专题3.2 基本不等式（十大题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题3.2 基本不等式 题型1 基本不等式及其应用 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 1．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案. 【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路. 4．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用几何关系得出不等式，需有一定的识图能力与分析能力. 5．（多选题）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】先明确、的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明AC选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断BD选项. 【详解】由题意可知，， 因为，， 则，所以， ，即， 所以； 在中，，即 当时，、点重合， ，此时， 则，所以A正确； 对于C选项，在中，，则， 又因为，所以，， 可得，即，所以， 由于，所以， 当时，，此时， 综上，，所以C正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明， 故选：AC. 6．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段 的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可． 【详解】由题意得：，， 由于，， 所以， 则，故， 解得， 利用直角三角形的边的关系，所以． 当和重合时，， 所以． 故答案为：； 题型2 直接法求最值 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 2．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 故选：C. 3．（25-26高一上·陕西汉中·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知，则， 当且仅当，结合，即得时取等号， 故的最小值为4， 故选：A 4．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式直接求解． 【详解】因为，所以， 则，等号成立时，， 得函数的最小值为: 故答案为： 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）函数的最小值为 ，此时＝ ． 【答案】 / 【难度】0.94 【知识点】对勾函数求最值 【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定对应自变量取值即可. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立， 所以函数在时取最小值. 故答案为：， 题型3 常规的配凑法求最值 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 1．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：A. 2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 4．（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】解法一：应用基本不等式计算和为定值即可得出最大值；解法二：应用二次函数单调性得出二次函数的最大值即可. 【详解】解法一：， 当且仅当，即时等号成立． 解法二： ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值． 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型4 消参法求最值 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 1．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】， ，， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 故选：B. 2．（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 3．对任意的，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】解：因为对任意的，恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故选：C 4．（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先通过对式子进行变形，再利用基本不等式来求解最小值. 【详解】因为，所以. 所以. 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：D. 5．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型5 双换法求最值 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 1．若，，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为， 故答案为： 2．已知，，，则取到最小值为 ________． 【答案】． 【解析】令，∴， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 即的最小值是． 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 故的最小值为. 故选：D 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为正实数，若则的最大值是 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】条件等式求最值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据条件及基本不等式得，且，再把目标式化为，最后应用基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由，则，当且仅当，即取等号， 同时，故，则且， ， 当且仅当，即，则或时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 题型6 “1”的代换求最值 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 2．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据已知，并利用，化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9. 故选：D 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 5．（24-25高一上·天津·期中）已知均为正数，且，则的最小值 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】通过已知等式变形得到，再利用“”的代换将目标表达式展开，最后应用基本不等式求得最小值. 【详解】已知均为正数，且，所以， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又，所以当，时，取得最小值. 故答案为： 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】把“”写成，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3 题型7 齐次化求最值 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 3．设正实数、、满足，当取得最大值时，的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件得出，可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】正实数、、满足，则， ，当且仅当时，等号成立， 所以，当时，取得最大值，此时， ，当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解代数式的最值，考查计算能力，属于中等题. 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设蓄水池池底的一边长为，则根据题意，由基本不等式求最小值即可. 【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是元． 故答案为： 题型8 由基本不等式证明不等式 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）16. 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）配凑出，再利用基本不等式即可得最小值，注意取等情况； （2）先消元，再由（1）相同解法即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以. （2）由得， 因为，所以， 所以， 所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）（1）若，求的最大值; （2）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由结合已知条件可求出最大值； （2）已知条件可变形为，故对可配凑为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1），且， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为16. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7. 3．（25-26高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知都是正数，证明：. （2）已知且，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【难度】0.4 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）对不等式进行化简，然后根据基本不等式的性质验证即可. （2）分讨论，根据基本不等式的性质进行计算即可. 【详解】（1）.， 当且仅当时，等号成立. （2）由题意知. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 当时， ，当且仅当，即时，等号成立. 综上，的最小值为. 4．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）9 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）方法一：利用基本不等式求解，方法二：利用二次函数求解； （2）根据已知条件构造基本不等式求解即可. 【详解】（1）方法一：因为，所以， 所有， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为； 法二： 函数图象开口向下，对称轴为，由， 所以当时，的最大值为 （2）∵， ， ∴， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 题型9 利用基本不等式解决实际问题 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1．（25-26高一上·河北邢台·阶段练习）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．已知两次购买时物品的价格分别为和，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1，则按第一种购物方式每次购买36件物品的总花费的最小值是（   ） A．36 B．72 C．144 D．288 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设第一次与第二次购物的价格分别为，分别求出两次购物的平均价格，把，，代入可得，再写出按第一种策略的总花费，然后利用基本不等式求最值． 【详解】设第一次与第二次购物的价格分别为， 按第一种策略，每次购件，则两次的平均价格为； 按第二种策略，第一次花元，购入物品件，第二次仍花元，购入物品件， 两次平均价格为． 由题意得，，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1， 得，即， 则按第一种策略的总花费 ， 当且仅当，即时等号成立． 故选：B． 2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设，则，根据可求出的取值范围，求出，，利用基本不等式可求得矩形面积的最小值. 【详解】设，则，其中， 因为，则，可得， 由题意可得，， 所以，矩形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，矩形面积的最小值为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．    (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)240 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（1）方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. （2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 题型10 综合应用 重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 1．