专题03：长方体和正方体的表面积（计算专项训练）数学青岛版（五四制）五年级上册（新教材）

**基本信息** 以概念公式为基础，通过“基础计算-实际应用-切割拼接-逆向推导”四阶训练，系统构建表面积计算方法体系，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念公式|基础题5道|公式直接应用|从定义推导长方体（长×宽+长×高+宽×高）×2、正方体棱长×棱长×6公式| |实际应用|缺面问题5道|场景面数判断（无盖5面/通风4面等）|结合生活场景简化计算模型，培养几何直观| |切割拼接|动态变化5道|切拼增减面规律（切1次增2面/拼1次减2面）|通过操作理解表面积变化本质，发展推理意识| |逆向计算|反求棱长5道|公式逆推（表面积→单面积→棱长）|提升公式灵活运用能力，完善知识闭环|

专题03：长方体和正方体的表面积 计算专项训练 一、表面积的基本概念 定义：长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。 长方体的面的特征：长方体有 6 个面，相对的面完全相同，分为三组：上下面、前后面、左右面，每组 2 个面的面积相等。 正方体的面的特征：正方体 6 个面是完全相同的正方形，所有面的面积都相等，12 条棱长度全部相等。 二、长方体表面积的计算公式 公式推导： 上、下两个面的面积和： 前、后两个面的面积和： 左、右两个面的面积和： 完整公式： 长方体表面积 长 × 宽 ×2 长 × 高 ×2 宽 × 高 ×2 简便写法：长方体表面积 长 × 宽 长 × 高 宽 × 高 字母表示： 或 （ 表示长， 表示宽， 表示高） 三、正方体表面积的计算公式 公式推导：正方体 6 个面完全相同，先求出 1 个面的面积（棱长 × 棱长），再乘 6 就是总表面积。 完整公式：正方体表面积 棱长 棱长 字母表示： （ 表示正方体的棱长） 四、实际问题中的表面积计算 生活中很多场景不需要计算 6 个面的总面积，需要根据题意判断计算几个面的面积，这是高频考点： 无盖类（5 个面）：无盖鱼缸、水池、水槽、木箱等，缺少 1 个上面，计算公式为：长 × 宽 长 × 高 ×2 宽 × 高 ×2。 通风类（4 个面）：通风管、烟囱、排水管等，缺少上下两个底面，只计算 4 个侧面的面积。 粉刷 / 贴砖类（5 个面减门窗）：粉刷教室、贴泳池瓷砖，通常扣除地面和门窗、黑板的面积。 侧面包裝类（4 个面）：商品商标纸、侧面贴画，只计算前后左右 4 个侧面的总面积。 五、切割与拼接的表面积变化规律 拼接（合二为一）：把两个完全相同的立体图形拼在一起，总表面积会减少 2 个拼接面 的面积。拼接的面越大，总表面积减少得越多。 切割（一分为二）：把一个立体图形切成两部分，总表面积会增加 2 个切面 的面积。切的面越大，总表面积增加得越多。 每多切 1 刀，就多增加 2 个切面的面积；每多拼 1 次，就多减少 2 个拼接面的面积。 六、高频易错点提示 实际问题中错误计算面的数量，例如无盖鱼缸按 6 个面计算，通风管按 6 个面计算。 计算前没有统一长度单位，单位不一致直接计算导致结果错误。 切割、拼接问题中，记错面的数量变化：切 1 次增加 2 个面，而非 1 个面；拼 1 次减少 2 个面。 正方体表面积公式混淆，误写为 “棱长 ×6”，遗漏 “乘棱长” 的步骤。 已知表面积反求棱长时，忘记先除以 6 得到单个面的面积，直接开方出错。 题型 1：基础长方体、正方体表面积计算 本题型为核心基础，巩固表面积公式的直接应用，熟练掌握公式的两种书写形式。 典型例题 一个长方体的长是 5 厘米，宽是 4 厘米，高是 3 厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 解题思路 题目给出长方体的长、宽、高，直接套用长方体表面积公式 ，先算出三组面各一个的面积和，再乘 2 即可得到 6 个面的总面积。 解题过程 代入公式计算： 答：它的表面积是 94 平方厘米。 跟踪训练 1 一个长方体长 8dm，宽 5dm，高 4dm，它的表面积是多少平方分米？ 一个正方体的棱长是 7 厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 一个长方体长 12 米，宽 6 米，高 3 米，求它的表面积。 正方体的棱长总和是 36 分米，它的表面积是多少平方分米？ 一个长方体的长是 10cm，宽和高都是 5cm，它的表面积是多少平方厘米？ 题型 2：实际生活中的缺面表面积计算 本题型重点解决生活中 “少面” 的表面积问题，学会根据场景判断计算面的数量。 典型例题 一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长 6 分米，宽 4 分米，高 5 分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 解题思路 鱼缸是无盖的，因此只需要计算 5 个面的面积：1 个底面（长 × 宽）加上前后左右 4 个侧面。