第3章 不等式（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学不等式单元复习讲义通过表格梳理与分层知识点构建知识体系，将不等式性质、基本不等式、一元二次不等式等核心内容按“概念-性质-解法-应用”逻辑呈现，用对比表格归纳不等式性质条件与注意点，清晰展示“三个二次”关系及解题步骤，突出性质综合运用、含参不等式分类讨论等重难点。 讲义亮点在于“题型分类+典例变式”的练习设计，如通过比较代数式大小题培养数学思维的推理能力，利用基本不等式求最值题强化运算素养，结合实际应用问题引导用数学语言表达现实世界。每个题型配易错点提醒，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

第3章 不等式单元复习讲义 教学目标 1.熟记不等式全部基础性质，能准确判断不等式变形正误； 2.熟练掌握一元二次不等式完整解法，会处理含参不等式、由解集求参数、根的分布、高次不等式相关题型； 3.牢记基本不等式使用要求，掌握配凑定值求最值的常用变形手段 教学重难点 重点 1.不等式基础性质，利用性质比较实数大小、进行简单不等式推导 2.基本不等式一正二定三相等使用规则，常规单变量最值求解 3.一元二次不等式常规解法，根据解集逆向计算参数，根的分布图像分析方法 难点 1.不等式多条性质综合运用，乘除负数时不等号方向变化容易出错 2.基本不等式配凑定值，多变量复杂变形，等号成立条件判断与验证 3.含参一元二次不等式多层分类讨论，容易遗漏二次项系数、两根大小、判别式相关限制条件 知识点1 不等式关系与不等式 1、不等式的概念 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式。 2、不等式中文字语言与符号语言 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 知识点2 等式与不等式的的性质 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2、 作差法比大小： ①；②；③ 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 知识点3 基本不等式 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由基本不等式引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 3、利用基本不等式求最值 （1）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. （2）积定和最小，和定积最大 ①设x,y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. ②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 知识点4 一元二次不等式的有关概念及解法 1、一元二次不等式的相关概念 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 2、“三个二次”间的对应关系 （1）二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． （2）对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 知识点5 分式不等式、高次不等式及绝对值不等式的解法 1、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ②③ ④⑤ 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 2、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） （4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 3、含绝对值不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式： ①的解集是，如图1． ②的解集是，如图2． ③． ④或 题型01 利用不等式的性质比较代数式的大小 【典例1】（多选）对于任意的实数，，，，下列命题错误的有（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法判断A，利用特殊值判断BD，根据不等式性质判断C. 【详解】对于A：若，，则，． 所以，所以，故A错误； 对于B：时满足，但，故B错误； 对于C：当时，，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误． 故选：ABD． 【变式1】下列有关不等式的推断中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举反例判断AD；根据不等式的性质，运用作差法判断BC． 【详解】选项A：取，有，不满足，错误； 选项B：因为，所以， 所以，正确； 选项C：若，，则，． 所以，所以，错误； 选项D：取，有，不满足，错误． 故选：B 【变式2】若，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D；分类讨论从而去掉绝对值可得C. 【详解】对A：取，则，故A错误； 对B：取，，则，，有，故B错误； 对C：若，则，， 由可得，，则； 若，则，，则； 若，则，，由，则， 则，即； 综上所述：恒成立，故C正确； 对D：取，，，，此时，故D错误. 故选：C. 【变式3】（多选）已知实数，，，其中，以下叙述正确的是（   ） A．若，那么. B．若，那么. C．若，那么 D．若，那么 【答案】AB 【分析】由不等式的性质判断A选项，作差法判断BC选项，举反例判断D选项. 【详解】A选项，由于，则，若，则由不等式的性质可得，，A正确； B选项，若，则， 则，所以，B选项正确； C选项，若，则，则，C错误； D选项，若，则，则，D错误； 故选：AB. 【变式4】（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 题型02 利用不等式求值或取值范围 【典例1】已知，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例排除ACD；利用不等式的性质证明B. 【详解】选项 A： ，，则 . 由于，不满足 ，故选项 A 不成立； 选项 B： 因为，所以，， 又因为，由不等式的性质得，故选项 B 成立； 选项 C： 取 ，，则 不满足 ，故选项 C 不成立； 选项 D： 取，，则 . 不满足 ，故选项 D 不成立. 故选：B 【变式1】若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 【变式2】（多选）若，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】利用.不等式的性质依次判断选项即可 【详解】由，，得，，所以，，故A正确，B不正确. 因为，，且，不能同时成立，所以的取值范围不是，故C不正确. 令，则解得因为，，所以，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD 【变式3】（多选）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质，变形求解. 【详解】，两式相乘得，所以，A正确； 由题得，又，两式相乘得，所以，B错误； 因为，所以两式相乘得，C正确； 因为，所以两式相乘得，D错误． 故选：AC 【变式4】已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用不等式的同向可加性等性质即可求得； （2）利用不等式的性质先求的范围，再由不等式的同向皆正可乘性即可求得； （3）设，展开对照求出的值，再利用不等式的可乘性和可加性即可求得. 【详解】（1）因，又，， 则，即； （2）由可得，又， 则得，即； （3）设，由， 解得，即， 因，则， 又，则， 两式相加，可得，即. 题型03 基本不等式的概念与理解 【典例1】下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案． 【详解】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值， 此时， 当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误； 对：， 当且仅当，即时取等号， 但，则等号取不到，故的用法有误； 对：，，， 当且仅当，即时取等号，故的用法有误； 故使用正确的个数是0个， 故选：. 【典例2】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知：，在直角中，由射影定理可求，结合即可得出结论． 【详解】取圆心为O点，连接OF 由图形可知：， 在直角中，根据射影定理可得： 所以 ， ，． ∴. 故选：A. 【变式1】（多选）下列关于基本不等式的说法，正确的是（    ） A．若，，则成立 B．对任意的，，成立 C．若，，则不一定成立 D．若，则成立 E．若，则成立 【答案】ABE 【分析】由基本不等式的条件分析。 【详解】A就是均值不等式，正确；由知B正确；由A知C错误；当时，，但，D错误；由A知E正确。 故选：ABE。 【变式2】（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先明确、的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明AC选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断BD选项. 【详解】由题意可知，， 因为，， 则，所以， ，即， 所以； 在中，，即 当时，、点重合， ，此时， 则，所以A正确； 对于C选项，在中，，则， 又因为，所以，， 可得，即，所以， 由于，所以， 当时，，此时， 综上，，所以C正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明， 故选：AC. 【变式3】如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段. 试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 【答案】 ，即； 证明： 显然， ， 因为， 所以， 所以， 所以. 【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可. 【详解】因为是梯形的中位线， 所以； 因为梯形与梯形相似， 所以， 所以； 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 设梯形， 的面积分别为 ，高分别为， 则，， 所以， 所以， 所以； 由图可知，， 即； 证明略. 【变式4】（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 题型04 利用基本不等式求最值 【典例1】已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 【典例2】（多选）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 【变式1】已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 【变式2】（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【详解】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 【变式3】设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 【详解】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 【变式4】已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 题型05 基本不等式中的恒成立问题 【典例1】若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 【典例2】“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 【变式1】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2】（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 【变式3】（多选）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】ACD 【分析】变形后，两次使用基本不等式进行求解，且等号成立的条件相同，从而得到，又，从而得到，求出或，从而得到答案. 【详解】，， ， 当且仅当①时，等号成立， 其中，， 当且仅当，，即，时，等号成立， 此时，即①式成立， 综上，， 又（）， 故，解得或， 实数a取值可能为2，，，ACD正确，B错误. 故选：ACD 【变式4】设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 题型06 一元二次不等式的解法 【典例1】使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查二次根式有意义的条件 ，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围. 【详解】，即，解得. 【典例2】若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，解得． 【变式1】已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 【变式2】关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 【变式3】解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）计算得，分和或讨论即可； （2）因式分解得，分 ，和讨论即可； （3）分，两大类讨论即可. 【详解】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）令， ①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 题型07 由一元二次不等式的解集确定参数 【典例1】已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 又，则，当且仅当时取等号， 所以其最小值为. 【典例2】（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为-4. 【答案】ABC 【分析】根据关于的不等式的解集为，得且关于的方程的解集为.根据根与系数的关系得到的关系，然后依次分析选项可得正确答案. 【详解】选项A：由关于的不等式的解集为， 得：函数的图象是一条开口向下的抛物线， 且与x轴有两个交点，分别是.所以选项A 正确； 选项B ：由选项A知，关于的方程的解集为， 所以，所以. 所以不等式可化为， 即，即.解得：. 所以不等式的解集为.所以选项B正确； 选项C ：，所以选项C正确； 选项D：由选项B知：.所以 因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立. 因为，所以等号不成立，所以取不到-4，所以选项D错误. 故选：ABC. 【典例3】关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，得，解得或， 又，所以不成立， 故原不等式组等价于， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有两个整数解，所以整数解为， 所以，解得. 【变式1】若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 【变式2】（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是或 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案. 【详解】由关于的不等式解集为或， 得到和2是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知， ， 选项B：不等式化简为，解得， 即不等式的解集是，故B不正确； 选项C：由于，故，故C正确； 选项D：不等式化简为：， 解得或，故D正确； 故选：ACD. 【变式3】若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先按照讨论求解，当时，原不等式可化为，再按照讨论求解. 【详解】①当时，原不等式为，解得，不等式有无数个整数解，不符合题意； ②当时，为开口向下的二次函数， 因此不等式有无数个整数解，亦不符合题意； ③当时，原不等式可化为， i.当，即时，原不等式可化为， 此时不等式的解集为，不符合题意； ii.当，即时，解不等式得， 此时不等式最多有2个整数解（即和），不符合题意； iii.当，即时，解不等式得， 则满足题意的3个整数解为4，5，6， 所以，所以. 综上所述，， 故选：B. 题型08 一元二次不等式的恒成立（有解）问题 【典例1】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 【典例2】若，为假命题，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】写出命题的否定，可转化为不等式恒成立问题，分离参数可得，根据基本不等式可得参数范围. 【详解】，为假命题， 则，为真命题， 即， 又，恒成立， 所以， 设， 则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 【变式1】若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先由二次函数恒成立，结合基本不等式求得题干命题为真时的取值范围，从而得解. 【详解】假设命题“，使得”为真命题， 则在上恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则， 因为命题“，使得”为假命题， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 【变式3】不等式对任意恒成立，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分类讨论，结合一元二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，记，为二次函数，对称轴为， 当时，由，得， 由题意得，解得； 当时，由，得， 由题意得，解得， 综上，. 故答案为：. 题型09 一元二次不等式以及基本不等式的实际应用 【典例1】某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)最多为元； (2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意. 【分析】（1）设每件定价，根据条件列不等式求解即可； （2）将问题转化为不等式定区间内有解，分离参数再结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）设定价每件元，由题意可知， 整理得，解之得， 故该商品每件定价最多为元； （2）由上可知：当时，不等式有解， 整理得有解， 易知，当且仅当时取得等号， 此时， 所以改革后销售量至少达到11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品定价为30元. 【典例2】某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1)384 (2)存在， 【分析】（1）设B礼包共份，求出总成本建立不等式求解即可； （2）由题意，建立两个不等式，根据不等式恒成立求解，取交集即可得解. 【详解】（1）由题意知，B礼包共份，每份成本为元， 则， 整理得：，解得：， 因为，所以调整后的最大值是384. （2）假设存在实数满足要求， 由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以； 对于②，整理得：对恒成立 所以且， 又因为，当时，，所以， 综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 【变式1】某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件．已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍． (1)将2026年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家2026年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)厂家2026年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元． 【分析】(1)产品的利润等于销售收入减去成本，即可得解； (2)由(1)知，配凑后利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意知，当时，， 则，所以 因为每件产品的销售价格为元， 所以2026年该产品的利润 即 （2）因为当 当且仅且当时，等号成立． 故该厂家2026年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元 【变式2】某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 【变式3】（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 1．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， ， 所以 . 2．若，则的最小值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】凑出和为定值后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 3.以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 4．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由一元二次不等式的解法可判断A；由根与系数的关系可判断B、C、D. 【详解】由不等式的解集为可知，A正确； 方程有两个根和2， 所以，， 所以，， 则，，B，C错误； ，D正确. 故选：AD. 5.（多选）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值是 C．若，则 D．不等式解集为或 【答案】ACD 【详解】当时，，但，故A错误； 当时，， 当且仅当即时取等号， 此时，故的最小值是，B正确； 若，则，故C错误； 不等式解集为或，故D错误. 6.已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 7．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 8.（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 9.求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 【答案】(1)5 (2)18 (3)4 (4)1 【分析】（1）变形后利用基本不等式求出最小值； （2）化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； （3）利用两次基本不等式求出最值； （4）利用基本不等式得求出最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4． （4）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． 1．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 2．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 3.我们把中的最大值记为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】通过设最大值为，利用不等式关系推导的下界，结合等号成立条件确定最小值. 【详解】设（），则： ， ， . 结合前两式，得，又 ，所以，即，故. 当时，，，此时，等号成立. 故选：C 4.（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则该图形可以完成的所有无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，分别在直角和直角，由直角三角形的射影定理，结合，，可判定A、C正确； 在直角中，结合，可判定D正确. 【详解】由题意知：， 在直角中，由射影定理的，即， 又由且，所以， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 在直角中，同理可得，所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以C正确； 由， 因为为弧的中点，可得， 在直角中，可得，即， 因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确. 故选：ACD.    5.（多选）已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 6.若正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】16 【详解】因为，为正实数，且， 所以，且，即，，所以. 对因式分解可得， 所以（当且仅当，即，时取等号）， 故的最小值为16. 7．已知实数x、y满足:则 的取值范围是_______________ 【答案】 【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 8.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据条件得到，再由及得，化简得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解． 【详解】（1）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或； （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且， 得到，又由，且，得到， 即，解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或. 9.已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）消元，借助二次函数求出最小值. （2）将给定不等式分离参数，消元并利用基本不等式求出最大值及取得最大值的条件求出范围. （3）利用基本不等式，结合配凑方法求出最大值. 【详解】（1）由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2）由，得，而， ， 当且仅当，即时取等号，而，因此，则， 所以实数的取值范围为. （3）由，得，，当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为. 10.设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 【答案】(1)(2)4 (3)当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. （3）由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式单元复习讲义 教学目标 1.熟记不等式全部基础性质，能准确判断不等式变形正误； 2.熟练掌握一元二次不等式完整解法，会处理含参不等式、由解集求参数、根的分布、高次不等式相关题型； 3.牢记基本不等式使用要求，掌握配凑定值求最值的常用变形手段 教学重难点 重点 1.不等式基础性质，利用性质比较实数大小、进行简单不等式推导 2.基本不等式一正二定三相等使用规则，常规单变量最值求解 3.一元二次不等式常规解法，根据解集逆向计算参数，根的分布图像分析方法 难点 1.不等式多条性质综合运用，乘除负数时不等号方向变化容易出错 2.基本不等式配凑定值，多变量复杂变形，等号成立条件判断与验证 3.含参一元二次不等式多层分类讨论，容易遗漏二次项系数、两根大小、判别式相关限制条件 知识点1 不等式关系与不等式 1、不等式的概念 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式。 2、不等式中文字语言与符号语言 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 知识点2 等式与不等式的的性质 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2、 作差法比大小： ①；②；③ 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 知识点3 基本不等式 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由基本不等式引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 3、利用基本不等式求最值 （1）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. （2）积定和最小，和定积最大 ①设x,y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. ②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 知识点4 一元二次不等式的有关概念及解法 1、一元二次不等式的相关概念 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 2、“三个二次”间的对应关系 （1）二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． （2）对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 知识点5 分式不等式、高次不等式及绝对值不等式的解法 1、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ②③ ④⑤ 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 2、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） （4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 3、含绝对值不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式： ①的解集是，如图1． ②的解集是，如图2． ③． ④或 题型01 利用不等式的性质比较代数式的大小 【典例1】（多选）对于任意的实数，，，，下列命题错误的有（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】下列有关不等式的推断中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式2】若，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知实数，，，其中，以下叙述正确的是（   ） A．若，那么. B．若，那么. C．若，那么 D．若，那么 【变式4】（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 题型02 利用不等式求值或取值范围 【典例1】已知，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【变式3】（多选）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 题型03 基本不等式的概念与理解 【典例1】下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例2】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）下列关于基本不等式的说法，正确的是（    ） A．若，，则成立 B．对任意的，，成立 C．若，，则不一定成立 D．若，则成立 E．若，则成立 【变式2】（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段. 试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 【变式4】（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 题型04 利用基本不等式求最值 【典例1】已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【典例2】（多选）已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式1】已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【变式3】设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【变式4】已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 题型05 基本不等式中的恒成立问题 【典例1】若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【典例2】“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【变式3】（多选）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式4】设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 题型06 一元二次不等式的解法 【典例1】使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式1】已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 题型07 由一元二次不等式的解集确定参数 【典例1】已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【典例2】（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为-4. 【典例3】关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【变式2】（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是或 【变式3】若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型08 一元二次不等式的恒成立（有解）问题 【典例1】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2】若，为假命题，则实数的取值范围为_________． 【变式1】若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是______. 【变式2】下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【变式3】不等式对任意恒成立，则m的取值范围为__________． 题型09 一元二次不等式以及基本不等式的实际应用 【典例1】某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【典例2】某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【变式1】某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件．已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍． (1)将2026年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家2026年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【变式2】某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【变式3】（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 1．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 2．若，则的最小值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 5.（多选）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值是 C．若，则 D．不等式解集为或 6.已知正实数，满足，则的最小值为__________. 7．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 8.（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 9.求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 1．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 3.我们把中的最大值记为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 4.（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则该图形可以完成的所有无字证明为（    ）    A． B． C． D． 5.（多选）已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 6.若正实数，满足，则的最小值为______. 7．已知实数x、y满足:则 的取值范围是_______________ 8.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围． 9.已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 10.设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $