精品解析：黑龙江哈尔滨市第二十四中学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

哈24中高二下学期期末考试试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知命题，总有，则命题p的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 2. 设 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列判断中正确的是（ ） A. 是奇函数且为增函数 B. 是奇函数且为减函数 C. 是偶函数且为增函数 D. 是偶函数且为减函数 5. 在某市2026年5月份的高二质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的全市学生有10000人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数据：，则， A. 8414名 B. 6827名 C. 3175名 D. 1588名 6. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列描述中说法正确的是（ ） A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强则相关系数越接近于 B. 正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为32 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时， C. 函数的图象是中心对称图形 D. 当且时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 13. 若，则__________． 14. 若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 60 75 80 95 105 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （2）该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩． （附：， ，， ，，，） 16. 随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各100人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联； 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生和女生的人数之比为，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 17. 设为实数，已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 近年来，羽毛球运动因其特有的运动性价比在全国各地区受到越来越多的人的喜欢，某地区的羽毛球爱好者组织起了A，B两支羽毛球队进行比赛，他们协商规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）当时． （i）记比赛开始的前三场中，A队获胜的场数为，求的分布列； （ii）求在A队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）根据每场比赛的结果，会赋予球队一些经验值，若比赛结果为或者时，胜方赋经验值3分，负方赋经验值0分，比赛结果为时胜方赋经验值2分，负方赋经验值1分，求A队本次比赛赋经验值的期望，并求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈24中高二下学期期末考试试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知命题，总有，则命题p的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【详解】因全称量词命题的否定为改变量词，否定结论. 故命题，总有的否定为：，使得. 2. 设 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】引入中间值0和1，判断的大小. 【详解】因为，，又，所以， ，所以. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为，在函数中， ，解得， 所以所求定义域为. 4. 已知函数，则下列判断中正确的是（ ） A. 是奇函数且为增函数 B. 是奇函数且为减函数 C. 是偶函数且为增函数 D. 是偶函数且为减函数 【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再结合函数奇偶性的定义判断其奇偶性，最后结合复合函数的单调性，即可判断其单调性. 【详解】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称， 则，所以为奇函数； 由， 因为在上单调递增，为增函数， 所以为增函数. 故选：A 5. 在某市2026年5月份的高二质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的全市学生有10000人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数据：，则， A. 8414名 B. 6827名 C. 3175名 D. 1588名 【答案】D 【解析】 【详解】因为学生的数学成绩服从正态分布，, 则， 而，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1588名. 6. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由图象可知函数定义域为，可知选项C定义域为，即，所以C错误； 由图象可知函数为奇函数，选项B可知，函数为偶函数，所以选项B错误； 对于选项D，可知， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以D错误. 可知选项A符合题意. 7. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设，由互不相等的实数满足， 得到，，，，由得到， 由结合得到，解得的范围，求出的范围，从而得到所求. 【详解】我们先分析函数的图像： 不妨设， 因为互不相等的实数满足， 所以，，，， 由，得，即， ， 因为，所以，解得， 则，即， ， 符合选项 D. 8. 已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数， 又，所以， 所以，则是周期为的周期函数， 又因为，即， 又当时，，所以，解得， 所以， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列描述中说法正确的是（ ） A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强则相关系数越接近于 B. 正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据相关系数、正态曲线性质、决定系数、残差的定义，结合对应知识点逐一判断即可. 【详解】选项A：两个线性相关变量的相关性越强，是相关系数的绝对值越接近于1， 若为负相关，相关性越强时相关系数越接近，而非1，故A错误； 选项B：正态分布中决定曲线的位置，反映数据的离散程度：越小数据越集中，正态曲线越“瘦高”； 越大数据越分散，正态曲线越“矮胖”，故B正确； 选项C：决定系数公式为，显然越大，残差平方和越小， 模型对数据的拟合效果越好，故C正确； 选项D：残差定义为实际观测值减回归预测值，将代入回归方程得， 对应残差为，不是，故D错误. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为32 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时， C. 函数的图象是中心对称图形 D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数求出递增区间判断A；取特值判断B；求出函数图象的对称中心判断C；利用单调性及对称性推理判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得，解得，则在上单调递增，A正确； 对于B，取，，则，B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点中心对称，C正确； 对于D，由且，得， 由在上单调递增，得，则，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 13. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过赋值求得所有系数的和，再利用二项式定理计算一次项系数，代入所求代数式即可得结果. 【详解】对等式， 令，则. 的一次项系数为； 根据二项式定理，的展开式通项为，其中. 令得，对应一次项系数为， 因此. 所以. 14. 若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】判断出两函数的图象关于直线对称，利用对称性即可求解. 【详解】函数（）满足，故其图象关于直线对称， 函数，其图象也关于直线对称， 故它们图象的交点也关于直线对称， 两函数图象的交点分别为，，…，， 不妨设，则必有在直线上，即， ， 故. 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 60 75 80 95 105 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； （2）该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩． （附：， ，， ，，，） 【答案】（1）0.992 （2），116分． 【解析】 【分析】（1）根据所给数据计算出相关系数. （2）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测. 【小问1详解】 因，， ， ， ， ． 【小问2详解】 由（或者）， ， 故得， 当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到80分钟时的数学成绩为116分． 16. 随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各100人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联； 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生和女生的人数之比为，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1） 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 ，可以推断该校学生的性别与喜欢数学有关联 （2）（或） 【解析】 【分析】（1）根据等高堆积条形图读取男生和女生喜欢数学的频率，结合样本容量计算频数并填写列联表，代入公式计算观测值，与临界值比较得出结论； （2）设事件为“抽取的学生喜欢数学”，利用男女生人数比例确定抽取到男生和女生的概率，结合样本频率作为条件概率，利用全概率公式求解． 【小问1详解】 由等高堆积条形图可知，男生样本中喜欢数学的频率为，人数为， 不喜欢数学的人数为；女生样本中喜欢数学的频率为，人数为， 不喜欢数学的人数为．填写列联表如下： 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为该校学生的性别与喜欢数学无关联， 根据列联表中的数据，计算的观测值： ， 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 我们没有充分证据推断成立，即认为该校学生的性别与喜欢数学有关联，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 设事件为“抽取的学生喜欢数学”，事件为“抽取的学生为男生”，事件为“抽取的学生为女生”． 由题意可知，该校男生和女生的人数之比为，所以，， 将样本的频率视为概率，所以，； 由全概率公式得. 所以从全校中随机抽取1名学生，抽到学生喜欢数学的概率为. 17. 设为实数，已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇函数满足列方程求解，注意验证； （2）根据定义法证明单调性； （3）根据前两问中函数的性质，结合单调性与奇偶性，将已知不等式转化为恒成立问题求解. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，解得，此时. ，满足题意，所以. 【小问2详解】 对于任意的实数，且， ， 因为指数函数是增函数，所以，故，, 所以，即， 所以是上的增函数. 【小问3详解】 因为函数是奇函数， 所以，即， 又是上的增函数，所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 根据对勾函数的单调性可知函数是增函数， 所以，所以，即实数的取值范围是. 18. 近年来，羽毛球运动因其特有的运动性价比在全国各地区受到越来越多的人的喜欢，某地区的羽毛球爱好者组织起了A，B两支羽毛球队进行比赛，他们协商规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）当时． （i）记比赛开始的前三场中，A队获胜的场数为，求的分布列； （ii）求在A队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）根据每场比赛的结果，会赋予球队一些经验值，若比赛结果为或者时，胜方赋经验值3分，负方赋经验值0分，比赛结果为时胜方赋经验值2分，负方赋经验值1分，求A队本次比赛赋经验值的期望，并求的取值范围． 【答案】（1）（i）分布列为 0 1 2 3 （ii） （2）；. 【解析】 【分析】（1）（i）该小题只研究前三场比赛，属于次数、概率都固定的独立重复试验，因此可直接判断服从二项分布，只需确定变量取值，套用二项分布公式算出对应概率，最后整理成分布列；（ii）本题利用条件概率公式求解，先根据五局三胜规则，分类算出A队所有获胜情况的总概率，再单独算出A队赢且恰好打满四场的概率，代入公式相除即可得出结果. （2）本题先根据比赛胜负情况分类写出每种取值的对应概率，代入期望公式化简得到关于的函数，再利用导数判断函数在给定区间的单调性，最后代入区间端点，求出期望的取值范围. 【小问1详解】 （i）由题意可知，，则的可能取值为0，1，2，3. ，，，. 所以分布列为 0 1 2 3 （ii）设事件表示“比赛恰好进行4场”，事件表示“A队获胜”. A队获胜包括三种情况：比赛3场A队获胜，其概率为； 比赛4场A队获胜，即前3场A队获胜2场，第4场A队胜，其概率为； 比赛5场A队获胜，即前4场A队获胜2场，第5场A队获胜，其概率为. 所以A队获胜的概率，A队获胜且比赛恰好进行4场的概率， 所以在A队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为. 【小问2详解】 A队本次比赛的经验值得分的可能取值为3，2，1，0. ，， ， . 所以. ，则， 因为，所以，再令，，判别式，两根： ，，在区间上，单调递减，故， 所以时，，，因此函数在上单调递增. 又，当趋近于1时，，则， 故的取值范围是. 【点睛】核心解题逻辑是依托独立重复试验与比赛终止规则分类计算概率，先解决离散型随机变量基础问题，再将含参期望转化为函数问题，用导数研究单调性求值域. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【答案】（1） （2）函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程； （2）利用零点存在定理求解函数的零点个数； （3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $