第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（知识详解+9典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 （知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数的零点 知识点02：不含参数的一元二次不等式的解法 知识点03：简单分式不等式的解法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：一元二次方程根的分布问题 题型02：解不含参数的一元二次不等式 题型03：解含有参数的一元二次不等式 题型04：由一元二次不等式的解确定参数 题型05：二次函数零点求解题型 题型06：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型07：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型08：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型09：简单分式不等式求解 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】二次函数的零点 1.一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. 2.当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如表所示: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 x1,2= 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象 二次函数y=ax2+bx+c的零点 有两个零点x1,2= 有一个零点x=- 无零点 温馨提示　(1)函数的零点不是函数图象与x轴的交点,而是交点的横坐标,即令y=0时,对应方程的根. (2)当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如表所示: 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 x1，2= 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象 二次函数y=ax2+bx+c的零点 有两个零点x1,2= 有一个零点x=- 无零点 【例1】求二次函数 的零点。 解析：步骤1：根据零点定义，令函数值为0，列方程： 步骤2：因式分解求解方程： 解得： 最终结论：该二次函数的零点为和。 【知识点02】不含参数的一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式不等式,叫作一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数 温馨提示　一元二次不等式的隐含条件是二次项系数a≠0. 2.二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞) ∪ R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 (x1,x2) ⌀ ⌀ 温馨提示　(1)当a>0时,若不等式对应的一元二次方程易求出两根,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集. (2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集. (3)当a<0时,通过不等式两边同乘以-1,可将问题转化为二次项系数为正的情形,利用上表解决. 【例2】解一元二次不等式 。 解析：步骤1：判断二次项系数，，抛物线开口向上； 步骤2：求解对应方程的根：令 因式分解得： 解得： 步骤3：根据解集口诀，小于0取中间区间； 最终解集： 【知识点03】简单分式不等式的解法 简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 温馨提示　解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为整式不等式(组)求解.当分式不等式含有等号时,分母不为零. 【例3】解分式不等式 。 解析：步骤1：等价转化，分式小于0等价于分子分母异号： 步骤2：求对应方程零点： 步骤3：二次函数开口向上，小于0取中间区间； 最终解集： 【题型01】一元二次方程根的分布问题 【典例1-1】（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为Ý， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 【变式1-2】（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 【变式1-3】已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用并集的结果，结合一元二次方程根的分布列式求解. 【详解】由，得，而， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型02】解不含参数的一元二次不等式 【典例2-1】（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以不等式的解集为 【变式2-1】（24-25高一上·江苏·阶段检测）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】化不等式的二次项系数为正，再分解因式求解不等式. 【详解】不等式化为：，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）解下列一元二次不等式．（本题答案必须用区间或者集合表示） (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：由可得，解得或， 故原不等式的解集为或. （2）解：原不等式可化为，即，解得， 故原不等式的解集为. 【变式2-3】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）解下列关于x的不等式； (1)； (2)； (3) 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解法求解； （3）换元之后结合一元二次不等式解法求解. 【详解】（1）不等式可化为：， 即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）不等式可化为：， 解得， 所以不等式的解集为； （3）不等式可化为：， 即， 又因为，所以， 解得， 所以不等式的解集为 【题型03】解含有参数的一元二次不等式 【典例3-1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解答】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 【变式3-1】（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 【变式3-2】解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】利用二次函数图象及其性质，分、、及讨论即可得. 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，令，解得或， 则当时，有，原不等式可化为，解得； 当时，有，则原不等式解集为； 当时，有，则原不等式解集为； 综上所述：当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【题型04】由一元二次不等式的解确定参数 【典例4-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）关于的不等式的解集是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知关于的方程的两根分别为、，根据韦达定理可求出、的值，即可得解. 【详解】由题意可知关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得，，故. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）若关于的不等式的解集为且非空，则的值为____________. 【答案】或/或 【分析】由题意可得，且方程的实数解为，再利用韦达定理求出即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为且非空， 所以，且方程的实数解为， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）设函数，若不等式的解集为，则_____ 【答案】 【分析】分析可知，且关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求出、，即可得出的值. 【详解】因为不等式的解集为，则， 且关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得，故. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集是，求的值： (2)若，求此不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果； （2）分，，，，五种情况求解不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且， 则，解得，故. （2）当时，由题意得， 当时，可化为，解得， 由（），解得或， 当时，由，得或， 当，即时，由，得， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，由，得， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【题型05】二次函数零点求解题型 【典例5-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数的零点：； 【答案】和2． 【分析】解一元二次方程求零点即可； 【详解】由得，∴或． 所以函数 的零点为和2． 【变式5-1】求下列函数的零点： (1)； (2). 【答案】(1)无零点 (2)1 【分析】令得到方程，求出零点 【详解】（1）在中令，得， 又此方程无解， 所以函数无零点. （2）在中令，得， 解得， 所以函数的零点为1. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数 (1)时，求函数的零点； (2)，求的解集； 【答案】(1)和 (2)答案见解析 【分析】（1）由函数零点的定义代入计算，即可得到结果； （2）分类讨论，结合一元二次不等式的解集，即可得到结果； 【详解】（1）时，由解得，或，所以函数的零点为：和. （2）因为，即， 时，，的解集为：， 时，的解集为：， 时，，的解集为：； 【变式5-3】求下列函数的零点. (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】根据一元二次方程的根，结合求根公式或者因式分解即可求解. 【详解】（1）令，， 所以方程有两个不相等的实数根为， 所以函数的零点为. （2）令，即， 得或， 当即时，方程有两个相等的实数根， 当时，方程有两个不相等的实数根和， 所以当时，函数的零点为，当时，函数的零点为和． 【题型06】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【典例6-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 【变式6-1】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】数形结合，根据二次函数的图象，求得参数，再求一元二次不等式即可. 【详解】根据二次函数的图象可知，为方程的两根， 故，即， 则即，也即， ，解得或. 故不等式解集为. 故答案为：. 【变式6-2】已知函数， (1)若方程有两根，且两根为，求的取值范围； (2)已知，关于的不等式的解为，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求得的范围，再由韦达定理和，结合二次函数的性质，即可求解； （2）由题意，结合二次函数的图象与性质，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由，即， 因为有两根，可得，解得或， 且， 则， 因为或，可得，所以值范围为. （2）解：因为， 由，的解为，且，可得， 解得，即实数的取值范围是. 【变式6-3】已知二次函数（为实数） (1)若的解集为，求二次函数的零点； (2)若对任意，恒成立，求的最大值． 【答案】(1)1和2 (2) 【分析】(1)根据一元二次方程的解、一元二次不等式的解集和二次函数的零点之间的关系即可求解； (2)根据一元二次不等式恒成立可得、进而，将原式化为，利用基本不等式计算即可. 【详解】（1），即的解集为， 所以方程解为1和2， 则二次函数的零点为1和2 （2）对任意，恒成立，则，即， 此时，即因为所以 所以， 则， 当且仅当时，即时取“＝”， 所以的最大值为. 【题型07】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例7-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图象性质即可求解. 【详解】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 【变式7-1】（多选）（25-26高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出命题“，”为真命题的充要条件是，判断各选项是否是的真子集，进而判断是不是充分不必要条件. 【详解】当时，，恒成立； 当时，“，”等价于，解得. 命题“，”为真命题的充要条件是. 因为，，是的真子集， 所以，，均是命题“，”为真命题的充分不必要条件. 故选：ABD. 【变式7-2】（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知为实数，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】当时，不等式显然成立，当时，令，转化为恒成立，再根据二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】， 当时，显然成立， 当时，恒成立， 令，则恒成立，故，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若对任意实数，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式即可得解集为空； （2）由题意得不等式对于任意实数恒成立，根据判别式的符号求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为， 由于， 所以不等式的解集为. （2）由题意得不等式对于任意实数恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型08】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·江苏南京·期中），恒成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分情况讨论，根据在上恒成立求的取值范围. 【详解】根据题意，不等式在上恒成立. 若，则不等式可化为，所以不合题意. 若0，则不等式可化为. 因为在上恒成立，所以必有的根为1， 所以. 故选：A 【变式8-1】（多选）（25-26高一上·江苏扬州·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ）． A．7 B．5 C．3 D． 【答案】BCD 【分析】先进行参数分离，再用基本不等式求最小值，进而可得. 【详解】由，且，所以， 则问题转化为对于恒成立. 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为， 结合选项可知A错误，BCD正确. 故选：BCD． 【变式8-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____. 【答案】； 【分析】由于的解集为,可得，列出不等式即可求解. 【详解】由于的解集为,则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为； 故答案为： 【变式8-3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）已知不等式． (1)当时不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对参数进行分类讨论，利用判别式即可求得实数的取值范围； （2）对参数进行分类讨论并利用二次函数图象性质，解不等式即可得出结果. 【详解】（1）根据题意可知当时，不等式为，满足题意； 当时，不等式恒成立，需满足， 解得； 综上可知，实数的取值范围为 （2）当时，不等式为，满足题意； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为； 所以当时，若不等式恒成立，则，解得； 当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立，则，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 【题型09】简单分式不等式求解 【典例9-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将不等式右边的移到左边进行通分化简，再利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：不等式 ，即，即，则， 解得，故原不等式的解集为； 故答案为： 【变式9-1】（25-26高一上·江苏常州·期中）设，则“”是“”的（　　） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解分式不等式，再根据充分不必要的定义判断即可. 【详解】，即，解得， 所以“”是“”的充分且不必要条件. 故选：. 【变式9-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为________. 【答案】 【分析】由分式不等式解法可得答案. 【详解】，则解集为. 故答案为：。 【变式9-3】（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）解不等式 (1) (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把不等式变形为求解； （2）通过分类讨论解分式不等式. 【详解】（1）不等式变形为， 即，解得. 所以不等式的解集为. （2）不等式，即， 等价于或，解得或. 所以不等式的解集为或. 知识点01二次函数的零点（核心概念） 1. 零点定义 对于二次函数 ，使 的实数 称为二次函数的零点。 2. 三位一体等价关系（本章核心） 二次函数零点方程 的实数根抛物线与x轴交点的横坐标 3. 零点个数判定（判别式） 判别式： ：两个不相等实数根 两个不同零点 ：两个相等实数根 一个二重零点 ：无实数根 无零点 知识点02不含参数的一元二次不等式的解法 1. 标准形式 统一化为：、、、 2. 函数图象解题思想 当 ，抛物线开口向上： ：图象在x轴上方部分 大于取两边 ：图象在x轴下方部分 小于取中间 3. 通用解题步骤 标准化（令） 求对应方程的根 结合图象写区间解集 4. 特殊情况总结（） ， 解集为 ， 解集为 知识点03简单分式不等式的解法 1. 核心等价转化公式（必考） 2. 解题铁律 禁止直接乘分母（无法判断正负，易出错） 含等号必须单独排除分母为0的点 本质：分式不等式 整式二次不等式转化求解 知识点04本章整体思想（函数视角） 1. 方程的根：对应函数图象与x轴交点； 2. 不等式解集：对应函数图象在x轴上方/下方的横坐标范围； 3. 贯穿思想：用函数图象统一解决方程与不等式问题。 知识点05高频易错点小结 解二次不等式不标准化，忘记把 化为正数，导致解集取反； 混淆口诀：开口向下不适用“大于取两边、小于取中间”； 分式不等式含等号时，忘记剔除分母为0的取值； 误将“二重零点”当成两个零点，概念混淆。 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）“，”的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得“，”的充要条件，进而逐项判断即可. 【详解】若，为真命题，则， 解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确； 所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确； 所以是“，”的必要不充分条件，故C正确； 所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 3．方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 5．已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A 6．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】当时，，解得，解集不为R，不合要求，舍去； 当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A 7．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】不等式对一切实数都成立，按照和讨论求解， 当时， ，计算求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义得到结论. 【详解】不等式对一切实数都成立， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式对一切实数都成立， ，，， 综上可知，不等式对一切实数都成立，则； 则“”是“为真命题”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【详解】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】根据不等式的解与方程的根之间的关系，结合韦达定理可得，即可代入选项中逐一求解. 【详解】由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根，所以且，则且，故A正确， 对于B,不等式为，解得，故解集是，故B错误， 对于C, ，C正确， 对于D, 化为，即，解得，故不等式的解为，D错误， 故选：AC 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）下列不等式的解集正确的是（   ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解法判断A、B，将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组）并求解即可判断C，将两边平方，再解一元二次不等式，即可判断D. 【详解】对于A：不等式，即，即，解得， 所以的解集是，故A正确； 对于B：不等式，即，所以不等式的解集为空集，故B错误； 对于C：不等式，即，即，等价于，解得， 所以的解集是，故C正确； 对于D：由得，即， 则，即， 解得，故不等式的解集是，故D正确； 故选：ACD. 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）设、、为实数，已知关于的不等式的解集为，下列说法中正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若关于的不等式恰有个整数解，则 【答案】ACD 【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；利用韦达定理得出，代值计算可判断B选项；利用一元二次不等式的解法可判断C选项；将不等式变形为，确定该不等式的整数解，可得出关于的不等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，所以，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，所以， 所以，B错； 对于C选项，不等式即为，即， 解得或，故原不等式的解集为，C对； 对于D选项，不等式即为， 即为， 设，则该函数的对称轴方程为， 因为关于的不等式恰有个整数解，则这三个整数解为、、， 故，解得，故实数的取值范围是，D对. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】令，根据题意结合函数的图象即可求解. 【详解】令， 因为集合的元素个数为2， 则，即函数的图象开口向上， 又，， 则， 所以，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    13．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围_______ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立，分类求解即得. 【详解】由题，恒成立， 当时，恒成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）解不等式 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用解关于的一元一次不等式的方法即可求解； （2）利用解关于的一元二次不等式的方法即可求解； （3）利用解关于的分式不等式的方法即可求解； 【详解】（1）由，则，解得，， 故不等式的解集为. （2）由的根为， 则结合一元二次方程，二次函数的图象，一元二次不等式的关系知， 不等式解集为. （3）由， 又，解得，或， 因此不等式的解集为 16．求下列函数的零点： （1）； （2）. 【答案】（1）.  （2） 【解析】（1）令，解方程得到答案. （2）令，解方程得到答案. 【详解】（1）令，解得或，因此函数的零点为 （2）令，得或或，因此函数的零点为. 【点睛】本题考查了求函数零点，属于简单题. 17．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是双元素集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出集合，再利用推出，讨论集合的所有可能情况，进而求出实数的取值范围； （2）根据是双元素集，且，利用二次函数的性质及判别式来确定的取值范围． 【详解】（1），解得， ， ， ， 若，则，解得； 若，原方程等价于，则，无解； 若，原方程等价于则，解得； 若，原方程等价于，则，无解． 综上，实数的取值范围是. （2）集合是双元素集，且， 关于的方程在内有两个相异实根， 则，解得， 设， ， 对称轴，解得， ，解得或， 的取值范围是． 18．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理求出，，代入解不等式即可求出答案； （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系利用韦达定理即可求出答案； （3）根据不等式恒成立得到，进而得到，利用换元法借助于基本不等式求的最小值即可求出答案. 【详解】（1）由题意得的两根为和，且， 所以，， 即，， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 因为不等式的解集为， 所以的两根为和， 所以，， 解得. （3）对于成立， 则，得， 设，因为，所以，则， 设，此时， 当且仅当，即，即时，等号成立， 由，即时，取最小值为3． 19．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. （3）由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 （知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数的零点 知识点02：不含参数的一元二次不等式的解法 知识点03：简单分式不等式的解法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：一元二次方程根的分布问题 题型02：解不含参数的一元二次不等式 题型03：解含有参数的一元二次不等式 题型04：由一元二次不等式的解确定参数 题型05：二次函数零点求解题型 题型06：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型07：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型08：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型09：简单分式不等式求解 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】二次函数的零点 1.一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. 2.当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如表所示: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 x1,2= 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象 二次函数y=ax2+bx+c的零点 有两个零点x1,2= 有一个零点x=- 无零点 温馨提示　(1)函数的零点不是函数图象与x轴的交点,而是交点的横坐标,即令y=0时,对应方程的根. (2)当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如表所示: 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 x1，2= 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象 二次函数y=ax2+bx+c的零点 有两个零点x1,2= 有一个零点x=- 无零点 【例1】求二次函数 的零点。 【知识点02】不含参数的一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式不等式,叫作一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数 温馨提示　一元二次不等式的隐含条件是二次项系数a≠0. 2.二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞) ∪ R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 (x1,x2) ⌀ ⌀ 温馨提示　(1)当a>0时,若不等式对应的一元二次方程易求出两根,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集. (2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集. (3)当a<0时,通过不等式两边同乘以-1,可将问题转化为二次项系数为正的情形,利用上表解决. 【例2】解一元二次不等式 。 【知识点03】简单分式不等式的解法 简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 温馨提示　解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为整式不等式(组)求解.当分式不等式含有等号时,分母不为零. 【例3】解分式不等式 。 【题型01】一元二次方程根的分布问题 【典例1-1】（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【变式1-3】已知集合，若，求实数的取值范围. 【题型02】解不含参数的一元二次不等式 【典例2-1】（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·江苏·阶段检测）不等式的解集为______. 【变式2-2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）解下列一元二次不等式．（本题答案必须用区间或者集合表示） (1)； (2). 【变式2-3】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）解下列关于x的不等式； (1)； (2)； (3) 【题型03】解含有参数的一元二次不等式 【典例3-1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】解关于的不等式：. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，解关于的不等式. 【题型04】由一元二次不等式的解确定参数 【典例4-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）关于的不等式的解集是，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）若关于的不等式的解集为且非空，则的值为____________. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）设函数，若不等式的解集为，则_____ 【变式4-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集是，求的值： (2)若，求此不等式的解集. 【题型05】二次函数零点求解题型 【典例5-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数的零点：； 【变式5-1】求下列函数的零点： (1)； (2). 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数 (1)时，求函数的零点； (2)，求的解集； 【变式5-3】求下列函数的零点. (1)； (2). 【题型06】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【典例6-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________. 【变式6-2】已知函数， (1)若方程有两根，且两根为，求的取值范围； (2)已知，关于的不等式的解为，若，求实数的取值范围. 【变式6-3】已知二次函数（为实数） (1)若的解集为，求二次函数的零点； (2)若对任意，恒成立，求的最大值． 【题型07】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例7-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）（25-26高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知为实数，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 【变式7-3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若对任意实数，有恒成立，求实数的取值范围. 【题型08】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·江苏南京·期中），恒成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）（25-26高一上·江苏扬州·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ）． A．7 B．5 C．3 D． 【变式8-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____. 【变式8-3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）已知不等式． (1)当时不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型09】简单分式不等式求解 【典例9-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·江苏常州·期中）设，则“”是“”的（　　） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为________. 【变式9-3】（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）解不等式 (1) (2). 知识点01二次函数的零点（核心概念） 1. 零点定义 对于二次函数 ，使 的实数 称为二次函数的零点。 2. 三位一体等价关系（本章核心） 二次函数零点方程 的实数根抛物线与x轴交点的横坐标 3. 零点个数判定（判别式） 判别式： ：两个不相等实数根 两个不同零点 ：两个相等实数根 一个二重零点 ：无实数根 无零点 知识点02不含参数的一元二次不等式的解法 1. 标准形式 统一化为：、、、 2. 函数图象解题思想 当 ，抛物线开口向上： ：图象在x轴上方部分 大于取两边 ：图象在x轴下方部分 小于取中间 3. 通用解题步骤 标准化（令） 求对应方程的根 结合图象写区间解集 4. 特殊情况总结（） ， 解集为 ， 解集为 知识点03简单分式不等式的解法 1. 核心等价转化公式（必考） 2. 解题铁律 禁止直接乘分母（无法判断正负，易出错） 含等号必须单独排除分母为0的点 本质：分式不等式 整式二次不等式转化求解 知识点04本章整体思想（函数视角） 1. 方程的根：对应函数图象与x轴交点； 2. 不等式解集：对应函数图象在x轴上方/下方的横坐标范围； 3. 贯穿思想：用函数图象统一解决方程与不等式问题。 知识点05高频易错点小结 解二次不等式不标准化，忘记把 化为正数，导致解集取反； 混淆口诀：开口向下不适用“大于取两边、小于取中间”； 分式不等式含等号时，忘记剔除分母为0的取值； 误将“二重零点”当成两个零点，概念混淆。 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）“，”的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 3．方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）下列不等式的解集正确的是（   ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）设、、为实数，已知关于的不等式的解集为，下列说法中正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若关于的不等式恰有个整数解，则 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 13．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围_______ 14．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）解不等式 (1) (2) (3) 16．求下列函数的零点： （1）； （2）. 17．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若是双元素集，且，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 19．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 1 学科网（北京）股份有限公司 $