第03讲 幂函数与二次函数（13核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，按“知识梳理-方法归纳-考点突破”逻辑架构，涵盖幂函数图像性质、二次函数图像单调性及恒成立等问题，通过考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破重难。 资料采用分层集训与考法预测结合策略，如通过幂函数图像辨析培养数学眼光，二次函数最值分类讨论发展数学思维，设置基础到真题三级练习，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第03讲 幂函数与二次函数 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 幂函数 知识2 二次函数的图像与性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 幂函数的概念 考点08 二次函数的图像 考点02 幂函数的图像 方法技巧 二次函数图像的辨析 方法技巧 幂函数的性质与图象特征的关系 考点09 二次函数的单调性 考点03 幂函数图像过定点问题 考点10 二次函数的最值 考点04 幂函数的定义域与值域 方法技巧 二次函数的最值问题 考点05 幂函数的单调性及奇偶性 考点11已知二次函数最值求参数 考点06 利用幂函数的单调性比较大小 考点12 二次函数有关的恒成立问题 考点07 利用幂函数的单调性解不等式 考点13 二次函数的零点问题问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 幂函数 全国Ⅱ卷T2，天津卷T6 天津卷T7 天津卷T2、T5、上海卷T6 二次函数 全国Ⅱ卷T8 天津卷T5 全国Ⅰ卷T6、全国Ⅱ卷T6，全国甲卷T16、 考情解读 近三年高考二次函数与幂函数考查频次稳定，二次函数为必考核心内容，广泛融入大小题之中，侧重图像性质、区间最值、含参讨论及方程不等式综合应用，幂函数多以基础小题形式考查图像与简单性质． 备考策略 预测2027 年高考将延续该考查模式，二次函数依旧侧重区间值域、恒成立问题与数形结合应用，幂函数侧重基础图像辨识与数值比较，命题注重二者与其他函数知识融合，着重考查分类讨论与数形结合思想。 知识・归纳梳理 知识1 幂函数的概念 1.定义：一般地，函数y＝　xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义； （2）当α＞0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　和　（0，0）　，且在（0，＋∞）上单调递增； （3）当α＜0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　，且在（0，＋∞）上单调递减； （4）当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　；当α为偶数时，y＝xα为　偶函数　. 必记结论 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 3.在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，其函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”）；在区间（1，＋∞）上，幂函数的指数越大，其函数图象越远离x轴. 知识2 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 重难・核心突破 知识01 幂函数的概念 典例1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得，或， 所以或 又函数的定义域为，所以，， 所以， 故选：D 【考法预测1】下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 【考法预测2】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 【考法预测3】（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 知识02 幂函数的图像 典例1．（2026高三·全国·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 【考法预测1】（25-26高三上·上海·阶段检测）幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和单调性确定结果即可. 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 【考法预测2】如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 【考法预测3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 【考法预测4】（25-26高三上·广东梅州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有交点，则__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到方程求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时与轴、轴均有交点，故不符合题意； 当时，定义域为，与轴没有交点， 又恒成立，所以恒成立，所以与轴没有交点，符合题意. 所以. 故答案为： 方法技巧 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 知识03 幂函数过定点问题 典例1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 【考法预测1】（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【答案】 【分析】先统计集合A的元素总个数，再逐一判断每个元素作为幂指数时幂函数是否过点，统计符合条件的元素个数后用古典概型公式计算概率. 【详解】验证当取不同值时函数是否满足， 当时，，满足条件； 当时，，不满足； 当时，的定义域为，不在定义域内，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，不满足。 计算概率：符合条件的共2个，由古典概型公式得所求概率. 【考法预测2】已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为_________. 【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 【考法预测3】约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有个回归点，那么就称该函数为一个具有个回归点的函数.例如，点和都是函数的回归点，函数是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（    ） A．函数是一个具有回归点的函数 B．具有回归点的函数有无数个 C．存在无数个具有无数个回归点的函数 D．已知点是函数的一个回归点，则点也是函数的一个回归点 【答案】ABC 【分析】通过计算回归点可判断A；通过举例可判断BCD. 【详解】A.令，解得，函数是一个具有回归点的函数，且回归点为； B. 具有回归点的函数有无数个，如幂函数是回归函数,都至少存在回归点（1，1）； C. 存在无数个具有无数个回归点的函数，如函数，，且，则其图像上的任何一个点都是回归点； D. 已知点是函数的一个回归点，对于，是函数的一个回归点，但不是函数的一个回归点，排除. 故选：ABC. 知识04 幂函数的定义域与值域 典例1．（多选）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集. 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 【考法预测1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【考法预测2】（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 【考法预测3】已知函数的表达式为，则函数的值域为__________. 【答案】 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性即可得到函数值域. 【详解】当，，此时单调递增，则， 当，，此时单调递增，则， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 知识05 幂函数的单调性及奇偶性 典例1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及在上的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数的定义域为，不具有奇偶性，B不是； 对于C，函数的定义域为R，是偶函数，在上单调递增，C是； 对于D，函数是R上的奇函数，不是偶函数，D不是. 故选：C 【考法预测1】（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 【考法预测2】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确. 【考法预测3】（25-26高三下·云南昭通·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增； 若函数在上单调递增，则，不能推出. 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 知识06 利用幂函数的单调性比较大小 典例1．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 【考法预测1】（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【考法预测2】（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 因为，且， 所以， 因为幂函数是实数集上的增函数， 所以由， 所以， 即，所以. 【考法预测3】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据指数函数、幂函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，由可得， 因为在定义域上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B 知识06 利用幂函数的单调性解不等式 典例1．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 【考法预测1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 【考法预测2】已知，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 考点08 二次函数的图像 典例1．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 【考法预测1】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可. 【详解】由一次函数的图象可知，，，所以二次函数的图象开口向上， 且对称轴为,又时，，故C符合题意，ABD不符合题意. 故选：C. 【考法预测2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）图中所示为的圆像，其中及都是常数．下列说法正确的是（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象特征，即可判断. 【详解】由图象可知，开口向上，所以， 且，即. 故选：C 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）设，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图象开口朝向，可得a的正负，根据对称轴公式，可得b的正负，根据图象与y轴交点的位置，可得c的正负，结合条件，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：图象开口向下，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在负半轴，所以，此时，符合题意，故A正确； 选项B：图象开口向下，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，符合题意，故B正确； 选项C：图象开口向上，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，不符合题意，故C错误； 选项D：图象开口向上，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，符合题意，故D正确. 故选：ABD 方法技巧 二次函数图像的辨析 考点09 二次函数的单调性 典例1．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【考法预测1】（24-25高三上·山东·阶段检测）已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后再根据二次函数的性质求出单调增区间. 【详解】因为函数经过原点，所以，即， 所以，图象开口向下，对称轴为， 所以函数的单调增区间为. 故选：B 【考法预测2】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 【考法预测3】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形给定函数，换元并借助二次函数、指数函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数，令， 函数在上单调递增，由，得， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 故选：A 考点10 二次函数的最值 典例1．设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据，得出，再应用分段函数的解析式得出，最后应用二次函数最值求解. 【详解】因为，则当时，， 因为当时，，又因为当时，， 则， 当时，的最大值是. 故选：D. 【考法预测1】（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（   ） A．9 B．3 C．18 D．6 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为. 因为在处取得最大值， 最大值为3，所以的最大值为3. 【考法预测2】已知函数的值域为，则函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质和单调性求出结果即可. 【详解】函数， 由于函数的值域为，即， 而在上单调递减， 当时，取最大值为3. 故选：A. 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【详解】根据题意，可算得弧，弧． 所以，所以． 依据题意，可知截面面积， 化简得：． 所以当，． 即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 方法技巧 二次函数的最值问题 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 考点11已知二次函数最值求参数 典例1．