 4 个小朋友 【分析】平均分问题，用总重量 ÷ 人数 = 每人重量，分数除以整数。 【详解】 （千克） 【答案】千克 6 米钢管，每米一段 【分析】求包含几段，用总长度 ÷ 每段长度，整数除以分数。 【详解】 （段） 【答案】8 段 3 天看了全书的，求每天看几分之几 【分析】总工作量 ÷ 天数 = 每天工作量，分数除以整数。 【详解】 【答案】 行驶 12 千米耗油升，求每千米耗油量 【分析】总耗油量 ÷ 路程 = 每千米耗油量，分数除以整数。 【详解】 （升） 【答案】升 小时做 6 个零件，求 1 小时做多少个 【分析】工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率，整数除以分数。 【详解】 （个） 【答案】18 个 巩固练习 1．1；；；；； ；；；1；0 【解析】略 2．；；16；6； 0；；； 【解析】略 3． ；；；； ；；； 【解析】略 4．；2；4； 8.1；；；0 【解析】略 5．；20；；； ；0；6； 【详解】略 6．490kg 【分析】把总共的重量看作单位“1”，用对应量350除以对应分率就可以算出单位“1”的量。 【详解】350÷ ＝ ＝490（kg） 7． 【分析】把西瓜的质量看作单位“1”，已知梨占西瓜的，求西瓜的质量，用梨的质量除以即可。 【详解】80÷ ＝80× ＝100（kg） 西瓜的质量是100kg。 8．480÷＝1080（人） 【分析】由图可知，把总人数看作单位“1”，女生人数占总人数的，求总人数，用女生人数除以即可。 【详解】480÷ ＝480× ＝1080（人） 总人数有1080人。 9．21；16；6；1.43； ；30；72； 【解析】略 10．120分钟 【分析】把去年用时看作单位“1”，未知单位“1”的量，已知量除以对应分率，用除法计算，求出去年用时。 【详解】（分钟） 答：去年用时120分钟。 11．15天 【分析】工程总量看作单位1，先算出甲乙、乙丙合作工作效率；拆分工作时间：甲9天、乙6天、丙4天，拆成：乙丙合作4天＋甲乙合作2天＋甲单独7天；算出两段合作完成的工作量，再算出剩余工作量，剩余工作量由甲7天完成，求出甲效率；总量÷甲效率得到甲单独完成天数。 【详解】甲乙合作效率：，乙丙合作效率： （天） 答：甲独做这项工程要15天完成任务。 12．25天 【分析】根据除法的意义，求一个数里面包含多少个另一个数，用除法计算，数量关系为：总质量每天吃的质量天数。计算时依据分数除法法则：除以一个不为的数，等于乘这个数的倒数。 【详解】 （天） 答：这袋大米可以吃天。 13． 米 【分析】锯的次数与段数的关系是“段数＝锯的次数＋1”，所以锯5次会把木料分成5＋1＝6段；木料总长米，用总长度除以段数即可得到每段的长度。 【详解】5＋1＝6（段） （米） 答：每段长米。 14．豆豆走得快一些 【分析】比较谁走得快，需要比较他们的速度。速度＝路程÷时间，据此分别计算出乐乐和豆豆的速度，再进行比较即可。 【详解】÷20＝×＝（千米/分钟） ÷30＝×＝（千米/分钟） ＜ 答：豆豆走得快一些。 15．3＋1＝4（段）   【分析】锯3次，那么就锯成了3+1=4(段)，根据“ 每段长度 = 总长度÷段数”，即可求出平均每段木料长多少米。 【详解】  3＋1＝4（段） （米） 答：每段木料长米。 16．9万元 【分析】把原计划投入的钱数看作单位“1”，已知实际投入投入10万元，比原计划多投入了，则实际投入的钱数除以（1＋），即可求出原计划投入的钱数。 【详解】10÷（1＋） ＝10÷ ＝10× ＝9（万元） 答：购买图书原计划投入9万元。 17．30人 【分析】把获奖的总人数看作单位“1”，已知一等奖的人数占总人数的，单位“1”已知，用总人数乘，求出获得一等奖的人数； 又已知获得一等奖的人数是获得二等奖的，把获得二等奖的人数看作单位“1”，单位“1”未知，用一等奖的人数除以，即可求出获得二等奖的人数。 【详解】90×＝15（人） 15÷ ＝15×2 ＝30（人） 答：获得二等奖的有30人。 18．上衣的价格是600元，裤子的价格是360元 【分析】设上衣的价格是x元，则裤子的价格是x元，裤子的价格＋上衣的价格＝960，据此列方程即可解答。 【详解】解：设上衣的价格是x元，则裤子的价格是x元。 x＋x＝960 x＝960 x＝600 600×＝360（元） 答：上衣的价格是600元，裤子的价格是360元。 【点睛】本题考查用方程解决问题，明确数量关系是解题的关键。 $