用 “长 × 宽 + 长 × 高 ×2 + 宽 × 高 ×2” 计算，也可以用 6 个面的总面积减去 1 个上面的面积。 解题过程 方法：底面积 + 侧面积 答：制作这个鱼缸至少需要 124 平方分米的玻璃。 跟踪训练 2 一节长方体通风管，长 2 米，横截面是边长为 2 分米的正方形，制作这节通风管至少需要多少平方米铁皮？ 一间教室长 8 米，宽 6 米，高 3 米，要粉刷教室的四壁和天花板，扣除门窗和黑板面积 12 平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 一个正方体形状的无盖水箱，棱长 0.8 米，制作这个水箱至少需要多少平方米铁皮？ 给一个长 50cm、宽 40cm、高 30cm 的长方体礼盒侧面贴一圈包装纸（上下不贴），包装纸的面积至少是多少平方厘米？ 一个长方体游泳池，长 50 米，宽 25 米，深 2 米，要在池的四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 题型 3：切割与拼接后的表面积计算 本题型重点掌握立体图形切割、拼接后表面积的变化规律，能准确计算变化后的总表面积。 典型例题 把两个棱长为 2 厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？ 解题思路 方法一：先算出两个正方体的总表面积，拼接后会减少 2 个拼接面的面积，用总表面积减去减少的面积即可。 方法二：先确定拼成的长方体的长、宽、高，再直接用长方体表面积公式计算。 解题过程 方法一：拼接法 单个正方体表面积：（平方厘米） 两个正方体总表面积：（平方厘米） 拼接减少 2 个面：（平方厘米） 长方体表面积：（平方厘米） 方法二：公式法 拼成的长方体：长cm，宽cm，高cm 表面积：（平方厘米） 答：拼成的长方体表面积是 40 平方厘米。 跟踪训练 3 把一个棱长 6 分米的正方体切成两个完全相同的长方体，表面积增加了多少平方分米？ 用 3 个棱长 3 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 把一个长 10cm、宽 8cm、高 5cm 的长方体沿平行于上下面的方向切成两个小长方体，表面积增加多少平方厘米？ 将两个长 5dm、宽 4dm、高 2dm 的长方体拼成一个大长方体，表面积最多减少多少平方分米？ 把一个正方体切成两个长方体后，表面积增加了 32 平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？ 题型 4：已知表面积反求棱长 本题型为逆向计算，根据表面积公式反推棱长、长宽高，提升公式的灵活运用能力。 典型例题 一个正方体的表面积是 54 平方厘米，它的棱长是多少厘米？ 解题思路 正方体表面积 = 棱长 × 棱长 ×6，因此先用表面积除以 6，得到单个面的面积；再根据正方形面积公式，由面的面积反推出棱长。 解题过程 求单个面的面积： （平方厘米） 由正方形面积求棱长： 因为 ，所以棱长是 3 厘米。 答：它的棱长是 3 厘米。 跟踪训练 4 正方体的表面积是 96 平方分米，它的棱长是多少分米？ 一个长方体的表面积是 84 平方厘米，长 6 厘米，宽 4 厘米，它的高是多少厘米？ 正方体的表面积是 150 平方米，它的棱长总和是多少米？ 一个无盖长方体铁盒的表面积是 108 平方分米，长 8 分米，宽 6 分米，它的高是多少分米？ 一个长方体的侧面积（4 个侧面）是 80 平方厘米，长 5 厘米，宽 3 厘米，它的高是多少厘米？ 练习巩固 1．计算下面图形的表面积。 2．计算下列各图的表面积。 3．计算下列图形的表面积。（单位：cm） 4．求下列图形的表面积。 5．如图是一个长方体包装盒展开图，请根据图中信息求出这个长方体的表面积。 6．求如图左、右、上、下面的表面积之和是多少平方分米？ 7．如图是一纸箱的展开图，求纸箱的表面积。 8．下面是长方体的展开图，求它的表面积。 9．计算下面立体图形的表面积。 10．求下面图形的表面积。 11．计算下面各图形的表面积。 （1）    （2） 12．求下面长方体的表面积。（单位：厘米） 13．计算下面图形的体积和表面积。（单位：cm） 14．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 15．计算下列各图的表面积。 16．计算下面立体图形的表面积。 17．计算下面长方体的表面积。 18．下图是一个长方体的展开图，其中①是边长为3cm的正方形，②是长方形，它的长为4cm。请计算出这个长方体的表面积。 19．计算下列各图形的表面积。 20．求下列图形的表面积。 21．计算下面图形的表面积。 22．计算下面几何体的表面积。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 跟踪训练 1 解析 长方体长 8dm，宽 5dm，高 4dm 【分析】直接套用长方体表面积公式计算。 【详解】 （平方分米） 【答案】184 平方分米 正方体棱长 7 厘米 【分析】套用正方体表面积公式 。 【详解】 （平方厘米） 【答案】294 平方厘米 长方体长 12 米，宽 6 米，高 3 米 【分析】直接代入长方体表面积公式。 【详解】 （平方米） 【答案】252 平方米 正方体棱长总和 36 分米 【分析】先根据棱长总和求棱长，再算表面积。 【详解】 棱长：（分米） 表面积：（平方分米） 【答案】54 平方分米 长方体长 10cm，宽和高都是 5cm 【分析】有两个相对的面是正方形，其余 4 个面面积相同。 【详解】 （平方厘米） 【答案】250 平方厘米 跟踪训练 2 解析 长方体通风管，长 2 米，横截面边长 2 分米 【分析】通风管只有 4 个侧面，先统一单位，再计算侧面积。 【详解】 2 分米 = 0.2 米 侧面积：（平方米） 【答案】1.6 平方米 教室粉刷四壁和天花板，扣除门窗 12 平方米 【分析】计算 5 个面的面积再减门窗面积。 【详解】 天花板：（平方米） 四壁：（平方米） 粉刷面积：（平方米） 【答案】120 平方米 无盖正方体水箱，棱长 0.8 米 【分析】无盖正方体计算 5 个面的面积。 【详解】 （平方米） 【答案】3.2 平方米 礼盒侧面贴包装纸，上下不贴 【分析】计算前后左右 4 个侧面的面积和。 【详解】 （平方厘米） 【答案】5400 平方厘米 游泳池抹水泥，四周和底面 【分析】计算 5 个面的面积：底面加四周。 【详解】 底面：（平方米） 四周：（平方米） 总面积：（平方米） 【答案】1550 平方米 跟踪训练 3 解析 正方体切成两个长方体，求增加的表面积 【分析】切 1 刀增加 2 个切面，切面是边长 6 分米的正方形。 【详解】 增加的面积：（平方分米） 【答案】72 平方分米 3 个棱长 3cm 的正方体拼成长方体 【分析】拼 2 次，减少 4 个面；或先求长方体长宽高再计算。 【详解】 长方体长：cm，宽 3cm，高 3cm 表面积：（平方厘米） 【答案】126 平方厘米 长方体沿平行于上下面切，求增加的面积 【分析】增加 2 个长 × 宽的面。 【详解】 增加的面积：（平方厘米） 【答案】160 平方厘米 两个长方体拼成大长方体，求最多减少的面积 【分析】拼接最大的面，减少的面积最多，减少 2 个最大面。 【详解】 最大面面积：（平方分米） 最多减少：（平方分米） 【答案】40 平方分米 正方体切成两个长方体，表面积增加 32 平方厘米，求原正方体表面积 【分析】增加 2 个面，先求单个面面积，再乘 6 得总表面积。 【详解】 单个面面积：（平方厘米） 正方体表面积：（平方厘米） 【答案】96 平方厘米 跟踪训练 4 解析 正方体表面积 96 平方分米，求棱长 【分析】先除以 6 得单个面面积，再反推棱长。 【详解】 单个面面积：（平方分米） 因为 ，所以棱长 4 分米。 【答案】4 分米 长方体表面积 84 平方厘米，长 6cm，宽 4cm，求高 【分析】根据表面积公式逆推，先减去上下底面积，再求高。 【详解】 上下底面积和：（平方厘米） 侧面积：（平方厘米） 底面周长：（厘米） 高：（厘米） 【答案】1.8 厘米 正方体表面积 150 平方米，求棱长总和 【分析】先求棱长，再乘 12 得棱长总和。 【详解】 单个面面积：（平方米） 棱长：5 米 棱长总和：（米） 【答案】60 米 无盖长方体铁盒表面积 108 平方分米，长 8dm，宽 6dm，求高 【分析】无盖，表面积含 1 个底面和 4 个侧面，先减底面积再求高。 【详解】 底面积：（平方分米） 侧面积：（平方分米） 底面周长：（分米） 高：（分米） 【答案】 分米（或约 2.14 分米） 长方体侧面积 80 平方厘米，长 5cm，宽 3cm，求高 【分析】侧面积 = 底面周长 × 高，逆推求高。 【详解】 底面周长：（厘米） 高：（厘米） 【答案】5 厘米 巩固练习 1．920平方厘米 【分析】这个组合图形的表面积可以拆成长方体的表面积加正方体的侧面积。将正方体的上面平移到长方体和正方体结合处，补全长方体的表面积，此时正方体只剩下四个侧面。 【详解】（25×8＋25×4＋8×4）×2＋8×8×4 ＝（200＋100＋32）×2＋64×4 ＝332×2＋256 ＝664＋256 ＝920（平方厘米） 答：这个组合图形的表面积是920平方厘米。 2．208dm2；600m2 【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，计算即可。 【详解】（8×6＋8×4＋6×4）×2 ＝（48＋32＋24）×2 ＝104×2 ＝208（dm2） 10×10×6＝600（m2） 3．（1）48cm2；（2）234cm2 【分析】（1）根据长方体展开图可知，长方体的长是5cm，宽是2cm，长方体的长＋高＝7cm，用7－2，求出长方体的高，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高） ×2，据此解答。 （2）根据图可知，挖去一个正方体，减少2个正方形的面积，同时加上4个正方形的面积，即多加2个正方形的面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方形面积＝边长×边长，据此解答。 【详解】（1）7－5＝2（cm） （5×2＋5×2＋2×2）×2 ＝（10＋10＋4）×2 ＝（20＋4）×2 ＝24×2 ＝48（cm2） （2）6×6×6＋3×3×2 ＝36×6＋9×2 ＝216＋18 ＝234（cm2） 4．216cm2；132cm2 【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可解答。 【详解】正方体表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm2） 长方体表面积：（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（cm2） 5．平方厘米 【分析】从展开图可知，中间四个长方形是长方体的侧面，上方和下方的长方形是长方体的顶面和底面； 中间四个长方形的高为10厘米，也就是长方体的高为10厘米； 下方的长方形的宽为4厘米，也就是长方体的宽为4厘米； 中间四个长方形的长为38厘米，这是有两条长和两条宽，也就是总长为38厘米减去两个宽后再除以2可以得到一条长的长度； 最后根据长方体的表面积公式进行计算即可。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 答：这个长方体的表面积是平方厘米。 6．840平方分米 【分析】观察图形，左、右两个面的面积相等，都是长15分米、宽8分米的长方形；上、下两个面的面积相等，都是长20分米、宽15分米的长方形。先分别求出一个上面和一个左面的面积，再把这两个面积相加后乘2。 【详解】20×15＝300（平方分米） 15×8＝120（平方分米） （300＋120）×2 ＝420×2 ＝840（平方分米） 因此，左、右、上、下面的表面积之和是840平方分米。 7．550平方厘米 【分析】长方体6个面的总面积叫做它的表面积。这个长方体的长是15厘米，宽是10厘米，高是厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算即可。 【详解】高： ＝ ＝ ＝5（厘米） ＝ ＝ ＝（平方厘米） 答：纸箱的表面积是550平方厘米。 8．100平方厘米 【分析】根据题意可知，长方体长为7厘米，宽为4厘米，根据宽加2个高的长度为8厘米，求出高；根据长方体表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh）计算即可。 【详解】高为：（8－4）÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） （7×4＋7×2＋4×2）×2 ＝（28＋14＋8）×2 ＝（42＋8）×2 ＝50×2 ＝100（平方厘米） 9．600cm2 【分析】这个立体图形由棱长6cm的正方体和长16cm、宽6cm、高6cm的长方体拼接而成，拼接时两个图形重合了2个边长为6cm的正方形面，这两个面不会露在外面，正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体表面积＝（长×高＋宽×高＋长×宽）×2，总表面积＝正方体表面积＋长方体表面积－2个重合正方形的面积。 【详解】6×6×6＋（16×6＋6×6＋16×6）×2－6×6×2 ＝216＋（96＋36＋96）×2－72 ＝216＋228×2－72 ＝216＋456－72 ＝672－72 ＝600（cm2） 10．118dm2 【分析】计算长方体的表面积，分别算出三组相对面的面积，相加后乘2。即：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）× 2。 【详解】S＝（7×5＋5×2＋7×2）×2 ＝（35＋10＋14）×2 ＝59×2 ＝118（dm2） 11．（1）294平方厘米；（2）210平方厘米 【分析】（1）正方体表面积＝棱长×棱长×6； （2）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 【详解】（1）7×7×6 ＝49×6 ＝294（平方厘米） （2）（5×5＋5×8＋5×8）×2 ＝（25＋40＋40）×2 ＝105×2 ＝210（平方厘米） 12．148平方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 【详解】（6×4＋6×5＋4×5）×2 ＝（24＋30＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 13．416cm2；540cm3 【分析】组合体凹进去的3个面，通过平移，可以组成一个完整的长方体，组合体表面积＝长方体表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋高×宽×2；长方体的面积＝长×宽×高，组合体体积＝大长方体体积－挖去的小长方体体积。 【详解】组合体表面积＝9×8×2＋9×8×2＋8×8×2 ＝144＋144＋128 ＝416（cm2） 组合体体积＝9×8×8－3×3×4 ＝576－36 ＝540（cm3） 14．388 【分析】组合图形表面积＝长方体表面积＋正方体4个侧面的面积。将长方体的长、宽、高代入长方体的表面积公式求出表面积，再将正方体的棱长代入求出正方体4个侧面的面积之和，最后再将两者相加即可。 【详解】（12×6＋12×5＋6×5）×2 ＝（72＋60＋30）×2 ＝162×2 ＝324（） 4×4×4＝64（） 324＋64＝388（） 15．（1）1350cm2；（2）736cm2 【分析】（1）正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数值即可解答。 （2）在长方体的角上挖去一个小正方体，挖去的地方原本有3个面属于长方体表面，挖去后又新露出3个相同面积的面，所以这个立体图形的表面积和原长方体的表面积相等，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可解答。 【详解】（1）15×15×6 ＝225×6 ＝1350（cm2） （2）（16×10＋16×8＋10×8）×2 ＝（160＋128＋80）×2 ＝368×2 ＝736（cm2） 16．198平方厘米 【分析】组合体由正方体和长方体拼接而成，拼接处会遮住小正方体2个面的面积；先分别算出长方体、正方体的表面积之和，再减去重叠遮挡的2个正方形面积，即可得到组合图形表面积。 【详解】（12×3＋12×3＋3×3）×2 ＝（36＋36＋9）×2 ＝81×2 ＝162（平方厘米） 3×3×6＝54（平方厘米） 3×3×2＝18（平方厘米） 162＋54－18 ＝216－18 ＝198（平方厘米） 17．234dm2 【分析】根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可解答。 【详解】（15×3＋15×4＋3×4）×2 ＝（45＋60＋12）×2 ＝117×2 ＝234（dm2） 18．66cm2 【分析】根据题意，长方体的展开图中①是边长为3cm的正方形，说明长方体有两个相对的面是边长为3cm的正方形，即长方体的宽和高都是3cm；②是长为4cm的长方形，因为②与①相连，说明长方形的另一条边等于3cm；据此得出这个长方体的长是4cm、宽和高都是3cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出它的表面积。 【详解】（4×3＋4×3＋3×3）×2 ＝（12＋12＋9）×2 ＝33×2 ＝66（cm2） 19．376cm²；294 cm² 【分析】长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，将长方体长10cm、宽8cm、高6cm，正方体棱长7cm，代入数值求解即可。 【详解】长方体： （10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝188×2 ＝376（cm²） 正方体： 7×7×6 ＝49×6 ＝294（cm²） 20．384dm2；112m2 【分析】由图可知，正方体的表面积＝边长×边长×6；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】8×8×6 ＝64×6 ＝384（dm2） （3×2＋3×10＋2×10）×2 ＝（6＋30＋20）×2 ＝56×2 ＝112（m2） 21．350cm2 【分析】观察图形，是3个棱长为5cm的正方体拼成的几何体，算出正方体一个面的面积，再观察几何体得出所有面数，计算即可。 【详解】正方形面积：5×5＝25（cm2） 观察几何体：前后4个正方形，左右4个正方形，上下6个正方形。 表面积：25×（4＋4＋6）＝25×14＝350（cm2） 这个图形的表面积是350cm2。 22．112 【分析】据图，将正方体的一个面补充到长方体和正方体的连接处，这样长方体的表面积就可以用（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行计算。则正方体按4个面计算表面积，表面积用棱长×棱长×4进行计算，最后将长方体表面积和正方体表面积相加。 【详解】 这个几何体的表面积是112。 $