（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 【考法预测1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 【考法预测2】已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. 考点12 二次函数有关的恒成立问题 典例1．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 【考法预测1】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 考点13 二次函数零点分布问题 典例1．已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． (1)证明：是偶函数． (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的性质，求得，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证； （2）由（1）得到，根据在上有两个零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）证明：由二次函数的单调递增区间为， 可得，解得． 又因为有一个零点为，则，解得或（舍去）， 所以， 因为，所以是偶函数． （2）解：由（1）可知， 因为在上有两个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 【考法预测1】已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的零点分布可得，解不等式组即可求解. 【详解】二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足，解得. 所以的取值范围为. 故选：C. 【考法预测2】已知二次函数的两个零点为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】由，，得，，由， 由，解得， ． ， 故选：D 【考法预测3】是否存在实数使得二次函数的图象与一次函数的图象有公共点？ 【答案】存在， 【分析】若存在实数使得二次函数的图象与一次函数的图象有公共点，则联立方程后在有实数根，解法一中利用分离参数法确定的范围；解法二中，若在有实数根，则有零点，然后根据零点的分布问题解决，需要对函数中零点个数有几个进行分类讨论. 【详解】解法一：假设存在这样的，把代入， 得，显然，否则等式不成立，所以． ∵，∴，当且仅当时，等号成立． 因此． 因为，， 解得：或， 由此可知两函数图象有公共点，只要即可，符合条件的是存在的． 解法二：由得 图象有公共点，也就是方程有解， 即有零点. （1）当有两个不同零点时， ，解得：． （2）当有唯一零点时，则有 ①：，解得； ②：时，，这时为， 即，解得：，，不合题意； ③：时，或，这时， 所以（舍）或，所以符合题意； 所以或. 综上讨论，得时，二次函数的图象与一次函数的图象有公共点． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将函数化为根式，即可得到其定义域，再结合幂函数的单调性即可求出其值域，进而即可得到答案． 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． 2．（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】又函数单调性得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立. 【详解】由题意得，，， 而在上单调递增，故， 而在上单调递减，故，充分性成立， ，不妨设，满足要求， 但此时，不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 4．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）函数的最大值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【详解】令，可得， 可得函数的最大值为9. 5．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 6．（多选）下列关于幂函数的论述正确的是（    ） A．若，则幂函数的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点 D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点 【答案】CD 【分析】利用幂函数的图象、性质逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，幂函数的定义域为，其图象是直线除去点，故A错误； 对于B，幂函数的图象有三个公共点，这两个函数不相同，B错误； 对于C，幂函数图象一定过点，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称， 则该幂函数图象必过点，C正确； 对于D，幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点，D正确. 故选：CD 7．（多选）有如下命题，其中真命题的标号为（    ） A．若幂函数的图象过点，则 B．函数且的图象恒过定点 C．函数在上单调递减 D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】由所过点可求得幂函数解析式，由此得到，知A错误； 由恒成立可知过定点，知B正确； 由二次函数的性质可知C错误； 由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定的范围，知D正确. 【详解】对于A，令，则，解得：，，，A错误； 对于B，令，即时，，恒过定点，B正确； 对于C，为开口方向向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，C错误； 对于D，令，解得：或；又，实数的取值范围为，D正确. 故选：BD. 8．（多选）（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 9．（2026·广东广州·一模）已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件，利用函数的对称性，得在区间上单调递增，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称， 又在上单调递增，则在区间上也单调递增， 又当时，（），对称轴为， 当时， 的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 能力进阶 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 2．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】分别求出的值域，问题转化为值域的包含关系，列出不等式求解即可. 【详解】由幂函数，知，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，代入检验，不符合，代入检验，满足条件. 则，即， 当时，， 又当时，， 对任意的，总存在使得， 等价于， ∴，解得， 故选：D 3．（25-26高三上·上海·期中）若函数 在区间上的最大值是 ，最小值是 ，则 的值（        ） A．与 有关， 且与 有关 B．与 有关， 但与 无关 C．与 无关， 且与 无关 D．与 无关， 但与 有关 【答案】B 【分析】由的对称轴，根据与的位置关系，分类讨论，求出即可求解. 【详解】由的对称轴为， 当时，即时，在单调递增， 所以， 所以， 当时，即时，在单调递减， 所以， 所以， 当时，即时， ， 所以， 当时，即时， ， 所以， 所以， 所以与 有关， 但与 无关， 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知幂函数的图象过点，函数则“，”的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数图象过点，求出，得到的解析式，并根据条件得到在上单调递减时的取值范围，最后根据必要不充分条件的含义可得答案． 【详解】设幂函数，其图像过点，所以，解得， 所以，所以， 若满足“，”，则在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是，又是的真子集， 是的一个必要不充分条件. 是的充分必要条件. 是的充分不必要条件. 是的既不充分又不必要条件. 故选：B. 5．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则方程的互异的实根个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，时可得实根个数为1，2，4，进而证明3个实根不可能即可得结论． 【详解】方程的互异的实根个数可能为，举例如下： 当时，方程 故若，则方程只有1个实根． 当时，，解得或， 故若，则有2个实根， 若，则， 解得或或，故有4个实根． 下证明3个实根不可能． 设的判别式， 的判别式． 若，则，最多有两个实根． 若．则是的二重根， 代入得 . 则的根也是的根，则有两个实根． 若，则的根满足的根满足． 若 与  有公共根，可推出 ，与 的假设矛盾， 故两方程没有公共根，因此，当时，方程 有4个互异的实根, 故选：C. 6．（多选）（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 7．（多选）（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，满足，且函数无零点，则（    ） A．方程有解 B．恒成立 C．方程有解 D．恒成立 【答案】BD 【分析】先由无零点且，判断恒成立；再推出以及，从而逐项判断各选项. 【详解】设，则. 又为二次函数，且无零点，所以在实数范围内恒正或恒负. 由于，故，. 于是，，即，. 对于 D，由于对任意实数都成立，所以把换成，得恒成立，故 D 正确. 对于 B，由可得，即. 再由知恒成立，故 B 正确. 对于 A，方程若有解，则有零点，这与题意矛盾，故 A 错误. 对于 C，若方程有解，则由 B 可知应有，矛盾，故 C 错误. 综上，正确选项为 BD. 8．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 9.已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的两根式，再利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）求出点的坐标，借助两点间距离公式确定形状，利用三角形面积求出最大值. 【详解】（1）由二次函数图象经过，设该二次函数解析式为， 又该函数图象过点，则，解得， 所以所求函数解析式为，即. （2）由（1）知，则点，， ，，为定值， 过分别作，垂足分别为，则， ， 因此当且仅当最小，即线段为斜边上的高时，最大， 所以. 真题实战 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 4．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 5．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 6．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 7．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 幂函数与二次函数 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 幂函数 知识2 二次函数的图像与性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 幂函数的概念 考点08 二次函数的图像 考点02 幂函数的图像 方法技巧 二次函数图像的辨析 方法技巧 幂函数的性质与图象特征的关系 考点09 二次函数的单调性 考点03 幂函数图像过定点问题 考点10 二次函数的最值 考点04 幂函数的定义域与值域 方法技巧 二次函数的最值问题 考点05 幂函数的单调性及奇偶性 考点11已知二次函数最值求参数 考点06 利用幂函数的单调性比较大小 考点12 二次函数有关的恒成立问题 考点07 利用幂函数的单调性解不等式 考点13 二次函数的零点问题问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 幂函数 全国Ⅱ卷T2，天津卷T6 天津卷T7 天津卷T2、T5、上海卷T6 二次函数 全国Ⅱ卷T8 天津卷T5 全国Ⅰ卷T6、全国Ⅱ卷T6，全国甲卷T16、 考情解读 近三年高考二次函数与幂函数考查频次稳定，二次函数为必考核心内容，广泛融入大小题之中，侧重图像性质、区间最值、含参讨论及方程不等式综合应用，幂函数多以基础小题形式考查图像与简单性质． 备考策略 预测2027 年高考将延续该考查模式，二次函数依旧侧重区间值域、恒成立问题与数形结合应用，幂函数侧重基础图像辨识与数值比较，命题注重二者与其他函数知识融合，着重考查分类讨论与数形结合思想。 知识・归纳梳理 知识1 幂函数的概念 1.定义：一般地，函数y＝　xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义； （2）当α＞0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　和　（0，0）　，且在（0，＋∞）上单调递增； （3）当α＜0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　，且在（0，＋∞）上单调递减； （4）当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　；当α为偶数时，y＝xα为　偶函数　. 必记结论 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 3.在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，其函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”）；在区间（1，＋∞）上，幂函数的指数越大，其函数图象越远离x轴. 知识2 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 重难・核心突破 知识01 幂函数的概念 典例1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【考法预测1】下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考法预测3】（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 知识02 幂函数的图像 典例1．（2026高三·全国·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【考法预测1】（25-26高三上·上海·阶段检测）幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【考法预测2】如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【考法预测3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【考法预测4】（25-26高三上·广东梅州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有交点，则__________. 方法技巧 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 知识03 幂函数过定点问题 典例1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【考法预测2】已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为_________. 【考法预测3】约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有个回归点，那么就称该函数为一个具有个回归点的函数.例如，点和都是函数的回归点，函数是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（    ） A．函数是一个具有回归点的函数 B．具有回归点的函数有无数个 C．存在无数个具有无数个回归点的函数 D．已知点是函数的一个回归点，则点也是函数的一个回归点 知识04 幂函数的定义域与值域 典例1．（多选）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【考法预测1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知函数的表达式为，则函数的值域为__________. 知识05 幂函数的单调性及奇偶性 典例1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【考法预测2】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（25-26高三下·云南昭通·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识06 利用幂函数的单调性比较大小 典例1．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【考法预测2】（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识06 利用幂函数的单调性解不等式 典例1．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知，则实数的取值范围是________． 考点08 二次函数的图像 典例1．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【考法预测1】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【考法预测2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）图中所示为的圆像，其中及都是常数．下列说法正确的是（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）设，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 二次函数图像的辨析 考点09 二次函数的单调性 典例1．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（24-25高三上·山东·阶段检测）已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【考法预测3】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 考点10 二次函数的最值 典例1．设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 【考法预测1】（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（   ） A．9 B．3 C．18 D．6 【考法预测2】已知函数的值域为，则函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 方法技巧 二次函数的最值问题 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 考点11已知二次函数最值求参数 典例1．（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【考法预测2】已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点12 二次函数有关的恒成立问题 典例1．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点13 二次函数零点分布问题 典例1．已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． (1)证明：是偶函数． (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【考法预测1】已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知二次函数的两个零点为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】是否存在实数使得二次函数的图象与一次函数的图象有公共点？ 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 4．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）函数的最大值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 5．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列关于幂函数的论述正确的是（    ） A．若，则幂函数的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点 D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点 7．（多选）有如下命题，其中真命题的标号为（    ） A．若幂函数的图象过点，则 B．函数且的图象恒过定点 C．函数在上单调递减 D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是 8．（多选）（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 9．（2026·广东广州·一模）已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 能力进阶 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26高三上·上海·期中）若函数 在区间上的最大值是 ，最小值是 ，则 的值（        ） A．与 有关， 且与 有关 B．与 有关， 但与 无关 C．与 无关， 且与 无关 D．与 无关， 但与 有关 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知幂函数的图象过点，函数则“，”的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则方程的互异的实根个数不可能是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 7．（多选）（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，满足，且函数无零点，则（    ） A．方程有解 B．恒成立 C．方程有解 D．恒成立 8．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 9.已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 真题实战 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 7．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 学科网（北京）股份有限公司 $