专题08：多边形的面积（计算专项训练）数学青岛版五年级上册（新教材）

**基本信息** 以转化思想为主线，系统构建多边形面积计算方法体系，通过原理推导-公式应用-易错警示的逻辑链条实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形|1典例+1训练|割补转化法，底高对应原则|由长方形面积推导，延伸逆运算及等积规律| |三角形|1典例+1训练|拼接转化法，除以2关键|基于平行四边形面积推导，强调等底等高关系| |梯形|1典例+1训练|拼接转化法，上下底和关键|类比三角形推导，拓展单底求解技巧| |组合图形|2典例+2训练|分割法/添补法，分步计算|整合基本图形，培养几何直观与推理意识|

专题08：多边形的面积 计算专项训练 一、平行四边形的面积 推导原理：割补转化法 沿着平行四边形的一条高剪开，通过平移可以拼成一个长方形。拼成的长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。因为长方形面积 = 长 × 宽，由此推导出平行四边形的面积公式。 核心计算公式 字母公式：（表示面积，表示底，表示高） 文字公式：平行四边形的面积 = 底 × 对应高 逆运算公式 已知面积和高，求底： 已知面积和底，求高： 重要规律 等底等高的平行四边形面积相等；平行四边形的面积只由底和对应高决定，与图形的倾斜角度、形状无关。 二、三角形的面积 推导原理：拼接转化法 用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 核心计算公式 字母公式： 文字公式：三角形的面积 = 底 × 对应高 ÷ 2 逆运算公式 已知面积和高，求底： 已知面积和底，求高： 重要规律 等底等高的三角形面积相等，但形状不一定完全相同。 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半；反之，平行四边形面积是与它等底等高三角形面积的 2 倍。 三、梯形的面积 推导原理：拼接转化法 用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高。每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 核心计算公式 字母公式：（表示上底，表示下底，表示高） 文字公式：梯形的面积 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2 逆运算公式 已知面积和高，求上底与下底的和： 已知面积和上下底之和，求高： 拓展计算 已知梯形面积、高和其中一个底，求另一个底：先将面积乘 2 除以高，得到上下底之和，再减去已知的底。 四、组合图形的面积计算 定义：由平行四边形、三角形、梯形、长方形、正方形等基本图形组合而成的图形，叫做组合图形。 两大计算方法 分割法（相加法）：将组合图形分割成几个规则的基本图形，分别计算每个基本图形的面积，再将面积相加得到总面积。分割原则：分割后图形的边长数据可求，计算尽量简便。 添补法（相减法）：给组合图形补上一部分，使其变成一个完整的规则大图形，用大图形的面积减去补上部分的面积，得到组合图形的面积。适用于有凹陷、空缺的图形。 通用计算步骤：①观察图形特点，选择合适的计算方法；②确定每个基本图形对应的底、高等数据；③分别计算各部分面积；④通过求和或求差得到最终结果。 五、高频易错点提示 底高不对应：计算面积时，底和高必须是互相对应的。钝角三角形的两条高在图形外部，极易找错对应关系，导致结果错误。 遗漏除以 2：计算三角形和梯形面积时，忘记除以 2，是本单元最常见的错误。 逆运算步骤错误：已知三角形、梯形的面积求底或高时，必须先把面积乘 2，再除以对应的高 / 底，不能直接用面积去除。 单位不统一：题目中底和高的单位不一致时，要先统一单位再计算，面积单位为平方单位，注意与长度单位区分。 组合图形计算失误：分割或添补时，边长数据对应错误，出现重复计算、遗漏部分区域的问题。 题型 1：平行四边形的面积 典型例题 看图列方程。          方程：________________ 【分析】未知数x是平行四边形的底，与x对应的高是8cm，另一组对应的底和高是10cm和12cm，根据平行四边形面积＝底×高，列出方程即可。 【详解】8x＝10×12 解：8x＝120 8x÷8＝120÷8 x＝15 跟踪训练 1 计算下面图形的面积。（单位：cm） 题型 2：三角形的面积 典型例题 看图列方程。 三角形的面积144平方厘米 【分析】根据三角形面积＝第×高÷2，列出方程24x÷2＝144，将左边合并成12x，根据等式的性质2，两边同时除以12，即可求出x的值。 【详解】24x÷2＝144 解：12x＝144 12x÷12＝144÷12 x＝12 跟踪训练2 求如图阴影部分的面积。 题型 3：梯形的面积 典型例题 看图列方程，并解答。 【分析】根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，已知梯形的上底是12cm、下底是xcm高是20cm、面积是300cm2，，将这些数据代入公式，列出方程（12＋x）×20÷10＝300，再解方程求出x的值。 【详解】（12＋x）×20÷2＝300 解：（12＋x）×10＝300 （12＋x）×10÷10＝300÷10 12＋x＝30 12＋x－12＝30－12 x＝18 跟踪训练3 求下面图形的面积。 题型 4：含多边形的组合图形的面积的面积 典型例题 你想怎样计算下面图形的面积（单位：米）？先在图中画一画，再算一算。 【分析】如图： 可以将图形分割成两部分，一个是长为36米，宽为8米的长方形，另一个是上底为6米，下底为（36－18）米，高为（24－8）米的直角梯形，根据长方形的面积公式和梯形公式，求出两部分的面积，再将它们相加即可。 【详解】36×8＝288（平方米） 36－18＝18（米） 24－8＝16（米） （6＋18）×16÷2 ＝24×16÷2 ＝384÷2 ＝192（平方米） 288＋192＝480（平方米） 这个图形的面积是480平方米。 跟踪训练 4 求下面图形的面积。 （1） （2） 题型 5：求组合图形中阴影部分的面积 典型例题 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【分析】阴影部分的面积＝长方形的面积－三角形的面积。 【详解】10×5－（10－3－3）×3÷2 ＝10×5－4×3÷2 ＝50－12÷2 ＝50－6 ＝44（平方厘米） 跟踪训练5 求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 练习巩固 1．画一画，量一量，算一算下列图形的面积。（测量精确到毫米。）     （1） （2） （3） 2．计算图形的面积． 3．计算下面图形的面积或阴影部分面积． （1）                            （2） （3） （4） 4．计算下面图形的面积． 5．计算下面各图形的面积．（单位：分米）   6．求阴影部分的面积．(单位:厘米) 7．求下面图形中阴影部分的面积． 8．求下面图形的面积．（单位：厘米）          9．用两种方法计算图形的面积．(单位：米) 10．求下列图形的面积(单位:cm)． 11．用分割法或添补法求下列组合图形的面积．(单位:cm) (1) (2) (3) 12．计算下图中阴影部分的面积．(单位:cm) 13．计算下面梯形的面积．(单位:cm) 14．求下列阴影部分的面积。 （1）（2） 15．求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 16．计算下列各图形的面积。 17．求面积是多少？ 18．求图形的面积。（单位：） （1）     （2） 19．求下面各图形的面积。 20．计算下面图形的面积。（单位：cm）         第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 跟踪训练 1 69.12cm² 【分析】图中9.6cm的底边对应的高是7.2cm，平行四边形面积＝底×对应底上的高。 【详解】9.6×7.2＝69.12（cm²） 平行四边形面积是69.12cm²。 跟踪训练 2 60平方厘米 【分析】根据图示，阴影部分的面积等于上底是4厘米，下底是15厘米，高是8厘米的梯形的面积，减去底是4厘米，高是8厘米的三角形的面积。 【详解】（4＋15）×8÷2 ＝19×8÷2 ＝152÷2 ＝76（平方厘米） 4×8÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 7616＝60（平方厘米） 跟踪训练 3 65cm2 【分析】图形面积＝上底是6cm，下底是10cm，高是5cm的梯形面积＋底是10cm，高是5cm的三角形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（6＋10）×5÷2＋10×5÷2 ＝16×5÷2＋10×5÷2 ＝80÷2＋50÷2 ＝40＋25 ＝65（cm2） 组合图形的面积是65cm2。 跟踪训练4 （1）63平方分米； （2）780cm2 【分析】（1）根据平行四边形面积＝底×高，把底边7.5分米，以及它对应的高8.4分米代入计算即可； （2）该图形面积可以看成一个梯形面积加上一个三角形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，把数据代入公式计算即可。 【详解】（1）7.5×8.4＝63（平方分米） （2）（24＋36）×8÷2＋36×30÷2 ＝60×8÷2＋1080÷2 ＝240＋540 ＝780（cm2） 跟踪训练 5 （1）37.5平方厘米；（2）210平方厘米 【分析】（1）阴影部分是一个梯形，上底是5厘米，下底是10厘米，高是5厘米，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 （2）阴影部分面积＝长是28厘米，宽是15厘米的长方形面积－底是28厘米，高是15厘米的三角形面积，根据长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（1）（5＋10）×5÷2 ＝15×5÷2 ＝75÷2 ＝37.5（平方厘米） 阴影部分面积是37.5平方厘米。 （2）28×15－28×15÷2 ＝420－420÷2 ＝420－210 ＝210（平方厘米） 阴影部分面积是210平方厘米。 巩固练习 1．（1）画图见解析；6.46cm2 （2）画图见解析；3.8cm2 （3）画图见解析；8.04cm2 【分析】平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，先画出图形的高，测量出需要计算的数据后按照公式计算即可。 【详解】（1）画高如图： 底是3.4cm，高是1.9cm； 面积：3.4×1.9＝6.46（cm2）。 （2）如图： 底是3.8cm，高是2.0cm； 面积：3.8×2.0÷2＝3.8（cm2）。 （3）如图： 上底是2.4cm，下底是4.3 cm，高是2.4 cm； 面积：（2.4＋4.3）×2.4÷2 ＝6.7×2.4÷2 ＝8.04（cm2）。 【点睛】本题考查了学生的作图能力，以及根据测量的数据和平行四边形，三角形，梯形的面积公式求面积的能力。 2．96平方厘米 【详解】（10＋14)×8÷2=96(平方厘米) 3．（1）15.5平方分米（2）24平方分米（3）12平方厘米（4）44平方厘米 【解析】略 4．320cm2　 420dm2　 90m2 【分析】平行四边形面积=底×高 三角形面积=底×高÷2 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，带入计算即可 【详解】20×16=320（cm2） 35×24÷2=420（dm2） （8+12）×9÷2=90（m2） 【点睛】本题考查平行四边形，三角形，梯形的面积计算公式，牢记公式即可解答。 5．6×10+6×4÷2=72（平方分米） 【详解】长方形的面积=长×宽，三角形的面积=底×高÷2． 6．38平方厘米 【详解】两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积 10×10＋6×6－10×10÷2－（10+6）×6÷2＝38（平方厘米） 7．128  40 【详解】16×14－(8＋16)×(14－6)÷2＝128() (10＋12)×4÷2－4×2÷2＝40() 8．242.52平方厘米   68平方厘米 【详解】略 9．48平方米 【分析】平行四边形面积=底×高，图中8与6是一组对应的底和高，4和12是一组对应的底和高. 【详解】8×6=48(平方米)；4×12=48(平方米) 答：图形的面积是48平方米. 10．128cm2      244cm2 【详解】12.8×8+12.8×4÷2=128(cm2) (8+20)×22÷2-16×8÷2=244(cm2) 11．(1) 45cm2 (2) 30cm2 (3) 45.5cm2 【详解】(1)6×5+(4+6)×3÷2=45(cm2) (2)(4+6)×8÷2-4×5÷2=30(cm2) (3)(5+8)×3÷2+(5+8)×4÷2=45.5(cm2) 12．25.2cm2 24cm2 【详解】(1.8×2+2.4+2.4)×6÷2=25.2(cm2) (2+4+2)×6÷2=24(cm2) 13．15cm2    36cm2 【详解】(3+7)×3÷2=15(cm2) (4+8)×6÷2=36(cm2) 14．(1)104cm²（2）10平方厘米 【详解】（1）16×13÷2=104（cm²） （2）4×5÷2=10（平方厘米） 15．216平方厘米；50平方厘米 【分析】（1）S阴影＝S平行四边÷2 （2）S阴影＝S总－ S等腰直角三角形－S直角三角形，据此解答 【详解】（1）S阴影：24×18÷2＝216（平方厘米） （2）S阴影：10×10＋6×6＋（10－6）×6÷2－10×10÷2－6×（10＋6）÷2 ＝10×10＋6×6＋4×6÷2－10×10÷2－6×16÷2 ＝100＋36＋12－50－48 ＝50（平方厘米） 16．（1）63cm2 （2）48cm2 （3）78.72cm2 【分析】（1）运用三角形的面积公式； （2）运用平行四边形的面积公式； （3）运用梯形和平行四边形的面积公式，据此解答。 【详解】（1）8.4×15÷2 ＝125÷2 ＝63（cm2） （2）8×6＝48（cm2） （3）12.1×4.2＋（12.1＋6.5）×3÷2 ＝12.1×4.2＋18.6×3÷2 ＝50.82＋55.8÷2 ＝50.82＋27.9 ＝78.72（cm2） 17．37600平方米 【分析】由图可知，组合图形的面积＝梯形面积＋长方形面积，由此解答即可。 【详解】[（200－140）＋100]×（200－80）÷2＋200×140 ＝160×120÷2＋28000 ＝9600＋28000 ＝37600（平方米） 18．（1）220； （2）616 【分析】（1）根据平行四边形的面积计算公式，代入数据计算即可； （2）观察图形可知，这个组合图形是一个三角形和一个梯形的组合，其面积等于三角形的面积加上梯形的面积；根据三角形和梯形的面积计算公式，分别代入数据计算即可解答。 【详解】（1）10×22＝220（） （2）16×26÷2＋（12＋22）×24÷2 ＝416÷2＋34×24÷2 ＝208＋408 ＝616（） 19．16cm2；50.15m2 【分析】第一个图形的面积＝长方形的面积＋三角形的面积；第二个图形的面积＝平行四边形的面积＋梯形的面积。 【详解】2.5×4＋4×3÷2 ＝10＋6 ＝16（平方厘米） 4.5×6.5＋（4.5＋6.5）×3.8÷2 ＝29.25＋11×3.8÷2 ＝29.25＋20.9 ＝50.15（平方米） 【点睛】平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。 20．884cm2；75cm2； 30cm2； 560cm2 【分析】，平行四边形的面积＝底×高，用已知的一组底和高计算即可； ，这个图形的面积＝长方形的面积＋梯形的面积； ，三角形的面积＝底×高÷2，用已知的一组底和高计算即可； ，这个图形的面积＝长方形的面积－梯形的面积。 【详解】26×34＝884（cm2）； 5×6＋（5＋10）×（12－6）÷2 ＝30＋15×6÷2 ＝30＋45 ＝75（cm2）； 10×6÷2＝30（cm2）； 38×19－（16＋38）×6÷2 ＝722－54×3 ＝722－162 ＝560（cm2） $