专题4.1 指数（四大题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题4.1 指数 题型1 根号的化简与求值 (1)、根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)、根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. 1．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）计算（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式的运算性质求解即可 【详解】. 故选：A 2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质化简即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 3．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、根式的化简求值 【分析】根据根式与指数幂的转化求解即可. 【详解】. 故选：D 4．（25-26高一上·全国·开学考试）（多选题）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选题）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的意义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项AC：因为，，可知无意义，有意义； 对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即 、均有意义； 故选：BCD. 6．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 7．（25-26高一上·江西上饶·阶段练习）计算： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据单项式除以单项式法则求出即可． 【详解】. 故答案为：． 题型2 指数幂的运算 1、有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 2、有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由根式直接化简求解即可. 【详解】． 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用指数幂的运算性质，以及分数指数幂与根式的互化即可判断. 【详解】由；；； ，显然ABC不正确. 故选：ABC 3．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列表达式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、根式的化简求值 【分析】对于AB，根据指数幂的运算性质分析判断，对于CD，根据根式的运算性质分析判断. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：CD． 4．（24-25高一上·安徽·期中）（多选题）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数幂的运算以及根式与指数的互化逐项计算并判断. 【详解】A：，故正确； B：，故错误； C：，故正确； D：，故正确； 故选：ACD. 题型3 分数指数幂与根式的互化 1．（24-25高一上·陕西榆林·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】． 故选：D 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可． 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．（多选题）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【解析】根据根式和分式指数幂的关系进行转化即可. 【详解】对于A，，左边，右边，故A错误； 对于B，，当时，，故B错误； 对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确； 对于D，，故D错误. ∴不正确的是A、B、D. 故选：ABD. 【点睛】本题为基础题，考查负指数分数指数幂与根式的转化运算. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，，化简： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简. 【详解】因为. 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：1 6．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得结果. （2）由可得，，从而计算出的值. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 题型4 指数幂的化简与求值 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用幂的运算法则化简计算即得. 【详解】 . 故选：C. 2．（24-25高一上·重庆·期中）化简： . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数运算性质化简计算即可. 【详解】；； 原式 故答案为： 3．（24-25高一上·陕西·期中）求值： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数幕的运算性质直接求即可． 【详解】 故答案为： 4．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【详解】由已知，. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、根式的化简求值 【分析】由根式化简及零指数意义逐项化简判断. 【详解】对于A，，当时，无意义，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高一上·江苏常州·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．（） 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂的运算性质计算可判断ABD；利用对数的运算性质计算可判断C. 【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，当时，，故C错误； 对于D，因为，，故D错误. 故选：B. 5．（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 6．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】两边平方，得到答案. 【详解】两边平方得， 故. 故选：B 7．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 8．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、根式的化简求值 【分析】利用指数运算及根式运算计算即得. 【详解】. 故选：C 二、多选题 8．（24-25高一上·广东汕尾·期末）（多选题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 三、填空题 9．（24-25高一上·天津滨海新·期中） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 10．（24-25高一上·广东潮州·期中）化简： . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的计算法则计算可得. 【详解】. 故答案为： 11．（24-25高二下·陕西西安·期末）计算 . 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解. 【详解】 . 故答案为：8 12．（24-25高一上·福建莆田·期中） . 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】运用指数幂运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：0. 四、解答题 13．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）由及计算可得； （2）由及计算可得. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . 14．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. （2）将两边平方即可得解. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 即，所以. 15．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）3；（2） 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、根式的化简求值 【分析】（1）利用根式和指数幂的运算求解； （2）利用指数幂和平方关系求解. 【详解】解：（1）， ， ； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 指数 题型1 根号的化简与求值 (1)、根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)、根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. 1．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）计算（   ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·开学考试）（多选题）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选题）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 7．（25-26高一上·江西上饶·阶段练习）计算： ． 题型2 指数幂的运算 1、有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 2、有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列表达式不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽·期中）（多选题）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3 分数指数幂与根式的互化 1．（24-25高一上·陕西榆林·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 3．（多选题）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，，化简： ． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： . 6．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）化简：． （2）已知，求． 题型4 指数幂的化简与求值 1．（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）化简： . 3．（24-25高一上·陕西·期中）求值： ． 4．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 5．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏常州·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．（） 5．（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 7．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一上·广东汕尾·期末）（多选题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高一上·天津滨海新·期中） 10．（24-25高一上·广东潮州·期中）化简： . 11．（24-25高二下·陕西西安·期末）计算 . 12．（24-25高一上·福建莆田·期中） . 四、解答题 13．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 14．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 15．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $