第3章 不等式（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

第3章 不等式 教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合.； 2.难点 集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 知识点01 不等式的性质 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2、 作差法比大小： ①；②；③ 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 3 可加性 4 可乘性 5 同向可加性 6 同向同正可乘性 7 可乘方性 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 【即学即练】 1．下列不等式，正确的个数为（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 2.（多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点02 基本不等式 已知都是正数， ①如果积是定值，由基本不等式，那么当且仅当时，和有最 值 ；（简记为： ）. ②如果和是定值，由基本不等式可得，那么当且仅当时，积有最 值 ．（简记为： ） 注：利用基本不等式求最值的方法，但应注意三个条件：： 。 【即学即练】 1．已知，且，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 知识点03 一元二次不等式及其解法 1.不含参数的一元二次不等式的解法 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 2.解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【即学即练】 1．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．已知实数，则不等式的解集不可能是（ ） A． B． C．或 D．或 题型01 不等式性质 【典例1】（多选）下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解. 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 【变式1】（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】已知，，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（　　） A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定 【变式4】已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 题型02 利用基本不等式求最值 【典例1】（多选）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 运用基本不等式求最值时把握三个条件 (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到. 这三个条件缺一不可. 利用基本不等式求最值，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常用变形技巧如下： (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. (2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值. (3)配——配式、配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 【变式1】（多选）已知a，b为正实数，且，则（ ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【变式2】已知，且，则的最大值为（ ） A．36 B．25 C．16 D．9 【变式3】已知，，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D．4 【变式4】已知，且，则的最小值是 ． 题型03 一元二次不等式的解法 【典例1】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 【变式1】（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【变式2】若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【变式3】已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【变式4】高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 题型04 恒成立问题 【典例1】已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ） A． B． C． D． 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法： 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法： 将参数分离转化为求解最值问题. (3)数形结合法： 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化. 【变式1】若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【变式2】已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【变式3】不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式4】已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 题型05 一元二次不等式以及基本不等式的实际应用 【典例1】数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【变式1】如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 【变式2】某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 【变式3】利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 1．下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．12 4．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 5．已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 8．（多选）已知且，则下列说法正确的有（ ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 9．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（ ） A．1 B． C．3 D．4 10．若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 11．若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 12．已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 13．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 14．已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式 教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合.； 2.难点 集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 知识点01 不等式的性质 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2、 作差法比大小： ①；②；③ 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 【即学即练】 1．下列不等式，正确的个数为（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用作差法以及因式分解对各式逐一判断即可得出结论. 【解析】①，所； ②， 易知，但的符号不能确定，所以②不一定正确； ③，所以.故①③正确． 故选：C. 2.（多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特例判断A，根据不等式的性质判断BC，利用作差法判断D. 【解析】对A，当时，不成立，故A错误； 对B，由可得，又，所以可得， 故B正确； 对C，因为，，可得，所以，故C正确； 对D，，又因为，， 所以的符号不确定，故符号不确定，故D错误. 故选：BC 知识点02 基本不等式 已知都是正数， ①如果积是定值，由基本不等式，那么当且仅当时，和有最 小 值 2 ；（简记为：积定和最小）. ②如果和是定值，由基本不等式可得，那么当且仅当时，积有最 大 值 S2 ．（简记为：和定积最大） 注：利用基本不等式求最值的方法，但应注意三个条件：：一“正”、二“定”、三“相等”。 【即学即练】 1．已知，且，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得； 【解析】因为且，所以，所以 当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为 故选：C 2．已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】由可得， 所以， 因为正实数a，b满足，所以， 故， 当且仅当，即， 故选：D 知识点03 一元二次不等式及其解法 1.不含参数的一元二次不等式的解法 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 2.解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【即学即练】 1．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 2．已知实数，则不等式的解集不可能是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解析】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 题型01 不等式性质 【典例1】（多选）下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明. 【解析】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误； 对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确； 对选项C：若，则，所以选项C错误； 对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确， 故选：BD． 不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解. 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 【变式1】（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论. 【解析】依题意，正实数x，y满足，， 若，则，所以①错误. ，所以②正确. 由于，所以，所以③正确. ，所以④正确. 故选：BCD 【变式2】已知，，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可。 【解析】对于A：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项A错误； 对于B：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项B错误； 对于C：， 因为，所以，，， 所以一定成立，即选项C正确； 对于D：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项D错误. 故选：C. 【变式3】某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（　　） A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意列出不等关系，利用不等关系求的范围可得. 【解析】设玫瑰和康乃馨每支分别为x元、y元，则， 令，即， 则有，解得， 所以， 即. 故选：A 【变式4】已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】13 【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解. 【解析】由，故， 当且仅当时，等号成立，即， 由，故，则， 故. 故答案为：13. 题型02 利用基本不等式求最值 【典例1】（多选）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【解析】对于A：，，， 则，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：，，，，当且仅当时等号成立， ，即，故的最大值为，故B正确； 对于C：，，，即，， ， 当时，的最小值为，故C错误； 对于D：，，，即 ，， ， 当时，的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 运用基本不等式求最值时把握三个条件 (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到. 这三个条件缺一不可. 利用基本不等式求最值，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常用变形技巧如下： (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. (2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值. (3)配——配式、配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 【变式1】（多选）已知a，b为正实数，且，则（ ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项. 【解析】对于A，， 因为（当且仅当时取“=”）， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确； 对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误； 对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确． 故选：BD． 【变式2】已知，且，则的最大值为（ ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】B 【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解. 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式3】已知，，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2， 故选：A 【变式4】已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号． 故答案为： 题型03 一元二次不等式的解法 【典例1】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【解析】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 【变式1】（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据不等式的解集与不等式的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断D选项. 【解析】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 因此，不等式的解集为或，D对. 故选：AD. 【变式2】若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【解析】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 【变式3】已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，；(2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【解析】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【变式4】高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． （2）恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为．. 题型04 恒成立问题 【典例1】已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围． 【解析】， ，当且仅当时“”成立， 又不等式恒成立， ， 的取值范围是． 故选：B． 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法： 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法： 将参数分离转化为求解最值问题. (3)数形结合法： 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化. 【变式1】若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，则对一切实数都成立，符合题意， 当时，则，解得， 综上可得， 故答案为； 【变式2】已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【解析】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 【变式3】不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式4】已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数；(2)；(3) 【解析】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 因为，则， 所以，即的取值范围是． （3）当时，恒成立． 则， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 题型05 一元二次不等式以及基本不等式的实际应用 【典例1】数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【解析】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 【变式1】如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，则，根据可求出的取值范围，求出，，利用基本不等式可求得矩形面积的最小值. 【解析】设，则，其中， 因为，则，可得， 由题意可得，， 所以，矩形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，矩形面积的最小值为. 故答案为：. 【变式2】某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 【答案】 【解析】由题设，且，， 所以且，即，， 令，则， 所以两根分别为，， 综上，可得，， 所以正整数的取值组成的集合为. 故答案为： 【变式3】利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，；(2)；(3) 【解析】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 1．下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，C利用不等式的性质判断即可；对于B，举反例判断；对于D，利用作差法判断 【解析】对于A，当，时，，，此时，故A错误； 对于B，当，时，，但是，故B错误； 对于C，当，时，，，所以，即，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，故D正确. 故选：D. 2．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【解析】因为，又，， 所以的取值范围是． 故选：C． 3．已知实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 4．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【解析】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 5．已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 6．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可. 【解析】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D. 7．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据不等式的解集与不等式的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断D选项. 【解析】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 因此，不等式的解集为或，D对. 故选：AD. 8．（多选）已知且，则下列说法正确的有（ ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【分析】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【解析】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 9．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（ ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：ABC 10．若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【解析】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 11．若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 12．已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)3；(2). 【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值； （2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值. 【解析】（1）因为，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为3. （2） ， 因为，所以， 所以原式 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为 13．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)最多150人；(2)存在， 【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值. （2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围. 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则， ，， ，解得， ∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人； （2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， ∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为 14．已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）分与讨论，当时结合二次函数图像，列出不等式，代入计算，即可求解； （2）先因式分解，然后对两根的大小进行讨论，即可求解； （3）先令，由可得，将问题转化为有四个不同的实根，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $