专题08：最大公因数和最小公倍数（计算专项训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

**基本信息** 该专项训练以概念-方法-应用为逻辑主线，系统整合最大公因数与最小公倍数的定义、求解方法（列举法、分解质因数法、短除法）及规律（倍数关系、互质关系、乘积性质），通过5类典型题型实现从基础计算到实际应用的能力递进，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念梳理|3个核心概念+示例|公因数/公倍数定义、互质数判定|从具体数例抽象概念，明确内涵与外延| |方法总结|3种方法（短除法重点）|短除法步骤、分解质因数公式、特殊关系速解规律|从直观列举到高效算法，体现方法优化| |题型突破|5类题型（含实际应用）|逆向应用乘积性质、实际问题建模（截段/发车时间）|从正向计算到逆向推理，实现知识迁移|

专题08：最大公因数和最小公倍数 计算专项训练 一、核心概念 公因数与最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 例如：12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有 1、2、3、6、9、18。12 和 18 的公因数是 1、2、3、6，最大公因数是 6。 公因数的个数是有限的，所有非 0 自然数的最小公因数都是 1。 公倍数与最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：6 的倍数有 6、12、18、24、30……；8 的倍数有 8、16、24、32……。6 和 8 的公倍数有 24、48……，最小公倍数是 24。 公倍数的个数是无限的，不存在最大的公倍数。 互质数 公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。互质数的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 常见互质情况：相邻两个自然数、1 和任意非 0 自然数、两个不同的质数。 二、常用求解方法 方法一：列举法 分别列出两个数的因数或倍数，找出公有的部分，再确定最大值或最小值。适合数值较小的情况，直观但计算效率较低。 方法二：分解质因数法 先把两个数分别分解质因数； 最大公因数 = 两个数全部公有质因数的乘积； 最小公倍数 = 两个数公有质因数 × 各自独有质因数的乘积。 方法三：短除法（重点掌握） 把两个数写在短除号内，用它们公有的质因数从小到大依次去除； 除到两个商只有公因数 1（互质）为止； 最大公因数 = 所有除数相乘的积； 最小公倍数 = 所有除数和最后的商相乘的积。 三、重要规律与性质 倍数关系：如果两个数是倍数关系，那么较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数。 例：15 和 5，最大公因数是 5，最小公倍数是 15。 互质关系：如果两个数互质，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 例：7 和 9，最大公因数是 1，最小公倍数是 63。 乘积性质：两个自然数的乘积 = 它们的最大公因数 × 它们的最小公倍数。 例：。 题型 1：基础计算 —— 短除法求最大公因数与最小公倍数 典型例题：用短除法求 18 和 24 的最大公因数和最小公倍数。 解题思路： 用两个数公有的质因数从小到大依次试除，直到商互质为止。除数相乘得最大公因数，除数乘最终的商得最小公倍数。 解题过程： Plain Text 2 │ 18 24 └─────── 3 │ 9 12 └─────── 3 4 （3和4互质，停止） 最大公因数： 最小公倍数： 跟踪训练 1 用短除法求 12 和 16 的最大公因数和最小公倍数。 用短除法求 30 和 45 的最大公因数和最小公倍数。 用短除法求 28 和 42 的最大公因数和最小公倍数。 题型 2：特殊关系数的快速求解 典型例题：直接写出下面两组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）7 和 21 （2）8 和 9 解题思路： 先判断两个数的关系，区分倍数关系或互质关系，直接套用规律快速得出结果。 解题过程： （1）21 是 7 的倍数，属于倍数关系 最大公因数是较小数：7 最小公倍数是较大数：21 （2）8 和 9 只有公因数 1，属于互质关系 最大公因数：1 最小公倍数： 跟踪训练 2 9 和 36 的最大公因数和最小公倍数。 11 和 13 的最大公因数和最小公倍数。 1 和 25 的最大公因数和最小公倍数。 题型 3：分解质因数法求解 典型例题：用分解质因数的方法求 36 和 48 的最大公因数和最小公倍数。 解题思路： 先分别分解两个数的质因数，提取公有质因数相乘求最大公因数，再乘各自独有的质因数求最小公倍数。 解题过程： 公有质因数：2、2、3 最大公因数： 独有质因数：3（36 的）、（48 的） 最小公倍数： 跟踪训练 3 用分解质因数法求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。 用分解质因数法求 50 和 75 的最大公因数和最小公倍数。 已知，，求 A 和 B 的最大公因数和最小公倍数。 题型 4：逆向应用 —— 利用乘积性质求数 典型例题：已知两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 72，其中一个数是 18，求另一个数。 解题思路： 根据 “两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数”，用乘积除以已知数即可得到另一个数。 解题过程： 两数乘积： 另一个数： 答：另一个数是 24。 跟踪训练 4 两个数的最大公因数是 8，最小公倍数是 48，其中一个数是 16，求另一个数。 两个数的最大公因数是 5，最小公倍数是 105，其中一个数是 15，求另一个数。 两个数的乘积是 192，最大公因数是 8，求它们的最小公倍数。 题型 5：实际生活应用 典型例题 1（最大公因数应用）：有两根彩带，分别长 24 分米和 18 分米。要把它们截成同样长的小段且没有剩余，每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 解题思路： 截成同样长且无剩余，说明每段长度是两根彩带长度的公因数；求最长长度，就是求两个数的最大公因数。 解题过程： 24 和 18 的最大公因数是 6，即每小段最长 6 分米。 总段数：（段） 答：每小段最长 6 分米，一共可以截成 7 段。 典型例题 2（最小公倍数应用）：甲每 6 天去一次图书馆，乙每 8 天去一次图书馆。今天两人同时去了图书馆，至少再过多少天两人会再次同时去图书馆？ 解题思路： 再次同时去的天数，既是 6 的倍数也是 8 的倍数，求至少多少天就是求两个数的最小公倍数。 解题过程： 6 和 8 的最小公倍数是 24。 答：至少再过 24 天两人会再次同时去图书馆。 跟踪训练 5 把长 45 厘米、宽 30 厘米的长方形纸板剪成同样大小的正方形，且没有剩余，剪出的正方形边长最大是多少厘米？ 公交车 3 路每 5 分钟发一班，5 路每 7 分钟发一班。早上 6:00 两路车同时发车，下一次同时发车是几时几分？ 把 40 块橡皮和 35 支铅笔分别平均分给一个组的同学，都正好分完。这个组最多有多少名同学？ 练习巩固 1．求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和48    30和45 2．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和36        5和9        8和20 3．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 28和36        24和60 4．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）4和12    （2）10和9    （3）18和27    （4）35和14 5．用短除法求出下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 15和9    32和16    8和36 6．用你喜欢的方法求每组数的最大公因数和最小公倍数。 72和36       15和25 7．用短除法求下列每组数的最小公倍数。 24和18        6、8和12 8．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 39和65                22和19                18和36                42和60 9．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 48和32         10和25         21和35 10．求下列数的最大公因数和最小公倍数。 24和30        6、8和12 11．写出每组中两个数的最大公因数和最小公倍数。 11和33                    10和9                    20和12 12．求每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）42和63      （2）144和24      （3）23和51 13．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 14．用短除法求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18    16和48    5和13 15．用短除法求最大公因数和最小公倍数。 23和46      39和52 16．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8    17和34    6和21    24和32 17．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 10和12            17和51            60和24            14和15 18．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36             45和60            20和18            16和72 19．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 28和7    30和45   7和91   11和13 20．请你用自己喜欢的方法，求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36                60和42                 50和125 21．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 17和85                       12和15                     13和7 22．求每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        7和8        26和91        32和96 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 跟踪训练 1 题目：用短除法求 12 和 16 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 4，最小公倍数 48 分析：用公有质因数 2 连续除两次，最终商 3 和 4 互质。 详解： 2 │ 12 16 └─────── 2 │ 6 8 └─────── 3 4 最大公因数： 最小公倍数： 题目：用短除法求 30 和 45 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 15，最小公倍数 90 分析：先用 3 除，再用 5 除，最终商 2 和 3 互质。 详解： 3 │ 30 45 └─────── 5 │ 10 15 └─────── 2 3 最大公因数： 最小公倍数： 题目：用短除法求 28 和 42 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 14，最小公倍数 84 分析：先用 2 除，再用 7 除，最终商 2 和 3 互质。 详解： 2 │ 28 42 └─────── 7 │ 14 21 └─────── 2 3 最大公因数： 最小公倍数： 跟踪训练 2 题目：9 和 36 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 9，最小公倍数 36 分析：36 是 9 的倍数，属于倍数关系，直接套用对应规律。 详解：，两数是倍数关系，最大公因数取较小数 9，最小公倍数取较大数 36。 题目：11 和 13 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 1，最小公倍数 143 分析：11 和 13 是两个不同的质数，互为互质数。 详解：11 和 13 只有公因数 1，最大公因数是 1；最小公倍数。 题目：1 和 25 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 1，最小公倍数 25 分析：1 和任意非 0 自然数都互质，同时也满足倍数关系规律。 详解：1 的因数只有 1，因此两数公因数只有 1，最大公因数是 1；最小公倍数是较大数 25。 跟踪训练 3 题目：用分解质因数法求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 12，最小公倍数 72 分析：先分解质因数，提取公有质因数相乘得最大公因数，再乘独有质因数得最小公倍数。 详解： 公有质因数：2、2、3 最大公因数： 最小公倍数： 题目：用分解质因数法求 50 和 75 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 25，最小公倍数 150 分析：50 和 75 都含有两个质因数 5，公有部分为两个 5。 详解： 公有质因数：5、5 最大公因数： 最小公倍数： 题目：已知，，求 A 和 B 的最大公因数和最小公倍数。 答案：最大公因数 10，最小公倍数 210 分析：直接从质因数表达式中提取公有部分和独有部分计算。 详解： 公有质因数：2、5 最大公因数： 独有质因数：3（A 的）、7（B 的） 最小公倍数： 跟踪训练 4 题目：两个数的最大公因数是 8，最小公倍数是 48，其中一个数是 16，求另一个数。 答案：24 分析：利用 “两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数” 逆推求解。 详解： 两数乘积： 另一个数： 题目：两个数的最大公因数是 5，最小公倍数是 105，其中一个数是 15，求另一个数。 答案：35 分析：用乘积性质逆推计算。 详解： 两数乘积： 另一个数： 题目：两个数的乘积是 192，最大公因数是 8，求它们的最小公倍数。 答案：24 分析：对乘积性质变形：最小公倍数 = 两数乘积 ÷ 最大公因数。 详解： 最小公倍数： 跟踪训练 5 题目：把长 45 厘米、宽 30 厘米的长方形纸板剪成同样大小的正方形，且没有剩余，剪出的正方形边长最大是多少厘米？ 答案：15 厘米 分析：正方形边长必须同时整除长和宽，求最大边长即求两个数的最大公因数。 详解： 45 和 30 的最大公因数是 15。 答：剪出的正方形边长最大是 15 厘米。 题目：公交车 3 路每 5 分钟发一班，5 路每 7 分钟发一班。早上 6:00 两路车同时发车，下一次同时发车是几时几分？ 答案：6 时 35 分 分析：同时发车的间隔时间是 5 和 7 的最小公倍数。 详解： 5 和 7 互质，最小公倍数分钟。 6 时 + 35 分 = 6 时 35 分 答：下一次同时发车是 6 时 35 分。 题目：把 40 块橡皮和 35 支铅笔分别平均分给一个组的同学，都正好分完。这个组最多有多少名同学？ 答案：5 名 分析：同学人数是 40 和 35 的公因数，求最多人数即求最大公因数。 详解： 40 和 35 的最大公因数是 5。 答：这个组最多有 5 名同学。 巩固练习 1．12、48；15、90 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，首先观察两数是否存在倍数关系。若成倍数关系，较小数为最大公因数，较大数为最小公倍数； 若为一般关系，可通过分解质因数，公有质因数乘积为最大公因数，公有与独有质因数连乘积为最小公倍数。 【详解】12和48：因为48÷12＝4，即48是12的倍数，所以12和48的最大公因数是12，最小公倍数是48。 30和45：30＝2×3×5，45＝3×3×5。 最大公因数是：3×5＝15； 最小公倍数是：2×3×3×5＝90。 2．2和36的最大公因数是12，最小公倍数是36；5和9的最大公因数是1，最小公倍数是45；8和20的最大公因数是4，最小公倍数是40。 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的积。 【详解】36÷12＝3，36是12的3倍，12和36的最大公因数是12，最小公倍数是36； 5和9是互质数，5×9＝45，5和9的最大公因数是1，最小公倍数是45； 8＝2×2×2、20＝2×2×5 2×2＝4、2×2×2×5＝40 8和20的最大公因数是4，最小公倍数是40。 3．见详解 【分析】利用短除法求出两个数的最大公因数和最小公倍数。短除号前面是除数，除数必须是质数，短除号下面是商，做短除法时，需除到两个商互质为止。将所有的除数相乘，结果就是两个数的最大公因数。将所有的除数和商相乘，结果就是两个数的最小公倍数。 【详解】28和36 最大公因数： 最小公倍数： 所以，28和36的最大公因数是4，最小公倍数是252。 24和60 最大公因数： 最小公倍数： 所以，24和60的最大公因数是12，最小公倍数是120。 4．（1）4；12；（2）1；90；（3）9；54；（4）7；70 【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积。 【详解】（1）4和12 4和12是倍数关系，最大公因数是4，最小公倍数是12。 （2）10和9 10和9为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是10×9＝90。 （3）18和27 18＝2×3×3 27＝3×3×3 18和27的最大公因数是3×3＝9；最小公倍数是2×3×3×3＝54。 （4）35和14 35＝5×7 14＝2×7 35和14的最大公因数是7，最小公倍数是5×7×2＝70。 5．最小公倍数45，最大公因数3；最小公倍数32，最大公因数16；最小公倍数72，最大公因数4 【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此依次解答即可。 【详解】（1）15和9 15和9的最小公倍数：3×5×3＝45 15和9的最大公因数：3 （2）32和16 32和16的最小公倍数：2×2×2×2×2＝32 32和16的最大公因数：2×2×2×2＝16 （3）8和36 8和36的最小公倍数：2×2×2×9＝72 8和36的最大公因数：2×2＝4 6．最大公因数是36；最小公倍数是72； 最大公因数是5；最小公倍数是75 【分析】先把两个数分解质因数，最大公因数是把它们共有的质因数相乘，最小公倍数是把共有的质因数和各自独有的质因数相乘；如果两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积；如果两数是倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】72和36是倍数关系，最大公因数是36；最小公倍数是72； 15和25 15＝3×5 25＝5×5 15和25的最大公因数是5，最小公倍数：3×5×5＝75 7．24和18的最小公倍数是72；6、8和12的最小公倍数是24。 【分析】先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数和最后所得的商连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 【详解】 （1） 24和18的最小公倍数是：2×3×4×3＝72 （2） 6、8和12的最小公倍数是：2×2×3×1×2×1＝24 8．13；195；1；418；18；36；6；420 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，用这种方法时，短除号前面的数是除数，短除号下面的数是商，所有的除数必须是质数，将所有的除数相乘，结果就是最大公因数；将所有的除数和商相乘，结果就是最小公倍数。互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。 【详解】39和65 最大公因数：13 最小公倍数： 22和19 22和19是互质数 最大公因数：1 最小公倍数： 18和36 最大公因数： 最小公倍数： 42和60 最大公因数： 最小公倍数： 9．48和32的最大公因数是16，最小公倍数是96； 10和25的最大公因数是5，最小公倍数是50； 21和35的最大公因数是7，最小公倍数是105。 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，用它们的公因数去除，除到公因数只有1为止。把它们的除数相乘起来的积就是它们的最大公因数；把它们的除数和商相乘起来的积就是它们的最小公倍数。 【详解】 48和32                                        10和25                                                          48和32的最大公因数是2×2×2×2＝16；         10和25的最大公因数是5 ； 48和32的最小公倍数是2×2×2×2×3×2＝96。   10和25的最小公倍数是5×2×5＝50。 21和35 21和35的最大公因数是7； 21和35的最小公倍数是7×3×5＝105。 10．6，120；2，24 【分析】分解质因数，最大公因数是公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积。 【详解】24＝2×2×2×3 30＝2×3×5 24和30的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×2×2×3×5＝120。 6＝2×3 8＝2×2×2 12＝2×2×3 6、8和12的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×2×3＝24。 11．11，33；1，90；4，60 【分析】两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数； 两个数为一般关系时，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数； 两个数为互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 【详解】11和33是倍数关系，最大公因数是：11，最小公倍数是：33。 10和9是互质关系，最大公因数是：1，最小公倍数是：10×9＝90。 20和12是一般关系，20＝2×2×5，12＝2×2×3，最大公因数是：2×2＝4，最小公倍数是：2×2×3×5＝60。 12．（1）21；126；（2）24；144；（3）1；1173 【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。 【详解】（1）42和63 42＝2×3×7 63＝3×3×7 42和63的最大公因数是3×7＝21 42和63的最小公倍数是2×3×3×7＝126 42和63的最大公因数是21，最小公倍数是126。 （2）144和24 144和24成倍数关系； 144和24的最大公因数是24，最小公倍数是144。 （3）23和51 23和51为互质数， 23和51的最大公因数是1，最小公倍数是23×51＝1173。 13．最大公因数是5，最小公倍数是200； 最大公因数是14，最小公倍数是140； 最大公因数是6，最小公倍数是504。 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数特有质因数的连乘积是最小公倍数。 【详解】， 25和40的最大公因数是5，最小公倍数是； ， 28和70的最大公因数是，最小公倍数是； ，， 24，36和42的最大公因数是，最小公倍数是。 14．6、72；16、48；1、65 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，用两个数的公因数去除，除到所得的商只有公因数1为止；把所有除数连乘起来，结果就是这两个数的最大公因数；把所有除数和商连乘起来，结果就是这两个数的最小公倍数。据此解答。 【详解】24和18 24和18的最大公因数是：2×3＝6； 24和18的最小公倍数是：2×3×4×3＝72。 16和48 16和48的最大公因数是：2×2×2×2＝16； 16和48的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48。 5和13 5和13的最大公因数是：1； 5和13的最小公倍数是：5×13＝65。 15．23；46；13；156 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 【详解】（1）23和46 23和46的最大公因数是23，最小公倍数是23×2＝46。 （2）39和52 39和52的最大公因数是13，最小公倍数是13×3×4＝156。 16．1；56；17；34；3；42；8；96 【分析】两个数的公有质因数连乘的积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数连乘的积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 【详解】7和8 7和8为互质数，最大公因数是1；最小公倍数是7×8＝56； 17和34 17和34是倍数关系。最大公因数是17；最小公倍数是34； 6和21 6＝2×3 21＝3×7 6和21的最大公因数是3；最小公倍数是2×3×7＝42； 24和32 24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 24和32的最大公因数是2×2×2＝8；最小公倍数是2×2×2×2×2×3＝96。 17．2，60；17，51；12，120；1，210 【分析】把两个数分解质因数后，把公有的相同质因数相乘得到的积就是它们的最大公因数，把公有的相同质因数与独有质因数相乘得到的积就是它们的最小公倍数。 当两个数是倍数关系时，较小数是最大公因数，较大数是最小公倍数。 当两个数是互质关系时（公因数只有1），最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 【详解】（1）10＝2×5 12＝2×2×3 10和12的最大公因数是2，最小公倍数是：2×5×2×3＝60。 （2）因为51÷17＝3，所以51是17的3倍，因此17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。 （3）60＝2×2×3×5 24＝2×2×2×3 60和24的最大公因数是：2×2×3＝12，最小公倍数是：2×2×3×5×2＝120。 （4）14的因数有1、2、7、14，15的因数有1、3、5、15，它们只有公因数1，所以14和15是互质关系。因此14和15的最大公因数是1，最小公倍数是：14×15＝210。 18．24和36：最大公因数是12；最小公倍数是72；45和60：最大公因数是15，最小公倍数是180；20和18：最大公因数是2；最小公倍数是180；16和72：最大公因数是8；最小公倍数是144 【分析】短除法是求最大公因数和最小公倍数的常用方法。用短除法时，先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止。 最大公因数：把所有除数相乘。 最小公倍数：把所有除数和最后的商相乘。 【详解】24和36： 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×3×2×3＝72 45和60： 最大公因数：3×5＝15 最小公倍数：3×5×3×4＝180 20和18： 最大公因数：2 最小公倍数：2×10×9＝180 16和72： 最大公因数：2×2×2＝8 最小公倍数：2×2×2×2×9＝144 24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72。 45和60的最大公因数是15，最小公倍数是180。 20和18的最大公因数是2，最小公倍数是180。 16和72的最大公因数是8，最小公倍数是144。 19．28和7的最大公因数是7，最小公倍数是28 30和45的最大公因数是：15，30和45的最小公倍数是：90 7和91的最大公因数是7，最小公倍数是91 11和13的最大公因数是1，最小公倍数是143 【分析】短除法求最大公因数：先把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，再把除得的商写在该数的下方，一直除到各个商只有公因数1为止，最后所有除数连乘起来所得的积就是这几个数的最大公因数。 短除法求最小公倍数：把几个数公有的质因数从小到大排列后，依次作为除数，用短除法连续去除这几个数。直到得出的商两两互质为止，然后把所有的除数和商乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】 28是7的倍数，所以28和7的最大公因数是7，最小公倍数是28。 30和45的最大公因数是： 30和45的最小公倍数是： 91是7的倍数，所以7和91的最大公因数是7，最小公倍数是91。 11和13是互质数，所以11和13的最大公因数是1，最小公倍数是。 20．最大公因数是12，最小公倍数是72；最大公因数是6，最小公倍数是420；最大公因数是25，最小公倍数是250 【分析】分解质因数法是把每个数分解成质因数相乘的形式，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积，最小公倍数是公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。下面用分解质因数法来求解。 24和36，分解质因数：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3。公有的质因数是2、2、3，所以最大公因数为2×2×3。公有的质因数是2、2、3，24独有的质因数是2，36独有的质因数是3，所以最小公倍数为2×2×3×2×3。 60和42，分解质因数：60＝2×2×3×5，42＝2×3×7。公有的质因数是2、3，所以最大公因数为2×3＝6。公有的质因数是2、3，60独有的质因数是2、5，42独有的质因数是7，所以最小公倍数为2×3×2×5×7。 50和125，分解质因数：50＝2×5×5，125＝5×5×5。公有的质因数是5、5，所以最大公因数为5×5。公有的质因数是5、5，50独有的质因数是2，125独有的质因数是5，所以最小公倍数为2×5×5×5。 【详解】24和36：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×3×2×3＝72 60和42：60＝2×2×3×5，42＝2×3×7 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×3×2×5×7＝420 50和125：50＝2×5×5，125＝5×5×5 最大公因数：5×5＝25 最小公倍数：2×5×5×5＝250 24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72；60和42的最大公因数是6，最小公倍数是420；50和125的最大公因数是25，最小公倍数是250。 21．见详解 【分析】17和85的最大公因数和最小公倍数：因为85÷17＝5，即85是17的5倍，所以17和85是倍数关系。当两个数是倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，所以17和85的最大公因数是17。当两个数是倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数，所以17和85的最小公倍数是85。 12和15的最大公因数和最小公倍数：把12分解质因数：12＝2×2×3。把15分解质因数：15＝3×5。两个数公有的质因数的乘积就是它们的最大公因数，12和15公有的质因数只有3，所以12和15的最大公因数是3。两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。12和15公有的质因数是3，12独有的质因数是2、2，15独有的质因数是5，所以最小公倍数为2×2×3×5＝60。 13和7的最大公因数和最小公倍数：13和7这两个数，除了1以外没有其他的公因数，所以它们是互质数（互质数是指公因数只有1的两个非零自然数）。互质数的最大公因数是1，所以13和7的最大公因数是1。互质数的最小公倍数是它们的乘积，即13×7＝91，所以13和7的最小公倍数是91。 【详解】85和17：85是17的5倍，所以17和85的最大公因数是17，最小公倍数是85。 12和15：12＝2×2×3 15＝3×5 2×2×3×5＝60 12和15的最大公因数是3，最小公倍数是2×2×3×5＝60； 13和7：它们互质，所以13和7的最大公因数是1，最小公倍数是13×7＝91。 所以17和85的最大公因数是17，最小公倍数是85；12和15的最大公因数是3，最小公倍数是60；13和7的最大公因数是1，最小公倍数是91。 22．6，36；1，56；13，182；32，96 【分析】先把12和18、26和91分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数； 两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积； 两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 所以12和18的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×2×3×3＝36； 7和8互质，所以7和8的最大公因数是1，最小公倍数是7×8＝56； 26＝2×13 91＝7×13 所以26和91的最大公因数是13，最小公倍数是2×7×13＝182； 96÷32＝3，所以32和96的最大公因数是32，最小公倍数是96。 $