专题3.1 不等式的基本性质（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦不等式的基本性质这一核心知识点，从梳理等式性质引入不等式概念，通过作差法建立实数大小比较的逻辑基础，系统整合不等式的对称性、传递性等性质，构建“概念-比较-性质-应用”的完整学习支架。 资料以实际问题（如汽车购买资金规划、图书角组建）为情境，通过即学即练与分层变式题型，培养学生用数学眼光发现不等关系、用数学思维推理性质应用的能力，课中助力教师高效授课，课后帮助学生通过典型例题巩固知识，查漏补缺。

专题3.1 不等式的基本性质 教学目标 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小． 3.体会“作差法”在比较大小和证明不等式中的作用． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际问题的能力； 教学重难点 1.重点 掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关应用问题。 2.难点 作差法比较不等式大小，不等式性质的运用。 知识点01 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 【即学即练】 1．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【分析】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆，再根据题意列出不等式组即可. 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 2．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 【答案】答案见解析 【分析】由题意列不等式组即可． 【详解】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个， 由题意得 知识点02 实数a，b大小的比较 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： （1）如果是正数,那么; （2）如果等于零,那么; （3）如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 2.作差法与作商法比大小： 作差比较法 作商比较法 依据 a-b>0⇔a>b； a-b<0⇔a<b； a-b=0⇔a=b a>0，b>0且>1⇒a>b； a>0，b>0且<1⇒a<b 应用范围 作差后可化为积或商的形式 同号两数(式)比较大小 步骤 ①作差； ②变形； ③判断符号； ④下结论 ①作商； ②变形； ③判断商与1的大小关系； ④下结论 变形 技巧 ①分解因式； ②平方后作差； ③配方法； ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组 即学即练】 1．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 2．已知，则与的大小关系为____________. 【答案】 【分析】运用做商比较法，由题意可得，与1比较大小. 【详解】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 故答案为：. 知识点03 等式及不等式的性质 1．等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 序号 性质名称 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 【即学即练】 1．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特值寻找ABD的反例,使用同正可乘性验证C即可. 【详解】当，时，ABD显然错误； 由可得，由不等式性质可得，，故C正确. 2.（多选）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 题型01 用不等式(组）表示不等关系 【典例1】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【答案】 【分析】由题意根据题中给的不等关系直接转换成相应的不等式组，注意球的个数应为自然数，由此即可得解. 【详解】由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的 ，所以， 又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以， 而注意到球的个数应为自然数， 故满足题意的不等关系为. 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量； (3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 【变式1】平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 【变式2】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 【变式3】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【变式4】建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若某户住宅的窗户面积与地板面积的总和为132，则这户住宅的地板面积最多为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由. 【答案】(1) (2)变好了，理由见解析 【分析】（1）根据已知列出关系式，即可得出答案； （2）作差法比较，即可得出答案. 【详解】（1）设窗户面积与地板面积分别为， 由已知可得，， 所以有，. 所以，这户住宅的地板面积最多为120平方米. （2）假设同时增加的面积为， 则. 因为，， 所以， 所以，， 所以，. 所以，住宅的采光效果变好了. 题型02 作差法与作商法比较大小 【典例1】（1）比较与的大小； （2）设，，且，比较和的大小 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． （1）作差核心看差值符号；作商核心看商与1的大小。 （2）作差法无正负限制，作商法必须先判断两数符号，负数作商结论反向。 （3）快速选择技巧：加减结构代数式→优先作差法；乘方、指数、乘积正数→优先作商法 【变式1】已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 【变式2】如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 【答案】 【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。 【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。综上： 故答案为： 【变式3】记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 【变式4】试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小； (2)通过作差法来比较的大小； (3) 通过作差法或作商法比较与的大小. 【详解】（1）解：，， 因为， 所以， 即； （2）解： ． 因为，，所以，， 所以， 即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以， 所以． 题型03 利用不等式的性质判断不等式 【典例1】（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性. 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 1.加减规则 不等式两边同时加或者减去同一个数字，不管这个数字是正、负还是零，不等号开口方向都不会改变。 2.乘除规则 两边同时乘、除同一个正数，不等号方向不变；两边同时乘、除同一个负数，不等号必须调转方向；如果要乘除的式子正负没法确定，就不能直接判断大小，需要分情况讨论。 3.多个不等式合并规则 两个开口朝向相同的不等式，可以直接把左右两边分别相加；但只有两个不等式两边全是正数时，才能把两边分别相乘；同向的不等式不能直接相减、相除，没法推出确定大小关系。 4.倒数、乘方开方规则 （1）两边都是正数时，数字越大，倒数反而越小； （2）两边都是正数，同时乘方、开方后，大小关系不变； （3）如果包含负数，乘方结果要看次数奇偶，负数取倒数也要调转不等号 【变式1】已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质可判断ABD，举反例排除C. 【详解】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 【变式2】已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 【变式3】（多选）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A. ，取，则， 则不成立，故选项A错误；     选项B. ，，，，故选项B正确； C.，，， ，，，，，，故选项C错误； D. ， ，，， ，故选项D正确. 题型04 利用不等式的性质证明不等式 【典例1】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． （1） 拆分构造法：若需要证明的式子由多个简单式子组合而成，先分别利用已知条件推出每个简单式子的大小，再结合同向相加、同向正数相乘的性质合并； （2） 等价变形法：把待证式子反向拆解，反推需要的中间条件，再顺着正向书写完整证明过程； （3） 符号优先法：遇到乘除变形，先判断乘数、除数的正负，不确定符号时要分情况讨论再证明 【变式1】如果，都是正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：利用作差法证明；方法二：用分析法，通过分析只需证成立即可． 【详解】证明：方法一用作差法 ， ∴． 方法二用分析法 要证， 只要证， 即要证， 只需证， 即需证， 只需证， 因为，所以恒成立， 所以成立． 【变式2】（1）设，证明：； （2）已知，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）化简得到，根据题意得到，即可求解； （2）利用分析法，即可作出证明. 【详解】（1）由 因为，所以，且，所以， 所以. （2）要证：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 上不等式显然成立，所以原不等式成立，即. 【变式3】证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 又因为，所以，所以． （2）证明：由 ， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 题型05 利用不等式的性质求取值范围 【典例1】（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 1.线性代数式范围（如两个变量加减组合） 不能直接单独求出单个变量范围再运算，会放大取值区间；正确做法是设目标式子为已知式子的倍数相加，解出倍数后再合并区间，保证取值精准。 2.乘除、平方类范围 先判断变量正负，正数相乘区间直接合并；负数相乘要反转不等号；取倒数时区间两端大小互换，不等号反向；平方要分正负区间分开讨论 3.先拆分目标式为已知区间式子的线性组合，借助同向不等式相加求范围；禁止单独拆分变量再加减，防止区间扩大；乘除、倒数、平方需先判断正负再调整区间方向，同时验证等号成立条件 【变式1】（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】直接根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，， 所以，，即A正确，B错误； 所以，，即C错误，D正确； 故选：AD. 【变式2】（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 【变式3】（1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）先根据已知条件判断的符号，然后将等式变形为，代入不等式中求出结果即可. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，所以的取值范围是. （2）因为，所以. 因为，所以，即，解得. 将代入中得，即， 得，所以，所以的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 【变式4】已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 2．已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B错误； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：若，满足，但，故D错误. 3.已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 4．（多选）已知实数，，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对ACD选项由不等式的乘法、乘方性质可得，对B选项由不等式的加法性质可得. 【详解】对A选项，因为，由不等式的乘法性质得，得，即，故A正确； 对B选项，因为，由不等式的可加性得，故B正确； 对C选项，因为，所以，由不等式的乘方性质得，即，故C错误； 对D选项，因为，由不等式的乘法性质得，故D正确. 5.已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 6.（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 7．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 1．若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和充要条件的判定方法逐一判断各选项即得. 【详解】因，故A显然不合要求； 对于B，若取，显然满足，但得不出， 即不是的充分条件，不合题意； 对于C，因，故也不是的充分条件，不合题意； 对于D，，故可得，即是的充分条件； 同时，因，若取满足，但得不出， 即不是的必要条件，故D正确. 2．学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 3.设，定义运算“”和“”如下：若，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将不等式转化为关于变量大小关系的条件组，再分情况推导出变量乘积或和的范围. 【详解】结合定义及可得或即或， 所以； 结合定义及，可得或即或， 所以； 综上，且. 故选：A. 4.（多选）若实数 满足 且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】需要比较几组式子的大小，利用作差法可以分别验证选项A、B、C，对于选项D中取一组特殊值即可排除. 【详解】因为； 所以，所以，所以选项A正确； 因为，所以，所以，选项B错误； ，所以，选项C正确； 当时，所以，选项D错误. 故选：AC 5.（多选）已知实数，满足，，则（   ） A． B． C．的最大值为15 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据不等式的基本性质同向可加性可判断AB，把分别转化，再利用不等式的性质可判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，又， 所以，即的最大值为15，故C正确； 因为，又， 所以，即的最小值为，故D错误. 故选：ABC 6.已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【分析】使用不等式将问题转化为，再验证等号成立条件. 【详解】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 7．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 8.假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； (3)求证：，且． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. （3）先由结论得到，再利用乘法法则证明结论. 【详解】（1）提炼出的不等式为. 证明如下：. 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （2）由（1）及是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. （3）由（1）可知. 取，则 ，故有 ， 则有， 因为， 所以 ， 故，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 不等式的基本性质 教学目标 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小． 3.体会“作差法”在比较大小和证明不等式中的作用． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际问题的能力； 教学重难点 1.重点 掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关应用问题。 2.难点 作差法比较不等式大小，不等式性质的运用。 知识点01 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 【即学即练】 1．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 2．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 知识点02 实数a，b大小的比较 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： （1）如果是正数,那么; （2）如果等于零,那么; （3）如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 2.作差法与作商法比大小： 作差比较法 作商比较法 依据 应用范围 作差后可化为积或商的形式 同号两数(式)比较大小 步骤 ①作差； ②变形； ③判断符号； ④下结论 ①作商； ②变形； ③判断商与1的大小关系； ④下结论 变形 技巧 ①分解因式； ②平方后作差； ③配方法； ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组 即学即练】 1．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 2．已知，则与的大小关系为____________. 知识点03 等式及不等式的性质 1．等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 序号 性质名称 性质内容 注意 1 对称性 ⇔ 2 传递性 不可逆 3 可加性 可逆 4 可乘性 c的符号 5 同向可加性 同向 6 同向同正可乘性 同向 7 可乘方性 同正 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 【即学即练】 1．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2.（多选）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型01 用不等式(组）表示不等关系 【典例1】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量； (3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 【变式1】平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式4】建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若某户住宅的窗户面积与地板面积的总和为132，则这户住宅的地板面积最多为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由. 题型02 作差法与作商法比较大小 【典例1】（1）比较与的大小； （2）设，，且，比较和的大小 （1）作差核心看差值符号；作商核心看商与1的大小。 （2）作差法无正负限制，作商法必须先判断两数符号，负数作商结论反向。 （3）快速选择技巧：加减结构代数式→优先作差法；乘方、指数、乘积正数→优先作商法 【变式1】已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【变式2】如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 【变式3】记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【变式4】试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 题型03 利用不等式的性质判断不等式 【典例1】（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 1.加减规则 不等式两边同时加或者减去同一个数字，不管这个数字是正、负还是零，不等号开口方向都不会改变。 2.乘除规则 两边同时乘、除同一个正数，不等号方向不变；两边同时乘、除同一个负数，不等号必须调转方向；如果要乘除的式子正负没法确定，就不能直接判断大小，需要分情况讨论。 3.多个不等式合并规则 两个开口朝向相同的不等式，可以直接把左右两边分别相加；但只有两个不等式两边全是正数时，才能把两边分别相乘；同向的不等式不能直接相减、相除，没法推出确定大小关系。 4.倒数、乘方开方规则 （1）两边都是正数时，数字越大，倒数反而越小； （2）两边都是正数，同时乘方、开方后，大小关系不变； （3）如果包含负数，乘方结果要看次数奇偶，负数取倒数也要调转不等号 【变式1】已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【变式3】（多选）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型04 利用不等式的性质证明不等式 【典例1】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． （1） 拆分构造法：若需要证明的式子由多个简单式子组合而成，先分别利用已知条件推出每个简单式子的大小，再结合同向相加、同向正数相乘的性质合并； （2） 等价变形法：把待证式子反向拆解，反推需要的中间条件，再顺着正向书写完整证明过程； （3） 符号优先法：遇到乘除变形，先判断乘数、除数的正负，不确定符号时要分情况讨论再证明 【变式1】如果，都是正数，且，求证：． 【变式2】（1）设，证明：； （2）已知，证明：. 【变式3】证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 题型05 利用不等式的性质求取值范围 【典例1】（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 1.线性代数式范围（如两个变量加减组合） 不能直接单独求出单个变量范围再运算，会放大取值区间；正确做法是设目标式子为已知式子的倍数相加，解出倍数后再合并区间，保证取值精准。 2.乘除、平方类范围 先判断变量正负，正数相乘区间直接合并；负数相乘要反转不等号；取倒数时区间两端大小互换，不等号反向；平方要分正负区间分开讨论 3.先拆分目标式为已知区间式子的线性组合，借助同向不等式相加求范围；禁止单独拆分变量再加减，防止区间扩大；乘除、倒数、平方需先判断正负再调整区间方向，同时验证等号成立条件 【变式1】（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【变式3】（1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，，则的取值范围是________． 【变式4】已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知实数，，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5.已知，，，则与的大小关系为_________. 6.（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 7．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 1．若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 3.设，定义运算“”和“”如下：若，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 4.（多选）若实数 满足 且 ，则（   ） A． B． C． D． 5.（多选）已知实数，满足，，则（   ） A． B． C．的最大值为15 D．的最小值为 6.已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 7．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 8.假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； (3)求证：，且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $