3.1 不等式的基本性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦“不等式的基本性质”核心知识点，以等式性质为基础，梳理不等关系与不等式概念、实数大小比较依据，系统呈现不等式的自反性、传递性等性质，构建从已知到新知的学习支架。 资料通过“微点拨”“题型示例”“课后分层练”等环节，以作差法比较大小、性质证明等题型，培养学生数学思维（推理与运算能力），结合平均速度比较等实际问题，引导用数学语言表达数量关系。课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

3．1　不等式的基本性质 ► 对应学生用书P34 [课程标准]　1.梳理等式的性质．　2.理解不等式的概念．　3.掌握不等式的性质． 一、不等关系与不等式 1．不等式指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子． 2．实数大小比较的依据 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b． 二、等式的性质 性质 名称 内容 性质1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 性质2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 性质3 同加(减)性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 微点拨：(1)运用性质3时要注意加上(或减去)的必须是同一个数或代数式． (2)性质5中一定要注意两边不能同时除以0，因为0不能做除数． 三、不等式的性质 性质1：若a>b，则b<a；(自反性)a>b⇔b<a． 性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性) 性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性) 性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性) 性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性) 性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd.(全正可乘性) 【基点小试】 1．(苏教版必修一P50习题T2改编)已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则(　　) A．t>s B．t≥s C．t≤s D．t<s 解析：选C.t－s＝－(a2＋2b＋1)＝－≤0，故t≤s，当a＝1时，t＝s. 2．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a2＝6a，那么a＝6 C．如果a＝b，那么＝ D．如果＝，那么a＝b 解析：选D.选项A，当c≠0时，显然不成立； 选项B，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，显然不成立； 选项C，当c＝0时，＝无意义，不成立； 选项D，如果＝，则c≠0，故×c＝×c，即a＝b，成立． 3．已知3x＝7y，则下列比例式成立的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析：选B.因为3x＝7y，则x≠0，则＝，＝，故B选项正确，ACD选项错误． 4．下列结论正确的是(　　) A．若<，则a<b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac>bc，则a>b 解析：选A.<，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a<b，A正确； 当a＝－1，b＝0时，满足a2>b2，但a<b，B错误； 若a>b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误； 若ac>bc，c<0，则a<b，D错误. 题型一　数式的大小比较 例1.(苏教版必修一P50T10改编)(1)已知b<a<0，比较与的大小． 解：b<a<0，ab>0，b－a<0，－＝<0，<. (2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小． 解：因为a≥1，所以M＝－>0， N＝－>0. 所以＝＝. 因为＋>＋>0， 所以<1，所以M<N. [总结] 　1.利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． 2．作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下： 前提 a>0，b>0 a<0，b<0， 依据 >1⇔a>b；＝1⇔a＝b；<1⇔a<b >1⇔a<b；＝1⇔a＝b；<1⇔a>b 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论 【练一练】 1．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 解析：选B.∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0， ∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N. 2．已知|a|＜1，则与1－a的大小关系为________________. 解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1. ∴1＋a＞0，1－a＞0.即＝ ∵0＜1－a2≤1，∴≥1， ∴≥1－a. 答案：≥1－a 题型二　不等式的性质及其应用 角度1　判断正误 例2.(多选)(苏教版必修一P50习题T4改编)下列命题中，为真命题的有(　　) A．若a>b>0，c>d>0，则ac>bd B．若a>b，则a2>b2 C．若ac2>bc2，则a>b D．若a>b，则ac2>bc2 解析：选AC.因为a>b>0，c>d>0，所以ac>bc，bc>bd，所以ac>bd，所以A为真命题； 当a＝1，b＝－2时，a2<b2，所以B不是真命题； 因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，所以C为真命题； 当c＝0时，ac2＝bc2＝0，所以D不是真命题． [总结] 　利用不等式的性质判断正误的方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 角度2　证明不等式 例3.已知a>b>0，c<d<0，m<0，求证： (1)<； (2)>. 证明：(1)因为a>b>0，－c>－d>0， 所以a－c>b－d>0所以<. (2)由(1)得<， 又m<0，所以>. [总结] 　利用不等式性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 角度3　用不等式性质求代数式的取值范围 例4.已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 【母题探究】　(变设问)在本例条件下，求的取值范围． 解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4， ∴1×＜a·＜4×，即＜＜2. 故的取值范围是<<2. [总结]　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【练一练】 3．(多选)(2025·苏州高一上期末)若a>|b|≠0，c>0，则(　　 ) A．a2>b2 B．ac>bc C．< D．a＋>b＋ 解析：选AB.根据a>|b|>0，则a2>b2，A正确； 由a>|b|>0，又c>0，则ac>|b|c≥bc，B正确； 当b<0时，>，C错误； 当a＝1，b＝－时，a＋＝－1，b＋＝－＋1＝，D错误． 4．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0， 即<. 又e<0，∴>. 5．已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求的取值范围． 解：∵－6＜a＜8，2＜b＜3.∴＜＜， ①当0≤a＜8时，0≤＜4； ②当－6＜a＜0时，－3＜＜0. 由①②得：－3＜＜4. 故的取值范围为－3<<4. 6．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围． 解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝，λ2＝－. 又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以－≤a＋3b≤1. 故a＋3b的取值范围为－≤a＋3b≤1. [课后分层练(十一)]　不等式的基本性质 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．设M＝(x－1)·(x－5)，N＝(x－3)2，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不能确定 解析：选A.由M＝(x－1)(x－5)，N＝(x－3)2， 则M－N＝(x－1)(x－5)－(x－3)2＝(x2－6x＋5)－(x2－6x＋9)＝－4<0， 所以M<N. 2．已知a>b，c∈R，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．< B．a2>b2 C．ac>bc D．a＋c>b＋c 解析：选D.对于选项A，令a＝2，b＝－1，但 >，则A错误； 对于选项B，令a＝2，b＝－3，但a2<b2，则B错误； 对于选项C，当c＝0时，ac＝bc，则C错误； 对于选项D，有不等式的可加性得a＋c>b＋c，则D正确． 3．已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　) A.p>q B．p≥q C．p<q D．p≤q 解析：选C.p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p<q，故选C. 4．(多选)下列变形正确的是(　　) A．如果x＝y，则x－5＝y－5 B．如果x＝m＋1，则x＝1 C．如果x＝5，则x＝ D．如果a＝b，则am＝bm 解析：选ACD.对于A，x＝y，两边都加－5，得x－5＝y－5，故A正确； 对于B，m＋1＝0时，两边都除以0无意义，故B错误； 对于C，因为a2＋1>0，方程x＝5两边同除以a2＋1，得x＝，故C正确； 对于D，两边都乘以m，故D正确． 5．若a>b>0，d<c<0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac>bc B．a－d<b－c C．< D．a3>b3 解析：选D.对于A，因为a>b>0，c<0，故ac<bc，故A错误； 对于B，因为a>b>0，d<c<0，故－d>－c，故a－d>b－c，故B错误； 对于C，取d＝－2，c＝－1，易得>，故C错误； 对于D，因为a>b>0，所以a3>b3，故D正确． 6．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若>，则a>b B．若b>a>0，m<0，则> C．若a>b，c<d，则a－c>b－d D．若a2>b2，ab>0，则< 解析：选AC.因为>，且c2>0，不等式两边同乘以c2得：a>b，A正确； －＝，由于b>a>0，m<0，而b＋m可能大于0，也可能小于0，B错误； 由c<d，则－c>－d，由不等式的基本性质得：a－c>b－d，C正确； 当a＝－2，b＝－1时，满足a2>b2，ab>0，但>，D错误． 7．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．> B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 解析：选C.对于A，当a＝2，b＝1时，<，故>不一定成立；对于B，当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，故a2>b2不一定成立；对于C，因为c2＋1≥1，a>b，所以>，故>一定成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，故a|c|>b|c|不一定成立． 8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为__________________. 解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)，又m>1， ∴(m－1)(m2＋1)>0，即m3>m2－m＋1. 答案：m3>m2－m＋1 9．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成______个正确命题． 解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略) 由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0⇒①. 所以可以组成3个正确命题． 答案：3 10．某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材．已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元．设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A___________B(填“>”“<”或“＝”). 解析：由题意得所以所以A－B>25>0，则A>B. 答案：> 11．已知a，b都是正实数，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2，并指出等号成立的条件． 证明：a3＋b3－(a2b＋ab2)＝－ab ＝≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b， 当且仅当a＝b时等号成立． 12．体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式(以下x1≠x2).方式一：小明一半的时间以x1 m/s的速度行走，剩余一半时间换为以x2 m/s的速度行走，平均速度为1；方式二：小明一半的路程以x1 m/s的速度行走，剩余一半路程换为以x2 m/s的速度行走，平均速度为2； (1)试求两种行走方式的平均速度1，2； (2)比较1，2的大小． 解：(1)设方式一中小明行走的总路程为s，所用时间为t1， 由题意得1·t1＝x1·＋x2·，可知1＝， 设方式二中所用时间为t2，总路程为s， 则2＝＝＝. (2)1－2＝－＝＝. 因为x1>0，x2>0且x1≠x2，所以>0，即1>2. 【能力提升题组】 13．(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则4x＋y可能取的值为(　　) A．1 B．2 C．15 D．16 解析：选BC.由题意，实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9， 令4x＋y＝m(x＋y)＋n(2x－y)，即4x＋y＝(m＋2n)x＋(m－n)y， 可得解得m＝2，n＝1，所以4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)， 则－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9， 所以2≤4x＋y≤15. 14．某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．若男学生人数为7，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________． 解析：设男学生、女学生、教师的人数分别为x、y、z，则z<y<x<2z. 若x＝7，则可得<z<7，则z∈，当z＝4时，y取最小值5， 即男学生人数为7，则女学生人数的最小值为5； 若x的值未知，当z＝1时，则1＝z<y<x<2，不满足题意， 当z＝2时，则2＝z<y<x<4，不合乎题意， 当z＝3时，则3＝z<y<x<6，此时y＝4，x＝5，则x＋y＋z＝12，合乎题意． 故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为12. 答案：5　12 15．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy. 证明：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1， 所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 将上面不等式中的右端减左端，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1). 因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $