重难点02 三个二次拓展 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

重难点02 三个二次拓展 目录 考点1 由一元二次不等式的整数解求参 0 考点2 一元二次不等式R上恒成立 3 考点3 一元二次不等式区间上恒成立 5 考点4 一元二次不等式R上有解 8 考点5 一元二次不等式区间上有解 10 考点6 一元二次方程根的分布 12 考点7 一元二次方程的解的个数 16 考点1 由一元二次不等式的整数解求参 1．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 4．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·海南·开学考试）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 考点2 一元二次不等式R上恒成立 1．（24-25高一上·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 5．（24-25高二下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点3 一元二次不等式区间上恒成立 1．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 3．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 7．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 考点4 一元二次不等式R上有解 1．（24-25高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 2．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 考点5 一元二次不等式区间上有解 1．（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是 . 考点6 一元二次方程根的分布 1．（2025高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 2．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 4．（2025高二·全国·专题练习）关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为 ． 考点7 一元二次方程的解的个数 1．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 三个二次拓展 目录 考点1 由一元二次不等式的整数解求参 0 考点2 一元二次不等式R上恒成立 3 考点3 一元二次不等式区间上恒成立 5 考点4 一元二次不等式R上有解 8 考点5 一元二次不等式区间上有解 10 考点6 一元二次方程根的分布 12 考点7 一元二次方程的解的个数 16 考点1 由一元二次不等式的整数解求参 1．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 【答案】1 【分析】由题设可得不等式解集为，根据解集中整数解个数求参数. 【详解】不等式， 因为为正整数，所以不等式的解集为， 又因为解集中恰有1个整数，所以中只含一个整数1， 所以，即，所以正整数. 故答案为：1 3．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集只含有三个整数解，缩小的讨论范围至，得出不等式的解集后，确定出三个整数解进而确定出的范围. 【详解】时，，此时不等式无解，时不成立； 时，不等式转化为，解集为，整数解不可能只有三个； 且时，不等式转化成 ， 由于解集中恰好有三个整数，必有，即 （否则时，二次不等式的解集是无穷区间，整数解无数个） 于是不等式的解集为，此解集中包含三个整数，注意到， 于是中恰好含有的整数是， 则，解得. 故答案为： 4．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 5．（25-26高一上·海南·开学考试）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式化为，令，即. 然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取、、、时的函数值，画出函数的部分图像，数形结合即可得解. 【详解】根据题意，函数，不等式，即， 变形可得，令函数，所求即． 当时，， 所以在上上单调递减，在上单调递增， 且，，． 当时，，在上单调递减， 且． 可以绘制出函数图像．    结合图像和取、、、时的值可知，要使的解集中有且仅有两个整数，这两个整数解只能是和，所以的取值范围为． 故选：C 考点2 一元二次不等式R上恒成立 1．（24-25高一上·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 2．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由恒成立的等价条件为求解即可. 【详解】命题“，”是真命题， 又，则，解得． 故答案为：. 3．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式的解集，讨论参数结合对应二次函数性质求参数范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，满足题意； 当时，则，解得； 综上，的取值范围是． 5．（24-25高二下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 考点3 一元二次不等式区间上恒成立 1．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】法一：利用二次函数的图象可得的取值范围.法二：由题意可得对恒成立，进而求解即可. 【详解】法一：令，由题意，结合函数图像可得， ，或者 解得，或者，． 法二：原命题等价于，当时，恒成立． 此又等价于恒成立． ，当且仅当，即时取等号， ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【答案】4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 3．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出不等式的解集后，把问题转化为，再利用分类讨论思想进行列不等式求解． 【详解】不等式的解集为． 由题意知， 从而或， 解得或． 所以实数的取值范围为， 故答案为：． 4．（24-25高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 5．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为求出的最大值即可. 【详解】因为命题为真命题， 所以在上恒成立， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 7．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 考点4 一元二次不等式R上有解 1．（24-25高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 2．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 3．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 4．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 5．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 考点5 一元二次不等式区间上有解 1．（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后转化为求函数的最小值. 【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解， 只需要不小于函数在区间上的最小值即可， 因为，函数图像对称轴，且， 所以当时，在区间上取最小值，， 所以若命题“”为真命题，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】分，，三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以只需，解得； 当时，表示开口向下的抛物线，满足题意. 综上所述，的取值范围为. 4．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由在上有解， 即在上有解， 又，当且仅当，即时取等号， 所以； 因为真包含于， 结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是. 故选：B 5．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得小于等于的最大值即可. 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以在上有解， 所以小于等于的最大值， 令，， 则， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 考点6 一元二次方程根的分布 1．（2025高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解. 【详解】（1）对于方程， 两个不同的正根，且设两根分别为,，则， 即，解得. 故有两个不同的正根的范围为. （2）两个不同的负根，且设两根分别为，，则， 即，解得. 故有两个不同的负根的范围为. （3）令，一个根在内，另一个根在内， 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内的范围为. （4）两个不同的根都大于，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都大于则的范围为. （5）两个不同的根都小于1，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都小于1，则的范围为. （6）一个根大于1，一个根小于1，则得，解得； 故一个根大于1，一个根小于1，则的范围为. （7）两个不同的根都在内， 即，即，解得， 故两个不同的根都在内，则的范围为. （8）有两个不同的根，有且仅有一个根在内， 则，即，解得. 当时，方程两根为，符合， 故有两个不同的根，有且仅有一个根在内，则的范围为. （9）一个根小于2，一个根大于4； 则，即，解得. 故一个根小于2，一个根大于4，则的范围为. （10）一个根在内，另一个根在内； 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内，则的范围为. （11）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大， ，即，解得. 故一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则的范围为. （12）在内无实根： 即或或或， 即或或或， 解得或， 故在内无实根时，则的范围为. 2．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 3．（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过一元二次方程根的分布与判别式和特殊点的关系即可确定实数的取值范围； （2）根据开口向上以及两根与3的大小关系即可确定实数的取值范围. 【详解】（1）令，其对称轴为， 若一元二次方程的两根都大于0， 则，，解得， 实数的取值范围是； （2）若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3， 则，即， 实数的取值范围是． 4．（2025高二·全国·专题练习）关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据方程因式分解求出方程的根，由题意得到不等式组，求解即得. 【详解】由可得， 依题意，，解得. 故答案为：. 考点7 一元二次方程的解的个数 1．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】将问题转化为与在上交点个数的问题，画出的图像，依次分析4个问题即可求解. 【详解】（1）令与， 方程在上有解，则函数与有交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （2）方程在上有一解，则函数与有一个交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 （3）方程在上有两个解，则函数与有两个交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （4）方程在上无解，则函数与没有交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 2．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】令，求出对称轴，得到，分别讨论，，时满足的条件得到答案 【详解】（1）令， 由题意得对称轴为：，且 ①时，要使在上有零点， 则，即，解得： ②时，要使在上有零点， 则，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （2）由（1）知，， ①时，，即，解得： ②时，，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （3）由（1）知，， ①时，有一解或无解，不符合题意 ②时，，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （4）由（1）知， ①时，，即，解得：，， ②时，，即，解得：，， ③时，，无零点，符合题意， 综上所述， 学科网（北京）股份有限公司 $