第26章二次函数预习卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册人教版第26章二次函数单元复习卷，以基础巩固与实际应用为核心，通过佛手销售、云梯喷水等真实情境，考查二次函数定义、图像变换、性质及应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次函数定义（第1题）、图像平移（第2题）、顶点坐标（第3题）|基础概念辨析，注重几何直观| |填空题|6|函数值比较（第13题）、面积计算（第14题）|结合图像性质，考查空间观念| |解答题|6|解析式求解（第17题）、利润最值（第20题）、喷水轨迹（第19题）|真实情境建模，体现应用意识与推理能力|

第26章二次函数预习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 3．二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 5．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 6．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 7．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．若点是该函数图象与x轴的一个交点，且，则a可能是（   ） A． B． C． D． 9．软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 10．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标为_______． 12．把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 13．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 14．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 15．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 16．抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是_____． 三、解答题 17．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 18．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 19．如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 20．春节时，家家户户挂红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼已成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进一批成本为30元/对的灯笼，经市场调查发现，若灯笼每对售价40元时，每天可售出120对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对72元，设灯笼每对涨价元，超市一天售出灯笼获得利润元． (1)求与之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当取何值时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 21．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B D B B A A 1．B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 2．C 【分析】利用二次函数图象平移的法则“左加右减自变量，上加下减常数项”，逐步计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为． 将其向右平移2个单位，对自变量x进行“右减”变换，得． 再向下平移3个单位，对整体进行“下减”变换，得． ∴新抛物线解析式为． 3．B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 4．A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 5．B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 6．D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 7．B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 8．B 【分析】把，代入，可求出，，则，分别求出，时，对应y的值，然后根据点是该函数图象与x轴的一个交点，且得出，最后解不等式组即可． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， 消去c得，即， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴二次函数可表示为：， 当时，， 当时，， ∵点是函数与x轴的交点，且， ∴， ∴或， 解得， 观察各选项，只有选项B符合题意． 9．A 【分析】先根据题意得到年收入的表达式，再分别计算出和，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，软件年收入，且，（租金为正数）． 当时， ， ， 判断选项A：令，即， ， ， ， ，存在满足条件的（如），使得 所以A正确，B错误， 当时， ， ， 判断选项C：解不等式， 解得：，这与相矛盾 则不存在使得， 所以C错误，D错误． 10．A 【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为由此即可判断①②；根据当时，，可得即可判断③；根据函数图象即可判断④⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，， ∴，即，方程的两个根是，，，故①②正确； ∵当时，， ∴， ∴，故③错误； 由函数图象可知当时，的取值范围是，当时，随增大而增大，故④⑤正确； ∴正确的一共有4个， 11． 【详解】解：抛物线的解析式是二次函数的顶点式，二次函数顶点式的一般形式为（），其顶点坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为． 12． 【分析】根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的原则，推导平移后的抛物线表达式． 【详解】解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为， 化简得． 故答案为：． 13． 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 14． 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 15．6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 16． 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线解析式为，，即可得出，即可表示出的长，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点是抛物线上的任意一点，轴交于点， ∴， ∴，， ∵位于线段的上方， ∴，， ∵，的长度随增大而减小， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为： 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 18．(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 19．(1) (2)能 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）令，求出的值，再与和进行比较即可得解． 【详解】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则，， ∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内． 20．(1) (2)当时，一天获得利润最大，最大利润是2450元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，找准关系，列出关系式是解题的关键． （1）根据题意，每对涨价x元，则售价为元，每天可售出，再由利润=每对的利润×销售量即可求解； （2）由二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：若灯笼每对售价40元时，每天可售出120对，售价每提高1元，则每天少售出2对． 设灯笼每对涨价元，则售价为元，每天可售出对， 所以利润； （2）解：由（1）知， ， 为关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 时，取得最大值，最大值， 答：当时，一天获得利润最大，最大利润是2450元． 21．(1)， (2)4 (3)存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 22．(1) (2)①；②-2或 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①设点，则，，可得，，再由，可得，然后周长为，结合二次函数的性质解答即可；②根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，求得，得到，过作轴的平行线交轴于，交的延长线于，情况一：，情况二，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，， 抛物线经过、两点， ， ，， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图， 设点， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴周长为 ， ∵， ∴当时，周长最大，最大值为； ②对于， 当时，， 解得：， ∴， ∵，， ，，， ， ∴是以为直角的直角三角形， 取的中点， ∴， ， ，， ， 过点作轴的平行线交轴于，交的延长线于，则， 设， ，， 分以下两种情况： 情况一：当时，如图2， ∵， ， ， 即， ∴， （舍去），， ， 情况二：当时， ， 设， ，， ∵， ， ，， ∵，， ，， ∴， ， （舍去），， 综上所述：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数，解直角三角形，勾股定理等知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $