第09讲 二次函数与幂函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，按“概念-图像-性质-应用”逻辑架构知识体系，涵盖幂函数定义、图像特征、性质规律及二次函数解析式、图像分析、闭区间最值、零点问题等高考重点。通过考点梳理（如表格对比性质）、方法指导（图像判断技巧）、真题训练（分题型例题与变式），帮助学生系统突破难点。 讲义突出直观想象与逻辑推理素养培养，创新设计“图像对比分析”活动（如幂函数在第一象限图像与指数关系），结合二次函数性质应用题强化数学运算能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈机制，确保高效复习。为教师提供清晰复习路径，助力学生构建解题思维，提升高考应考能力。

1．了解幂函数的概念，结合函数，，，，的图象，了解它们的变化情况，通过研究幂函数的图象与性质，培养直观想象和逻辑推理素养． 2．了解二次函数，通过求二次函数的解析式，培养逻辑推理和数学运算素养． 3．理解二次函数的图象特征，能结合图象理解、分析、研究二次函数的性质，通过研究二次函数的图象与性质，培养直观想象和逻辑推理素养． 1．幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．（注：幂函数的系数为1） 2．常见幂函数的图像 3．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 定义域 R R R [0，) (，0)(0，) 值域 R [0，) R [0，) (，0)(0，) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x[0，)时，单调递增 x(，0]时，单调递减 增函数 增函数 x(0，)时，单调递减 x(，0)时，单调递减 定点 (0，0)，(1，1) (1，1) 几个重要结论： （1）幂函数在(0，＋∞)上都有定义． （2）幂函数的图象都过点(1，1)． （3）当α＞0时，幂函数的图象都过点(0，0)与(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增． （4）当α＜0时，幂函数的图象都不过点(0，0)，在(0，＋∞)上单调递减． （5）在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴． 4．二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 [，) (，] 对称轴 x＝ 顶点 坐标 (，) 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(，]上单调递减 在[，)上单调递增 在(，]上单调递增 在[，)上单调递减 题型一：幂函数的概念 例1．（1）（多选）下列函数中，不是幂函数的是 A． B． C． D． （2）已知函数，则“n＝﹣1”是“是幂函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）已知幂函数的图象过点(4，2)，则函数的定义域为 ． 变式训练： 1．已知幂函数(aR)的图象不经过原点，则＝ A． B． C．或32 D．或32 2．若幂函数的图象经过点(8，)，则函数的最小值为 A．3 B． C． D． 题型二：幂函数的图象 例2．（1）右图曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取±2，±四个值，与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为 A．2，，﹣，﹣2 B．2，，﹣2，﹣ C．﹣，﹣2，2， D．﹣2，﹣，，2 （2）已知函数，试画出函数的图象，并指明函数的定义域，值域，奇函数和单调区间． 变式训练： 1．直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数的图象将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图象在第一象限中经过 A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤ 2．在同一坐标系中，函数(x≥0)，(x＞0)的图象不可能是 A B C D 题型三：幂函数的性质及其应用 例3．（1）把，，按从小到大的顺序排列为 ． （2）把，，按从小到大的顺序排列为 ． 例4．（1）若幂函数在[0，)上单调递增，则实数m＝ ． （2）已知幂函数在(0，)上单调递减，若，则a的取值范围为 ． 例5．（1）已知函数，若正数a，b满足，则a＋b＋2ab的最大值是 ． （2）已知函数是幂函数，且函数的图象关于y轴对称，若不等式＜成立，则实数a的取值范围是 ． 变式训练： 1．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 ． 2．已知{﹣2，﹣1，，，1，2}，若幂函数为偶函数，且在(0，)上单调递减，则 的取值集合是 ． 3．已知幂函数在定义域内单调递增，则关于x的不等式的解集为 ． 题型四：二次函数 1．求二次函数的解析式 例6．已知二次函数满足，，且的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 2．二次函数的图象 例7．（1）函数的图象大致为 A B C D （2）已知函数(a，b，cR)，若x＝﹣1是函数的一个极值点，则下列图象不可能为y＝ax2＋bx＋c图象的是 A B C D 3．二次函数的性质 例8．（1）已知二次函数的最大值为，则 A． B． C． D． （2）已知函数，若对任意，[2，)，且≠，都有 成立，则实数a的取值范围是 ． （3）若函数在[0，)上单调递增，则实数m的取值范围是 ． （4）已知是偶函数，则函数的图象与y轴的交点的纵坐标的最大值是 ． 4．二次函数在闭区间上的最值 例9．已知二次函数，a＞0． （1）设函数在区间[1，2]上的最小值为，求的表达式； （2）设函数在区间[1，2]上的最大值为，求的表达式． 5．二次函数的零点问题 例10．（1）若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实数根都小于1，则实数m的取值范围是 ． （2）已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是 ． （3）已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是 ． 变式训练： 1．二次函数的最大值为，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是 A． B． C． D． 3．设，若函数在上单调递减，则的取值范围 A． B． C． D． 4．（多选）已知函数（），且，则 A． B．当时， C．若在内有零点，则 D．在内至少有一个零点 5．若函数是上的偶函数，则的值为 ． 6．已知函数 （1）若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； （2）若函数在区间上的最大值为 求a的值； （3）设函数在区间[﹣1，1]上的最小值为，求的表达式． 1．已知幂函数的图象不经过原点，则 A． B． C．或 D．或 2．已知二次函数的值域为，且不等式的解集为，则实数 的值为 A． B． C． D． 3．设，，，则 A． B． C． D． 4．已知函数，且，则 A． B． C． D． 5．幂函数，，，在第一象限的图像如图所示，则 下列不等关系成立的是 A． B． C． D． 6．若函数在上为单调函数，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象经过点，则 A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 8．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是 A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数 B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数 C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称 D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点 9．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．（用区间表示） 10．已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围是 ． 11．已知函数，若当时，，则的取值范围是 ． 12．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值． 13．已知函数． （1）若不等式恒成立，求实数的值； （2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 14．已知定义在上的函数满足：对任意x，y恒有，且． （1）证明：为偶函数； （2）若是二次函数，请解答以下问题： （i）求的解析式； （ii）若函数，试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为3，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 附加题： 1．已知函数． （1），求实数的取值范围； （2），使得，求实数的值； （3），求实数的取值范围． 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式并直接写出的单调区间； （2）当时，求的最小值的解析式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．了解幂函数的概念，结合函数，，，，的图象，了解它们的变化情况，通过研究幂函数的图象与性质，培养直观想象和逻辑推理素养． 2．了解二次函数，通过求二次函数的解析式，培养逻辑推理和数学运算素养． 3．理解二次函数的图象特征，能结合图象理解、分析、研究二次函数的性质，通过研究二次函数的图象与性质，培养直观想象和逻辑推理素养． 1．幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．（注：幂函数的系数为1） 2．常见幂函数的图像 3．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 定义域 R R R [0，) (，0)(0，) 值域 R [0，) R [0，) (，0)(0，) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x[0，)时，单调递增 x(，0]时，单调递减 增函数 增函数 x(0，)时，单调递减 x(，0)时，单调递减 定点 (0，0)，(1，1) (1，1) 几个重要结论： （1）幂函数在(0，＋∞)上都有定义． （2）幂函数的图象都过点(1，1)． （3）当α＞0时，幂函数的图象都过点(0，0)与(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增． （4）当α＜0时，幂函数的图象都不过点(0，0)，在(0，＋∞)上单调递减． （5）在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴． 4．二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 [，) (，] 对称轴 x＝ 顶点 坐标 (，) 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(，]上单调递减 在[，)上单调递增 在(，]上单调递增 在[，)上单调递减 题型一：幂函数的概念 例1．（1）（多选）下列函数中，不是幂函数的是 A． B． C． D． （2）已知函数，则“n＝﹣1”是“是幂函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）已知幂函数的图象过点(4，2)，则函数的定义域为 ． 【解析】（1）函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数的系数为1．对于A，是指数函数，不是幂函数；对于B，，即，是幂函数；对于C，，即，系数不为1，不是幂函数；对于D，，系数不为1，不是幂函数．综上，选ACD． （2）当为幂函数，则，解得n＝﹣1或3，所以“n＝﹣1”是“是幂函数”的充分不必要条件，选A． （3）因为为幂函数，设，因为图像过点(4，2)，所以2＝，即，解得，所以，即，所以，则1﹣2x＞0，解得x＜，所以函数的定义域为(，)． 变式训练： 1．已知幂函数(aR)的图象不经过原点，则＝ A． B． C．或32 D．或32 【解析】因为是幂函数，且图象不过原点，所以，解得a＝1，所以，则，选A． 2．若幂函数的图象经过点(8，)，则函数的最小值为 A．3 B． C． D． 【解析】因为为幂函数，设，因为图像过点(8，)，所以，即，解得＝，所以，即，定义域为[3，)，因为在[3，)单调递增，所以当x＝3时，函数有最小值为3，故选A． 题型二：幂函数的图象 例2．（1）右图曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取±2，±四个值，与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为 A．2，，﹣，﹣2 B．2，，﹣2，﹣ C．﹣，﹣2，2， D．﹣2，﹣，，2 （2）已知函数，试画出函数的图象，并指明函数的定义域，值域，奇函数和单调区间． 【解析】（1）因为C1，C2在(0，)单调递增，所以n＞0，又因为在(1，)C1的图象更高，因此C1的n为2，C2的n为，因为C3，C4在(0，)单调递减，所以n＜0，又因为在(1，)C3的图象高，因此C3的n为﹣，C4的n为﹣2，故选A． （2），所以的图象在(0，)单调递增，又，且定义域R，所以是偶函数，图象关于y轴对称，因此在(，0)单调递减，根据上述分析画出图像如下： 最后总结如下：函数的定义域为R，值域为[0，)，是一个偶函数，该函数的单调减区间为(，0]，单调增区间为[0，)． 变式训练： 1．直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数的图象将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图象在第一象限中经过 A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤ 【解析】在第一象限内，直线x＝1的左侧，幂函数的指数越大图象越接近于x轴，因为，所以在直线x＝1的左侧，的图象位于图象的左侧，故经过⑤；在第一象限内，直线x＝1的右侧，幂函数的指数越小图象越接近于x轴，所以在直线x＝1的右侧的图象位于图象的上方，y＝1的下方，故经过①，故选D． 2．在同一坐标系中，函数(x≥0)，(x＞0)的图象不可能是 A B C D 【解析】当a＜0时，(x≥0)不过原点，在第一象限且递减，(x＞0)在第四象限且递增，如C所示；当a＞0时，(x＞0)在第一象限且递减，若a≥1时，(x≥0)过原点，在第一象限且递增，如A、B所示，综上选D． 题型三：幂函数的性质及其应用 例3．（1）把，，按从小到大的顺序排列为 ． （2）把，，按从小到大的顺序排列为 ． 【解析】（1），，因为在(0，)单调递减，且π＞2＞，所以，即＜＜． （2）＞1，＜1，＜1，因为在(0，)单调递增，所以＜，综上，＜＜． 例4．（1）若幂函数在[0，)上单调递增，则实数m＝ ． （2）已知幂函数在(0，)上单调递减，若，则a的取值范围为 ． 【解析】（1）因为是幂函数，且在[0，)上单调递增，所以，解得m＝﹣1． （2）因为幂函数在(0，)上单调递减，所以，解得m＝﹣3，所以，因为y＝x3是R上的增函数，所以2a﹣1＜a＋3，解得a＜4，则a的取值范围为(，4)． 例5．（1）已知函数，若正数a，b满足，则a＋b＋2ab的最大值是 ． （2）已知函数是幂函数，且函数的图象关于y轴对称，若不等式＜成立，则实数a的取值范围是 ． 【解析】（1）函数定义域为R，且，所以是R上的奇函数，又因为＞0，所以在[0，)单调递增，又是R上的奇函数，所以是在R上单调递增的奇函数，由等式，得，所以a＋1＝2﹣b，即a＋b＝1，a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋2＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以a＋b＋2ab的最大值是． （2）因为函数是幂函数，所以2m2﹣m＝1，解得m＝1或，则或，又函数的图象关于y轴对称，所以，即m＝，所以＜，因为是(0，)的单调减函数，所以0＜2a﹣3＜a﹣1，解得＜a＜2，所以实数a的取值范围是(，2)． 变式训练： 1．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 ． 【解析】因为是幂函数，所以，解得m＝1或m＝2，即或，又因为函数图象关于原点对称，所以，即m＝2，则，所以＞，解得＜a＜4，所以实数a的取值范围为(，4)． 2．已知{﹣2，﹣1，，，1，2}，若幂函数为偶函数，且在(0，)上单调递减，则 的取值集合是 ． 【解析】因为幂函数在(0，)上单调递减，所以＜0，又因为幂函数为偶函数，则的取值只能是﹣2，则的取值集合是{﹣2}． 3．已知幂函数在定义域内单调递增，则关于x的不等式的解集为 ． 【解析】幂函数在定义域内单调递增，则，解得m＝，所以＝，因为，则0≤x＋1＜x2﹣2x＋3，解得﹣1≤x＜1或x＞2，故不等式的解集为[﹣1，1)(2，)． 题型四：二次函数 1．求二次函数的解析式 例6．已知二次函数满足，，且的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 【解析】设，且a＜0，则，解得a＝﹣4，b＝4，c＝7，所以该二次函数的解析式为． 2．二次函数的图象 例7．（1）函数的图象大致为 A B C D （2）已知函数(a，b，cR)，若x＝﹣1是函数的一个极值点，则下列图象不可能为y＝ax2＋bx＋c图象的是 A B C D 【解析】（1）当x≥0时，y＝x(x﹣2)＝x2﹣2x，其图象是抛物线y＝x2﹣2x在y轴及右侧部分，排除BC；当x＜0时，，x﹣2＜0，则恒成立，其图象在x轴下方，排除D，故选：A． （2）由题意可得a≠0，，，因为x＝﹣1是的一个极值点，所以＝0，即a﹣c＝0，a＝c，所以，，故b≠0，当a＝c＝1，b＝﹣2时，y＝x2﹣2x＋1，C选项图象可能；当a＝c＝﹣2，b＝4时，y＝﹣2x2＋4x﹣2，B选项图象可能；再看A，D选项，方程ax2＋bx＋c＝0均有两根，不妨设为，，由韦达定理可得＝1，而选项A中，两根之积大于1，图象不可能，D选项图象可能，故选A． 3．二次函数的性质 例8．（1）已知二次函数的最大值为，则 A． B． C． D． （2）已知函数，若对任意，[2，)，且≠，都有 成立，则实数a的取值范围是 ． （3）若函数在[0，)上单调递增，则实数m的取值范围是 ． （4）已知是偶函数，则函数的图象与y轴的交点的纵坐标的最大值是 ． 【解析】（1）因为二次函数的最大值为，则开口向下，对称轴为x＝4，f(2)＝f(6)，f(x)在(4，)单调递减，又5＜6＜8，所以，即，选A． （2）因为对任意，[2，)，且≠，都有，则f(x)在[2，)单调递增，所以对称轴x＝≤2，解得a≤5． （3），要使函数在[0，)上单调递增，则，解得﹣2≤m≤0． （4）因为是偶函数，所以a2＋b2﹣1＝0，即a2＋b2＝1，函数的图象与y轴的交点的纵坐标＝f(0)＝a＋b﹣1≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以数的图象与y轴的交点的纵坐标的最大值是． 4．二次函数在闭区间上的最值 例9．已知二次函数，a＞0． （1）设函数在区间[1，2]上的最小值为，求的表达式； （2）设函数在区间[1，2]上的最大值为，求的表达式． 【解析】解：（1）对称轴x＝， ①当≥2时，即0＜a≤，函数在[1，2]上单调递减， 则； ②当≤1时，即a≥，函数在[1，2]上单调递增， 则； ③当1＜＜2时，即＜a＜，函数在[1，]上递减，在[，2]上递增， 则； 综上，． （2）二次函数，a＞0，开口向上，所以二次函数在[1，2]上的最大值是和中较大的那个数， ①当0＜a＜时，3a﹣2＞6a﹣3，则， ②当a≥时，3a﹣2≤6a﹣3，则， 综上，． 5．二次函数的零点问题 例10．（1）若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实数根都小于1，则实数m的取值范围是 ． （2）已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是 ． （3）已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是 ． 【解析】（1）因为关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实数根都小于1，所以即解得m＞． （2）设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，问题转化为抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在(－1，0)和(1，2)内，则解得－＜m＜－． （3）显然a≠0，关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f(x)＝ax2＋x＋2(对开口方向进行讨论，分a＞0和a＜0)．①若a＞0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＜0且f(1)＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈∅；(若发现f(0)＝2，结合图象也可知a＞0不可能)．②若a＜0，即图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＞0且f(1)＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0．综上，实数a的取值范围是(－3，0)． 变式训练： 1．二次函数的最大值为，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 【解析】二次函数的最大值为，则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为x＝2，则递增，递减，又，故．选C． 2．已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是 A． B． C． D． 【解析】由图象可知，所以，根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确． 3．设，若函数在上单调递减，则的取值范围 A． B． C． D． 【解析】令，当,即时，是开口向上对称轴为的抛物线，且， 所以，若函数在上单调递减，则只需，又，可得； 当,即或时，令，解得，，且，可得的图象大致如下， 若函数在上单调递减，只需，或，由得，再由，解得； 由得，解得，即方程组无解．综上所述，．故选：D． 4．（多选）已知函数（），且，则 A． B．当时， C．若在内有零点，则 D．在内至少有一个零点 【解析】函数（），∵，∴，，，A正确； 当时，，B正确； 若在内有零点，，则，可得即可，不一定小于0，故C错误； 当时，，，在内至少有一个零点，当时，，，，∴在内至少有一个零点；当时，，，，，∴在内至少有一个零点．综上，函数在内至少有一个零点，D正确．故选：ABD． 5．若函数是上的偶函数，则的值为 ． 【解析】函数是定义在上的偶函数，，即． ，，，． 6．已知函数 （1）若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； （2）若函数在区间上的最大值为 求a的值； （3）设函数在区间[﹣1，1]上的最小值为，求的表达式． 【解析】解：（1），，则， 令，，当0＜x＜1时，，在(0，1)单调递增， 求得，，要使y＝2a和y＝在(0，1)上有且只有一个交点，则﹣1＜2a＜， 解得； （2）由的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 则，不合题意； 当 即 时，在 上递减， 则，不合题意； 当 即 时， 的最大值为 解得 （舍去），综上，a的值为； （3）二次函数开口向下，所以二次函数在[﹣1，1]上的最小值是和中较小的那个数， ①当a≥0时，4a﹣1≥﹣1，则， ②当a＜0时，4a﹣1＜﹣1，则， 综上，． 1．已知幂函数的图象不经过原点，则 A． B． C．或 D．或 【解析】由题意可得，解得或，当时，，此时图象不经过原点，符合题意；当时，，此时图象经过原点；所以，，故选A． 2．已知二次函数的值域为，且不等式的解集为，则实数 的值为 A． B． C． D． 【解析】由二次函数的值域为，开口向上，可知其图像与轴仅有一个公共点，因此判别式，不等式等价于，其解集为，所以一元二次方程的两个实根为，，根据韦达定理：，可得；，可得，将，代入，得，化简为，即，解得或，因为，因此．选B． 3．设，，，则 A． B． C． D． 【解析】，，因为，且，所以，即，，因为，幂函数在上单调递增，，所以，因此，即，，因为，，所以，因为，所以，即，因此，选D． 4．已知函数，且，则 A． B． C． D． 【解析】，又因为，所以，所以，所以A、C无法判断，对于B、D，，所以，即，故选B． 5．幂函数，，，在第一象限的图像如图所示，则 下列不等关系成立的是 A． B． C． D． 【解析】由图可知： ， ， ，所以 ，根据幂函数的单调性可知：；故选：C． 6．若函数在上为单调函数，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】，要使在上为单调函数，则或，解得，所以实数a的取值范围是，故选：A． 7．已知幂函数的图象经过点，则 A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【解析】对于A，设幂函数（为实数），其图像经过点，，解得，，其定义域为，不关于原点对称，则函数不为奇函数，故A错误； 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的，都有成立，故C正确，D错误．故选BC． 8．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是 A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数 B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数 C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称 D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点 【解析】对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2，故在[a，＋∞)上是增函数，故A正确； 对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确； 对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误； 对于选项D，令即或，整理得到或，而，故有两个不同的解，且有两个不同的解，且两个方程的解相异，故有4个零点，故D错误．故选：AB． 9．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．（用区间表示） 【解析】因为幂函数是上的偶函数，则，解得或，当时，，该函数是奇函数，不符合题意； 当时，，函数是定义域为的偶函数，符合题意，所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，故实数的取值范围为． 10．已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围是 ． 【解析】由于函数的图象的对称轴为，所以函数的递减区间为，又函数在区间上单调递减，所以，所以，，由对称性可知，在区间上，，故要使对任意的，都有，，即，得，得，又，所以． 11．已知函数，若当时，，则的取值范围是 ． 【解析】由已知，当时，由可知不满足题意，不成立； 当时，，则在上单调递增，又，所以在上单调递增，所以，解得，又，所以； 当时，，此时函数在上单调递增，且函数在上的值域为，满足题意； 当时，，在上单调递增，又，所以在上单调递增，所以，解得，又，所以，综上所述． 12．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值． 【解析】解：（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 13．已知函数． （1）若不等式恒成立，求实数的值； （2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）函数为开口向上的二次函数，当恒成立时，， 即，所以. （2）由（1）知，由，得，解得，， 由函数在区间上有两个零点，得，解得， 所以实数的取值范围. （3）依题意，，即，则，而，又， 则，即，又，因此， （ⅰ）当时，在区间上单调递增，则， 于是，解得，且或，因此； （ⅱ），则，于是， 解得，因此， 所以实数的取值范围是． 14．已知定义在上的函数满足：对任意x，y恒有，且． （1）证明：为偶函数； （2）若是二次函数，请解答以下问题： （i）求的解析式； （ii）若函数，试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为3，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）因为是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 令，故,又,故，所以为偶函数； （2）（i）设． 由为偶函数，得，则， 所以． 又，， 因为对任意的恒成立，故比较两边同类项的系数可得： ，，，且，所以，， 所以的解析式是． （ii）由（i）得，， 当时，，不符合题意； 当时，函数图象的对称轴， 当时，函数在上单调递减，，不符合题意； 当时，函数在上单调递增，，解得，符合题意， 所以存在实数，使得函数在区间上的最大值为3． 附加题： 1．已知函数． （1），求实数的取值范围； （2），使得，求实数的值； （3），求实数的取值范围． 【解析】解：（1）因为， 因为， 当时，， 因为，当时，， 因为， 所以，即， 所以； （2）由（1）知， 因为，所以， 由题意， 则，所以； （3）， 设，所以， 即在上单调递减， 所以， 根据定义法，设， 所以， 即在上恒成立， 因为，所以，所以， 所以． 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式并直接写出的单调区间； （2）当时，求的最小值的解析式． 【解析】解：（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 所以，解得，即时，； 当时，，，故， 单调递增区间为，单调递减区间为． （2）作出函数的大致图象如图所示： ① 当时，函数在上单调递增，则； ② 当，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③ 当时，，函数在上单调递减， 则； ④ 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； ⑤ 当时，即当时，函数在上单调递增，在单调递减， 又， 所以，此时， ⑥ 当时，即时，在单调递增， 所以，综上所述，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $