第二单元 线与角 （解决问题讲义）数学北师大版四年级上册（新教材）

该小学数学第二单元“线与角”复习讲义通过知识框架系统梳理核心内容，涵盖线的认识与区分、角的度量与分类、角的计算与推理、生活中的角及画角方法，以定义、特征、字母表示等要点呈现知识脉络，突出线段与角的重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从夯实基础到思维拓展，典型例题如“新修小路”结合生活情境考查“两点之间线段最短”培养数学眼光，角的计算推理强调找数量关系发展推理意识。基础题巩固概念，拔高题提升逻辑思维，拓展题激发创新意识，助力教师分层教学，支持学生自主复习。

第二单元 线与角 1. 线的认识与区分： ―― 线段有两个端点，有限长；射线有一个端点，向一个方向无限延伸；直线没有端点，向两个方向无限延伸。解决问题时，需根据图形特征判断线的类型，并能用字母表示（如线段AB、射线AB、直线AB）。 2. 角的度量与分类： ―― 角的大小用“度”表示，用量角器测量时注意“两重合、一读数”。根据度数可将角分为锐角（<90°）、直角（=90°）、钝角（>90°且<180°）、平角（=180°）、周角（=360°）。解题时需准确判断角的类型，并能进行角度的简单计算。 3. 角的计算与推理： ―― 利用直角（90°）、平角（180°）、周角（360°）以及图形中相邻角的关系（如互补、互余、对顶角）建立等式，通过加减法或列方程求出未知角度。关键是找准已知角与未知角之间的数量关系。 4. 生活中的角（时钟、方向、折纸等）： ―― 将实际问题抽象为角度模型。例如钟面每大格30°，根据时针与分针之间的格数差计算夹角；方向问题中常用东、南、西、北及偏角描述；折纸问题中折痕两侧角相等。解题时需画出简图，把生活语言转化为数学角度。 5. 画指定度数的角： ―― 用量角器画角的步骤：①画一条射线；②量角器中心与端点重合，零刻度线与射线重合；③在量角器上找到指定度数并描点；④连接端点与描点，画出另一条射线；⑤标出角的符号和度数。注意区分内、外圈刻度。 类型 1 线的认识 典型例题 1：草坪旁原来有一条弯曲的路通向亭子。近期，管理处在草坪中间又新修了一条小路。运用数学知识写一写，为什么要新修这条小路？ 【答案】见详解 【分析】根据题意，新修直路，节省步行时间、保护草坪。可方便游人行走，而且避免人们随意踩踏草坪。因为两点之间，线段最短，所以在草坪中间新修一条小路，可以缩短从草坪入口到亭子的行走距离，减少对草坪的踩踏和破坏。以此答题即可。 【详解】根据分析： 答：因为两点之间，线段最短，所以在草坪中间新修一条小路，可以缩短从草坪入口到亭子的行走距离，减少对草坪的踩踏和破坏。 变式训练：浩浩、文文、奇奇和笑笑一起玩“抢板凳”游戏，他们的位置如下图。 (1)( )最有可能抢到板凳。 (2)最有可能抢到板凳的原因是什么？请说明理由。 【答案】(1)文文 (2)文文与板凳之间的距离最近，因此她最容易先抢到板凳。 【分析】（1）根据题意，仔细观察图可知，两点之间线段最短，文文小朋友离板凳最近，所以文文最先抢到板凳。 （2）从图中可以看出，文文与板凳之间的距离最近，因此她最容易先抢到板凳。 【详解】（1）文文 （2）答：最有可能抢到板凳的原因是文文与板凳之间的距离最近，因此她最容易先抢到板凳。 类型 2 角的度量 典型例题 2：聪聪说：“图中∠1＝∠2。”用你所学的数学知识说明∠1＝∠2的理由。 【答案】见详解 【分析】∠1、∠3正好组成一个平角，∠2与∠3正好组成一个平角（或∠1、∠4正好组成一个平角，∠2与∠4正好组成一个平角），据此可以推出∠1＝∠2。 【详解】因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180° 所以∠1＝∠2＝180°－∠3。 【点睛】解决此类问题时，要善于利用图中隐藏的特殊角（直角、平角、周角），以及它与各角之间的关系，利用已知角，求出未知角。 变式训练：如图，四边形ABCD是直角梯形，求出∠1、∠2和∠3的度数 【答案】∠1＝60°，∠2＝30°，∠3＝20° 【分析】由于四边形ABCD是直角梯形，所以∠1和∠2的和是90°，所以∠2等于90°减去∠1，根据三角形的内角和是180°，所以∠1等于180°减去90°再减去30°，∠3＝180°减去130°再减去∠2的度数，由此即可解答。 【详解】∠1＝180°－90°－30°＝90°－30°＝60°； ∠2＝90°－60°＝30°； ∠3＝180°－130°－30°＝50°－30°＝20°。 答：∠1＝60°，∠2＝30°，∠3＝20°。 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和直角等于90°，属于基础题，关键掌握三角形内角和为180°。 A夯实基础 1．下图中互相垂直的直线有( )组，互相平行的直线有( )组，如果∠1＝135°，则∠2＝( )°。 【答案】 2 1 45 【分析】两条直线相交成直角则互相垂直，统计满足条件的直线组数量。同一平面内不相交的直线互相平行，统计互相平行的直线组数量。用180°减去∠1的度数，再利用平行线的同侧、截线的同侧，所对应的角相等这一性质，即可求出∠2的度数。 【详解】由图可知，直线a与c互相垂直，直线b与c互相垂直，因此互相垂直的直线有2组； 由图可知，直线a与b互相平行，因此互相平行的直线有1组； ∠3＝180°－∠1＝180°－135°＝45° 因为直线a与b互相平行，所以∠2＝∠3，因此，∠2＝45°。 2．钟面上，时针从数字“1”绕中心点顺时针旋转180°后，时针应该指着数字( )。 【答案】7 【分析】钟面1个大格是30°，旋转角度÷30°＝旋转的格数，时针从数字“1”旋转几格就指着数字几，据此列式计算。 【详解】180°÷30°＝6（格） 1＋6＝7 时针应该指着数字7。 3．如下图，点A是小刚跳远时脚后跟落入沙坑的点，测量他的成绩时，应测量线段( )的长度。 【答案】AC 【分析】跳远比赛的规则是：从起跳线到脚后跟落点的垂直距离，才是运动员的有效成绩。点到直线的所有线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度就叫做点到直线的距离。 【详解】图中的起跳线可以看作一条直线，点A是脚后跟的落点。线段AB、AC、AD都是从点A到起跳线的线段，其中只有AC是垂直于起跳线的。 所以它的长度就是点A到起跳线的距离，也就是小刚的跳远成绩。 4．拿一张长方形纸对折两次，再打开。如果出现两条折痕，那么这两条折痕互相( )；如果出现三条折痕，那么这三条折痕互相( )。 【答案】 垂直 平行 【分析】如果两次对折方向不同（比如一次横向折、一次纵向折），打开后会得到2条折痕，折痕相交成直角，因此两条折痕互相垂直。如果两次对折方向相同（比如两次都沿横向对折），打开后会得到3条折痕，所有折痕方向一致、永不相交，因此三条折痕互相平行。 【详解】拿一张长方形纸对折两次，再打开。如果出现两条折痕，那么这两条折痕互相垂直；如果出现三条折痕，那么这三条折痕互相平行。 5．在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画( )条；过直线外一点，能画( )条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线( )。 【答案】 无数 1 互相平行 【分析】同一平面内只要不和已知直线相交，都满足平行线要求，因此一条直线的平行线有无数条；根据平行的基本结论，过直线外一点，只能画出1条与已知直线平行的直线；平行具有传递性，两条直线都和同一条直线平行，则这两条直线互相平行。 【详解】在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画无数条；过直线外一点，能画1条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线互相平行。 6．小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是( )米。 【答案】195 【分析】点到直线的所有连线中，垂线段最短。题目中与河边垂直的路线就是小马家到河边的距离，比较三条路线长度，找出最短的线段就是垂线段的长度，也就是小马家到河边的距离。 【详解】195＜280＜296 小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是195米。 B培优拔高 7．直线a、b、c，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为5厘米，直线a与直线c之间的距离为3厘米，那么直线b与直线c之间的距离是多少厘米？ 【答案】2厘米或8厘米 【分析】已知三条直线互相平行，但未明确三条直线的具体排列顺序。直线可能在直线与直线之间，此时直线与直线之间的距离等于直线与直线之间的距离减去直线与直线之间的距离；也可能在直线的外侧（即直线在直线与直线之间），此时直线与直线之间的距离等于直线与直线之间的距离加上直线与直线之间的距离。 【详解】第一种情况：当直线位于直线和直线之间时：（厘米） 第二种情况：当直线位于直线和直线之间时：（厘米） 答：直线与直线之间的距离是厘米或厘米。 8．如图，已知直线，直线AB与a、b相交，直线AC分别与a、b互相垂直。你能用上“因为……所以……”，有理有据地说明吗？ 【答案】见解析 【详解】因为直线AC分别与a、b互相垂直，所以，。 在三角形ADE中， 因为，所以， 即。 在三角形ABC中，， 所以，即。 所以 9．下面是某公园3条路的示意图，路①和路②互相垂直吗？请说明理由。 【答案】∠1为90°，则路①和路②互相垂直 【分析】观察图中信息，要判断路①与路②是否互相垂直，计算∠1的度数，根据平角等于180°，∠1的度数等于180°减去65°，再减去25°，通过计算判断∠1是否等于90°得到答案。 【详解】结论：路①和路②互相垂直； 理由：因此路①和路②的夹角为： 根据垂直的定义：两条直线相交成直角，就说明这两条直线互相垂直，因此路①和路②互相垂直。 10．击剑运动是一项历史悠久的传统体育运动项目。笑笑在看一场击剑比赛录像的时候，观察到运动员击剑时形成了如图所示的图形。如果∠1＝70°，你能求出∠2，∠3和∠4的度数吗？ 【答案】∠2＝70°，∠3＝110°，∠4＝110°。 【分析】平角的性质：180°的角是平角，相邻两角之和为180°，因此，由图可知：∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠3＝∠4＝180°−∠1，已知∠1＝70°，可以先计算出∠3和∠4的度数，再根据∠2＝180°−∠3，计算出∠2的度数。 【详解】∠3＝∠4＝180°－∠1＝180°－70°＝110° ∠2＝180°－∠3＝180°－110°=70° 答：∠2是70°，∠3是110°，∠4是110°。 11．下面图1是长方形彩纸，∠DEF＝28°，将长方形彩纸沿EF折叠成图2的形状，折叠后的∠AED是多少度？ 【答案】124° 【分析】根据题意，已知∠DEF＝28°，沿EF折叠成图2的形状，根据折叠对称性，观察发现∠FEH＝∠DEF＝28°，∠FEH和∠DEF、∠AED组成一个平角（180°），因此∠FEH＋∠DEF＋∠AED＝180°所以∠AED＝180°－∠FEH－∠DEF。据此计算即可。 【详解】180°－28°－28° ＝152°－28° ＝124° 答：折叠后的∠AED是124°。 12．下图是操场上的双杠。双杠的支撑架需要维修了，你能检查出下面四根支撑架是哪根出了问题吗？请你动手验证一下，写出验证的方法，再用合适的工具修正，在图上画一画。 【答案】支撑架②出了问题，见详解 【分析】双杠的支撑架应当互相平行，其中有一条歪了。用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，另一条直角边贴着双杠的支撑架。将三角尺紧贴着直尺移动位置，移动到歪了的支撑架的地方，发现歪了的支撑架不与直角边重合。再贴着直角边画出一条直线，这条直线就与别的支撑架平行。 【详解】支撑架②出了问题。 验证的方法：用左手固定直尺，用右手将三角板的一条直角边紧贴着直尺，另一条直角边贴着双杠的支撑架。将三角板紧贴着直尺移动位置，移动到歪了的支撑架的地方，发现歪了的支撑架不与直角边重合。（方法合理即可） 修正后的图，如下： 13．小丽用两个角拼成了一个275°的角，其中一个角是125°，另一个角是多少度？ 【答案】150° 【分析】已知用两个角拼成了一个275°的角，其中一个角是125°，则用275°减去125°，即可求得另一个角是多少度。 【详解】275°－125°＝150° 答：另一个角是150°。 C思维拓展 14．王林的量角器损坏了（如下图），但他能用这个量角器完成“画一个60°的角”的作业，你知道王林是怎样画出来的吗？请把你的想法写下来。 【答案】以外圈60°为起始边，在外圈120°处画另外一边即可画出60°的角 【分析】因为量角器破损，只能借助其他角度，比如以外圈60°为起始边，在外圈120°处画另外一边，据此解答。 【详解】，所以以外圈60°为起始边，在外圈120°处画另外一边即可画出60°的角。 （答案不唯一） 15．从小强家到体育馆有几条路线？哪条路线最近？ 【答案】5条；见详解 【分析】通过对相关路线的梳理，得出从小强家到体育馆的路线有：①小强家→书城→体育馆；②小强家→图书馆→体育馆；③小强家→少年宫→图书馆→体育馆；④小强家→少年宫→图书馆→学校→体育馆；⑤小强家→图书馆→学校→体育馆，共 5 条 ； 根据 “两点之间线段最短” 的原理，在这些路线中，第②条路线 “小强家→图书馆→体育馆” 是直接连接小强家与体育馆的路线，没有多余的转折，相较于其他路线，所经过的路程更短，所以它是最近的路线。 【详解】答：从小强家到体育馆有5条路线，从家经过图书馆再到体育馆这条路线最近。 16．把一张长方形纸按下面的样子折起来，如果，你能算出的度数是多少吗？ 【答案】44° 【分析】根据题意已知∠1＝23°，根据折纸的性质，我们可以得出∠1跟虚线与直线的夹角度数相等，长方形的角为直角是90°，即∠2＝90°－23°×2，据此即可解答。 【详解】∠1＝23° ∠2＝90°－∠1×2 ＝90°－23°×2 ＝90°－46° ＝44° 所以∠2的度数为44°。 17．老旧小区改造工程正在进行中。 （1）A、B两个小区需要从水管管道分别接一条水管到各自的小区，怎样接最省材料？请你画一画并说明理由。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是（    ）。 【答案】（1）见详解；点到直线的垂直线段最短。 （2）互相平行 【分析】（1）从小区 A、B 到水管的最短连接方式是分别作 A、B 到管道的垂线，这样用料最省。理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。 （2）画出的这两条水管在平面内的位置关系是平行，因为它们都与同一条直线（原水管管道）垂直。 【详解】根据分析可知 （1）画图如下： 理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是互相平行。 18．小刚把一副三角板重叠，使它的顶点和顶点重合于O点（如下图），已知∠1＝25°，求∠2的度数。请写出思考过程。 【答案】25° 【分析】根据题意可知：重叠在一起的这两个三角形都是直角三角形，即∠AOB＝∠DOC＝90°，如下图我们可以将中间那个角标为∠3，那么要求∠2度数，用90°－∠3即可，而∠3＝90°－∠1的，据此解答。 【详解】根据分析可得： ∠3：90°－∠1＝90°－25°＝65° ∠2：90°－65°＝25° 答：∠2的度数是25°。 19．如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？ 【答案】92° 【分析】首先，画出叠前的三角形ABF，如下图，根据三角形内角和是180°，可以用180°减去∠B和∠A的度数，求出∠F的度数；折叠前后，角度数不变，所以∠C的角度等于∠F的度数；根据三角形内角和是180°，用180°减去∠C和∠CEB的度数，求出∠CKE的度数；根据∠CKE加上∠CKB是一个平角，所以用180°减去∠CKE的度数，就是∠CKB的度数；根据∠BKD加上∠CKB是一个平角，所以用180°减去∠CKB的度数，就是∠BKD的度数；最后根据四边形的内角和是360°，用360°减去∠B、∠A和∠BKD，得到的就是∠ADC的度数。 【详解】如下图，做出折叠前的三角形ABF： 因为三角形的内角和是180°，所以 因为，所以； 因为三角形的内角和是180°，所以 因为平角等于180°，所以； 因为平角等于180°，所以； 因为四边形的内角和是360°，所以 答：∠ADC等于92°。 20．如图方格纸的边长是1厘米，其中A、B、C、D四个点分别表示小兰家、学校、超市、图书馆。 （1）从小兰家到学校有三条路，最近的路是（      ），（填序号）利用三角形的知识解释是：任意两边之和（      ）第三条边。 （2）选一选。以上发现还可以用以前学的（    ）知识来解释。 A．点到直线的距离    B．点到直线的距离，垂直线段最短    C． 两点之间线段最短 （3）在图上画出超市到②路的最短距离，是（      ）厘米，这个距离也是三角形底边AB边上的（      ）。 【答案】（1）②；大于 （2）C （3）图见详解；2；高 【分析】（1）任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边； （2）两点之间，线段最短； （3）过C点作②的垂线段即可，这条线段就是三角形ABC的高，利用直尺测量长度即可；据此解答。 【详解】（1）从小兰家到学校有三条路，最近的路是②，利用三角形的知识解释是：任意两边之和大于第三条边。 （2）以上发现还可以用以前学的两点之间线段最短知识来解释。 （3）如图： 所以超市到②路的最短距离，是2厘米，这个距离也是三角形底边AB边上的高。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 线与角 1. 线的认识与区分： ―― 线段有两个端点，有限长；射线有一个端点，向一个方向无限延伸；直线没有端点，向两个方向无限延伸。解决问题时，需根据图形特征判断线的类型，并能用字母表示（如线段AB、射线AB、直线AB）。 2. 角的度量与分类： ―― 角的大小用“度”表示，用量角器测量时注意“两重合、一读数”。根据度数可将角分为锐角（<90°）、直角（=90°）、钝角（>90°且<180°）、平角（=180°）、周角（=360°）。解题时需准确判断角的类型，并能进行角度的简单计算。 3. 角的计算与推理： ―― 利用直角（90°）、平角（180°）、周角（360°）以及图形中相邻角的关系（如互补、互余、对顶角）建立等式，通过加减法或列方程求出未知角度。关键是找准已知角与未知角之间的数量关系。 4. 生活中的角（时钟、方向、折纸等）： ―― 将实际问题抽象为角度模型。例如钟面每大格30°，根据时针与分针之间的格数差计算夹角；方向问题中常用东、南、西、北及偏角描述；折纸问题中折痕两侧角相等。解题时需画出简图，把生活语言转化为数学角度。 5. 画指定度数的角： ―― 用量角器画角的步骤：①画一条射线；②量角器中心与端点重合，零刻度线与射线重合；③在量角器上找到指定度数并描点；④连接端点与描点，画出另一条射线；⑤标出角的符号和度数。注意区分内、外圈刻度。 类型 1 线的认识 典型例题 1：草坪旁原来有一条弯曲的路通向亭子。近期，管理处在草坪中间又新修了一条小路。运用数学知识写一写，为什么要新修这条小路？ 变式训练：浩浩、文文、奇奇和笑笑一起玩“抢板凳”游戏，他们的位置如下图。 (1)( )最有可能抢到板凳。 (2)最有可能抢到板凳的原因是什么？请说明理由。 类型 2 角的度量 典型例题 2：聪聪说：“图中∠1＝∠2。”用你所学的数学知识说明∠1＝∠2的理由。 变式训练：如图，四边形ABCD是直角梯形，求出∠1、∠2和∠3的度数 A夯实基础 1．下图中互相垂直的直线有( )组，互相平行的直线有( )组，如果∠1＝135°，则∠2＝( )°。 2．钟面上，时针从数字“1”绕中心点顺时针旋转180°后，时针应该指着数字( )。 3．如下图，点A是小刚跳远时脚后跟落入沙坑的点，测量他的成绩时，应测量线段( )的长度。 4．拿一张长方形纸对折两次，再打开。如果出现两条折痕，那么这两条折痕互相( )；如果出现三条折痕，那么这三条折痕互相( )。 5．在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画( )条；过直线外一点，能画( )条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线( )。 6．小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是( )米。 B培优拔高 7．直线a、b、c，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为5厘米，直线a与直线c之间的距离为3厘米，那么直线b与直线c之间的距离是多少厘米？ 8．如图，已知直线，直线AB与a、b相交，直线AC分别与a、b互相垂直。你能用上“因为……所以……”，有理有据地说明吗？ 9．下面是某公园3条路的示意图，路①和路②互相垂直吗？请说明理由。 10．击剑运动是一项历史悠久的传统体育运动项目。笑笑在看一场击剑比赛录像的时候，观察到运动员击剑时形成了如图所示的图形。如果∠1＝70°，你能求出∠2，∠3和∠4的度数吗？ 11．下面图1是长方形彩纸，∠DEF＝28°，将长方形彩纸沿EF折叠成图2的形状，折叠后的∠AED是多少度？ 12．下图是操场上的双杠。双杠的支撑架需要维修了，你能检查出下面四根支撑架是哪根出了问题吗？请你动手验证一下，写出验证的方法，再用合适的工具修正，在图上画一画。 13．小丽用两个角拼成了一个275°的角，其中一个角是125°，另一个角是多少度？ C思维拓展 14．王林的量角器损坏了（如下图），但他能用这个量角器完成“画一个60°的角”的作业，你知道王林是怎样画出来的吗？请把你的想法写下来。 15．从小强家到体育馆有几条路线？哪条路线最近？ 16．把一张长方形纸按下面的样子折起来，如果，你能算出的度数是多少吗？ 17．老旧小区改造工程正在进行中。 （1）A、B两个小区需要从水管管道分别接一条水管到各自的小区，怎样接最省材料？请你画一画并说明理由。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是（    ）。 18．小刚把一副三角板重叠，使它的顶点和顶点重合于O点（如下图），已知∠1＝25°，求∠2的度数。请写出思考过程。 19．如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？ 20．如图方格纸的边长是1厘米，其中A、B、C、D四个点分别表示小兰家、学校、超市、图书馆。 （1）从小兰家到学校有三条路，最近的路是（      ），（填序号）利用三角形的知识解释是：任意两边之和（      ）第三条边。 （2）选一选。以上发现还可以用以前学的（    ）知识来解释。 A．点到直线的距离    B．点到直线的距离，垂直线段最短    C． 两点之间线段最短 （3）在图上画出超市到②路的最短距离，是（      ）厘米，这个距离也是三角形底边AB边上的（      ）。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $