第五章 二元一次方程组 章末检测 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本试卷为初中数学二元一次方程组单元检测，覆盖定义、解法及应用，通过基础题、综合题及创新题梯度设计，考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11题|二元一次方程组定义（第1题）、加减消元法（第3题）、一次函数关系（第9题）|结合《九章算术》算筹图（第8题），体现文化传承| |填空题|6题|解的应用（第12题）、相反数性质（第13题）、新运算（第17题）|设计糖葫芦问题（第16题），强化模型意识| |解答题|9题|三元一次方程组（第18题）、实际应用（第23题）、作图求解（第19题）|环保收集电池（第7题）等情境，突出应用意识|

第五章 二元一次方程组 章末检测 一、单选题 1．下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．若是关于x、y的二元一次方程，那么k的取值满足（　　） A． B． C． D． 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列能消元的是（　　） A．①×2+② B．①×3+② C．①×2-② D．①×（-3）-② 4．关于x，y的二元一次方程组的解是．其中y的值被遮盖了，则m，y的值为（　　） A． B． C． D． 5．下列方程组中，解是的是（） A． B． C． D． 6．玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有（　　） A． B． C． D． 7．某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（　　） 　 5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克） 第一天 2 2 72 第二天 3 2 96 A．12 B．16 C．24 D．26 8．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A．| B．|| C．||| D．|||| 9．已知直线与交点的坐标为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中，函数 的图象与函数 的图象互相平行，则下列各点在函数 的图象上的点是（　　） A． B． C． D． 11．若方程组 的解是，则的值是（　　） A．－3 B．0 C．3 D．6 二、填空题 12．请写出一个二元一次方程组 　 　，使它的解为 ． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为　 　． 14．已知一次函数的图象与直线平行， 则k＝　 　． 15．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金八两．牛二、羊五，直金六两．牛、羊各一只直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金8两.2头牛、5只羊共值金6两.1头牛和1只羊值金　 　两． 16．问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为　 　（用含m、n、a、b的代数式表示）． 17．定义一种新运算“※”，规定，其中为常数，等式右边是通常的加法、乘法和乘方运算.若，则　 　. 三、解答题 18．解方组： （1） ； （2） ＝3； （3） 19．解方程组 （1） （2） （用作图方法求解） 20．已知方程组和有相同的解，求的平方根． 21．甲、乙两人解同一个方程组，甲因看错①中的a得解为，乙因抄错了②中的b解得，请求出原方程组的解． 22．阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举 解：①-②，得，即．③ ②-③×24，得． 把代入③，解得．故原方程组的解是． （1）请利用上述方法解方程组． （2）猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验． 23．为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔.禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示： 　 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 5 草鱼 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 8 7 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元. （1）求 ， 的值； （2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼 斤（销售过程中损耗不计）. ①分别求出每天销售鲢鱼获利 （元），销售草鱼获利 （元）与 的函数关系式，并写出 的取值范围； ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低 元，草鱼售价全部定为7元斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利 （元）的最小值不少于320元，求 的最大值. 24．为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元． （1）求A、B两种品牌的篮球的单价． （2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？ 25．（活动回顾）：七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y＝5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 发现：以方程x+y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图像相同，是同一条直线； 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图象相同，是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程 的图象时，可以取点 和 ，作出直线AB． （解决问题）： （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为　 　，由此你得出这个二元一次方程组的解是　 　； （3）已知二元一次方程ax+by＝6的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，0），试求a、b的值． （4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=2x+2图像l1和一次函数y=2x-1的图像l2，如图3所示， ①请判断l1和l2的关系，并说明理由； ②根据图像，请直接判断方程组 的解的情况（不需要说明理由）. 26．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： （1）根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组． 甲：x表示，y表示 乙：x表示，y表示 （2）甲同学根据他所列方程组解得x=300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的定义 【解析】【解答】根据二元一次方程组的定义， D符合题意. 【分析】根据二元一次方程组的定义逐项判断即可。 2．【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【解析】【解答】∵是关于x、y的二元一次方程， ∴|k|=1，k-1≠0， 解得：k=-1． 故答案为：A． 【分析】根据二元一次方程的定义可得|k|=1，k-1≠0，再求出k的值即可。 3．【答案】C 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【解析】【解答】解：对于二元一次方程组， ①×2+②，得，故A选项不能消元，不合题意； ①×3+②，得，故B选项不能消元，不合题意； ①×2-②，得，故C选项能消元，符合题意； ①×（-3）-②，得，故D选项不能消元，不合题意； 故答案为：C． 【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。 4．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的解 【解析】【解答】解：将代入中，得， 将，代入，中，得， 故答案为：A. 【分析】将x=3代入x-y=1中可得y的值，然后将x、y的值代入2x+y=m-1中进行计算可得m的值. 5．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的解 【解析】【解答】解：A、， 把代入①得：左边，右边，成立； 代入②得：左边，右边，成立，符合题意； B、， 把代入①得：，右边，不符合题意； C、， 把代入①得：左边，右边，不符合题意； D、， 把代入①得：左边，右边； 把代入②得：左边，右边，不符合题意． 故答案为：A． 【分析】利用解二元一次方程组方法求解即可。 6．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题 【解析】【解答】解：由题意可得 ． 故答案为：C. 【分析】根据总天数是60天可得x+y=60 ；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可得2×24x=12y，联立可得方程组. 7．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】解：根据题意得 由②-①得 x=24. 故答案为：C. 【分析】利用表中数据，可知2×1节5号电池的质量+2×1节7号电池的质量=72；3×1节5号电池的质量+2×1节7号电池的质量=96；列方程组，然后求出x的值. 8．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的其他应用 【解析】【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示未知数a， 根据题意得， 把x=3代入①，得y=5， 把x=3，y=5代入②，得a=3， ∴被墨水所覆盖的图形为|||. 故答案为：C. 【分析】设被墨水所覆盖的图形表示未知数a，根据题意列出方程组，把x=3代入求出y和a的值，即可得出答案. 9．【答案】C 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用 【解析】【解答】解：把交点坐标代入直线中，得：，解得， ∴交点坐标是，即方程组的解是． 故答案为：C． 【分析】把交点代入中求出，即得交点， 根据直线与交点的坐标即为方程组的解. 10．【答案】C 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【解答】解：函数 的图象与函数 的图象互相平行， ∴ ， ∴ ， 当 时， ，选项A不在直线上； 当 时， ，选项B不在直线上； 当 时， ，选项C在直线上； 当 时， ，选项D不在直线上； 故答案为：C. 【分析】根据两直线平行可知两函数比例系数相等，即得 ，然后将各项中的坐标代入解析式中检验即可. 11．【答案】A 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：∵方程组 的解是， ∴， 由①-②得：， ∴， 把代入①，得： ， ∴， ∴. 故答案为：A. 【分析】由题意把x、y、z的值代入方程组可得关于a、b、c的方程组，将c作为常数，用含c的式子表示出a、b，整体代换计算即可求解. 12．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【解析】【解答】解：的解集为. 故答案为：. 【分析】写出一个二元一次方程组的解为，即可得出答案. 13．【答案】-3 【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【解答】解： ①+②得：， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：-3. 【分析】将方程组中的两个方程相加可得3(x+y)=2m+6，根据方程组的解互为相反数可得x+y=0，据此可得关于m的方程，求解即可. 14．【答案】3 【知识点】两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【解答】解：一次函数的图象与直线平行， ， 故答案为：3． 【分析】根据两直线平行k相等可得答案。 15．【答案】2 【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题 【解析】【解答】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两， 由题意可得，， 由①+②得，7(x+y)=14， 解得x+y=2， 故1头牛和1只羊值金2两． 故答案为：2． 【分析】设1头牛值金x两，1只羊值金y两，根据题意列出方程组，再求解即可。 16．【答案】am+b＝n． 【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【解答】问题解决：设竹签有x根，山楂有y个， 依题意得：， 解得：． 答：竹签有15根，山楂有63个． 山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量 am+b＝n． 故答案为：am+b＝n． 【分析】设竹签有x根，山楂有y个，根据“ 如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签”列出方程组并解之.根据山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量即可求解. 17．【答案】 【知识点】二元一次方程组的其他应用；定义新运算 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得， ∴， ∴=. 故答案为：. 【分析】根据定义的新运算法则，利用待定系数法求出，然后根据定义新运算法则，代值计算，即可解答. 18．【答案】（1）解： ， 把②代入①得：2（y﹣1）+y＝4， 解得：y＝2， 把y＝2代入②得：x＝2﹣1＝1， 则方程组的解为 （2）解：根据题意得： ①+②×2得：7s＝21， 解得：s＝3， 把s＝3代入①得：3+2t＝9， 解得：t＝3， 则方程组的解为 （3）解： ， ①+②得：3x+y＝1④， ①+③得：4x+y＝2⑤， ⑤﹣④得：x＝1， 把x＝1代入④得：3+y＝1， 解得：y＝﹣2， 把x＝1，y＝﹣2代入①得：1﹣4+z＝0， 解得：z＝3， 则方程组的解为 【知识点】三元一次方程组解法及应用；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【分析】（1）将第二个方程代入第一个方程中可得y的值，将y的值代入第二个方程中可得x的值，据此可得方程组的解； （2）方程组可变形为s+2t=9；3s-t=6，利用第二个方程的2倍加上第一个方程可得s的值，将s的值代入第一个方程中可得t的值，据此可得方程组的解； （3）将第一个方程加上第二个方程可得3x+y=1，将第一个方程与第三个方程相加可得4x+y=2，两式相减可得x的值，进而求出y、z的值，据此可得方程组的解. 19．【答案】解：（1）画出函数y=x﹣和y=﹣x﹣的图象，如图，它们的交点坐标为（1，﹣2）， 所以方程组的解为 ； （2）画出函数y=﹣x+4和y=2x+1的图象，如图，它们的交点坐标为（1，3）， 所以方程组的解为． 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用 【解析】【分析】（1）利用描点法画出函数y=x﹣和y=﹣x﹣的图象，再找出它们的交点坐标，然后利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案； （2）利用描点法画出函数y=﹣x+4和y=2x+1的图象，再找出它们的交点坐标，然后利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 20．【答案】解：由题意，得：， 解得：， 将代入中， 可得，解得． 所以，， 的平方根是． 【知识点】平方根；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【分析】根据题意重组方程组求出，再将其代入，再求出a、b的值，最后将其代入计算即可。 21．【答案】解：， 把代入②得：6b﹣21＝9， 解得：b＝5， 把代入①，得3+5a＝13， 解得：a＝2， 即方程组为， ①×3+②×2，得19x＝47， 解得：x＝3， 把x＝3代入①，得9+2y＝13， 解得：y＝2， 所以原方程组的解是． 【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【分析】将x=6，y=7代入bx-3y=9中可得b的值，将x=1，y=5代入3x+ay=13中可得a的值，据此可得关于x、y的方程组，求解即可. 22．【答案】（1）解： 解①-②，得，即③ 解②-③×11，得． 把代入③， 解得． 故这个方程组的解是． （2）解：猜想方程组解是． 检验：把代入方程①的左边，左边，右边， ∴左边=右边， ∴方程①的解． 把代入方程②的左边，左边，右边， ∴左边=右边， ∴是方程②的解． ∴，是方程组的解． 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x+y的值，利用第二个方程减去x+y的11倍可得y的值，然后将y的值代入x+y中求出x的值，据此可得方程组的解； （2）结合上述方程组的解的特点可猜想方程组的解为x=-1、y=2，将x=-1、y=2代入方程左边求出结果，然后进行检验即可. 23．【答案】（1）解：根据题意得： ，解得 （2）解：① . 当 时，即： ， ； 当 时，即： ， . ∴ ， ②由题意得 ，其中 . ∵当 时， .不合题意. ∴ . ∴ 随 的增大而增大. ∴当 时， 的值最小， 由题意得 . 解得： . ∴ 的最大值为0.25. 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1）利用已知条件建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值. （2）①利用已知条件分别求出y与x之间的函数解析式，同时可求出x的取值范围；②根据已知条件，可得到W与x之间的函数解析式，再利用一次函数的性质，分情况讨论求出m的取值范围，同时求出m的最大值. 24．【答案】（1）解：设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：A品牌的篮球的单价为40元/个，B品牌的篮球的单价为100元/个； （2）解：20×40×（1-0.8）+3×100×（1-0.9）=190（元）． 答：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元． 【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个，根据题意即可列出方程组，求解即可； （2）利用总价=单价数量，即可求出打折后的篮球所花的费用比打折前节省所需的费用。 25．【答案】（1）解：对于 的图像，任取两组解： ， 即可根据 画出 的图像； 对于 的图像，任取两组解： ， 即可根据 画出 的图像，如图； （2）（1，2）； （3）解：将 代入方程 ，得： ，解得 ， 故a=3，b=3 （4）解：①l1∥l2，因为两直线k相等，所以两直线平行； ②方程无解， ∵ 与 的k值相等， ∴两直线平行，没有交点， ∴方程组 的无解． 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用 【解析】【解答】（2）由图可知，交点坐标为 ，所以方程组的解为 ； 【分析】（1）利用两点法分别画出图象即可； （2）利用画出的图象交点的位置，直接写出交点坐标即可；根据方程组的解就是两个相应一次函数的交点坐标，据此求解即可； （3）把点A（-1，3）B（2，0）分别代入ax+by=6中，可得关于a、b的方程组，求解即可； （4）①由于两方程k值相等，可得两直线平行；②由于两直线平行，没有交点 ，可得此方程组无解. 26．【答案】（1）解：甲：x表示产品的重量，y表示原料的重量， 乙：x表示产品销售额，y表示原料费， 甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲； 则 ， （2）解：将x=300代入原方程组解得y=400 ∴产品销售额为300×8000=2400000元 原料费为400×1000=400000元 ∴运费为15000+97200=112200元， ∴2400000- =1887800（元） 答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元 【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）分析甲同学所列的方程组可知，其等量关系是：单价×路程×重量=总运费，故x表示产品的质量，y表示原料的质量，分析乙同学所列的方程组可知，x表示产品销售款，y表示原料费，根据公路运输费15000元，铁路运输费97200元，补全方程组即可； （2）把x=300代入1.5(20x+10y)=15000，求出y的值，然后可求出销售款、原料费，再求出这批产品的销售款比原料费和运输费的和多的钱数即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $