专题07：分解质因数（计算专项训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

**基本信息** 以短除法为核心，构建“概念-方法-应用”三阶训练体系，通过5类题型实现从基础分解到实际问题解决的能力进阶，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与方法|2方法+注意事项|短除法四步法（试除-商写-除至质数-连乘）；质因数双重身份（质数+因数）|从质因数定义出发，通过树杈法过渡到短除法，明确分解规范| |基础应用|2题型（两位数/三位数分解）|短除法规范书写（质因数从小到大排列）|从两位数到三位数，逐步提升数字复杂度，强化试除顺序| |综合应用|3题型（判断还原/逆向求质数/实际应用）|逆向推理（质因数乘积还原原数）；实际问题转化（公倍数→分解质因数）|联结分解结果与问题解决，培养运算能力与推理意识| |练习巩固|22题分层训练|阶梯式训练（基础-进阶-拓展）|覆盖不同数字规模与应用场景，巩固方法迁移能力|

专题07：分解质因数 计算专项训练 一、质因数与分解质因数的概念 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 例如：，3 和 5 都是质数，所以 3 和 5 就是 15 的质因数。 质因数具备双重身份：既是质数，又是该合数的因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 分解质因数只针对合数，质数不能分解质因数（它本身就是质数）。 1 既不是质数也不是合数，所以 1 不能分解质因数。 二、分解质因数的方法 方法一：树杈法（树形分解法） 将合数逐步拆分成两个因数相乘，直到所有分支末端都是质数为止，最后把所有末端质数相乘。 例如：分解 45 45 → 3×15 → 15 → 3×5 最终： 方法二：短除法（重点掌握） 短除法是分解质因数最常用、最规范的方法，步骤如下： 把要分解的合数写在短除号「┐」里面； 从最小的质数开始试除（按 2、3、5、7、11…… 的顺序），能整除就把该质数写在短除号左侧，商写在下方； 对得到的商继续用质数去除，直到最后的商是质数为止； 把所有的除数和最后的商写成连乘的形式，就是该合数的分解质因数结果。 书写格式：（质因数按从小到大排列） 三、重要注意事项 分解质因数的结果中，不能出现 1，也不能出现合数； 最小的质数是 2，也是唯一的偶质数；最小的合数是 4； 分解时要除到商是质数为止，不能中途停止； 100 以内质数表（常用）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 题型 1：两位数的分解质因数（基础短除法） 典型例题：用短除法把 24 分解质因数。 解题思路： 从最小的质数 2 开始试除，24 能被 2 整除，继续除下去，直到商是质数为止。 解题过程： 2 │ 24 └── 2 │ 12 └── 2 │ 6 └── 3 跟踪训练 1 用短除法把 36 分解质因数。 用短除法把 45 分解质因数。 用短除法把 56 分解质因数。 题型 2：三位数的分解质因数（进阶短除法） 典型例题：用短除法把 120 分解质因数。 解题思路： 按 2、3、5 的顺序依次试除，逐步缩小数字，直到商为质数。 解题过程： 2 │ 120 └─── 2 │ 60 └─── 2 │ 30 └─── 3 │ 15 └─── 5 跟踪训练 2 用短除法把 105 分解质因数。 用短除法把 180 分解质因数。 用短除法把 252 分解质因数。 题型 3：判断质因数与还原原数 典型例题：已知一个合数分解质因数后是 ，这个合数是多少？它的质因数有哪些？ 解题思路： 将所有质因数相乘即可得到原数；式子中的每个质数都是它的质因数。 解题过程： 这个合数是 84，它的质因数有 2、3、7。 跟踪训练 3 一个合数分解质因数后是 ，这个合数是多少？ 42 的质因数有哪些？请全部写出来。 判断：9 是 18 的质因数。（对的打√，错的打 × 并说明理由） 题型 4：分解质因数的逆向应用（已知积求质数） 典型例题：两个质数的和是 18，积是 65，这两个质数分别是多少？ 解题思路： 先将积 65 分解质因数，再验证两个质因数的和是否为 18。 解题过程： 验证：，符合条件。 答：这两个质数分别是 5 和 13。 跟踪训练 4 两个质数的积是 35，和是 12，这两个质数分别是多少？ 两个质数的积是 26，和是 15，这两个质数分别是多少？ 三个连续自然数的乘积是 210，这三个数分别是多少？ 题型 5：分解质因数的实际应用 典型例题：有一箱苹果，不论是分给 8 个人还是分给 12 个人，都正好分完。这箱苹果至少有多少个？ 解题思路： 苹果总数是 8 和 12 的公倍数，求至少多少个就是求最小公倍数。可以用分解质因数的方法求最小公倍数。 解题过程： 最小公倍数 = 公有的质因数 × 各自独有的质因数 答：这箱苹果至少有 24 个。 跟踪训练 5 有一包糖果，平均分给 6 人或 9 人都正好分完，这包糖果至少有多少颗？ 一个长方形的面积是 35 平方厘米，长和宽都是整厘米数且都是质数，这个长方形的周长是多少厘米？ 四年级学生参加广播操比赛，人数在 100~150 之间，如果排成 8 列或 10 列都正好排完。四年级参加比赛的有多少人？ 练习巩固 1．按要求用短除法计算。 把60分解质因数。 2．将下面各数分解质因数。 21     28     40      72      108 3．把下面各数分解质因数。 21    88    85 4．用短除法把下面各数分解质因数。 20             36                78               65 5．先从下面的数中圈出合数，再把它们分解质因数。 23      91      53     108     119      97      71     87     6．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 24         45         91         89         63         53 7．把下面各数写成几个质数相乘的形式。 10＝          88＝         32＝         62＝       72＝       16＝ 8．用短除法计算（写出必要过程），把下面各数分解质因数。 45       32 9．请把下面的数分解质因数： （1）360                （2）1260 10．分解质因数。 28               45 11．把下面各数分解质因数。 ①78＝                            ②120＝ 12．分解质因数。 27          42            57 13．用短除法分解质因数。 32          45      60         120 14．用短除法分解质因数。 48               70 15．把下列各数分解质因数。 54                     99                     231 16．把下面各数分解质因数。 84        108          91       60 17．把下面各数分解质因数。 21        56        75        68 18．把下列各数写成质数相乘的形式。 81              66            45 19．用短除法把下面的合数分解质因数。 24   60   57   81 20．用短除法分解质因数。 65       56         94         76 135      105        87         93 21．分解质因数。 26  70  42  56 22．把下面各数分解质因数。 18            30           56             99              105 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 跟踪训练 1 题目：用短除法把 36 分解质因数。 答案： 分析：连续用 2 除两次，再用 3 除两次，商为 3（质数）停止。 详解： 2 │ 36 └── 2 │ 18 └── 3 │ 9 └── 3 题目：用短除法把 45 分解质因数。 答案： 分析：45 是奇数，不能被 2 整除，从 3 开始除。 详解： 3 │ 45 └── 3 │ 15 └── 5 题目：用短除法把 56 分解质因数。 答案： 分析：连续用 2 除三次，商为 7（质数）停止。 详解： 2 │ 56 └── 2 │ 28 └── 2 │ 14 └── 7 跟踪训练 2 题目：用短除法把 105 分解质因数。 答案： 分析：105 是奇数，各位和为 6 能被 3 整除，从 3 开始除。 详解： 3 │ 105 └─── 5 │ 35 └─── 7 题目：用短除法把 180 分解质因数。 答案： 分析：先除 2 两次，再除 3 两次，最后商为 5。 详解： 2 │ 180 └─── 2 │ 90 └─── 3 │ 45 └─── 3 │ 15 └─── 5 题目：用短除法把 252 分解质因数。 答案： 分析：偶数先除 2，再依次用 3 试除。 详解： 2 │ 252 └─── 2 │ 126 └─── 3 │ 63 └─── 3 │ 21 └─── 7 跟踪训练 3 题目：一个合数分解质因数后是 ，这个合数是多少？ 答案：90 分析：将所有质因数相乘即可得到原数。 详解： 题目：42 的质因数有哪些？请全部写出来。 答案：2、3、7 分析：先分解质因数，式子中的质数就是质因数。 详解：，所以 42 的质因数是 2、3、7。 题目：判断：9 是 18 的质因数。（对的打√，错的打 × 并说明理由） 答案：× 分析：质因数必须是质数，9 是合数。 详解：9 虽然是 18 的因数，但 9 本身是合数（），不符合质因数 "既是质数又是因数" 的要求，所以 9 不是 18 的质因数。18 的质因数是 2 和 3。 跟踪训练 4 题目：两个质数的积是 35，和是 12，这两个质数分别是多少？ 答案：5 和 7 分析：将 35 分解质因数，再验证和。 详解：，，符合条件，所以这两个质数是 5 和 7。 题目：两个质数的积是 26，和是 15，这两个质数分别是多少？ 答案：2 和 13 分析：26 是偶数，必有质因数 2。 详解：，，符合条件，所以这两个质数是 2 和 13。 题目：三个连续自然数的乘积是 210，这三个数分别是多少？ 答案：5、6、7 分析：先分解 210 的质因数，再组合成三个连续自然数。 详解：，观察质因数可组合：，所以三个连续自然数是 5、6、7。验证：。 跟踪训练 5 题目：有一包糖果，平均分给 6 人或 9 人都正好分完，这包糖果至少有多少颗？ 答案：18 颗 分析：求 6 和 9 的最小公倍数。 详解：，，最小公倍数。答：这包糖果至少有 18 颗。 题目：一个长方形的面积是 35 平方厘米，长和宽都是整厘米数且都是质数，这个长方形的周长是多少厘米？ 答案：24 厘米 分析：先分解 35 的质因数得到长和宽，再计算周长。 详解：，5 和 7 都是质数，所以长 7 厘米、宽 5 厘米。周长厘米。 题目：四年级学生参加广播操比赛，人数在 100~150 之间，如果排成 8 列或 10 列都正好排完。四年级参加比赛的有多少人？ 答案：120 人 分析：总人数是 8 和 10 的公倍数，先求最小公倍数，再找 100~150 之间的数。 详解：，，最小公倍数。40 的倍数有 40、80、120、160…… 在 100~150 之间的是 120。答：四年级参加比赛的有 120 人。 巩固练习 1． 【分析】把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就叫作分解质因数；60是合数，用短除法分解时，要注意每个除数都必须是质数，最后把每个除数和最后的商写成连乘的形式即可。 【详解】 60＝2×2×3×5 2．21＝3×7 28＝2×2×7 40＝2×2×2×5 72＝2×2×2×3×3 108＝2×2×3×3×3 【分析】分解质因数，即把一个合数写成几个质数相乘的形式。 【详解】 21＝3×7 28＝2×2×7 40＝2×2×2×5 72＝2×2×2×3×3 108＝2×2×3×3×3 3．21＝3×7；88＝2×2×2×11；85＝5×17 【分析】把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数。据此解答。 【详解】 21＝3×7 88＝2×2×2×11 85＝5×17 4． 20＝2×2×5；36＝2×2×3×3；78＝2×3×13；65＝5×13 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质差不多。分解质因数只针对合数。据此解答。 【详解】 20＝2×2×5 36＝2×2×3×3 78＝2×3×13 65＝5×13 5．圈一圈见详解； 91＝13×7；108＝2×2×3×3×3；119＝7×17；87＝3×29 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；一个合数可以写成几个质数连乘积的形式，叫做分解质因数；据此解答。 【详解】圈出合数如下： 把合数分解质因数如下： 91＝13×7 108＝2×2×3×3×3 119＝7×17 87＝3×29 6．见详解 【分析】除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；分解质因数可以把一个合数写成几个质数连乘的形式，叫做把这个合数分解质因数；由此解答。 【详解】根据分析，合数有：24、45、91、63 圈数如下： 分解质因数： 24＝2×2×2×3 45＝3×3×5 91＝7×13 63＝3×3×7 7．见详解 【分析】质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，据此即可解答。 【详解】10＝2×5 88＝2×2×2×11 32＝2×2×2×2×2 62＝2×31 72＝2×2×2×3×3 16＝2×2×2×2 8．45＝3×3×5；32＝2×2×2×2×2 【分析】分解质因数：把一个合数分成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，最后把所有的质数写成相乘的形式即可。 【详解】45＝3×3×5                       32＝2×2×2×2×2                           9．（1）360＝2×2×2×3×3×5 （2）1260＝2×2×3×3×5×7 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】（1）360＝2×2×2×3×3×5 （2）1260＝2×2×3×3×5×7 10．28＝2×2×7 45＝3×3×5 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；求一个数分解质因数，一般先从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】                       28＝2×2×7                    45＝3×3×5 11．见详解 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此将78和120拆分为质数乘积的形式即可。 【详解】①78＝2×3×13 ②120＝2×2×2×3×5 12．27＝3×3×3；42＝2×3×7；57＝3×19 【分析】分解质因数是将合数写成几个质数相乘的形式表示出来，一般先从简单的质数试着分解。据此解答。 【详解】27＝3×3×3 42＝2×3×7 57＝3×19 13．见详解 【分析】根据质因数的分解原则用短除法进行解分解即可。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】32＝2×2×2×2×2 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 120＝2×2×2×3×5 14．见详解 【分析】用短除法分解质因数，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】48＝2×2×2×2×3            70＝2×5×7                         15．54＝2×3×3×3；99＝3×3×11；231＝3×7×11 【分析】利用短除法分解质因数，即从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】                                          54＝2×3×3×3          99＝3×3×11            231＝3×7×11 16．见详解 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，据此解答。 【详解】84＝2×2×3×7； 108＝2×2×3×3×3； 91＝7×13； 60＝2×2×3×5。 17．21＝3×7；56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；68＝2×2×17 【分析】把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数。据此解答。 【详解】21＝3×7 56＝2×2×2×7 75＝3×5×5 68＝2×2×17 18．81＝3×3×3×3；66＝2×3×11；45＝3×3×5 【分析】根据题目要求可知，是把这几个合数分解质因数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。 【详解】                          81＝3×3×3×3      66＝3×2×11            45＝3×3×5 【点睛】此题主要考查分解质因数的方法及其应用，一般先从较小的质数试着分解。 19．短除法见详解； 24＝2×2×2×3；60＝2×2×3×5；57＝3×19；81＝3×3×3×3 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数连乘的形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】24＝2×2×2×3                 60＝2×2×3×5                                        57＝3×19                             81＝3×3×3×3                                        20．65＝5×13     56＝2×2×2×7     94＝2×47     76＝2×2×19 135＝5×3×3×3         105＝5×3×7 87＝3×29     93＝3×31 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】65 56 94   76                   65＝5×13       56＝2×2×2×7      94＝2×47        76＝2×2×19 135 105   87 93       135＝5×3×3×3 105＝5×3×7 87＝3×29 93＝3×31 【点睛】此题主要考查用短除法分解质因数，要注意格式。 21．26＝2×13；70＝2×5×7；42＝2×3×7；56＝2×2×2×7 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行解答。 【详解】26＝2×13； 70＝2×5×7； 42＝2×3×7； 56＝2×2×2×7 【点睛】此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法，基础题要熟练掌握。 22．18＝2×3×3；30＝2×3×5；56＝2×2×2×7；99＝3×3×11；105＝3×5×7 【分析】分解质因数是把合数用几个质数相乘的形式表现出来。据此解答即可。 【详解】由分析可得： 18＝2×3×3；30＝2×3×5；56＝2×2×2×7；99＝3×3×11；105＝3×5×7 【点睛】把一个合数分解质因数一般用短除法，一般先用这个合数最小的那个因数（是质数的因数）去除，商如果是合数，就继续除，商如果是质数，就写成商和每个除数相乘的形式。 $