精品解析：黑龙江省六校联考2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点分布的性质及概率分布的基本特征，列出方程，求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，所以，解得， 所以. 2. 曲线在处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】 . ，故曲线在处的切线斜率为0. 3. 已知随机事件，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 .  4. 已知离散型随机变量的分布规律为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用离散型随机变量分布列的概率和为1的性质求出参数m，再计算X取1、2的概率之和即可. 【详解】.将（）代入得：  得，解得， 事件等价于或，两事件互斥， 因此 . 5. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 40种 B. 120种 C. 200种 D. 240种 【答案】D 【解析】 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 6. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算单次摸球中奖的概率，再利用独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】单次摸球中奖的概率， 由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验， 所以摸球三次仅中奖两次的概率为： .  7. 已知函数，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究可得函数在上单调递增，且，从而将问题转化为对于任意实数恒成立，结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】当时，，则，所以在上单调递增，且 当时，，则，所以在上单调递增，当时，， 所以在上单调递增，且， 所以不等式恒成立，即恒成立， 由于在上单调递增，则， 即对于任意实数恒成立， 所以，解得：， 则实数的取值范围是. 8. 某智算中心由A，B两个各自独立的运算系统组成，任务随机分配给A，B的机会相等，A系统第一次运算成功的概率为0.9，B系统第一次运算成功的概率为0.8，若第一次运算失败，A系统会自动切换到B系统重新运算，B系统会自动切换到A系统重新运算，切换后A，B两个系统第二次运算成功的概率均为，每一个任务最多经过两次运算，若任务最终运算成功的概率为0.97，则下列说法正确的是（ ） A. B. 任务分配给A系统且最终运算失败的概率为0.02 C. 第一次运算失败，第二次运算成功的概率为0.12 D. 最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为0.6 【答案】C 【解析】 【详解】对于A： 若任务第一次运算成功，概率为， 若任务第一次运算失败，第二次运算成功，概率为， 因为任务最终运算成功的概率为0.97，所以，故A错误； 对于B：任务分配给A系统且最终运算失败的概率为，故B错误； 对于C：第一次运算失败，第二次运算成功的概率为 ，故C正确； 对于D：最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为 ，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A. B. C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，A正确； ， ，B正确，C错误； ，则，D正确. 10. 将含甲、乙的6名男性志愿者和含丙、丁的3名女性志愿者平均分配到A，B，C三个不同社区进行志愿者服务，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙被分配到不同社区的方法有1260种 B. 恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有2160种 C. 甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有1140种 D. A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分组分配问题及分步乘法，分类加法计数原理分别判断即可． 【详解】对于A，甲、乙被分配到不同社区的方法有种，故A正确； 对于B，恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有种，故B错误； 对于C，甲、丙、丁都不在同一社区的情况有种， 所有情况有种， 所以甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有种，故C正确； 对于D，A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的情况如下， ①A社区分配2名男性志愿者且丁在A社区的情况有种； ②A社区分配2名男性志愿者且丁在B社区的情况有种； ③A社区分配3名男性志愿者且丁在B社区的情况有种； 所以A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种，故D正确． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 若有2个极值点，则 C. 在上不单调的充要条件为 D. 当时，过点作曲线的切线有且仅有2条 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A项，令，由函数为奇函数进行求解；对于B项，转化为有2个变号零点求解；对于C项，转化为在上有解求解；对于D项，设切点为，整理得，判断方程根的个数求解． 【详解】对于A项，令， 则， 得函数为奇函数，它关于点对称，而， 则函数关于点对称，故的图象是中心对称图形，故A项正确； 对于B项，， 若有2个极值点，则有2个变号零点， 即有2个变号零点， 令，则函数为偶函数， 下面先研究当时的情况，， 当时，， 当时，则，故， 故函数在上单调递增， 且，当时，， 由函数为偶函数，得， 故要使有2个变号零点，则，故B项正确； 对于C项，在上不单调等价于在上有解， 即在上有解， 由B项可知，函数在上单调递增， ，即在上的值域为， 故在上不单调的充要条件为，故C项错误； 对于D项，当时，， 则，设切点为， 则切线方程为：， 将点代入上式，得， 整理得， 设，， 令， 得，则函数在上单调递增，且， 则当时，，得， 当时，，得， 故函数在上单调递增，故函数在上至多有一个零点， 故方程至多有一个实根， 则过点作曲线的切线至多只有一条，故D项错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 分别对三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为，则三组相关性的强弱从弱到强排序依次为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线性相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关性越强的性质，比较三组相关系数的绝对值大小即可完成排序. 【详解】线性相关系数的绝对值用于衡量成对数据线性相关性的强弱，越接近，线性相关性越强，的正负仅表示正相关或负相关，不影响相关性强弱的判定. 计算三组相关系数的绝对值：，，， 可得大小关系为， 因此、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为. 13. 设随机变量，若，且，则________. 【答案】0 【解析】 【详解】根据正态曲线的对称性可得，，故， 所以，解得. 14. 在的展开式中，含的项的系数为______________ 【答案】 17 【解析】 【分析】根据二项式定理进行求解即可. 【详解】， 二项式的通项公式为， 因此含的项的系数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表： 机床类型 产品质量 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 （1）以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为产品的质量与使用机床的类型有关 【解析】 【分析】（1）用次品除以总数，即可求出次品率； （2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 样品中，新型国产机床的次品频率为， 利用样本估计总体，得新型国产机床的次品率约为． 【小问2详解】 零假设为：产品的质量与使用机床的类型无关． 由列联表可得，， 依据的独立性检验，推断不成立， 即认为产品的质量与使用机床的类型有关． 16. 已知，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，利用导函数的正负判断函数的单调区间； （2）根据题意求出，再结合定义域分离参数可得，令，对求导，得到的单调性，再求出的最大值,从而得到的取值范围. 【小问1详解】 ∵函数的定义域是，． 令，得，解得， 的单调递减区间是． 令，得，解得，的单调递增区间是． 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是． 【小问2详解】 ，恒成立，恒成立． ，在上恒成立． 设，则． 令，得，（舍去）． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． ∴当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是． 17. 某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料．研发人员发现，复合材料的拉伸强度y（单位：GPa）与生产过程中添加的固化剂比例x（单位：%）具有相关性，为确定最佳配方，研究人员进行了5次平行试验，数据如下表： 试验编号 1 2 3 4 5 固化剂比例 2 4 6 8 10 拉伸强度 1 1.5 2.5 4.5 5.5 （1）求关于的经验回归方程； （2）求决定系数，并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好； （3）根据（1）中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于，求添加固化剂比例的最小值． 参考公式：经验回归方程为，其中：，，． 【答案】（1） （2），拟合效果较好 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，结合公式求出，继而即可求解； （2）结合公式求出决定系数，由越接近1，模型拟合效果越好可判断； （3）结合（1）的结论得，解不等式即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， ，， 所以. 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 所以， ， ， 决定系数越接近1，模型拟合效果越好，因此该线性回归模型的拟合效果较好. 【小问3详解】 ，解得， 所以添加固化剂比例的最小值为. 18. 某芯片研发机构的研究人员对新研发的10片芯片进行人工质检，发现有3片次品，其余为正品．现随机不放回抽检片，若为片中次品的个数． （1）求的分布列与期望； （2）证明：； （3）该机构引进一台高精度光谱分析仪，用于检测新研发芯片的缺陷．为检验该光谱分析仪检测性能的稳定性，规定：高精度光谱分析仪从经过人工质检的10片（其中3片次品）芯片中随机不放回抽检片，若检测出次品数量少于3片，则该光谱分析仪检测性能稳定．记为该高精度光谱分析仪检测性能稳定的概率，当时，证明：． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 . （2）总体，次品总数，抽取件不放回，次品数， 期望公式. ，等式得证. （3）由题意， 代表抽取片时次品少于3片的概率. 抽取片，次品少于3片等价于：先抽取片有件次品，再抽1片后总次品数仍小于3，利用条件概率： 作差： 当时，，且， 故，即，得证. 【解析】 【分析】(1)样本量，直接计算取0、1、2、3的概率写出分布列，再按定义求期望； (2)有两条解题路径，既可直接套用超几何分布期望公式化简证明，也可以构造新增抽取的随机变量，借助期望性质递推证明； (3)先利用超几何分布写出的组合数表达式，再借助条件概率建立两者关系式，作差判断差值恒正，完成不等式证明. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2，3， ，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数有两个不同的零点，． （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明： 设，因为，， 所以，整理可得，令，则， 则，所以，解得，则， 则证明，则整理可得，令， 则，令，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故. （3）证明： 由（1）知，当时，，， 因为在上单调递增，且，所以当时，， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以，则， 即， 令，则，所以， 则，，，， 当时，将以上个不等式两边分别相加，得， 所以， 当时，成立，所以得证. 【解析】 【分析】（1）将问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，，数形结合即可求解； （2）由，为函数零点得到，令，化简得到， 令，再次构造函数令，求导得到的单调性，即可得证. （3）证明，再利用累加法即可证明． 【小问1详解】 令，可得，因为，所以， 问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，所以， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在处取得最小值， 当时，；当.时，， 要使与有两个交点，必须满足， 因此，实数的取值范围是 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机事件，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知离散型随机变量的分布规律为，则（ ） A. B. C. D. 5. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 40种 B. 120种 C. 200种 D. 240种 6. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某智算中心由A，B两个各自独立的运算系统组成，任务随机分配给A，B的机会相等，A系统第一次运算成功的概率为0.9，B系统第一次运算成功的概率为0.8，若第一次运算失败，A系统会自动切换到B系统重新运算，B系统会自动切换到A系统重新运算，切换后A，B两个系统第二次运算成功的概率均为，每一个任务最多经过两次运算，若任务最终运算成功的概率为0.97，则下列说法正确的是（ ） A. B. 任务分配给A系统且最终运算失败的概率为0.02 C. 第一次运算失败，第二次运算成功的概率为0.12 D. 最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为0.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A. B. C. ， D. ， 10. 将含甲、乙的6名男性志愿者和含丙、丁的3名女性志愿者平均分配到A，B，C三个不同社区进行志愿者服务，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙被分配到不同社区的方法有1260种 B. 恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有2160种 C. 甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有1140种 D. A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 若有2个极值点，则 C. 在上不单调的充要条件为 D. 当时，过点作曲线的切线有且仅有2条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 分别对三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为，则三组相关性的强弱从弱到强排序依次为_______________． 13. 设随机变量，若，且，则________. 14. 在的展开式中，含的项的系数为______________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表： 机床类型 产品质量 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 （1）以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 17. 某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料．研发人员发现，复合材料的拉伸强度y（单位：GPa）与生产过程中添加的固化剂比例x（单位：%）具有相关性，为确定最佳配方，研究人员进行了5次平行试验，数据如下表： 试验编号 1 2 3 4 5 固化剂比例 2 4 6 8 10 拉伸强度 1 1.5 2.5 4.5 5.5 （1）求关于的经验回归方程； （2）求决定系数，并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好； （3）根据（1）中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于，求添加固化剂比例的最小值． 参考公式：经验回归方程为，其中：，，． 18. 某芯片研发机构的研究人员对新研发的10片芯片进行人工质检，发现有3片次品，其余为正品．现随机不放回抽检片，若为片中次品的个数． （1）求的分布列与期望； （2）证明：； （3）该机构引进一台高精度光谱分析仪，用于检测新研发芯片的缺陷．为检验该光谱分析仪检测性能的稳定性，规定：高精度光谱分析仪从经过人工质检的10片（其中3片次品）芯片中随机不放回抽检片，若检测出次品数量少于3片，则该光谱分析仪检测性能稳定．记为该高精度光谱分析仪检测性能稳定的概率，当时，证明：． 19. 已知函数有两个不同的零点，． （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $