章末过关检测卷(三) 不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

章末过关检测卷(三) 不等式 （用时：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N 解析：选A.因为M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N. 2．已知p：2x－3>0，q：6x－8>x2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为2x－3>0，所以x>，又因为6x－8>x2，则2<x<4， 因为(2，4)⫋，所以p是q的必要不充分条件． 3．若a<b<0，则下列不等式中成立的是(　　) A．< B．< C．|a|>－b D．<1 解析：选C.因为a<b<0，所以－a>－b>0，所以>，故A错误； 因为a<b<0，所以>，故B错误； 因为a<b<0，所以－a>－b>0，又|a|＝－a， 所以|a|>－b，故C正确； 因为a<b<0，两边同时除以b，可知>1，故D错误． 4．若命题“对任意x<0，使得x2－2ax＋4≥0成立”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥－2} B．{a|a≥2} C．{a|a≤－2} D．{a|a≤2} 解析：选A.由题得a≥＋对任意x<0恒成立， ＋＝－≤ －2＝－2(当且仅当x＝－2时等号成立)， 所以a≥－2. 5．已知a>0，且关于x的不等式x2－2x＋a<0的解集为{x|m<x<n}，则＋的最小值为(　　) A． B．4 C． D．2 解析：选A.由已知，m、n是方程x2－2x＋a＝0的两根，所以m＋n＝2，mn＝a>0，所以m>0，n>0，且＋＝(m＋n)＋≥(5＋2)＝， 当且仅当n＝2m＝时取等号，因此，＋的最小值为. 6．若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售．则每天可销售100件．现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润．己知这种商品的售价每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价应定为(　　) A．11元 B．11元到15元之间 C．15元 D．10元到14元之间 解析：选B.设售价为x，利润为y，则y＝(x－6)[100－10(x－10)]， 由题意y＝(x－6)[100－10(x－10)]>450， 即x2－26x＋165<0，解得11<x<15，即售价应定为11元到15元之间． 7．已知实数x，y>0，且＋＝1，若2x＋y>m2－8m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(－9，1) B．(－1，9) C．[－1，9] D．(－∞，－1)∪(9，＋∞) 解析：选B.由题设，2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当x＝y时等号成立， ∴要使2x＋y>m2－8m恒成立，只需m2－8m<9， ∴m2－8m－9＝(m－9)(m＋1)<0， ∴－1<m<9. 8．已知正数x，y满足x＋＋y＋＝5，则x＋y的最小值与最大值的和为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选B.因为x>0，y>0，所以x＋y≥ 2，即xy≤， 所以≥，即≥， 又因为x＋＋y＋＝x＋y＋＝5， 所以x＋y＋≤5，即(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4， 故x＋y的最小值与最大值的和为5. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列四个命题中，为真命题的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a－c>b－d C．若a>|b|，则a2>b2 D．若a>b>0，则< 解析：选CD.对于A，当c＝0时，若a>b，则ac2＝bc2，故A错误； 对于B，当a＝c，b＝d时，若a>b，c>d，则a－c＝b－d，故B错误； 对于C，∵a>|b|≥0，∴a2>b2，故C正确； 对于D，由不等式的性质可知，若a>b>0，则<，故D正确． 10．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}，则(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>} 解析：选ABD.关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}，∴a>0，A选项正确； 且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误； 不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确． 11．设a>0，b>0，且a≠b，则“a＋b>2”的一个必要不充分条件可以是(　　) A．a3＋b3>2 B．a2＋b2>2 C．ab>1 D．＋>2 解析：选AB.由a>0，b>0，且a≠b， 对于A，a＋b>2时，a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]>>2，而a3＋b3>2时，存在a＝，b＝使a＋b＝2，符合要求． 对于B，a＋b>2时，有a2＋b2>>2，而a2＋b2>2时，存在a＝，b＝使a＋b＝2，故推不出a＋b>2，符合要求； 对于C，a＋b>2时，存在a＝2，b＝使ab<1，不符合要求； 对于D，a＋b>2时，存在a＝b＝使＋＝<2, 不符合要求． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是______________． 解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两个根为m，－n.因为m＋n>0，所以m>－n，结合二次函数y＝(m－x)·(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n<x<m}． 答案：{x|－n<x<m} 13．定义运算“”：xy＝(x，y∈R，xy≠0).当x>0，y>0时，xy＋(2y)x的最小值是_______． 解析：由新定义运算知，(2y)x＝＝，因为x>0，y>0， 所以xy＋(2y)x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，xy＋(2y)x的最小值是. 答案： 14．甲、乙两人购买同一种物品，甲不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则________的购物方式比较经济(填“甲”或“乙”). 解析：设这个商品的第一次的价格为a，第二次的价格为b， 甲两次购买的数量为n，乙两次所付的钱数为m， 那么甲这种购买方式的均价为＝，乙这种购买方式的均价为＝， ≥(当且仅当a＝b时等号成立)， ＝≤＝(当且仅当a＝b时等号成立)， 故≥(当且仅当a＝b时等号成立)，所以用乙这种方式购买更合算． 答案：乙 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋1<0的解集． 解： (1)x2－2x－3<0，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，x2＋x－6<0解得－3<x<2，所以B＝{x|－3<x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}． (2)A∩B＝{x|－1<x<2}，由题意得－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2， 不等式－x2－2x＋1<0，即x2＋2x－1>0，解得x>－1＋或x<－1－，不等式ax2＋bx＋1<0解集为{x|x>－1＋或x<－1－}． 16．(15分)已知函数f(x)＝x2＋2mx－2m＋1. (1)若函数y＝f(x)与函数y＝2x的图象相交，如图所示，其中交点A的纵坐标为2，交点B的纵坐标为4，求m的值； (2)在(1)的条件下，求不等式f(x)<4的解集； (3)求不等式f(x)>2的解集． 解：(1)由题设，可得B(2，4)且在y＝f(x)上，所以5＋2m＝4，可得m＝－. (2)由(1)知：f(x)＝x2－x＋2<4，即x2－x－2＝(x＋1)(x－2)<0，所以－1<x<2，故f(x)<4的解集为{x|－1<x<2}． (3)由题设，f(x)＝x2＋2mx－2m＋1>2，即x2＋2mx－2m－1＝(x＋2m＋1)(x－1)>0， 当－(2m＋1)>1，即m<－1时，解集为{x}； 当－(2m＋1)＝1，即m＝－1时，解集为{x}； 当－(2m＋1)<1，即m>－1时，解集为{x}. 17．(15分)为了让动物妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室ABCD的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室AMPN，使活动的空间更大．为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝6 m，AD＝4 m．设DN＝x m(单位：m)，矩形AMPN的面积为y m2. (1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少米时，y有最小值； (2)要使矩形AMPN的面积大于128 m2，则DN的长应在什么范围内？ 解：(1)由图知CD∥AM，∴＝， ∴AM＝， ∴y＝·(x＋4)＝＝ 6(x>0)， 由基本不等式可知x>0时，x＋≥2＝8， 当且仅当x＝即x＝4时，ymin＝96. (2)∵要使矩形AMPN的面积大于128 m2， >128，∴3x2－40x＋48>0， ∴0<x<或x>12， ∴DN的长应在满足{x|0<x<或x>12}． 18．(17分)17．(2025·苏州高一上期末)已知a、b均为正实数，ab＝a＋2b＋t(t∈R). (1)若t＝0，求a＋b的最小值； (2)若t＝6，求＋的最小值． 解：(1)当t＝0时，ab＝a＋2b，则＋＝1. 因为a、b均为正实数， 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当时，即当a＝2＋，b＝＋1时取等号， 所以a＋b的最小值为3＋2. (2)当t＝6时，ab＝a＋2b＋6，可得ab－a－2b＋2＝8，则(a－2)(b－1)＝8， 所以b＝，因为b>0，a>0，所以a>2，进而得b>1， 所以>0，>0， 所以＋≥2＝2＝， 当且仅当时，即当a＝2＋，b＝4＋1时取等号， 所以＋的最小值为. 18．(17分)某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n(n∈N*)年内的总维修保养费用为(4n2＋20n)万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年底，该项目的纯利润为f(n).(纯利润＝累计收入－总维修保养费一投资成本) (1)写出f(n)的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； (2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目． 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由． 解：(1)依题可得，f(n)＝100n－(4n2＋20n)－144＝－4n2＋80n－144(n为正整数)， 令f(n)＝－4n2＋80n－144>0，解得2<n<18，n∈N*，该项目从第3年开始盈利． (2)若选择方案①，设年平均利润为g(n)， 则g(n)＝＝80－4≤80－4× 2＝32， 当且仅当n＝即n＝6时，等号成立，所以当n＝6时，g(n)取得最大值32， 此时共盈利为32×6＋72＝264(万元)； 若选择方案②，纯利润f(n)＝－4n2＋80n－144＝－4(n－10)2＋256， 所以当n＝10时，纯利润取得最大值256， 此时共盈利为256＋8＝264(万元)， 若该公司6年后投资其他项目，确定盈利则选择方案①， 若该公司6年后投资其他项目，确定亏损则选择方案②， 事实上，投资任何一个项目都有风险，并不一定年限少，盈利就多，就更有利于公司的发展． 学科网（北京）股份有限公司 $