5.3《百分数的解决问题》（15个考点）（讲义）-2026-2027学年人教版六年级数学上册

本讲义聚焦六年级数学《百分数的解决问题》，系统梳理从基础的“求一个数是另一个数的百分之几”“求一个数的百分之几是多少”，到实际应用的“折扣”“利率”，再到进阶的“量率对应”“单位1转化”等15个考点，构建由浅入深的学习支架。 资料以“核心知识+方法点拨+典型例题+对应练习”设计，结合购物折扣、储蓄利率等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分步推理和公式应用发展数学思维，课中助力教师系统教学，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

考点分析+典型例题+对应练习 2026年秋季人教版六年级数学上册（讲义） 第五单元《百分数》 5.3【百分数的解决问题】(15个考点) 考点1：求一个数是另一个数的百分之几… …2 考点2：求一个数的百分之几是多少…3 考点3：折扣… 考点4：利率… 6 考点5：求一个数比另一个数多百分之几… …7 考点6：求一个数比另一个数少百分之几… 8 考点7：求比一个数多百分之几是多少… …9 考点8：求比一个数少百分之几是多少… …10 考点9：已知一个数的百分之几是多少，求这个数… …10 考点10：已知此一个数多百分之几是多少，求这个数… 11 考点11：已知比一个数少百分之几是多少，求这个数…11 考点12：假设法解决单位“1”未知连续变化问题…12 考点13：量率对应… …13 考点14：单位“1”转化（连续变化，余下为新单位1）…14 考点15：抓不变量解决百分数问题…15 第1页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 考点1：求一个数是另一个数的百分之几？ 【核心知识】 1.公式：一个数÷另一个数×100% 2.常见百分率通用公式：部分量÷总量×100%（命中率、出勤率、出油率、含盐 率等) 3.关键词：A是B的百分之几，B为单位“1”，作除数。 【方法点拨】 1.找准“总量”和“部分量”；求百分率先算总数量（如命中率=命中÷总子弹， 总子弹=命中+未命中)。 2.结果一定要乘100%，转化为百分数。 3.区分两个问题：A是B的百分之几、B是A的百分之几，除数互换。 【典型例题1】 在一次部队射击练习中，命中的子弹是100发，没命中的是25发，命中率是多 少？ 【对应练习1】 把30克盐加入到120克水中，盐占盐水的百分之几？ 【对应练习2】 小红家二月份计划支出1500元，实际支出1200元，请求：实际支出是计划的百 分之几？计划支出是：实际的百分之几？ 第2页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【对应练习3】 450千克大豆可榨油162千克，大豆的出油率是多少？ 【对应练习4】 六(2)班今天到校47人，请病假的3人，该班的出勤率是多少？ 考点2：求一个数的百分之几是多少？ 【核心知识】 1.单位“1”已知，用乘法：单位“1”的量×对应百分率=对应部分量 2.分数、百分数可互化统一计算。 【方法点拨】 1.找关键词“的”，“的”前面是单位“1”；已知单位1直接乘。 2.求差值：先分别算出两个部分，再相减；或先算百分率差，再乘单位1。 3.剩余量=总量×(1-已用百分率)。 【典型例题1】 为了增加节日气氛，阳光小学为全校师生准备了1200个月饼，其中8%分给老师。 学校给老师准备了多少个月饼？ 【对应练习1】 用400吨小麦磨面粉，出粉率是85%，可以磨面粉多少吨？ 第3页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【对应练习2】 一批零件有600个，第一小时完成了全部的品第二小时完成了全部的后第二 小时比第一小时少完成多少个零件？ 【对应练习3】 市政公司铺设一条长2700m的盲道，第一周铺设了全长的35%，第二周铺设了全 长的还剩多少米没有完成？ 考点3：折扣 【核心知识】 1.几折=原价的百分之几十；八折=80%，八五折=85%. 2.基础公式： 现价=原价×折扣；原价=现价÷折扣；便宜钱数=原价-现价=原价×(1-折扣) 【方法点拨】 1.已知原价求现价：乘法；已知现价求原价：除法。 2.求便宜多少：两种思路①原价-现价②原价×(1-折扣百分数)。 第4页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【典型例题1】 某品牌液晶电视原价8000元，现打八折销售，现在售价是多少元？ 【对应练习1】 一件衬衫原价是120元，现在打八五折销售，这件衬衫便宜了多少钱？ 【对应练习2】 -种商品九折以后，单价是270元，这种商品原价是多少元？ 【对应练习3】 一套《少年百科全书》打七折后卖175元，每套《少年百科全书》原价多少元？ 第5页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 考点4：利率 【核心知识】 1.本金：存人银行的钱；利息：银行多给的钱；本息和=本金+利息 2.利息公式：利息=本金×年利率×存期 【方法点拨】 1.求一共取回多少钱：本金+利息；只求利息直接套公式。 2.已知本息、本金、利率，求存期：先算总利息，再用利息÷本金÷年利率。 【典型例题1】 小明把800元钱存入银行，存期为2年，年利率为2.25%。到期支取时，小明一 共能取回多少钱？ 【对应练习1】 程老师将20000元存入银行，定期二年，年利率是2.05%，到期后，可获得利息 多少元？ 【对应练习2】 小刚把攒下来的2000元零用钱存入银行两年，准备到期时将利息捐给希望工程。 按年利率2.25%计算，到期时小刚可以捐给希望工程多少钱？ 第6页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【对应练习3】 张叔叔将20000元钱存入银行，年利率为2.45%，到期时张叔叔取出本金和利息 共21470元。张叔叔把钱存了几年？ 考点5：求一个数比另一个数多百分之几？ 【核心知识】 1.公式： (大数-小数)÷单位“1”的量×100% 2.“比”字后面的量是单位“1”，作除数。 【方法点拨】 1.两步法：①先算多的具体数量；②多的量÷标准量（比后面的数）。 2.行程类：速度=路程÷时间，统一设路程为1，先求速度再算差值。 【典型例题1】 育才小学去年在校生有900人，今年增加到1050人。今年在校生的人数比去年 增加了百分之几？ 【对应练习1】 青少年每分钟心跳约75次，婴儿每分钟心跳约135次，婴儿每分钟心跳比青少 年多百分之几？ 第7页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【对应练习2】 某家电销售第一季度的营业额为15万元，第二季度的营业额为16.5万元。第二 季度的营业额比第一季度增长了百分之多少？ 【对应练习3】 从甲地到乙地，客车要16小时，货车要20小时.客车比货车的速度快百分之几？ 考点6：求一个数此另一个数少百分之几？ 【核心知识】 1.公式： (大数-小数)÷单位“1”的量×100% 2.“比”后为单位1，用相差量÷标准量。 【方法点拨】 1.节省降低百分之几：差额÷计划原价计划投资（标准量）。 2.看清问题：减少的量÷原来的总量，不是除以现在的量。 【典型例题1】 盒子里有25个红球，40个黄球，红球比黄球少百分之几？ 【对应练习1】 一件商品原价80元，现价60元，降低百分之几？ 第8页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【对应练习2】 一项工程，实际投资390万元，比计划节省10万元，节省百分之几？ 【对应练习3】 爸爸的体重原来是100千克，现在减少了30千克，减少了百分之几？ 考点7：求比一个数多百分之几是多少？ 【核心知识】 1.单位“1”已知，乘法：单位1×(1+多的百分率)=现数量 【方法点拨】 1.两种列式：①单位1+单位1×增加百分率②单位1×(1+百分率) 2.“增产、增加、提高”全部用1加百分率。 【典型例题1】 学校图书室原有图书1400册，今年图书册数增加了12%。现在图书室有多少册 图书？ 【对应练习1】 去年玉米的产量是150吨，今年比去年增产20%，今年玉米的产量 是多少吨？ 第9页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 考点8：求比一个数少百分之几是多少？ 【核心知识】 1.单位“1”已知，乘法：单位1×(1-少的百分率)=现数量 【方法点拨】 1.“减少、降低、少几分之几/百分之几”用1减对应分率。 2.分数、百分数统一转化后再计算，避免计算错误。 【典型例题1】 在“数说中国”作品大赛中，五年级上交作品120件，四年级比五年级少三，四 年级上交作品多少件？ 【对应练习1】 龙泉镇去年有小学生2800人，今年比去年减少0.5%。今年有小学生多少人？ 【对应练习2】 果园里有桃树300棵，梨树的棵数比桃树少20%，梨树一共有多少棵？ 考点9：已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 【核心知识】 1.单位“1”未知，用除法：对应量÷对应百分率=单位“1”总量 【方法点拨】 1.看到“已知部分求整体”，一律除法；或列方程：单位1×百分率=已知量。 2.区分：单位1已知乘，单位1未知除。 第10页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【典型例题1】 读一本书，已读全书的35%，正好140页，这本书一共多少页？ 【对应练习1】 六年级学生去植树，男生植树360棵，比女生多植20%，女生植了多少棵？ 考点10：已知比一个数多百分之几是多少，求这个数. 【核心知识】 1.单位“1”未知，除法：已知量÷(1+多的百分率)=单位1 【方法点拨】 1.“比女生多20%”，女生是单位1，对应分率是1+20%；用多之后的总量除以 对应分率。 2.方程解法：设单位1为x,x×(1+百分率=已知数量。 【典型例题1】 参加数学竞赛的男生有60人，比女生多20%，参加数学竞赛的女生有多少人？ 【对应练习1】 水泥厂本月产水泥600吨，比上个月增产60%，上个月生产水泥多少吨？ 考点11：已知比一个数少百分之几是多少，求这个数. 第11页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【核心知识】 1.单位“1”未知，除法：已知量÷(1-少的百分率)=单位1 【方法点拨】 1.现价、成本比原价原来少百分之几，原价是单位1，分率1-百分率。 2.第二问求差价：先求出原价，再用原价一现价。 【典型例题1】 高泉小学去年有小学生3200人，去年比今年少了36%。今年有小学生多少人？ 【对应练习1】 正兴电子厂由于采用了新工艺后，每件产品的成本是20.4元，比原来降低了15%， 原来每件产品的成本是多少元？ 【对应练习2】 商店有一款衣服售价34元，比原价便宜15%，现价比原价便宜多少元？ 考点12：假设法解决单位“1”未知连续变化问题 【核心知识】 1.连续涨跌、升降，无固定总量时，假设原始单位1为1（或100），分步计算 变化后数值。 2.变化幅度=（最终值-初始值）÷初始值×100% 【方法点拨】 1.先设基准量为1；先跌后涨/先涨后跌不能抵消，每次变化的单位1不同。 2.最终数>1：上涨；最终数<1：下跌，再算变化幅度。 第12页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【典型例题1】 假设每天股价涨到前一天收盘价的10%，称为涨停；每天股价跌到前一天收盘价 的10%，称为跌停。某只股票第一天跌停，第二天涨停，这只股票这两天涨了还 是跌了？涨跌的幅度是多少？ 【对应练习1】 去年某品牌手机3月份的销售量比2月份的销售量降低了30%，4月份搞促销活 动，销售量比3月份上涨了40%。那么4月份的销售量与2月份相比，是涨了还 是降了？变化幅度是多少？ 考点13：量率对应 【核心知识】 1.总量为单位1，找到具体数量对应的分率；总量=对应量：对应分率 2.剩余分率=1-所有已售出/已看分率；差值分率=大分率-小分率 【方法点拨】 1.剩多少页/多少件：对应分率=1-已看分率； 2.两天相差多少：对应分率=两天分率之差，对应量÷分率差=总量。 【典型例题1】 小明看一本故事书，第一周看了这本书的20%，还剩48页，这本书一共有多少 页？ 第13页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【对应练习1】 超市进来一批红牛饮料，第一周售出5，第二周售出后还有80件没有卖出。超 市一共进来多少件红牛？ 【对应练习2】 某玩具厂生产一批儿童玩具，第一周完成了这批玩具的25%，第二周完成了这批 玩具的30%，第二周比第一周多生产了450个，这批玩具一共有多少个？ 【对应练习3】 坚持阅读是一种良好的习惯。乐乐在读一本书，已知第一天读了全书总页数的4 0%,第二天读了全书总页数的，第二天比第一天少读30页，这本书共有多少页？ 考点14：单位“1”转化（连续变化，余下为新单位1） 【核心知识】 1.第一次：全书为单位1；第二次：余下的量为新单位1，两次单位1不同，不 能直接加减分率。 【方法点拨】 1.分步算剩余分率：先算第一天看完剩下全书的几分之几，再算第二天看全书的 分率； 第14页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 2.求从第几页开始：总已读页数+1。 【典型例题1】 乐乐三天看完一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了余下的40%，第三天 看了27页。这本书一共有多少页？ 【对应练习1】 小高看一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的后，还剩100页没有看， 那么这本书共有多少页？ 【对应练习2】 一本故事书有120页，小明第一天读了全书的，第二天读了余下的25%。第三 天应从第几页读起？ 考点15：抓不变量解决问题。 第15页共16页 考点分析+典型例题+对应练习 【核心知识】 1.总量不变、某一类人数不变（如女生、粮食总和），以不变量为桥梁转化分率。 【方法点拨】 1.两仓调粮、车间调人：粮食总吨数/，总人数不变，统一总份数； 2.调入男职工类：女生人数不变，先算不变女生数量，再求后来总人数，差值即 为调人人数。 【典型例题1】 甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的70%，如果从乙仓库调50吨到甲 仓库，甲仓库存粮就是乙仓库的80%。甲仓库原来存粮多少吨？ 【对应练习1】 红星汽配厂甲车间的人数是乙车间的30%。如果从乙车间调70人到甲车间，那 么两车间人数相等。甲、乙两车间各有多少人？ 【对应练习2】 某工厂有职工128人，男职工人数占全厂总人数的25%，后来调进男职工若干人， 这时男职工人数占全厂总人数的40%，后来调进的男职工有多少名？ 第16页共16页考点分析+典型例题+对应练习 2026年秋季人教版六年级数学上册（讲义） 第五单元《百分数》 5.3【百分数的解决问题】（15个考点） 考点1：求一个数是另一个数的百分之几 2 考点2：求一个数的百分之几是多少 3 考点3：折扣 4 考点4：利率 6 考点5：求一个数比另一个数多百分之几 7 考点6：求一个数比另一个数少百分之几 8 考点7：求比一个数多百分之几是多少 9 考点8：求比一个数少百分之几是多少 10 考点9：已知一个数的百分之几是多少，求这个数 10 考点10：已知比一个数多百分之几是多少，求这个数 11 考点11：已知比一个数少百分之几是多少，求这个数 11 考点12：假设法解决单位“1”未知连续变化问题 12 考点13：量率对应 13 考点14：单位“1”转化（连续变化，余下为新单位1） 14 考点15：抓不变量解决百分数问题 15 考点1：求一个数是另一个数的百分之几？ 【核心知识】 1. 公式：一个数÷另一个数×100% 2. 常见百分率通用公式：部分量÷总量×100%（命中率、出勤率、出油率、含盐率等） 3. 关键词：A是B的百分之几，B为单位“1”，作除数。 【方法点拨】 1. 找准“总量”和“部分量”；求百分率先算总数量（如命中率=命中÷总子弹，总子弹=命中+未命中）。 2. 结果一定要乘100%，转化为百分数。 3. 区分两个问题：A是B的百分之几、B是A的百分之几，除数互换。 【典型例题1】 在一次部队射击练习中，命中的子弹是100发，没命中的是25发，命中率是多少？ 【对应练习1】 把30克盐加入到120克水中，盐占盐水的百分之几？ 【对应练习2】 小红家二月份计划支出1500元，实际支出1200元，请求：实际支出是计划的百分之几？计划支出是：实际的百分之几？ 【对应练习3】 450千克大豆可榨油162千克，大豆的出油率是多少？ 【对应练习4】 六（2）班今天到校47人，请病假的3人，该班的出勤率是多少？ 考点2：求一个数的百分之几是多少？ 【核心知识】 1. 单位“1”已知，用乘法：单位“1”的量 × 对应百分率 = 对应部分量 2. 分数、百分数可互化统一计算。 【方法点拨】 1. 找关键词“的”，“的”前面是单位“1”；已知单位1直接乘。 2. 求差值：先分别算出两个部分，再相减；或先算百分率差，再乘单位1。 3. 剩余量=总量×(1−已用百分率)。 【典型例题1】 为了增加节日气氛，阳光小学为全校师生准备了1200个月饼，其中8%分给老师。学校给老师准备了多少个月饼？ 【对应练习1】 用400吨小麦磨面粉，出粉率是85%，可以磨面粉多少吨？ 【对应练习2】 一批零件有600个，第一小时完成了全部的，第二小时完成了全部的，第二小时比第一小时少完成多少个零件？ 【对应练习3】 市政公司铺设一条长2700m的盲道，第一周铺设了全长的35%，第二周铺设了全长的，还剩多少米没有完成？ 考点3：折扣 【核心知识】 1. 几折=原价的百分之几十；八折=80%，八五折=85%。 2. 基础公式： 现价=原价×折扣；原价=现价÷折扣；便宜钱数=原价−现价=原价×(1−折扣) 【方法点拨】 1. 已知原价求现价：乘法；已知现价求原价：除法。 2. 求便宜多少：两种思路①原价−现价 ②原价×（1−折扣百分数）。 【典型例题1】 某品牌液晶电视原价8000元，现打八折销售，现在售价是多少元？ 【对应练习1】 一件衬衫原价是120元，现在打八五折销售，这件衬衫便宜了多少钱？ 【对应练习2】 一种商品九折以后，单价是270元，这种商品原价是多少元？ 【对应练习3】 一套《少年百科全书》打七折后卖175元，每套《少年百科全书》原价多少元？ 考点4：利率 【核心知识】 1. 本金：存入银行的钱；利息：银行多给的钱；本息和=本金+利息 2. 利息公式：利息=本金×年利率×存期 【方法点拨】 1. 求一共取回多少钱：本金+利息；只求利息直接套公式。 2. 已知本息、本金、利率，求存期：先算总利息，再用利息÷本金÷年利率。 【典型例题1】 小明把800元钱存入银行，存期为2年，年利率为2.25%。到期支取时，小明一共能取回多少钱？ 【对应练习1】 程老师将20000元存入银行，定期二年，年利率是2.05%，到期后，可获得利息多少元？ 【对应练习2】 小刚把攒下来的2000元零用钱存入银行两年，准备到期时将利息捐给希望工程。按年利率2.25%计算，到期时小刚可以捐给希望工程多少钱？ 【对应练习3】 张叔叔将20000元钱存入银行，年利率为2.45%，到期时张叔叔取出本金和利息共21470元。张叔叔把钱存了几年？ 考点5：求一个数比另一个数多百分之几？ 【核心知识】 1. 公式：（大数−小数）÷单位“1”的量×100% 2. “比”字后面的量是单位“1”，作除数。 【方法点拨】 1. 两步法：①先算多的具体数量；②多的量÷标准量（比后面的数）。 2. 行程类：速度=路程÷时间，统一设路程为1，先求速度再算差值。 【典型例题1】 育才小学去年在校生有900人，今年增加到1050人。今年在校生的人数比去年增加了百分之几？ 【对应练习1】 青少年每分钟心跳约75次，婴儿每分钟心跳约135次，婴儿每分钟心跳比青少年多百分之几？ 【对应练习2】 某家电销售第一季度的营业额为15万元，第二季度的营业额为16.5万元。第二季度的营业额比第一季度增长了百分之多少？ 【对应练习3】 从甲地到乙地，客车要16小时，货车要20小时。客车比货车的速度快百分之几？ 考点6：求一个数比另一个数少百分之几？ 【核心知识】 1. 公式：（大数−小数）÷单位“1”的量×100% 2. “比”后为单位1，用相差量÷标准量。 【方法点拨】 1. 节省/降低百分之几：差额÷计划原价/计划投资（标准量）。 2. 看清问题：减少的量÷原来的总量，不是除以现在的量。 【典型例题1】 盒子里有25个红球，40个黄球，红球比黄球少百分之几？ 【对应练习1】 一件商品原价80元，现价60元，降低百分之几？ 【对应练习2】 一项工程，实际投资390万元，比计划节省10万元，节省百分之几？ 【对应练习3】 爸爸的体重原来是100千克，现在减少了30千克，减少了百分之几？ 考点7：求比一个数多百分之几是多少？ 【核心知识】 1. 单位“1”已知，乘法：单位1×(1+多的百分率)=现数量 【方法点拨】 1. 两种列式：①单位1 + 单位1×增加百分率 ②单位1×(1+百分率) 2. “增产、增加、提高”全部用1加百分率。 【典型例题1】 学校图书室原有图书1400册，今年图书册数增加了12%。现在图书室有多少册图书？ 【对应练习1】 去年玉米的产量是150吨，今年比去年增产20%，今年玉米的产量 是多少吨？ 考点8：求比一个数少百分之几是多少？ 【核心知识】 1. 单位“1”已知，乘法：单位1×(1−少的百分率)=现数量 【方法点拨】 1. “减少、降低、少几分之几/百分之几”用1减对应分率。 2. 分数、百分数统一转化后再计算，避免计算错误。 【典型例题1】 在“数说中国”作品大赛中，五年级上交作品120件，四年级比五年级少，四年级上交作品多少件？ 【对应练习1】 龙泉镇去年有小学生2800人，今年比去年减少0.5%。今年有小学生多少人？ 【对应练习2】 果园里有桃树300棵，梨树的棵数比桃树少20%，梨树一共有多少棵？ 考点9：已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 【核心知识】 1. 单位“1”未知，用除法：对应量÷对应百分率=单位“1”总量 【方法点拨】 1. 看到“已知部分求整体”，一律除法；或列方程：单位1×百分率=已知量。 2. 区分：单位1已知乘，单位1未知除。 【典型例题1】 读一本书，已读全书的35%，正好140页，这本书一共多少页？ 【对应练习1】 六年级学生去植树，男生植树360棵，比女生多植20%，女生植了多少棵？ 考点10：已知比一个数多百分之几是多少，求这个数。 【核心知识】 1. 单位“1”未知，除法：已知量÷(1+多的百分率)=单位1 【方法点拨】 1. “比女生多20%”，女生是单位1，对应分率是1+20%；用多之后的总量除以对应分率。 2. 方程解法：设单位1为x，x×(1+百分率)=已知数量。 【典型例题1】 参加数学竞赛的男生有60人，比女生多20%，参加数学竞赛的女生有多少人？ 【对应练习1】 水泥厂本月产水泥600吨，比上个月增产60%，上个月生产水泥多少吨？ 考点11：已知比一个数少百分之几是多少，求这个数。 【核心知识】 1. 单位“1”未知，除法：已知量÷(1−少的百分率)=单位1 【方法点拨】 1. 现价、成本比原价/原来少百分之几，原价是单位1，分率1−百分率。 2. 第二问求差价：先求出原价，再用原价−现价。 【典型例题1】 高泉小学去年有小学生3200人，去年比今年少了36%。今年有小学生多少人？ 【对应练习1】 正兴电子厂由于采用了新工艺后，每件产品的成本是20.4元，比原来降低了15%，原来每件产品的成本是多少元？ 【对应练习2】 商店有一款衣服售价34元，比原价便宜15%，现价比原价便宜多少元？ 考点12：假设法解决单位“1”未知连续变化问题 【核心知识】 1. 连续涨跌、升降，无固定总量时，假设原始单位1为1（或100），分步计算变化后数值。 2. 变化幅度=(最终值−初始值)÷初始值×100% 【方法点拨】 1. 先设基准量为1；先跌后涨/先涨后跌不能抵消，每次变化的单位1不同。 2. 最终数＞1：上涨；最终数＜1：下跌，再算变化幅度。 【典型例题1】 假设每天股价涨到前一天收盘价的10%，称为涨停；每天股价跌到前一天收盘价的10%，称为跌停。某只股票第一天跌停，第二天涨停，这只股票这两天涨了还是跌了？涨跌的幅度是多少？ 【对应练习1】 去年某品牌手机3月份的销售量比2月份的销售量降低了30%，4月份搞促销活动，销售量比3月份上涨了40%。那么4月份的销售量与2月份相比，是涨了还是降了？变化幅度是多少？ 考点13：量率对应 【核心知识】 1. 总量为单位1，找到具体数量对应的分率；总量=对应量÷对应分率 2. 剩余分率=1−所有已售出/已看分率；差值分率=大分率−小分率 【方法点拨】 1. 剩多少页/多少件：对应分率=1−已看分率； 2. 两天相差多少：对应分率=两天分率之差，对应量÷分率差=总量。 【典型例题1】 小明看一本故事书，第一周看了这本书的20%，还剩48页，这本书一共有多少页？ 【对应练习1】 超市进来一批红牛饮料，第一周售出，第二周售出，还有80件没有卖出。超市一共进来多少件红牛？ 【对应练习2】 某玩具厂生产一批儿童玩具，第一周完成了这批玩具的25%，第二周完成了这批玩具的30%，第二周比第一周多生产了450个，这批玩具一共有多少个？ 【对应练习3】 坚持阅读是一种良好的习惯。乐乐在读一本书，已知第一天读了全书总页数的40%，第二天读了全书总页数的，第二天比第一天少读30页，这本书共有多少页？ 考点14：单位“1”转化（连续变化，余下为新单位1） 【核心知识】 1. 第一次：全书为单位1；第二次：余下的量为新单位1，两次单位1不同，不能直接加减分率。 【方法点拨】 1. 分步算剩余分率：先算第一天看完剩下全书的几分之几，再算第二天看全书的分率； 2. 求从第几页开始：总已读页数+1。 【典型例题1】 乐乐三天看完一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了余下的40%，第三天看了27页。这本书一共有多少页？ 【对应练习1】 小高看一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，还剩100页没有看，那么这本书共有多少页？ 【对应练习2】 一本故事书有120页，小明第一天读了全书的，第二天读了余下的25%。第三天应从第几页读起？ 考点15： 抓不变量解决问题。 【核心知识】 1. 总量不变、某一类人数不变（如女生、粮食总和），以不变量为桥梁转化分率。 【方法点拨】 1. 两仓调粮、车间调人：粮食总吨数/总人数不变，统一总份数； 2. 调入男职工类：女生人数不变，先算不变女生数量，再求后来总人数，差值即为调入人数。 【典型例题1】 甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的70%，如果从乙仓库调50吨到甲仓库，甲仓库存粮就是乙仓库的80%。甲仓库原来存粮多少吨？ 【对应练习1】 红星汽配厂甲车间的人数是乙车间的30%。如果从乙车间调70人到甲车间，那么两车间人数相等。甲、乙两车间各有多少人？ 【对应练习2】 某工厂有职工128人，男职工人数占全厂总人数的25%，后来调进男职工若干人，这时男职工人数占全厂总人数的40%，后来调进的男职工有多少名？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $考点分析+典型例题+对应练习 2026年秋季人教版六年级数学上册（讲义） 第五单元《百分数》 5.3【百分数的解决问题】（15个考点） 考点1：求一个数是另一个数的百分之几 2 考点2：求一个数的百分之几是多少 4 考点3：折扣 5 考点4：利率 7 考点5：求一个数比另一个数多百分之几 8 考点6：求一个数比另一个数少百分之几 10 考点7：求比一个数多百分之几是多少 11 考点8：求比一个数少百分之几是多少 12 考点9：已知一个数的百分之几是多少，求这个数 13 考点10：已知比一个数多百分之几是多少，求这个数 14 考点11：已知比一个数少百分之几是多少，求这个数 15 考点12：假设法解决单位“1”未知连续变化问题 16 考点13：量率对应 17 考点14：单位“1”转化（连续变化，余下为新单位1） 19 考点15：抓不变量解决百分数问题 20 考点1：求一个数是另一个数的百分之几？ 【核心知识】 1. 公式：一个数÷另一个数×100% 2. 常见百分率通用公式：部分量÷总量×100%（命中率、出勤率、出油率、含盐率等） 3. 关键词：A是B的百分之几，B为单位“1”，作除数。 【方法点拨】 1. 找准“总量”和“部分量”；求百分率先算总数量（如命中率=命中÷总子弹，总子弹=命中+未命中）。 2. 结果一定要乘100%，转化为百分数。 3. 区分两个问题：A是B的百分之几、B是A的百分之几，除数互换。 【典型例题1】 在一次部队射击练习中，命中的子弹是100发，没命中的是25发，命中率是多少？ 分析：命中率=命中÷总子弹，总子弹=命中+未命中 详解 总子弹：（发） 命中率： 答案：80% 【对应练习1】 把30克盐加入到120克水中，盐占盐水的百分之几？ 分析：盐水=盐+水，盐÷盐水×100% 详解 盐水：（克） 答案：20% 【对应练习2】 小红家二月份计划支出1500元，实际支出1200元，请求：实际支出是计划的百分之几？计划支出是：实际的百分之几？ 分析：分别用实际÷计划、计划÷实际 详解 答案：实际是计划80%；计划是实际125% 【对应练习3】 450千克大豆可榨油162千克，大豆的出油率是多少？ 分析：出油率=油÷大豆总量 详解 答案：36% 【对应练习4】 六（2）班今天到校47人，请病假的3人，该班的出勤率是多少？ 分析：总人数=到校+病假，到校÷总人数 详解 总人数：（人） 答案：94% 考点2：求一个数的百分之几是多少？ 【核心知识】 1. 单位“1”已知，用乘法：单位“1”的量 × 对应百分率 = 对应部分量 2. 分数、百分数可互化统一计算。 【方法点拨】 1. 找关键词“的”，“的”前面是单位“1”；已知单位1直接乘。 2. 求差值：先分别算出两个部分，再相减；或先算百分率差，再乘单位1。 3. 剩余量=总量×(1−已用百分率)。 【典型例题1】 为了增加节日气氛，阳光小学为全校师生准备了1200个月饼，其中8%分给老师。学校给老师准备了多少个月饼？ 分析：总数1200是单位1，求8%用乘法 详解 （个） 答案：96个 【对应练习1】 用400吨小麦磨面粉，出粉率是85%，可以磨面粉多少吨？ 分析：小麦总量×出粉率=面粉重量 详解 （吨） 答案：340吨 【对应练习2】 一批零件有600个，第一小时完成了全部的，第二小时完成了全部的，第二小时比第一小时少完成多少个零件？ 分析：先求两个分率差，再乘总数 详解 （个） 答案：80个 【对应练习3】 市政公司铺设一条长2700m的盲道，第一周铺设了全长的35%，第二周铺设了全长的，还剩多少米没有完成？ 分析：剩余=全长×(1−35%−) 详解 剩余分率： （m） 答案：675米 考点3：折扣 【核心知识】 1. 几折=原价的百分之几十；八折=80%，八五折=85%。 2. 基础公式： 现价=原价×折扣；原价=现价÷折扣；便宜钱数=原价−现价=原价×(1−折扣) 【方法点拨】 1. 已知原价求现价：乘法；已知现价求原价：除法。 2. 求便宜多少：两种思路①原价−现价 ②原价×（1−折扣百分数）。 【典型例题1】 某品牌液晶电视原价8000元，现打八折销售，现在售价是多少元？ 分析：八折=80%，原价×折扣 详解 （元） 答案：6400元 【对应练习1】 一件衬衫原价是120元，现在打八五折销售，这件衬衫便宜了多少钱？ 分析：八五折=85%，便宜部分=原价×(1−85%) 详解 （元） 答案：18元 【对应练习2】 一种商品九折以后，单价是270元，这种商品原价是多少元？ 分析：现价÷折扣=原价 详解 （元） 答案：300元 【对应练习3】 一套《少年百科全书》打七折后卖175元，每套《少年百科全书》原价多少元？ 详解 （元） 答案：250元 考点4：利率 【核心知识】 1. 本金：存入银行的钱；利息：银行多给的钱；本息和=本金+利息 2. 利息公式：利息=本金×年利率×存期 【方法点拨】 1. 求一共取回多少钱：本金+利息；只求利息直接套公式。 2. 已知本息、本金、利率，求存期：先算总利息，再用利息÷本金÷年利率。 【典型例题1】 小明把800元钱存入银行，存期为2年，年利率为2.25%。到期支取时，小明一共能取回多少钱？ 分析：先算利息，再加本金 详解 利息：（元） 取回：（元） 答案：836元 【对应练习1】 程老师将20000元存入银行，定期二年，年利率是2.05%，到期后，可获得利息多少元？ 详解 （元） 答案：820元 【对应练习2】 小刚把攒下来的2000元零用钱存入银行两年，准备到期时将利息捐给希望工程。按年利率2.25%计算，到期时小刚可以捐给希望工程多少钱？ 详解 （元） 答案：90元 【对应练习3】 张叔叔将20000元钱存入银行，年利率为2.45%，到期时张叔叔取出本金和利息共21470元。张叔叔把钱存了几年？ 分析：先求总利息，逆推存期 详解 利息：（元） 每年利息：（元） 存期：（年） 答案：3年 考点5：求一个数比另一个数多百分之几？ 【核心知识】 1. 公式：（大数−小数）÷单位“1”的量×100% 2. “比”字后面的量是单位“1”，作除数。 【方法点拨】 1. 两步法：①先算多的具体数量；②多的量÷标准量（比后面的数）。 2. 行程类：速度=路程÷时间，统一设路程为1，先求速度再算差值。 【典型例题1】 育才小学去年在校生有900人，今年增加到1050人。今年在校生的人数比去年增加了百分之几？ 分析：去年人数是单位1，增量÷去年人数 详解 增量： 答案：约16.67% 【对应练习1】 青少年每分钟心跳约75次，婴儿每分钟心跳约135次，婴儿每分钟心跳比青少年多百分之几？ 详解 答案：80% 【对应练习2】 某家电销售第一季度的营业额为15万元，第二季度的营业额为16.5万元。第二季度的营业额比第一季度增长了百分之多少？ 详解 答案：10% 【对应练习3】 从甲地到乙地，客车要16小时，货车要20小时。客车比货车的速度快百分之几？ 分析：路程设为1，速度=1÷时间，再求速度差÷货车速度 详解 客车速度：，货车速度： 速度差： 答案：25% 考点6：求一个数比另一个数少百分之几？ 【核心知识】 1. 公式：（大数−小数）÷单位“1”的量×100% 2. “比”后为单位1，用相差量÷标准量。 【方法点拨】 1. 节省/降低百分之几：差额÷计划原价/计划投资（标准量）。 2. 看清问题：减少的量÷原来的总量，不是除以现在的量。 【典型例题1】 盒子里有25个红球，40个黄球，红球比黄球少百分之几？ 分析：黄球是单位1，差值÷黄球 详解 答案：37.5% 【对应练习1】 一件商品原价80元，现价60元，降低百分之几？ 分析：原价为单位1 详解 答案：25% 【对应练习2】 一项工程，实际投资390万元，比计划节省10万元，节省百分之几？ 分析：计划投资=390+10=400万，节省÷计划 详解 答案：2.5% 【对应练习3】 爸爸的体重原来是100千克，现在减少了30千克，减少了百分之几？ 分析：原来体重为单位1 详解 答案：30% 考点7：求比一个数多百分之几是多少？ 【核心知识】 1. 单位“1”已知，乘法：单位1×(1+多的百分率)=现数量 【方法点拨】 1. 两种列式：①单位1 + 单位1×增加百分率 ②单位1×(1+百分率) 2. “增产、增加、提高”全部用1加百分率。 【典型例题1】 学校图书室原有图书1400册，今年图书册数增加了12%。现在图书室有多少册图书？ 详解 （册） 答案：1568册 【对应练习1】 去年玉米的产量是150吨，今年比去年增产20%，今年玉米的产量 是多少吨？ 详解 （吨） 答案：180吨 考点8：求比一个数少百分之几是多少？ 【核心知识】 1. 单位“1”已知，乘法：单位1×(1−少的百分率)=现数量 【方法点拨】 1. “减少、降低、少几分之几/百分之几”用1减对应分率。 2. 分数、百分数统一转化后再计算，避免计算错误。 【典型例题1】 在“数说中国”作品大赛中，五年级上交作品120件，四年级比五年级少，四年级上交作品多少件？ 分析：五年级为单位1，少即80% 详解 （件） 答案：96件 【对应练习1】 龙泉镇去年有小学生2800人，今年比去年减少0.5%。今年有小学生多少人？ 详解 （人） 答案：2786人 【对应练习2】 果园里有桃树300棵，梨树的棵数比桃树少20%，梨树一共有多少棵？ 详解 （棵） 答案：240棵 考点9：已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 【核心知识】 1. 单位“1”未知，用除法：对应量÷对应百分率=单位“1”总量 【方法点拨】 1. 看到“已知部分求整体”，一律除法；或列方程：单位1×百分率=已知量。 2. 区分：单位1已知乘，单位1未知除。 【典型例题1】 读一本书，已读全书的35%，正好140页，这本书一共多少页？ 详解 140÷35%=400（页） 答案：400页 【对应练习1】 六年级学生去植树，男生植树360棵，比女生多植20%，女生植了多少棵？ 分析：女生人数为单位1，男生对应分率1+20% 详解 （棵） 答案：300棵 考点10：已知比一个数多百分之几是多少，求这个数。 【核心知识】 1. 单位“1”未知，除法：已知量÷(1+多的百分率)=单位1 【方法点拨】 1. “比女生多20%”，女生是单位1，对应分率是1+20%；用多之后的总量除以对应分率。 2. 方程解法：设单位1为x，x×(1+百分率)=已知数量。 【典型例题1】 参加数学竞赛的男生有60人，比女生多20%，参加数学竞赛的女生有多少人？ 分析：女生人数是单位1，男生对应1+20% 详解 （人） 答案：50人 【对应练习1】 水泥厂本月产水泥600吨，比上个月增产60%，上个月生产水泥多少吨？ 详解 （吨） 答案：375吨 考点11：已知比一个数少百分之几是多少，求这个数。 【核心知识】 1. 单位“1”未知，除法：已知量÷(1−少的百分率)=单位1 【方法点拨】 1. 现价、成本比原价/原来少百分之几，原价是单位1，分率1−百分率。 2. 第二问求差价：先求出原价，再用原价−现价。 【典型例题1】 高泉小学去年有小学生3200人，去年比今年少了36%。今年有小学生多少人？ 分析：今年人数为单位1，去年对应1−36% 详解 （人） 答案：5000人 【对应练习1】 正兴电子厂由于采用了新工艺后，每件产品的成本是20.4元，比原来降低了15%，原来每件产品的成本是多少元？ 详解 （元） 答案：24元 【对应练习2】 商店有一款衣服售价34元，比原价便宜15%，现价比原价便宜多少元？ 分析：先求原价，再原价−现价 详解 原价：（元） 差价：（元） 答案：6元 考点12：假设法解决单位“1”未知连续变化问题。 【核心知识】 1. 连续涨跌、升降，无固定总量时，假设原始单位1为1（或100），分步计算变化后数值。 2. 变化幅度=(最终值−初始值)÷初始值×100% 【方法点拨】 1. 先设基准量为1；先跌后涨/先涨后跌不能抵消，每次变化的单位1不同。 2. 最终数＞1：上涨；最终数＜1：下跌，再算变化幅度。 【典型例题1】 假设每天股价涨到前一天收盘价的10%，称为涨停；每天股价跌到前一天收盘价的10%，称为跌停。某只股票第一天跌停，第二天涨停，这只股票这两天涨了还是跌了？涨跌的幅度是多少？ 分析：跌停×(1−10%)，再涨停×(1+10%)，对比1 详解 设原价=1 第一天后： 第二天后： ，下跌 跌幅： 答案：跌了，跌幅1% 【对应练习1】 去年某品牌手机3月份的销售量比2月份的销售量降低了30%，4月份搞促销活动，销售量比3月份上涨了40%。那么4月份的销售量与2月份相比，是涨了还是降了？变化幅度是多少？ 详解 设2月销量=1 3月： 4月： ，下降 变化幅度： 答案：降了，降幅2% 考点13：量率对应 【核心知识】 1. 总量为单位1，找到具体数量对应的分率；总量=对应量÷对应分率 2. 剩余分率=1−所有已售出/已看分率；差值分率=大分率−小分率 【方法点拨】 1. 剩多少页/多少件：对应分率=1−已看分率； 2. 两天相差多少：对应分率=两天分率之差，对应量÷分率差=总量。 【典型例题1】 小明看一本故事书，第一周看了这本书的20%，还剩48页，这本书一共有多少页？ 分析：剩余48页对应分率 详解 （页） 答案：60页 【对应练习1】 超市进来一批红牛饮料，第一周售出，第二周售出，还有80件没有卖出。超市一共进来多少件红牛？ 分析：剩余对应 详解 剩余分率： （件） 答案：150件 【对应练习2】 某玩具厂生产一批儿童玩具，第一周完成了这批玩具的25%，第二周完成了这批玩具的30%，第二周比第一周多生产了450个，这批玩具一共有多少个？ 分析：450个对应分率差 详解 （个） 答案：9000个 【对应练习3】 坚持阅读是一种良好的习惯。乐乐在读一本书，已知第一天读了全书总页数的40%，第二天读了全书总页数的，第二天比第一天少读30页，这本书共有多少页？ 详解 分率差： （页） 答案：200页 考点14：单位“1”转化（连续变化，余下为新单位1） 【核心知识】 1. 第一次：全书为单位1；第二次：余下的量为新单位1，两次单位1不同，不能直接加减分率。 【方法点拨】 1. 分步算剩余分率：先算第一天看完剩下全书的几分之几，再算第二天看全书的分率； 2. 求从第几页开始：总已读页数+1。 【典型例题1】 乐乐三天看完一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了余下的40%，第三天看了27页。这本书一共有多少页？ 分析：第一天看25%，余下75%；第二天看全书的，27页对应剩余分率 详解 第一天余下： 第二天占全书： 剩余分率： 总页数：（页） 答案：60页 【对应练习1】 小高看一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，还剩100页没有看，那么这本书共有多少页？ 详解 第一天剩： 第二天看全书： 剩余分率： 总页数：（页） 答案：280页 【对应练习2】 一本故事书有120页，小明第一天读了全书的，第二天读了余下的25%。第三天应从第几页读起？ 分析：先算两天总页数，+1为下一页 详解 第一天：（页） 余下：（页） 第二天：（页） 共读： 第三天从46页开始 答案：第46页 考点15： 抓不变量解决问题。 【核心知识】 1. 总量不变、某一类人数不变（如女生、粮食总和），以不变量为桥梁转化分率。 【方法点拨】 1. 两仓调粮、车间调人：粮食总吨数/总人数不变，统一总份数； 2. 调入男职工类：女生人数不变，先算不变女生数量，再求后来总人数，差值即为调入人数。 【典型例题1】 甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的70%，如果从乙仓库调50吨到甲仓库，甲仓库存粮就是乙仓库的80%。甲仓库原来存粮多少吨？ 分析：甲乙总存粮不变，统一总量份数 详解 原来甲:乙=7:10，总17份； 后来甲:乙=4:5，总9份； 取最小公倍数153 原甲：63份，乙90份；后甲68份，乙85份； 乙减少5份对应50吨，1份=10吨 原甲：（吨） 答案：630吨 【对应练习1】 红星汽配厂甲车间的人数是乙车间的30%。如果从乙车间调70人到甲车间，那么两车间人数相等。甲、乙两车间各有多少人？ 分析：调动后两车间相等，说明乙比甲多人 详解 乙人数：（人） 甲人数：（人） 答案：甲60人，乙200人 【对应练习2】 某工厂有职工128人，男职工人数占全厂总人数的25%，后来调进男职工若干人，这时男职工人数占全厂总人数的40%，后来调进的男职工有多少名？ 分析：女生人数不变，先算女生 详解 女生：（人） 后来女生占比： 后来总人数：（人） 调入男生：（名） 答案：32名 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $考点分析+典型例题+对应练习 2026年秋季人教版六年级数学上册（讲义） 第五单元《百分数》 5.3【百分数的解决问题】(15个考点) 考点1：求一个数是另一个数的百分之几… …2 考点2：求一个数的百分之几是多少…4 考点3：折扣… 5 考点4：利率… …7 考点5：求一个数比另一个数多百分之几… 8 考点6：求一个数比另一个数少百分之几…I0 考点7：求比一个数多百分之几是多少… …11 考点8：求比一个数少百分之几是多少… …12 考点9：已知一个数的百分之几是多少，求这个数… …13 考点10：已知此一个数多百分之几是多少，求这个数… …14 考点11：已知此一个数少百分之几是多少，求这个数…15 考点12：假设法解决单位“1”未知连续变化问题…16 考点13：量率对应… …17 考点14：单位“1”转化（连续变化，余下为新单位1）…19 考点15：抓不变量解决百分数问题…20 第1页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 考点1：求一个数是另一个数的百分之几？ 【核心知识】 1.公式：一个数÷另一个数×100% 2.常见百分率通用公式：部分量÷总量×100%（命中率、出勤率、出油率、含盐 率等) 3.关键词：A是B的百分之几，B为单位“1”，作除数。 【方法点拨】 1.找准“总量”和“部分量”；求百分率先算总数量（如命中率=命中÷总子弹， 总子弹=命中+未命中)。 2.结果一定要乘100%，转化为百分数。 3.区分两个问题：A是B的百分之几、B是A的百分之几，除数互换。 【典型例题1】 在一次部队射击练习中，命中的子弹是100发，没命中的是25发，命中率是多 少？ 分析：命中率=命中÷总子弹，总子弹=命中+未命中 详解 总子弹：100+25=125（发） 命中率：100÷125×100%=80% 答案 :80% 【对应练习1】 把30克盐加入到120克水中，盐占盐水的百分之几？ 分析：盐水=盐+水，盐÷盐水×100% 详解 盐水：30+120=150（克） 第2页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 30÷150×100%=20% 答案：20% 【对应练习2】 小红家二月份计划支出1500元，实际支出1200元，请求：实际支出是计划的百 分之几？计划支出是：实际的百分之几？ 分析：分别用实际÷计划、计划÷实际 详解 1200÷1500×100%=80% 1500÷1200×100%=125% 答案：实际是计划80%；计划是实际125% 【对应练习3】 450千克大豆可榨油162千克，大豆的出油率是多少？ 分析：出油率=油÷大豆总量 详解 162÷450×100%=36% 答案：36% 【对应练习4】 六(2)班今天到校47人，请病假的3人， 该班的出勤率是多少？ 分析：总人数=到校+病假，到校：总人数 详解 总人数：47+3=50（人） 47÷50×100%=94% 第3页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 答案：94% 考点2：求一个数的百分之几是多少？ 【核心知识】 1.单位“1”已知，用乘法：单位“1”的量×对应百分率=对应部分量 2.分数、百分数可互化统一计算。 【方法点拨】 1.找关键词“的”，“的”前面是单位“1”；已知单位1直接乘。 2.求差值：先分别算出两个部分，再相减；或先算百分率差，再乘单位1。 3.剩余量=总量×(1-已用百分率). 【典型例题1】 为了增加节日气氛，阳光小学为全校师生准备了1200个月饼，其中8%分给老师。 学校给老师准备了多少个月饼？ 分析：总数1200是单位1，求8%用乘法 详解 1200×8%=96(个) 答案：96个 【对应练习1】 用400吨小麦磨面粉，出粉率是85%，可以磨面粉多少吨？ 分析：小麦总量×出粉率=面粉重量 详解 400×85%=340(吨) 答案：340吨 【对应练习2】 第4页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 批零件有600个，第一小时完成了全部的品第二小时完成了全部的哈，第二 小时比第一小时少完成多少个零件？ 分析：先求两个分率差，再乘总数 详解 3-1=9-5= 4 2 10- 6 30 0=15 600×5= 80(个) 答案：80个 【对应练习3】 市政公司铺设一条长2700m的盲道，第一周铺设了全长的35%，第二周铺设了全 长的后还剩多少米没有完成？ 分析：剩余=全长×(1-35%看 详解 35%=0.35,号=0.4 剩余分率：1-0.35-0.4=0.25 2700×0.25=675(m) 答案：675米 考点3：折扣 【核心知识】 1.几折=原价的百分之几十；八折=80%，八五折=85%。 2.基础公式 第5页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 现价=原价×折扣；原价=现价÷折扣；便宜钱数=原价-现价=原价×(1-折扣) 【方法点拨】 1.已知原价求现价：乘法；已知现价求原价：除法。 2.求便宜多少：两种思路①原价-现价②原价×(1-折扣百分数)。 【典型例题1】 某品牌液晶电视原价8000元，现打八折销售，现在售价是多少元？ 分析：八折=80%，原价×折扣 详解 8000×80%=6400(元) 答案： 6400元 【对应练习1】 一件衬衫原价是120元，现在打八五折销售，这件衬衫便宜了多少钱？ 分析：八五折=85%，便宜部分=原价×(1-85%) 详解 120×(1-85%)=120×0.15=18(元) 答案：18元 【对应练习2】 种商品九折以后，单价是270元，这种商品原价是多少元？ 分析：现价÷折扣=原价 详解 270÷90%=300(元) 答案：300元 【对应练习3】 第6页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 套《少年百科全书》打七折后卖175元，每套《少年百科全书》原价多少元？ 详解 175÷70%=250(元) 答案：250元 考点4：利率 【核心知识】 1.本金：存入银行的钱；利息：银行多给的钱；本息和=本金+利息 2.利息公式：利息=本金×年利率×存期 【方法点拨】 1.求一共取回多少钱：本金+利息；只求利息直接套公式。 2.已知本息、本金、利率，求存期：先算总利息，再用利息÷本金÷年利率。 【典型例题1】 小明把800元钱存入银行，存期为2年，年利率为2.25%。到期支取时，小明一 共能取回多少钱？ 分析：先算利息，再加本金 详解 利息：800×2.25%×2=36（元） 取回：800+36=836（元） 答案：836元 【对应练习1】 程老师将20000元存入银行，定期二年，年利率是2.05%，到期后，可获得利息 多少元？ 详解 第7页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 20000×2.05%×2=820(元) 答案：820元 【对应练习2】 小刚把攒下来的2000元零用钱存入银行两年，准备到期时将利息捐给希望工程。 按年利率2.25%计算，到期时小刚可以捐给希望工程多少钱？ 详解 2000×2.25%×2=90(元) 答案：90元 【对应练习3】 张叔叔将20000元钱存入银行，年利率为2.45%，到期时张叔叔取出本金和利息 共21470元。张叔叔把钱存了几年？ 分析：先求总利息，逆推存期 详解 利息：21470-20000=1470（元） 每年利息：20000×2.45%=490（元） 存期：1470÷490=3（年） 答案：3年 考点5：求一个数比另一个数多百分之几？ 【核心知识】 1.公式：（大数-小数）÷单位“1”的量×100% 2.“比”字后面的量是单位“1”，作除数。 【方法点拨】 第8页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 1.两步法：①先算多的具体数量；②多的量标准量（比后面的数）。 2.行程类：速度=路程÷时间，统一设路程为1，先求速度再算差值。 【典型例题1】 育才小学去年在校生有900人，今年增加到1050人。今年在校生的人数比去年 增加了百分之几？ 分析：去年人数是单位1，增量：去年人数 详解 增量：1050-900=150 150÷900×100%≈16.67% 答案： 约16.67% 【对应练习1】 青少年每分钟心跳约75次，婴儿每分钟心跳约135次，婴儿每分钟心跳比青少 年多百分之几？ 详解 (135-75)÷75×100%=60÷75×100%=80% 答案：80% 【对应练习2】 某家电销售第一季度的营业额为15万元，第二季度的营业额为16.5万元。第二 季度的营业额比第一季度增长了百分之多少？ 详解 (16.5-15)÷15×100%=1.5÷15×100%=10% 答案：10% 【对应练习3】 第9页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 从甲地到乙地，客车要16小时，货车要20小时。客车比货车的速度快百分之几？ 分析：路程设为1，速度=1÷时间，再求速度差÷货车速度 详解 客车速度： 货车速度： 20 速度差： 16- 20 ÷0×100%=25% 1 答案：25% 考点6：求一个数比另一个数少百分之几？ 【核心知识】 1.公式： (大数-小数)÷单位“1”的量×100% 2.“比”后为单位1，用相差量÷标准量。 【方法点拨】 1.节省降低百分之几：差额÷计划原价/计划投资（标准量）。 2.看清问题：减少的量÷原来的总量，不是除以现在的量。 【典型例题1】 盒子里有25个红球，40个黄球，红球比黄球少百分之几？ 分析：黄球是单位1，差值÷黄球 详解 (40-25)÷40×100%=15÷40×100%=37.5% 答案：37.5% 【对应练习1】 件商品原价80元，现价60元，降低百分之几？ 分析：原价为单位1 第10页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 详解 (80-60)÷80×100%=20÷80×100%=25% 答案：25% 【对应练习2】 一项工程，实际投资390万元，比计划节省10万元，节省百分之几？ 分析：计划投资=390+10=400万，节省÷计划 详解 10÷(390+10)×100%=2.5% 答案：2.5% 【对应练习3】 爸爸的体重原来是100千克，现在减少了30千克，减少了百分之几？ 分析：原来体重为单位1 详解 30÷100×100%=30% 答案：30% 考点7：求比一个数多百分之几是多少？ 【核心知识】 1.单位“1”已知，乘法：单位1×(1+多的百分率)=现数量 【方法点拨】 1.两种列式：①单位1+单位1×增加百分率②单位1×(1+百分率) 2.“增产、增加、提高”全部用1加百分率。 【典型例题1】 学校图书室原有图书1400册，今年图书册数增加了12%。现在图书室有多少册 第11页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 图书？ 详解 1400×(1+12%)=1400×1.12=1568(册) 答案：1568册 【对应练习1】 去年玉米的产量是150吨，今年比去年增产20%，今年玉米的产量 是多少吨？ 详解 150×(1+20%)=150×1.2=180(吨) 答案：180吨 考点8：求比一个数少百分之几是多少？ 【核心知识】 1.单位“1”已知，乘法：单位1×(1-少的百分率)=现数量 【方法点拨】 1.“减少、降低、少几分之几百分之几”用1减对应分率。 2.分数、百分数统一转化后再计算，避免计算错误。 【典型例题1】 在“数说中国”作品大赛中，五年级上交作品120件，四年级比五年级少，四 年级上交作品多少件？ 分析：五年级为单位1，少即80% 详解 120×(1-)=120×0.8=96(件) 第12页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 答案：96件 【对应练习1】 龙泉镇去年有小学生2800人，今年比去年减少0.5%。今年有小学生多少人？ 详解 2800×(1-0.5%)=2800×0.995=2786(人) 答案：2786人 【对应练习2】 果园里有桃树300棵，梨树的棵数比桃树少20%，梨树一共有多少棵？ 详解 300×(1-20%)=300×0.8=240(棵) 答案：240棵 考点9：已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 【核心知识】 1.单位“1”未知，用除法：对应量÷对应百分率=单位“1”总量 【方法点拨】 1,看到“已知部分求整体”，一律除法；或列方程：单位1×百分率=已知量。 2.区分：单位1已知乘，单位1未知除。 【典型例题1】 读一本书， 已读全书的35%，正好140页，这本书一共多少页？ 详解 140÷35%=400(页) 答案：400页 【对应练习1】 六年级学生去植树，男生植树360棵，比女生多植20%，女生植了多少棵？ 第13页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 分析：女生人数为单位1，男生对应分率1+20% 详解 360÷(1+20%)=360÷1.2=300(棵) 答案：300棵 考点10：已知比一个数多百分之几是多少，求这个数. 【核心知识】 1,单位“1”未知，除法：已知量÷(1+多的百分率)=单位1 【方法点拨】 1.“比女生多20%”，女生是单位1，对应分率是1+20%；用多之后的总量除以 对应分率。 2.方程解法：设单位1为x,x×(1+百分率)=已知数量。 【典型例题1】 参加数学竞赛的男生有60人，比女生多20%，参加数学竞赛的女生有多少人？ 分析：女生人数是单位1，男生对应1+20% 详解 60÷(1+20%)=50(人) 答案：50人 【对应练习1】 水泥厂本月产水泥600吨，比上个月增产60%，上个月生产水泥多少吨？ 详解 600÷(1+60%)=600÷1.6=375(吨) 答案：375吨 第14页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 考点11：已知比一个数少百分之几是多少，求这个数. 【核心知识】 1.单位“1”未知，除法：已知量÷(1-少的百分率)=单位1 【方法点拨】 1.现价、成本比原价/原来少百分之几，原价是单位1，分率1-百分率。 2.第二问求差价：先求出原价，再用原价-现价。 【典型例题1】 高泉小学去年有小学生3200人，去年比今年少了36%。今年有小学生多少人？ 分析：今年人数为单位1，去年对应1-36% 详解 3200÷(1-36%)=3200÷0.64=5000(人) 答案：5000人 【对应练习1】 正兴电子厂由于采用了新工艺后，每件产品的成本是20.4元，比原来降低了15%， 原来每件产品的成本是多少元？ 详解 20.4÷(1-15%)=20.4÷0.85=24(元) 答案：24元 【对应练习2】 商店有一款衣服售价34元，比原价便宜15%， 现价比原价便宜多少元？ 分析：先求原价，再原价-现价 详解 原价：34÷(1-15%)=34÷0.85=40（元） 第15页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 差价：40-34=6（元） 答案：6元 考点12：假设法解决单位“1”未知连续变化问题。 【核心知识】 1.连续涨跌、升降，无固定总量时，假设原始单位1为1（或100），分步计算 变化后数值。 2.变化幅度=（最终值-初始值）÷初始值×100% 【方法点拨】 1.先设基准量为1；先跌后涨/先涨后跌不能抵消，每次变化的单位1不同。 2.最终数>1：上涨；最终数<1：下跌，再算变化幅度。 【典型例题1】 假设每天股价涨到前一天收盘价的10%，称为涨停；每天股价跌到前一天收盘价 的10%，称为跌停。某只股票第一天跌停，第二天涨停，这只股票这两天涨了还 是跌了？涨跌的幅度是多少？ 分析：跌停×(1-10%)，再涨停×(1+10%)，对比1 详解 设原价=1 第一天后：1×(1-10%)=0.9 第二天后：0.9×(1+10%)=0.99 0.99<1,下跌 跌幅：(1-0.99)÷1×100%=1% 答案：跌了，跌幅1% 第16页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 【对应练习1】 去年某品牌手机3月份的销售量比2月份的销售量降低了30%，4月份搞促销活 动，销售量比3月份上涨了40%。那么4月份的销售量与2月份相比，是涨了还 是降了？变化幅度是多少？ 详解 设2月销量=1 3月：1×(1-30%)=0.7 4月：0.7×(1+40%)=0.98 0.98<1,下降 变化幅度：(1-0.98)÷1×100%=2% 答案：降了，降幅2% 考点13：量率对应 【核心知识】 1.总量为单位1，找到具体数量对应的分率；总量=对应量÷对应分率 2.剩余分率=1-所有已售出/已看分率；差值分率=大分率-小分率 【方法点拨】 1.剩多少页/多少件：对应分率=1-已看分率； 2.两天相差多少：对应分率=两天分率之差，对应量：分率差=总量。 【典型例题1】 小明看一本故事书，第一周看了这本书的20%，还剩48页，这本书一共有多少 页？ 分析：剩余48页对应分率1-20% 详解 第17页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 48÷(1-20%)=48÷0.8=60(页) 答案：60页 【对应练习1】 超市进来一批红牛饮料，第一周售出，第二周售出品还有80件没有卖出.超 市一共进来多少件红牛？ 分析： 剩余对应1--2 3-15 详解 剩余分率1-品-名=是 80÷号=150（件） 答案：150件 【对应练习2】 某玩具厂生产一批儿童玩具，第一周完成了这批玩具的25%，第二周完成了这批 玩具的30%，第二周比第一周多生产了450个，这批玩具一共有多少个？ 分析：450个对应分率差30%-25% 详解 450÷(30%-25%)=450÷0.05=9000(个) 答案：9000个 【对应练习3】 坚持阅读是一种良好的习惯。乐乐在读一本书，已知第一天读了全书总页数的4 0%,第二天读了全书总页数的，第二天比第一天少读30页，这本书共有多少页？ 详解 第18页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 分率差：40%-=0.15 30÷0.15=200 (页) 答案：200页 考点14：单位“1”转化（连续变化，余下为新单位1） 【核心知识】 1.第一次：全书为单位1；第二次：余下的量为新单位1，两次单位1不同，不 能直接加减分率。 【方法点拨】 1.分步算剩余分率：先算第一天看完剩下全书的几分之几，再算第二天看全书的 分率 2.求从第几页开始：总已读页数+1。 【典型例题1】 乐乐三天看完一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了余下的40%，第三天 看了27页。这本书一共有多少页？ 分析：第一天看25%，余下75%；第二天看全书的75%×40%，27页对应剩余 分率 详解 第一天余下：1-25%=0.75 第二天占全书：0.75×40%=0.3 剩余分率：1-0.25-0.3=0.45 总页数：27÷0.45=60（页） 答案：60页 【对应练习1】 第19页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 小高看一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的号还剩100页没有看， 那么这本书共有多少页？ 详解 第一天利：1-=号 第二天看全书：×号=) 剩余分率：1-- 总页数：100÷各=280（顶） 答案：280页 【对应练习2】 一本故事书有120页，小明第一天读了全书的行第二天读了余下的25%。第三 天应从第几页读起？ 分析：先算两天总页数，+1为下一页 详解 第一天：120×后=20（页） 余下：120-20=100（页） 第二天：100×25%=25（页） 共读：20+25=45 第三天从46页开始 答案：第46页 考点15： 抓不变量解决问题。 【核心知识】 第20页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 1.总量不变、某一类人数不变（如女生、粮食总和），以不变量为桥梁转化分率。 【方法点拨】 1.两仓调粮、车间调人：粮食总吨数/，总人数不变，统一总份数 2.调入男职工类：女生人数不变，先算不变女生数量，再求后来总人数，差值即 为调入人数。 【典型例题1】 甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的70%，如果从乙仓库调50吨到甲 仓库，甲仓库存粮就是乙仓库的80%。甲仓库原来存粮多少吨？ 分析：甲乙总存粮不变，统一总量份数 详解 原来甲：乙=7：10，总17份； 后来甲：乙=4：5，总9份： 取最小公倍数153 原甲：63份，乙90份；后甲68份，乙85份： 乙减少5份对应50吨，1份=10吨 原甲：63×10=630（吨） 答案：630吨 【对应练习1】 红星汽配厂甲车间的人数是乙车间的30%。如果从乙车间调70人到甲车间，那 么两车间人数相等。甲、乙两车间各有多少人？ 分析：调动后两车间相等，说明乙比甲多70×2=140人 详解 乙人数：140÷(1-30%)=200（人） 第21页共22页 考点分析+典型例题+对应练习 甲人数：200×30%=60（人） 答案：甲60人，乙200人 【对应练习2】 某工厂有职工128人，男职工人数占全厂总人数的25%，后来调进男职工若干人， 这时男职工人数占全厂总人数的40%，后来调进的男职工有多少名？ 分析：女生人数不变，先算女生 详解 女生：128×(1-25%)=96（人） 后来女生占比：1-40%=60% 后来总人数：96÷60%=160（人） 调入男生：160-128=32（名） 答案：32名 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