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】将原式化为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为4， 此时. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】 先利用均值不等式消掉分母上的，然后利用齐次化（同时除以）最后换元求解即可. 【详解】， 设，，可以取等. 当且仅当（舍）或. 故选：A. 3．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意有，令，利用基本不等式得，利用的单调性即可求解. 【详解】由题意有：，令， 因为，所以， 所以，易知函数在上单调递增， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据已知等式，应用基本不等式求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，则，当且仅当，即时取等号. 故选：D 3．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 4．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知为正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为4. 故选：D. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 6．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知实数、，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】应用“1”的代换化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 故选：A 7．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】由题意，， 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D. 8．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对勾函数求最值 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 9．函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得， ， 仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：B 10．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 11．已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】，，， 由于、、均为正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题. 12．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】 由正实数，，满足， ． ， 当且仅当时取等号，此时． ，当且仅当时取等号， 即的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 13．（25-26高一上·北京·阶段练习）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 14．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】令，，则得，，利用“1”的代换及基本不等式求最值. 【详解】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 故选：C. 二、填空题 15．当时，的最小值为 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据对勾函数的单调性求最值. 【详解】设，则， 又由得， 而函数在上是增函数， 因此时，取得最小值， 故答案为：. 16．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】对勾函数求最值 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 17．（25-26高一上·重庆·阶段练习）若，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由得，令，则，原式可化为，利用基本不等式即可求解． 【详解】∵，∴．设，则（其中），代入原式进行化简： ， 根据基本不等式得，当且仅当，即时取等号． 根据基本不等式得，当且仅当，即时取等号． 将两组不等式相加，可得：． 等号成立条件： 第一组等号成立条件，代入第二组等号条件，得， 此时，满足． 综上，原式的最小值为． 三、解答题 18．（1）已知，证明： （2）已知，证明： 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用不等式的基本性质，转化求解证明即可； （2）利用基本不等式可得，，，结合不等式的基本性质，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，即， 所以，又， 故，所以． （2），，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 19．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由不等式的性质证明不等式、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 20．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）已知，且，求证：. 【答案】（1）17；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式“1”妙用求出最小值. （2）变形所证不等式的左边，结合平方数是非负数推理得证. 【详解】（1）由，得，而，， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值17. （2），且，则，当且仅当时取等号， 所以. 21．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. （3）法一：利用基本不等式“1”的代换可求得的最小值. 法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值. 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 基本不等式 题型1 基本不等式及其应用 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 1．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（多选题）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 5．（多选题）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 6．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段 的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为 ． 题型2 直接法求最值 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 3．（25-26高一上·陕西汉中·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）函数的最小值为 ，此时＝ ． 题型3 常规的配凑法求最值 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 1．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）已知，则的最大值为 ． 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 . 题型4 消参法求最值 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 1．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3．对任意的，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 题型5 双换法求最值 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 1．若，，，，则的最小值为______． 2．已知，，，则取到最小值为 ________． 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为正实数，若则的最大值是 . 题型6 “1”的代换求最值 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 2．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·天津·期中）已知均为正数，且，则的最小值 . 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，，且，则的最小值为 ． 题型7 齐次化求最值 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 3．设正实数、、满足，当取得最大值时，的最小值为 . 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 题型8 由基本不等式证明不等式 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）（1）若，求的最大值; （2）若，且，求的最小值. 3．（25-26高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知都是正数，证明：. （2）已知且，求的最小值. 4．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 题型9 利用基本不等式解决实际问题 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1．（25-26高一上·河北邢台·阶段练习）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．已知两次购买时物品的价格分别为和，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1，则按第一种购物方式每次购买36件物品的总花费的最小值是（   ） A．36 B．72 C．144 D．288 2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ． 3．（25-26高一上·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．    (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 题型10 综合应用 重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 1．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 3．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知，且，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知为正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D．. 6．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知实数、，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 7．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 8．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 9．函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·北京·阶段练习）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 14．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 15．当时，的最小值为 . 16．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 17．（25-26高一上·重庆·阶段练习）若，则的最小值为 ． 三、解答题 18．（1）已知，证明： （2）已知，证明： 19．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 20．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）已知，且，求证：. 21．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $