1.4.1 用空间向量研究直线，平面的位置关系暑假预习讲义（6个题型归纳）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.4.1 用空间向量研究直线，平面的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的__方向向量______． 2．平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个_非零向量_______，且表示的有向线段所在的直线与平面__垂直______，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作． 3．空间中直线、平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设，分别是不重合的直线，的方向向量，则___________，使得_____ 线面平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则________________ 面面平行 设，分别是不重合的平面，的法向量，则____ _____，使得_______ 4．空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线 垂直 设直线，的方向向量分别为，，则________________ 线面垂直 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则__ _________ ，使得_____ 面面垂直 设平面，的法向量分别为，，则________________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求平面的法向量】 【练方法】 公式结论 1.设平面内两条不共线向量、，平面法向量为两向量叉乘 2.法向量核心性质：平面内任意向量与法向量垂直，满足 3.方程组求法向量：设，联立，赋值求一组非零解 方法技巧 1.已知平面三点P、M、N，先构造平面内相交向量，再叉乘计算法向量 2.叉乘行列式展开严格按对角线符号规则计算，避免坐标符号出错 3.方程组法求解时，优先令某一分量为1，快速得到一组最简法向量 易错提醒 1.选取平面内共线向量叉乘，得到零向量，无法作为有效法向量 2.三阶行列式展开正负号混淆，坐标分量计算颠倒 （25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求：经典例题1例题 (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. （25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D （25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． （25-26高二上·广西百色·阶段检测）（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 【题型2：与直线方向向量的有关概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.直线方向向量定义：与直线平行的非零向量，同一直线所有方向向量满足 2.两点构造方向向量：若、在直线上，则 3.线面平行向量判定：直线方向向量与平面法向量垂直 4.线面垂直向量判定：直线方向向量与平面法向量平行，即 方法技巧 1.求直线向量固定用终点坐标减起点坐标，不可颠倒顺序 2.判断线面位置关系只需对比与平面法向量的平行、垂直关系 3.多条直线平行等价于各自方向向量坐标成比例 易错提醒 1.计算时用起点坐标减终点，向量方向完全相反 2.混淆线面平行、线面垂直对应的向量约束条件 （25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______经典例题1例题 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. （25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． （25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B （24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 【题型3：与线面平行面面有关的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.直线平面充要条件 ①向量约束： ②几何约束：直线上任意一点不在平面内部 2.平面平面充要条件 两平面法向量互相平行，坐标比例关系： 方法技巧 1.线面平行两步核验：先验证点积为0，再检验直线定点不在平面内 2.面面平行直接判定两组法向量坐标成等比例 3.比例式分母为0时，对应分子分量必须等于0，单独分类讨论 易错提醒 1.仅满足，忽略直线在平面内的特殊情况，误判线面平行 2.分母坐标为0时直接列分式等式，未单独分析零分量约束 （25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. （25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______小试牛刀1 【答案】 【详解】由题意，则，所以， 解得，所以. 如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面；小试牛刀2 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法证明，由线面平行的判定定理可证得平面. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，由不在一条直线上， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （多选）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由平行平面的法向量共线，可求解. 【详解】设平面的法向量可能为，则由题意可得， 对于选项，，满足题意； 对于选项，设，无解，所以不符合题意； 对于选项，设，无解，所以不符合题意； 对于选项，，满足题意． 故选：AD． 【题型4：与线面垂直面面垂直有关的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.直线平面充要条件 方向向量与平面法向量平行，坐标满足 2.平面平面充要条件 两平面法向量互相垂直，坐标等式： 方法技巧 1.线面垂直题型直接列坐标比例方程组求解参数 2.面面垂直直接构造坐标乘积和等于0的一元方程 3.含参数题型代入坐标等式，整理方程求解参数取值 易错提醒 1.线面垂直误用点积为0，混淆平行、垂直向量判定条件 2.面面垂直错用法向量成比例，套用面面平行判定公式 （24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. （25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ）小试牛刀1 A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，解得． （2026·山西朔州·二模）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为棱的中点，设平面过点且满足，则截正四棱柱所得截面的面积为________.小试牛刀2 【答案】 【分析】以正四棱柱的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据平面所满足的垂直条件确定截面与棱的交点位置；再利用正四棱柱的对称性判断所得截面为菱形，分别求出菱形两条对角线的长度，最后由菱形面积公式求出截面面积。 【详解】 以为坐标原点，以直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题可得，，，，不妨设棱上一点，其中， 则，， 当，可得，解得，所以. 由题易知即为与平面的交线，且. 同理可得与平面的交线为，且， 由对称性可知截正四棱柱所得的截面为菱形，且此菱形的对角线长分别为，， 故截面面积为. （25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点.小试牛刀3 (1)证明： ； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出 ，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以 . （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得： ， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【题型5：与线面平行面面平行有关的存在性】 【练方法】 公式结论 1.存在直线平面：存在非零向量满足，且直线定点不在平面内 2.存在平面平面：存在实数，使，两平面不重合 3.存在性通用判定：设动点参数，代入平行坐标约束，方程存在有效实数解则图形存在 方法技巧 1.设动点坐标、参数变量，写出待求直线方向向量或平面法向量 2.代入线面、面面平行坐标条件，整理含参数方程 3.求出参数后代回核验几何位置，排除直线在平面、两平面重合的无效解 易错提醒 1.求解参数后未核验直线是否落在平面内部，误判平行直线存在 2.面面平行求解后两平面完全重合，仍判定为平行平面 （2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，，经典例题1例题 (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时 平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为 ，所以平面 平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时， 平面. （25-26高三上·山东淄博·期末）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点分别在线段与上（不含端点），且．小试牛刀1    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若平面，求的最小值． 【答案】(1) 以A为原点，分别以AD、AB、AM所在的直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，已知平面， ，    则各点的坐标：， ，得F点坐标：，所以， 平面的法向量：取,， 平面为平面，法向量为， ，所以， 又因为平面，因此平面； (2) (3) 【分析】（1）以A为原点，分别以AD、AB、AM所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，得F点坐标：，平面的法向量为，，得证， （2）求平面与平面的法向量，再利用数量积求余弦值， （3）因为平面，设平面的法向量为：，故，， 由得到由与的关系，再根据基本不等式求出结果 【详解】（1）略 （2）平面的法向量为：， 设平面的法向量为：， 则， 令，则，即， 设两平面的夹角为， 则， （3）由， 得，, ， 又因为平面，故，， ， 则，（根据不等式可得） 当且仅当时，等号成立，故的最小值为， （25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点.小试牛刀2 (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.小试牛刀3    【答案】存在，1，理由见解析. 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，看是否有解，若有解求出点坐标. 【详解】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， ，，，， ，. 假设在线段上存在点（），使得平面， 则. 设平面的法向量为，则令，得，， 是平面的一个法向量. ，解得，，为线段的中点. 综上可知，在线段上存在点，满足，使得平面. 【题型6：与线面垂直面面垂直有关的存在性】 【练方法】 公式结论 1.存在直线平面：存在非零实数，满足 2.存在平面平面：存在法向量，满足 3.存在性判定：将垂直向量条件转化为含参方程，存在符合题意的实数解即存在对应图形 方法技巧 1.设动点参数，构造直线方向向量或待求平面的法向量 2.线面垂直列坐标比例等式，面面垂直列坐标乘积和为0等式 3.根据方程解的取值范围，判断动点、平面是否存在 易错提醒 1.参数取0得到零向量，零向量无几何意义，需舍去此类解 2.求解参数后未检验动点空间位置，保留无几何意义的解 （25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点.经典例题1例题 (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得，由线面平行判定定理证平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为. 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. （25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．小试牛刀1    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定定理证明平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）令，，分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直求出参数，即可得答案. 【详解】（1）因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. （2）因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面，设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. （25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．小试牛刀2    【答案】存在，，理由见解析 【分析】以为原点建系，利用坐标根据即可求出. 【详解】存在，理由如下： 由题意可知，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴可建立如图所示的空间直角坐标系，    则, 因点P，Q分别是棱BB1，DD1的中点，则， 则， 设，则， 若平面，则， 得， 故存在点，使得平面. （25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且.小试牛刀3 (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可得到，从而得证； （2）求出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； （2）由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以当时平面平面. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面 平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面 平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 3．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④. 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用法向量的特征可得平面间的关系，利用直线方向向量和法向量的关系可得直线与平面的位置关系，进而可判断正误. 【详解】因为法向量与平面垂直，所以成立，①正确； 因为法向量与平面垂直，所以，②正确； 因为，所以，③不正确； 因为，所以或者，④不正确. 故选：B 4．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得出所求平面的点法式方程，化简即可. 【详解】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 5．（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 6．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点位于平面内,可得,依次检验选项即可. 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 8．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可. 【详解】解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 二、多选题 9．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 10．（25-26高二下·福建漳州·期中）给出下列命题，其中正确的有（ ） A．两个不同的平面的法向量分别是，则 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ABD 【详解】对于A，，，得，故A正确； 对于B，由基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，且任意两个向量不共线，故B正确； 对于C，由，，得， ，即与的夹角为锐角，故C错误； 对于D：，，即或，故D正确. 11．（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 12．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 13．（25-26高三下·浙江·开学考试）在正三棱柱中，，点满足，，则（） A．当时， B．当时，与异面 C．若平面，则 D．若点在平面内，则 【答案】ACD 【分析】先以为原点建系，写出各点坐标，对于AC依据条件代入计算即可；对于B，取满足条件的特殊值代入计算即可；对于D，利用空间向量共面定理，代入求解即可 【详解】正三棱柱中，以为原点建系如图所示， 由于，设，，，，，， 由，得点坐标为，， 对于A，当时，代入得， 则：，因此A正确 对于B，当时，取特殊值：，满足， 此时即点，，与相交于，不是异面直线，因此B错误 对于C，若平面，先计算得， 平面中，已有，只需： 整理得，因此C正确 对于D，若点在平面内， 则， 又， 所以，整理得，所以，因此D正确. 14．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，为中点，与交于，与交于，则下面结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】BCD 【详解】如图1，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、、. 设，则，，，， 因为、、三点共线，则存在实数使得，， 即，，解得，即. 因为、、三点共线，则存在实数使得，， 则，即. 故有，解得，即得. 同理可得，. 选项A：，平面的一个法向量为. 得，所以，直线与平面不平行.故A错误. 选项B：因为，， 则，得，即.故B正确. 选项C：因为，， 设平面的一个法向量为. 则，故可取. ，所以，与共线， 则直线与平面垂直，故C正确. 选项D：如图2，对于三棱锥， 、、、. 底面在平面上， 是直角三角形且，其外接圆的圆心为斜边的中点， 设三棱锥的外接球的半径为，球心为， 则，即，解得， 半径,所以，外接球的表面积为.故D正确. 三、填空题 15．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 四、解答题 16．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. (2)或2 【分析】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 18．（2026·河北沧州·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由线面垂直推，结合等腰三角形得，证出垂直侧面，再利用等体积法转换顶点，代入棱长数值套用棱锥体积公式算出结果. （2）先证垂直平面得线线垂直，再建空间直角坐标系写出对应点与向量坐标，由线面垂直推出向量点积为零，列方程求解得出的值. 【详解】（1）由题可知，平面，平面，所以. 又，所以. 因为，，平面，所以平面. 易得，， 所以. （2）如图，过点作平面，交于点，所以. 由（1）得平面，平面，所以 所以分，，两两垂直. 所以分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，， 可得，， 因为平面，所以. 即，所以，解得， 检验可知符合题意. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.4.1 用空间向量研究直线，平面的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的__方向向量______． 2．平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个_非零向量_______，且表示的有向线段所在的直线与平面__垂直______，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作． 3．空间中直线、平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设，分别是不重合的直线，的方向向量，则___________，使得_____ 线面平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则________________ 面面平行 设，分别是不重合的平面，的法向量，则____ _____，使得_______ 4．空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线 垂直 设直线，的方向向量分别为，，则________________ 线面垂直 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则__ _________ ，使得_____ 面面垂直 设平面，的法向量分别为，，则________________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求平面的法向量】 【练方法】 公式结论 1.设平面内两条不共线向量、，平面法向量为两向量叉乘 2.法向量核心性质：平面内任意向量与法向量垂直，满足 3.方程组求法向量：设，联立，赋值求一组非零解 方法技巧 1.已知平面三点P、M、N，先构造平面内相交向量，再叉乘计算法向量 2.叉乘行列式展开严格按对角线符号规则计算，避免坐标符号出错 3.方程组法求解时，优先令某一分量为1，快速得到一组最简法向量 易错提醒 1.选取平面内共线向量叉乘，得到零向量，无法作为有效法向量 2.三阶行列式展开正负号混淆，坐标分量计算颠倒 （25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求：经典例题1例题 (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． （25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·广西百色·阶段检测）（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：与直线方向向量的有关概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.直线方向向量定义：与直线平行的非零向量，同一直线所有方向向量满足 2.两点构造方向向量：若、在直线上，则 3.线面平行向量判定：直线方向向量与平面法向量垂直 4.线面垂直向量判定：直线方向向量与平面法向量平行，即 方法技巧 1.求直线向量固定用终点坐标减起点坐标，不可颠倒顺序 2.判断线面位置关系只需对比与平面法向量的平行、垂直关系 3.多条直线平行等价于各自方向向量坐标成比例 易错提醒 1.计算时用起点坐标减终点，向量方向完全相反 2.混淆线面平行、线面垂直对应的向量约束条件 （25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______经典例题1例题 （25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：与线面平行面面有关的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.直线平面充要条件 ①向量约束： ②几何约束：直线上任意一点不在平面内部 2.平面平面充要条件 两平面法向量互相平行，坐标比例关系： 方法技巧 1.线面平行两步核验：先验证点积为0，再检验直线定点不在平面内 2.面面平行直接判定两组法向量坐标成等比例 3.比例式分母为0时，对应分子分量必须等于0，单独分类讨论 易错提醒 1.仅满足，忽略直线在平面内的特殊情况，误判线面平行 2.分母坐标为0时直接列分式等式，未单独分析零分量约束 （25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______小试牛刀1 如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面；小试牛刀2 （多选）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：与线面垂直面面垂直有关的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.直线平面充要条件 方向向量与平面法向量平行，坐标满足 2.平面平面充要条件 两平面法向量互相垂直，坐标等式： 方法技巧 1.线面垂直题型直接列坐标比例方程组求解参数 2.面面垂直直接构造坐标乘积和等于0的一元方程 3.含参数题型代入坐标等式，整理方程求解参数取值 易错提醒 1.线面垂直误用点积为0，混淆平行、垂直向量判定条件 2.面面垂直错用法向量成比例，套用面面平行判定公式 （24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ）小试牛刀1 A．2 B． C． D． （2026·山西朔州·二模）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为棱的中点，设平面过点且满足，则截正四棱柱所得截面的面积为________.小试牛刀2 （25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点.小试牛刀3 (1)证明： ； (2)证明：平面. 【题型5：与线面平行面面平行有关的存在性】 【练方法】 公式结论 1.存在直线平面：存在非零向量满足，且直线定点不在平面内 2.存在平面平面：存在实数，使，两平面不重合 3.存在性通用判定：设动点参数，代入平行坐标约束，方程存在有效实数解则图形存在 方法技巧 1.设动点坐标、参数变量，写出待求直线方向向量或平面法向量 2.代入线面、面面平行坐标条件，整理含参数方程 3.求出参数后代回核验几何位置，排除直线在平面、两平面重合的无效解 易错提醒 1.求解参数后未核验直线是否落在平面内部，误判平行直线存在 2.面面平行求解后两平面完全重合，仍判定为平行平面 （2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，，经典例题1例题 (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. （25-26高三上·山东淄博·期末）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点分别在线段与上（不含端点），且．小试牛刀1    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若平面，求的最小值． （25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点.小试牛刀2 (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.小试牛刀3    【题型6：与线面垂直面面垂直有关的存在性】 【练方法】 公式结论 1.存在直线平面：存在非零实数，满足 2.存在平面平面：存在法向量，满足 3.存在性判定：将垂直向量条件转化为含参方程，存在符合题意的实数解即存在对应图形 方法技巧 1.设动点参数，构造直线方向向量或待求平面的法向量 2.线面垂直列坐标比例等式，面面垂直列坐标乘积和为0等式 3.根据方程解的取值范围，判断动点、平面是否存在 易错提醒 1.参数取0得到零向量，零向量无几何意义，需舍去此类解 2.求解参数后未检验动点空间位置，保留无几何意义的解 （25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点.经典例题1例题 (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. （25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．小试牛刀1    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． （25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．小试牛刀2    （25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且.小试牛刀3 (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面 平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④. 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 10．（25-26高二下·福建漳州·期中）给出下列命题，其中正确的有（ ） A．两个不同的平面的法向量分别是，则 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 11．（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 13．（25-26高三下·浙江·开学考试）在正三棱柱中，，点满足，，则（） A．当时， B．当时，与异面 C．若平面，则 D．若点在平面内，则 14．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，为中点，与交于，与交于，则下面结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．三棱锥外接球表面积为 三、填空题 15．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 四、解答题 16．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18．（2026·河北沧州·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $