第五章二元一次方程组单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，涵盖选择、填空、解答题，情境真实（如无人机配送、香港回归）、梯度合理，落实抽象能力、模型意识等核心素养，适用于单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|方程组定义与解、实际应用（茶话会、《孙子算经》问题）|结合文化传承（《孙子算经》）与社会热点（香港回归），考查模型意识| |填空题|6/18|解的应用、代数式求值、幻方推理|通过拼图问题（小长方形拼大长方形）培养几何直观| |解答题|8/72|解方程组、实际应用（自行车安装、陶艺制作）、新定义“特征值”|设置“特征值”创新题，融合运算能力与创新意识；无人机采购问题体现时代性，强化应用意识|

第五章二元一次方程组单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） [x=2 3.若y=1是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是() x-3y=5 y=x-3 2x-y=5 x=2y A 2x+y=5 B.y-2x=5 C.x+y=1 D.x-1=3y 4.下列方程组一定属于二元一次方程组的是() -+y=4 x2=9 x=3y-2 [3x-y=5 x-y=1 2x+y=6 C 4x+z=7 D. 2x=4 5.某校举办师生茶话会.若每桌坐12人，则空出一张桌子：若每桌坐10人，还有10人 没有座位.设参加茶话会的师生共x人，共准备了y张桌子，可列方程组() x=12(y+1) x=12(y-1) x=12(y+1) x=12(y-1) A. x+10=10yB.x+10=10y C.x-10=10y D.x-10=10y 1.为庆祝香港回归25周年，某校开展了以“爱我中华，强国有我”为主题的演讲庆祝活 动.学校计划拿出180元钱全部用于购买A、B两种不同类别的奖品（两种奖品都购买）， 奖励表现突出的学生，已知A奖品每件15元，B奖品每件10元，则购买方案有() A.8种 B.7种 C.6种 D.5种 2.中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人 共车，九人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个 人，那么就有2辆车空出来：如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行. 假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为() x =y-2 =y-2 3 x C.x=3(y-2) D.x=3(y-2) 2 =y+9 2 =y-9 x+9=2y x-9=2y 6.如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形.若大长方形的周长为 28,设小长方形的长为x,宽为y,则可列方程组为() 试卷第1页，共3页 2x+y=14 x+2y=14 2x+y=14 x+2y=14 A.x=3y B.y=3x C.y=3x Dx=3y 3x-y=7 7.若方程组x+2y=0的解满足x-y=m,则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 3x-y=3 「x=4 8.小明解出了关于x,y的二元一次方程组2x+y=△的解为y=0因不小心，有两处被污 染，则“△”和“口”代表的数分别是() A.17,9 B.22,9 C.14,6 D.18,6 10.如图，直线'=3x与)=-4r+m相交于点P 点P(m,3),则关于x的方程3x=4r+”的解是 () y=3x p(m,3) y=-4x+n A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=6 9.一列快车从A地匀速驶向B地，一列慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到 达目的地后停止.两车之间的距离skm)与行驶时间(h)之间的函数关系如图所示，则下列 结论错误的是() 试卷第2页，共3页 个s/km 280 210 274 23 A.两车出发2h后相遇 B.A,B两地相距280km C.快车比慢车早石♪到达目的地 D.快车的速度为140kmh,慢车的速度为60km/h 二、填空题（每题3分，共18分） [x=2 mx+ny=11 11.若y=1是二元一次方程组x-2my=1的解，则m+n的值是 13.若6x+2y-20+2x+y-1川=0，则+)的值是 M(m,3) 16.已知一次函数)=+2(k为常数，且≠0)与y=-x+4的图象交于点M 则 kx-y=-2 关于x、y的二元一次方程组x+y=4的解是」 YA y=kx+2 y=-x+4、 M m 12.如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设 小长方形的长为x,宽为y,则可列方程组为一· 40 试卷第3页，共3页 [4x-3y=5a-2 14.已知关于x,y的二元一次方程组2x+3y=a+8的解满足x+y=2,则a= 15.学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的3×3方格内填入了一些表示数 的代数式.若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则x一y= 2y 2 6 三、解答题（每题9分，共72分） 17.解方程组 [x=y+3 (1)x+y=11 2x+3y=17 3412 (2) x-3y=-2 18.骑自行车出行是一种健康环保的出行方式.某自行车制造厂计划7月份生产安装300 辆新款自行车，已知2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆新款自行车；3名熟练工和6 名新工人每日可安装24辆新款自行车.求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少 辆新款自行车？ 19.小明和小亮比年龄.小明说：“再过4年，我就和你现在一样大.”小亮说：“再过 8年，我的年龄就是你现在年龄的3倍.”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄. (列二元一次方程组解应用题) (2x-4+y-2 mx+4v=8 =0 1 20.如果等 的x,y满足方程组5x+16y=n,求 2m2-n+ 4的值. 2x-y=7 x+2y=1 21.已知关于x,y的方程组2ax-y=4和ax+2by=7有相同的解. (1)求出它们的相同解. 试卷第4页，共3页 (2)求a+b的值. 22.手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：kg)及成品率（成品率 成品数量 陶土用量 ×100%)如下表所示： 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 40% 陶碗 陶士F 30% 第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍， 陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件.第一次制作时，陶土E和陶土F的 用量分别是多少？ x=a 23.对于二元一次方程2x-y=4的解y=b,若a+b<0,则称a为方程2x-y=4的“特 征值”；若a+b≥0，则称b为方程2x-y=4的“特征值”. (1)当x=1时，求此时方程的“特征值”. (2)若“特征值”为3，求出满足条件的方程的解 x=xx=x2 (3)若满足“特征值”为的两个解为y=片和y=y2,且y+2=-1,求的值。 24.近年来，“低空经济”越来越得到国家重视.随着物流行业的发展，无人机配送成为 一种高效的新型配送方式.某物流公司计划用无人机完成包裹配送任务，拟购买甲、乙两 种型号的无人机进行运送.已知购买1台甲型无人机和3台乙型无人机，共需25万元；购 买3台甲型无人机和2台乙型无人机，共需26万元. 试卷第5页，共3页 ()求甲型和乙型无人机的单价： (2)该企业现计划用63万元采购甲型和乙型无人机，两种无人机均要购买且预算必须刚好全 部用完.请列出所有可能的购买方案. 试卷第6页，共3页 第五章二元一次方程组单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 3．若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足方程组中所有方程，因此将代入各选项验证即可． 【详解】解：把代入各选项逐一验证： 代入选项A，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故A错误； 代入选项B，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故B错误； 代入选项C，第一个方程左边右边， 第二个方程左边右边，两个方程都成立，故C正确； 代入选项D，第一个方程左边右边，故D错误． 4．下列方程组一定属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：所有方程都是整式方程，方程组总共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、方程不是整式方程，该方程组不符合定义； 、方程中未知数的次数为，该方程组不符合定义； 、方程组中含有个未知数，该方程组不符合定义； 、两个方程都是整式方程，方程组共含、两个未知数，所有含未知数的项的次数都是，该方程组符合定义． 5．某校举办师生茶话会．若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐10人，还有10人没有座位．设参加茶话会的师生共人，共准备了张桌子，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意分析第一种情况： ∵每桌坐12人时，空出一张桌子， ∴实际使用的桌子数为张，总人数等于每桌人数乘实际使用桌子数，可得． 第二种情况： ∵每桌坐10人时，还有10人没有座位， ∴已经就坐的人数为，总人数减去未就坐的10人等于已经就坐的人数，可得． 因此可列方程组． 1．为庆祝香港回归25周年，某校开展了以“爱我中华，强国有我”为主题的演讲庆祝活动．学校计划拿出180元钱全部用于购买A、B两种不同类别的奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知A奖品每件15元，B奖品每件10元，则购买方案有（     ） A．8种 B．7种 C．6种 D．5种 【答案】D 【分析】设购买x件A种奖品，y件B种奖品，根据题意列出二元一次方程，由x，y均为正整数列举所有符合条件的方程的解即可得出． 【详解】解：设购买x件A种奖品，y件B种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或或， ∴共有5种购买方案． 2．中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住总人数、车辆数不变的特点，结合两种乘车方案列方程组即可． 【详解】解：设有个人，辆车． ∵每辆车坐3人，有2辆车空， ∴； ∵每辆车坐2人，有9人步行， ∴； ∴可得方程组． 6．如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的周长公式可得，即，再根据题意可得小长方形的长为其宽的3倍，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得， ． 7．若方程组的解满足，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出方程组的解，再计算的值即可． 【详解】解：， 由①变形，得， 将代入②，得， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为， ∴． 8．小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 【答案】A 【分析】先利用方程组的解满足方程的性质，先求，再求即可． 【详解】解：把代入，得，解得，即； 把，代入，得． 10．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与相交于点求得，即可得到关于的方程的解． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴关于的方程的解是． 9．一列快车从A地匀速驶向B地，一列慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】D 【分析】首先明确函数图像的特殊点意义：时的s值就是A、B两地的距离；时对应的t值就是两车相遇的时间；因为两车相向而行，相遇时路程和等于总路程，所以用总路程除以相遇时间可得到两车的速度和； 观察图像拐点，时，此时其中一辆车到达终点，该点对应的s为，可据此先算出先到达终点的车辆的速度，再结合速度和算出另一辆车的速度；分别用总路程除以两车速度，得到两车走完全程的时间，再计算时间差，对应判断各选项． 【详解】选项A：由图可知，时，两车距离，说明出发后两车相遇，A选项结论正确； 选项B：时，两车还未出发，距离，即A、B两地相距，B选项结论正确； 选项D： 两车2小时相遇，因此速度和：， 图像转折点表示快车到达B地（之后仅慢车行驶），从相遇至快车到达，用时，这段路程就是相遇前慢车走的， ∴， 联立， 解得， ∴D选项中快车速度错误，D选项结论错误． 选项C：快车走完全程时间：，慢车走完全程时间：，时间差：，即快车比慢车早到达，C选项结论正确； 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． 13．若，则的值是________________． 【答案】3 【分析】先根据偶次方和绝对值的非负性建立关于，的方程组，进而求出的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由①②得：，即， ∴． 16．已知一次函数（为常数，且）与的图象交于点，则关于、的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】先求出点，再根据两条直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解解答即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴点． ∵一次函数与的图象经过点， ∴二元一次方程组的解是． 12．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：根据图示可以列出方程组为： ． 故答案为：． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则______ ． 【答案】 【分析】利用加减消元法先得到x关于a的表达式，再推导出y关于a的表达式，结合已知条件建立关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解： ， ，得 ， 化简得 ， 把代入②，得 ， 整理得，即 ． ∵， ∴， 两边同乘3得， 整理得， 解得． 15．学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则_____． x 2y y 6 【答案】6 【分析】本题考查代数推理，方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．利用幻方中各行、各列及对角线上的三个数之和相等，列出方程并求解，得到x与y的关系． 【详解】解：设右下角数字为， ∵图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴， 即， 则． 故答案为：6． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把①代入②得：，解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解：原方程可变形为， 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为． 18．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 19．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 20．如果等式的x,y满足方程组，求的值． 【答案】 【分析】由非负数的性质求得x与y的值，代入二元一次方程组求得m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：由，得， 即，， 把,分别代入方程组，得， 解得：，， 当，时， ． 21．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 22．手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示： 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F 第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ 【答案】第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为 【分析】设第一次两种陶土的用量分别为未知数，根据两次成品总数量的条件列出方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为． 根据题意可得， 整理方程组得， 将，得， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 即方程组的解为， 答：第一次制作时，陶土E的用量是，陶土F的用量是． 23．对于二元一次方程的解，若，则称为方程的“特征值”；若，则称为方程的“特征值”． (1)当时，求此时方程的“特征值”． (2)若“特征值”为3，求出满足条件的方程的解． (3)若满足“特征值”为的两个解为和，且，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）因为已知，所以先代入二元一次方程求出对应的值，再计算的大小，根据特征值的定义判断特征值是还是； （2）首先分两种情况讨论：如果特征值3是，那么，代入方程求，再验证是否成立；如果特征值3是，那么，代入方程求，再验证是否成立，保留符合条件的解； （3）分两种情况讨论：如果是即，那么用表示出对应的，得到和与的关系，结合列方程求解，再验证此时是否满足；如果是即，那么用表示出对应的，得到和与的关系，结合与列方程求解，验证条件后保留符合的结果． 【详解】（1）解：当时，，此时，∴特征值为1． （2）解：当时，，此时，不合题意，舍去． 当时，，此时，所以解为. （3）解：①若两个解都满足，则， 代入方程得， ， ， ， ， 检验：当时， ，与前提矛盾，舍去 ②若两个解都满足，则， ， ， ， 检验：当时，， ，符合题意 ③若一个解满足，另一个解满足， 则一个解的“特征值”为，即，此时， 另一个解的“特征值”为，即， ， ， ， ， 检验：当时，第一个解， ，符合；第二个解， ，符合题意， 综上所述，的值为或． 24．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视．随着物流行业的发展，无人机配送成为一种高效的新型配送方式．某物流公司计划用无人机完成包裹配送任务，拟购买甲、乙两种型号的无人机进行运送．已知购买台甲型无人机和台乙型无人机，共需万元；购买台甲型无人机和台乙型无人机，共需万元． (1)求甲型和乙型无人机的单价； (2)该企业现计划用万元采购甲型和乙型无人机，两种无人机均要购买且预算必须刚好全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)甲型无人机单价为4万元，乙型无人机单价为7万元． (2)采购甲型无人机7台，乙型无人机5台或甲型无人机14台，乙型无人机1台． 【分析】（1）设甲乙两种型号无人机的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设购买甲型无人机台，乙型无人机台，根据题意列出二元一次方程，然后结合、为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设甲型无人机单价为万元，乙型无人机单价为万元． 依题意可列方程组 解得 答：甲型无人机单价为4万元，乙型无人机单价为7万元． （2）解：设采购甲型无人机台，乙型无人机台． 依题意可列方程 变形得 ，均为正整数 或 答：采购甲型无人机7台，乙型无人机5台或甲型无人机14台，乙型无人机1台． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $