精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

哈尔滨市第六中学2024级高二下学期期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，，满足，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的偶函数，，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的最小值为 C. 函数的递减区间是 D. 若幂函数过点，则 10. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，时，函数的极大值为 B. 当，时，函数存在零点 C. 当，不等式恒成立，则的取值范围为 D. 若函数与的图象有交点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 13. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为_____________. 14. 已知函数有两个极值点，，则实数的取值范围为___________；若，则的最大值为_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤.） 15. 已知二次函数满足条件，且. （1）求函数的解析式； （2）若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值; （2）设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 17. 数列的前项和为，已知，，成等差数列. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学2024级高二下学期期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】因为存在命题的否定是全称命题， 所以命题“，”的否定是，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法、余弦函数的最值性质，结合集合交集、并集、子集、集合相等的定义逐一判断即可. 【详解】由， 所以， 由， 因此. A：因为，所以本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：因为，所以不成立，所以本选项说法不正确； D：因为，所以不成立，所以本选项说法不正确. 3. 已知正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 4. 数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断定义域、奇函数，排除B，C，再讨论得出时恒正，排除D，故选A. 【详解】定义域， ， 则为奇函数，图像关于原点对称，排除B，C， 当时，，， 当时，由于的增长速度比对数函数的增长速度快，且均为正， 则，，排除D. 故选：A. 5. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的性质，结合二次函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由题意得该函数的定义域为全体正实数， 可得， 令， 因为函数在定义域内存在单调递减区间， 所以， 而二次函数开口向下，对称轴为， 所以当时，该二次函数的最大值为， 所以的取值范围是. 6. 已知实数，，满足，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的性质，结合对数、指数的运算性质进行运算判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，因此， 所以，于是，即，所以. 7. 已知函数是定义域为的偶函数，，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得， 所以，. 8. 已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的最小值为 C. 函数的递减区间是 D. 若幂函数过点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质、指数函数和对数函数单调性，结合幂函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为函数的定义域为， 所以有，因此函数的定义域为，因此本选项说法正确； B：因为，所以，因此函数的最大值为，因此本选项说法不正确； C：由，或， 所以该函数的定义域为，显然区间不是该函数定义域的子集，所以区间不可能是该函数的单调区间，所以本选项说法不正确； D：因为幂函数过点， 所以，所以本选项说法正确. 10. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先令，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A，令 ，得，解得， 令，得，即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去； 所以，即，所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以令，得， 即，解得，故B错误； 对于C，令，得 所以，故C正确； 对于D，令，得， 因，则得， 令，则， 令，得，解得， 再令，得，解得； 令，得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，时，函数的极大值为 B. 当，时，函数存在零点 C. 当，不等式恒成立，则的取值范围为 D. 若函数与的图象有交点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，利用导数研究函数单调性极值即可；对于C，根据恒成立，即，令，利用导数研究函数单调性极值即可；对于D，当时函数与的图象有交点，等价于，令，利用导数求解. 【详解】对于A，当， 时，， 定义域为，则， 因为，则，，函数单调递增， ，，函数单调递减， 所以函数的极大值点为 ，极大值为，A正确； 对于B，当， 时，， 则， 当 时， ，当时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以函数不存在零点，B错误； 对于C，当，， 因为不等式恒成立，即，也就是， 令，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即的取值范围为，C正确； 对于D，当时函数与的图象有交点， 即， 令，则有， 其中函数图象如下，    在单调递减，单调递增， 当时，，，即：，则， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知：    当时，两个交点，所以有， 当时一个交点，所以有， 当时，没有交点，所以，故不符合题意， 所以的取值范围为，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，解方程，求出的值，然后分别验证即可． 【详解】已知函数，则， 由于在处取得极大值，则，即，解得或， 当时，，则对任意的，都有，此时不存在极值点，不符合题意，舍去； 当时，，令，解得或， 当时，，函数在单调递增； 当时，，函数在单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意， 综上所述，实数的值为. 13. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中不等式构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】设函数， 所以函数是实数集上的增函数， ， 所以不等式的解集为. 14. 已知函数有两个极值点，，则实数的取值范围为___________；若，则的最大值为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由有两个极值点，得有两个变号零点，构造函数，利用导数研究函数的性质，得函数的草图，利用草图列式可求出的取值范围；设，将化为，再构造函数，利用导数可求出其最大值. 【详解】由题意得的定义域为，， 由已知得是的两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，， 当时，，，， 如图，作出符合题意的图形， 由图可知，只需即可，所以， 即实数a的取值范围是； 若，又，则令， 由已知，则， 则，则，， 所以， 令，则， 令，则， 所以函数在上递增，又因为， 所以当时，，即， 所以函数在上递增，所以， 所以的最大值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤.） 15. 已知二次函数满足条件，且. （1）求函数的解析式； （2）若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 已知是二次函数，设，因 解得，故. 【小问2详解】 当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值是； ③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是. 综上，函数的最小值为. 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值; （2）设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【解析】 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【小问1详解】 因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； 【小问2详解】 ①因为， 所以； ②略； 17. 数列的前项和为，已知，，成等差数列. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】（1）因为，，成等差数列， 所以， 当时，， ，得 ， 由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，结合等差数列的性质、等比数列的定义进行求解即可. （2）根据等比数列前项和公式，结合数列的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知：数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 由题意可知：， ， 设， ， 因为，所以， 即， 所以数列是递增数列， 因为， 所以使得不等式成立的最小正整数的值为. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可； （2）根据导数的性质，结合题意进行求解即可； （3）利用构造函数法、导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，函数，可得， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由函数，可得， 令，则， 若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意； 若，令，可得， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，由恒成立，即， 即恒成立，即在上恒成立， 令， 可得， 令，则且， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1）当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在 和上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）要证，且，即证， 又因为. 故只需证明在上恒成立. 令，则. 当时，，；当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴，当且仅当时等号成立. ，当且仅当时取等号. 由得，由对数函数及可知， 函数与有唯一交点，因此方程有唯一解. 所以不等式在上恒成立. 令，∴， ∴在上单调递增，，即在上恒成立. . 因此不等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性与导数的正负性分类讨论进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合极值的定义，通过构造新函数,利用导数的性质进行求解即可； （3）将问题转化为证在上恒成立，然后构造新函数、利用导数的性质进行运算证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 当，即时，由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增； 若，，即函数在上单调递增； 若，即时，由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，要使既有极大值又有极小值，需使或. 当时，的极大值为，的极小值为， 依题意，，因，可得（*）， 设，则， 即函数在上单调递减，故，即，这与（*）矛盾，舍去； 当时，的极小值为，的极大值为， 依题意，，因，可得（**）， 由上分析，易得函数单调递减， 故，即，符合（**）. 综上可得，的取值范围为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $