第二单元 线与角 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版四年级上册（新教材）

第二单元 线与角 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、线的认识 2 1. 线段、射线与直线 2 2. 三者的联系与区别 2 3. 两点之间的距离 2 二、相交与垂直 3 1. 相交 3 2. 垂直 3 3. 垂线段的性质 3 4. 画垂线的方法 3 三、平移与平行 3 1. 平行线的定义 3 2. 平行线的特征 3 3. 画平行线的方法 3 四、角的认识 3 1. 角的定义与组成 3 2. 角的度量 4 3. 角的分类 4 4. 角的度数关系 4 5. 画指定度数的角 4 五、易错点总结 4 考点讲练 5 考点一：线的认识 5 考点二：相交与垂直 5 考点三：平移与平行 6 考点四：平角、周角的认识及特征 7 考点五：角的大小比较 8 考点六：角的度量 8 考点七：用量角器画角 9 考点八：用三角尺画角 10 考点九：角度的计算 11 综合训练 12 知识梳理 一、线的认识 1. 线段、射线与直线 线段：有两个端点，不能向两端无限延伸，可以测量长度。 表示方法：线段 AB（或线段 BA）。 射线：有一个端点，只能向一端无限延伸，无法测量长度。 表示方法：射线 AB（A 为端点，B 为延伸方向，不能调换字母顺序）。 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。 表示方法：直线 AB（或直线 BA），也可以用一个小写字母表示，如直线 l。 2. 三者的联系与区别 名称 端点个数 延伸情况 能否测量 线段 2 个 不能延伸 能 射线 1 个 向一端无限延伸 不能 直线 0 个 向两端无限延伸 不能 3. 两点之间的距离 两点之间所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。 二、相交与垂直 1. 相交 两条直线如果有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做交点。 2. 垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 垂直是相交的特殊情况，相交不一定垂直，但垂直一定相交。 表示方法：直线 a 与直线 b 互相垂直，记作 a⊥b。 3. 垂线段的性质 从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。 4. 画垂线的方法 可以用三角尺画垂线：三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿直线平移三角尺，使另一条直角边经过指定点，沿这条直角边画直线，就是已知直线的垂线。 三、平移与平行 1. 平行线的定义 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 表示方法：直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥b。 2. 平行线的特征 两条平行线之间的距离处处相等。 平行线永远不会相交。 3. 画平行线的方法 可以用三角尺配合直尺平移的方法画平行线，步骤可概括为：一放、二靠、三移、四画。 四、角的认识 1. 角的定义与组成 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。 角的大小与两边的长短无关，与两边张开的大小有关，张开得越大，角就越大。 2. 角的度量 度量角的工具是量角器，角的计量单位是 “度”，用符号 “°” 表示。 量角器把半圆平均分成 180 份，每一份所对的角就是 1 度，记作 1°。 量角步骤： 点点重合：量角器的中心与角的顶点重合； 线边重合：量角器的 0° 刻度线与角的一条边重合； 读数：看角的另一条边对应的刻度，就是角的度数。 3. 角的分类 按度数从小到大，角可以分为五类： 锐角：大于 0° 且小于 90°； 直角：等于 90°； 钝角：大于 90° 且小于 180°； 平角：等于 180°，两边在同一条直线上； 周角：等于 360°，两边重合在一起。 4. 角的度数关系 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 1 平角 = 2 直角 5. 画指定度数的角 用量角器画角的步骤： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0° 刻度线和射线重合； 在量角器对应度数刻度线的位置点一个点； 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 五、易错点总结 混淆射线和直线的表示方法，射线有方向，端点在前，不能随意调换字母顺序。 误认为不相交的两条直线就是平行线，忽略 “同一平面内” 的前提条件。 误认为平角就是一条直线，周角就是一条射线；平角和周角都有两条边，只位置特殊。 量角时看错内外圈刻度，0° 刻度线在内圈就读内圈数，在外圈就读外圈数。 误认为角的大小与边的长短有关，角的大小只和两边张开的程度有关。 混淆垂线段和垂线：垂线是一条直线，无法测量；垂线段是线段，有固定长度。 考点讲练 考点一：线的认识 【典例精讲】下图，小虎从家步行去学校，走路线( )（填序号）最近，因为_____________________________________。 【变式训练】李铭周末到图书馆借阅图书，从他家到图书馆有三条路（如图），第( )条路最近。 【变式训练】线段有( )个端点。下图中，在直线l上有A、B、C三个点，以点B为一个端点的线段有( )条。 【变式训练】李老师用电脑为机器人设计了如下测试路线，用圆规比一比，哪条路线比较近？在下面画“√”。 考点二：相交与垂直 【典例精讲】下面左图中，直线①与②互相_____，∠1＝_____°，∠2＝_____°。右图中一共有_____个角。              【变式训练】如图，老虎追赶狐狸，狐狸慌不择路掉进了河里，它心想：我要尽快上岸，且不能被老虎抓住。聪明的狐狸会怎么逃生呢？你认为它会选择( )这条路线。 【变式训练】在同一条公路旁，有三条小路通往点点家，它们的长度分别是287米、202米、194米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是( )米。 【变式训练】过P点画已知直线的垂线。 考点三：平移与平行 【典例精讲】如图，正方形的边长是5厘米，点到线段的距离是( )厘米。与线段平行的线段是( )，与线段垂直的是线段( )和线段( )。 【变式训练】试卷的上下两条边互相( )，相邻的两条边互相( )。（填垂直或平行） 【变式训练】如图，乐乐想要将他们的全家福照片挂在墙上。照片左边高度为1.6m，为了保持与地面平行，右边的高度应为( )m。 【变式训练】看下图，填出符合要求的一条线段。线段AF与( )平行；线段AB与( )垂直。 考点四：平角、周角的认识及特征 【典例精讲】钟面上9时整，时针和分针组成的角是( )°；12时30分，时针和分针组成的角是( )角。 【变式训练】钟面上3：30时，时针和分针形成的较小角是( )角；从5时到6时，分针转过( )°，形成的角是( )角。 【变式训练】钟面上，如果时针刚好转了30度角，则分针转了( )度角；如果分针转了个平角，则时针转了( )度角。 【变式训练】如图，已知∠1＝55°，求∠2、∠3、∠4的度数。 考点五：角的大小比较 【典例精讲】想一想，填一填。 上面的图形中，锐角有( )，直角有( )，钝角有( )，最大的角是( )。（填序号） 【变式训练】下面钟面上时针和分针所形成的角各是什么角？填一填。 ( )角           ( )角        ( )角        ( )角         ( )角 再将上面各角按从大到小的顺序排列：( )。 【变式训练】用10倍的放大镜看一个20°的角，看到这个角的度数是( )°。 【变式训练】如下图，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°。 考点六：角的度量 【典例精讲】明明在学习了用量角器测量角度后，如图是他用量角器测量的角，是( )度。 【变式训练】量角、算角。 请用量角器量出( )°，计算( )°。 【变式训练】量一量，填一填。 (1)量出上图中∠1＝( )°。 (2)根据∠1的度数，请你推理出∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【变式训练】先分别写出下面用一副三角尺拼成的角的度数，再写出角的名称。 ( )°            ( )°          ( )°            ( )° ( )角            ( )角          ( )角            ( )角 考点七：用量角器画角 【典例精讲】按要求画一画。以为顶点，画一个的角，并标出角的度数，再过点向角的两边分别作垂线。 【变式训练】如图：操场上有一棵树，A点有一个升旗杆，升旗杆在图上的高为2厘米；B点有一个滑梯，滑梯与地面的夹角为30°。请在图中画出旗杆和滑梯。 【变式训练】根据给定的顶点和一条边，画一个115°的角。 【变式训练】根据人体工程学实验结果，儿童学习座椅靠背与坐垫呈105°时为阅读的最佳角度。请你把最有利于儿童阅读角度的座椅靠背的位置画出来，并在图中标出调整后座椅靠背与坐垫之间的角度。 考点八：用三角尺画角 【典例精讲】先用量角器画出一个85°的角，再用一副三角板画出一个150°的角。 【变式训练】选择合适的工具画出一个的角。 【变式训练】选择合适的方法画出下面的角，并说一说它们分别是哪一种角。 45°        90°        120° 【变式训练】淘气用一副三角板拼出了一个105°的角，请你用两种方法，试着拼一拼，并画出来，注意一定要标出角的度数。 考点九：角度的计算 【典例精讲】如图，∠1＝30°，求∠2，∠3的度数。 【变式训练】已知∠1＝75°，分别求出∠2、∠3的度数。 【变式训练】如图，小飞折起长方形纸的一个角，已知∠1＝25°，求∠2的度数。 【变式训练】求下面各角的度数。    ∠1＝                  ∠2＝ 综合训练 1．从3时15分到3时45分，钟面上的分针转的角度是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．平角 D．周角 2．从3：00到3：15，分针绕钟面中心顺时针旋转了（    ）°。 A．15 B．60 C．90 D．45 3．钟面上的时间是5时整，时针和分针的夹角是（    ）。 A．150° B．130° C．120° D．90° 4．如图，直线a与直线b互相垂直，∠1的度数是（    ）。 A．60° B．50° C．40° D．30° 5．亮亮从家去书店，最近的路是（    ）。 A．② B．④ C．① D．③ 6．姜堰区小学举行“趣味运动会”投掷沙包项目中，选手需站在起掷线后投掷，沙包落地点到起掷线的距离即为成绩。下图是四位同学的投掷情况，（    ）的成绩最好。 A．明明 B．芳芳 C．强强 D．红红 7．钟面上的分针绕中心点顺时针从“12”到“3”旋转了( )度。 8．钟面上的时间为4时整时，时针与分针的夹角是( )。 9．梦梦将两张长方形纸上下摆放，下面一张纸固定不动，上面的一张纸绕A点顺时针方向旋转，她发现在旋转的过程中，∠1和∠2的度数都在变化。当∠1＝20°时，∠2＝70°；那么∠1＝( )°时，∠2＝50°。 10．如图所示，可可从家去京剧艺术馆观看演出，第( )条路线最近，理由是( )。 11．如图是由三个正方形拼接而成的，已知∠1＝27°，则∠2＝( )°。 12．钟面上分针从数字3刻度位置绕中心点顺时针旋转90°后，指向数字( )刻度位置。 13．度量一个角，将量角器的中心点对准角的顶点，角的一条边对准刻度线后，角的另一条边对着量角器上的刻度“60”，那么这个角是( )或( )。 14．朱自清的《春》一文中，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看，其实是把雨滴看成点，把雨看成线，说明( )。 15．下面的图形中，( )是线段，( )是直线，( )是锐角，( )是钝角。（填序号） 16．6时整，钟面上时针与分针所成的角是( )角；9时整，钟面上时针与分针所成的较小的角是( )°。 17．画一画、量一量。 （1）过P点画直线a的垂线m； （2）过P点画直线a的平行线n； （3）直线a和n之间的距离是（    ）厘米。 18．选择合适的方法画出下面的角，并说一说它们分别是哪一种角。 90°            110° 19．如图，一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进河里了。狐狸想尽快上岸，请画出狐狸可以上岸的最短路线。 20．画一画。 (1)画出射线OM、线段ON、直线MN。 (2)以O为顶点，射线OM为一条边，画一个40°的角。 21．下图中，，，图中直线a与直线b互相垂直吗？请写出理由。 22．如下图，将一张长方形纸折一折，已知∠1＝20°，那么∠2的度数是多少？ 23．在科技展区展示了机器人和无人机。 (1)机器人能够按照设定的程序自动前进和装卸货物。请你设计一条让机器人从A点走到装货区的最短路线，画在下图中。 (2)一款农业无人机，一分钟能喷洒农药4千克。喷洒完60千克农药，需要几分钟？ 24．已知∠1＝32°，∠2＝38°，求∠3的度数。 25．小阳上学时从家到学校的路线有三条，（如图）哪条路最近？说说你的理由。 26．求如图中各个角的度数． 如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数； 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 线与角 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、线的认识 2 1. 线段、射线与直线 2 2. 三者的联系与区别 2 3. 两点之间的距离 2 二、相交与垂直 3 1. 相交 3 2. 垂直 3 3. 垂线段的性质 3 4. 画垂线的方法 3 三、平移与平行 3 1. 平行线的定义 3 2. 平行线的特征 3 3. 画平行线的方法 3 四、角的认识 3 1. 角的定义与组成 3 2. 角的度量 4 3. 角的分类 4 4. 角的度数关系 4 5. 画指定度数的角 4 五、易错点总结 4 考点讲练 5 考点一：线的认识 5 考点二：相交与垂直 6 考点三：平移与平行 9 考点四：平角、周角的认识及特征 10 考点五：角的大小比较 12 考点六：角的度量 14 考点七：用量角器画角 17 考点八：用三角尺画角 19 考点九：角度的计算 21 综合训练 24 知识梳理 一、线的认识 1. 线段、射线与直线 线段：有两个端点，不能向两端无限延伸，可以测量长度。 表示方法：线段 AB（或线段 BA）。 射线：有一个端点，只能向一端无限延伸，无法测量长度。 表示方法：射线 AB（A 为端点，B 为延伸方向，不能调换字母顺序）。 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。 表示方法：直线 AB（或直线 BA），也可以用一个小写字母表示，如直线 l。 2. 三者的联系与区别 名称 端点个数 延伸情况 能否测量 线段 2 个 不能延伸 能 射线 1 个 向一端无限延伸 不能 直线 0 个 向两端无限延伸 不能 3. 两点之间的距离 两点之间所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。 二、相交与垂直 1. 相交 两条直线如果有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做交点。 2. 垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 垂直是相交的特殊情况，相交不一定垂直，但垂直一定相交。 表示方法：直线 a 与直线 b 互相垂直，记作 a⊥b。 3. 垂线段的性质 从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。 4. 画垂线的方法 可以用三角尺画垂线：三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿直线平移三角尺，使另一条直角边经过指定点，沿这条直角边画直线，就是已知直线的垂线。 三、平移与平行 1. 平行线的定义 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 表示方法：直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥b。 2. 平行线的特征 两条平行线之间的距离处处相等。 平行线永远不会相交。 3. 画平行线的方法 可以用三角尺配合直尺平移的方法画平行线，步骤可概括为：一放、二靠、三移、四画。 四、角的认识 1. 角的定义与组成 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。 角的大小与两边的长短无关，与两边张开的大小有关，张开得越大，角就越大。 2. 角的度量 度量角的工具是量角器，角的计量单位是 “度”，用符号 “°” 表示。 量角器把半圆平均分成 180 份，每一份所对的角就是 1 度，记作 1°。 量角步骤： 点点重合：量角器的中心与角的顶点重合； 线边重合：量角器的 0° 刻度线与角的一条边重合； 读数：看角的另一条边对应的刻度，就是角的度数。 3. 角的分类 按度数从小到大，角可以分为五类： 锐角：大于 0° 且小于 90°； 直角：等于 90°； 钝角：大于 90° 且小于 180°； 平角：等于 180°，两边在同一条直线上； 周角：等于 360°，两边重合在一起。 4. 角的度数关系 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 1 平角 = 2 直角 5. 画指定度数的角 用量角器画角的步骤： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0° 刻度线和射线重合； 在量角器对应度数刻度线的位置点一个点； 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 五、易错点总结 混淆射线和直线的表示方法，射线有方向，端点在前，不能随意调换字母顺序。 误认为不相交的两条直线就是平行线，忽略 “同一平面内” 的前提条件。 误认为平角就是一条直线，周角就是一条射线；平角和周角都有两条边，只位置特殊。 量角时看错内外圈刻度，0° 刻度线在内圈就读内圈数，在外圈就读外圈数。 误认为角的大小与边的长短有关，角的大小只和两边张开的程度有关。 混淆垂线段和垂线：垂线是一条直线，无法测量；垂线段是线段，有固定长度。 考点讲练 考点一：线的认识 【典例精讲】下图，小虎从家步行去学校，走路线( )（填序号）最近，因为_____________________________________。 【答案】 ① 两点间所有连线中线段最短 【分析】两点间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。据此即可解答。 【详解】下图，小虎从家步行去学校，走路线①（填序号）最近，因为两点间所有连线中线段最短。 【变式训练】李铭周末到图书馆借阅图书，从他家到图书馆有三条路（如图），第( )条路最近。 【答案】② 【分析】根据小学所学的结论两点之间，线段最短，三条路中只有第②条路是李铭家到图书馆的线段，长度短于另外两条折线路径，因此第②条路最近。 【详解】李铭周末到图书馆借阅图书，从他家到图书馆有三条路（如图），第②条路最近。 【变式训练】线段有( )个端点。下图中，在直线l上有A、B、C三个点，以点B为一个端点的线段有( )条。 【答案】 2 2 【分析】根据线段的定义，线段是直线上两点间的部分，线段有2个端点。图中直线上三个点按顺序为A、B、C，以B为端点，分别和A、C组合可以得到线段AB、线段BC。 【详解】线段有2个端点。 以B为端点得到线段BA、线段BC，有2条。 【变式训练】李老师用电脑为机器人设计了如下测试路线，用圆规比一比，哪条路线比较近？在下面画“√”。 【答案】见详解 【分析】题目给出了起点到终点的两条路线：一条是直接连接的线段，另一条是折线。利用圆规并结合基本原理，两点之间的所有连线中，线段的长度最短，因此线段路线更近。 【详解】我们先观察题目中的两条路线，第一条是直接连接起点和终点的线段，第二条是由多段线段组成的折线。根据“两点之间，线段最短”的几何原理，我们可以知道，连接两点的所有路径中，线段的长度是最短的。用圆规进行验证时，我们可以先量出第一条线段的长度，再分段量出第二条折线的每一段长度并相加，会发现折线的总长度明显比第一条线段长，因此可以确定，第一条线段路线更近，我们在第一条路线下方的括号里画“√”即可。 考点二：相交与垂直 【典例精讲】下面左图中，直线①与②互相_____，∠1＝_____°，∠2＝_____°。右图中一共有_____个角。              【答案】 垂直 30 150 10 【分析】左图中直线①和②有直角符号，所以它们互相垂直。因为直线①与②垂直，夹角为90°，且平角为180°，所以∠1＋60°＝180°－90°＝90°。据此计算出∠1的度数，又因为∠1与∠2组成平角，则可以计算出∠2的度数。 数右图的角的个数，右图有4条射线，计算角的总数为：4＋3＋2＋1＝10（个）。 【详解】直线①与②互相垂直。 ∠1＝90°－60°＝30° ∠2＝180°－30°＝150° 4＋3＋2＋1＝10（个） 【变式训练】如图，老虎追赶狐狸，狐狸慌不择路掉进了河里，它心想：我要尽快上岸，且不能被老虎抓住。聪明的狐狸会怎么逃生呢？你认为它会选择( )这条路线。 【答案】AD/DA 【分析】狐狸要想不被老虎抓住，不能逃向老虎所在的岸边，应向对岸逃走。向对岸逃走，只有AD和AE两条路线可以选择，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。所以，要想尽快上岸，选择路线AD逃走最合适，据此解答即可。 【详解】如图，它会选择AD这条路线。 【变式训练】在同一条公路旁，有三条小路通往点点家，它们的长度分别是287米、202米、194米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是( )米。 【答案】194 【分析】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。题目中指出有一条小路与公路垂直，说明这条小路是点点家到公路的垂线段，因此它的长度应该是三条小路中最短的。解题时只需比较三个长度数据的大小，找出最小值即可。 【详解】从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短。 194＜202＜287 在同一条公路旁，有三条小路通往点点家，它们的长度分别是287米、202米、194米，其中有一条小路与公路是垂直的，这条小路的长度是（194）米。 【变式训练】过P点画已知直线的垂线。 【答案】 【分析】将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角板，使另一条直角边经过点P。从点P开始，沿着三角板的这条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，交点处标上直角符号“┐”。 【详解】略 考点三：平移与平行 【典例精讲】如图，正方形的边长是5厘米，点到线段的距离是( )厘米。与线段平行的线段是( )，与线段垂直的是线段( )和线段( )。 【答案】 5 CE AB DC 【分析】根据题意，从直线外一点到这条直线的所画的垂直线段的长度，叫做点到直线的距离。因为正方形的四个角都是直角，所以点A到线段BC的距离就是线段AB的长度。 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。据此找出线段BC的垂线。 【详解】因为正方形ABCD的边长是5cm，且它的四个角都是直角。所以点A到线段BC的距离就是AB的长度，是5cm。BD垂直于BE，CE垂直于BE，所以与线段BD平行的是线段CE，与线段BC垂直的是线段AB和线段DC。 【变式训练】试卷的上下两条边互相( )，相邻的两条边互相( )。（填垂直或平行） 【答案】 平行 垂直 【分析】根据长方形的特征，相对的两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。上下两条边属于相对的两条边，相邻的两条边相交成直角。 【详解】试卷的上下两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。 【变式训练】如图，乐乐想要将他们的全家福照片挂在墙上。照片左边高度为1.6m，为了保持与地面平行，右边的高度应为( )m。 【答案】1.6 【分析】根据平行线的性质，平行线间的距离处处相等，因为要保持照片与地面平行，所以照片左右两边的高度相等。据此解答即可。 【详解】乐乐想要将他们的全家福照片挂在墙上。照片左边高度为1.6m，为了保持与地面平行，右边的高度应为1.6m。 【变式训练】看下图，填出符合要求的一条线段。线段AF与( )平行；线段AB与( )垂直。 【答案】 BE/CD BE/AF 【分析】同一平面内不相交的两条直线叫平行线，两条直线相交成直角，则可以说这两条直线互相垂直，据此判断。 【详解】通过图形可知线段AF与BE和CD平行；线段AB与AF和BE相交成直角，所以AB与AF和BE垂直。 考点四：平角、周角的认识及特征 【典例精讲】钟面上9时整，时针和分针组成的角是( )°；12时30分，时针和分针组成的角是( )角。 【答案】 90 钝 【分析】钟表上，指针转一圈是360°，一共有12个间隔，12×30°＝360°，因此每两个数字之间的度数是30°，也就是1个大格是30°； 当时针和分针之间较小的夹角有3大格时，30°×3＝90°，此时是个直角；当时针和分针之间较小的夹角小于3大格时，也就是小于90°，此时是个锐角；当时针和分针之间较小的夹角大于3大格，小于6大格时（6×30°＝180°），也就是大于90°小于180°，此时是个钝角，当时针和分针之间的夹角等于6大格时，此时是个平角。 【详解】钟面上9时整，时针指着9，分针指12，时针和分针之间较小的夹角有3大格，组成的角是90°； 12时30分，时针指在12和1之间，分针指6，时针和分针之间较小的夹角大于3大格，小于6大格，组成的角是钝角。 【变式训练】钟面上3：30时，时针和分针形成的较小角是( )角；从5时到6时，分针转过( )°，形成的角是( )角。 【答案】 锐 360 周 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°。钟面上3：30时，分针指向6，时针走到3和4的中间，时针和分针之间的夹角比两个大格多，比三个大格少，根据角的分类：大于0°小于90°的角叫做锐角，90°的角是直角，大于90°小于180°的角叫做钝角，据此解答； 时针从5时走到6时，时间经过了1小时，则分针转一圈，一圈为360°；周角度数为360°。 【详解】根据分析可知： 30°×2＝60°，30°×3＝90°，大于0°小于90°的角叫做锐角，所以钟面上3：30时，时针和分针形成的较小角是锐角； 从5时到6时，分针转过360°，形成的角是周角。 【变式训练】钟面上，如果时针刚好转了30度角，则分针转了( )度角；如果分针转了个平角，则时针转了( )度角。 【答案】 360 15 【分析】钟面一圈被平均分成了12个大格，时针每转一个大格是1小时，转一圈是12小时，一圈是360度，所以时针每小时转的角度是30度，时针转了30度是一个小时，一个小时分针转一圈是360度；平角是180度，那么分针转了半圈，分针转半圈是30分钟，时针每小时转一格，一格是30度，半个小时转了15度。 【详解】钟面上，如果时针刚好转了30度角，则分针转了360度角；如果分针转了个平角，则时针转了15度角。 【变式训练】如图，已知∠1＝55°，求∠2、∠3、∠4的度数。 【答案】∠2是35°，∠3是55°，∠4是125° 【分析】已知∠1＝55°，通过观察图可知∠1和∠2组成一个直角，直角为90°，所以∠2＝90°－∠1。因为∠1和∠4组成一个平角，平角为180°，所以∠4＝180°－∠1。因为∠3和∠4组成一个平角，平角为180°，所以∠3＝180°－∠4，据此解答即可。 【详解】直角为90°，平角为180° ∠2＝90°－∠1 ＝90°－55° ＝35° ∠4＝180°－∠1 ＝180°－55° ＝125° ∠3＝180°－∠4 ＝＝180°－125° ＝55° 答：∠2是35°，∠3是55°，∠4是125°。 考点五：角的大小比较 【典例精讲】想一想，填一填。 上面的图形中，锐角有( )，直角有( )，钝角有( )，最大的角是( )。（填序号） 【答案】 ②④/④② ③ ①⑤/⑤① ① 【分析】和三角尺上最大的那个角一样大的角就是直角，比直角小的角叫锐角，比直角大的角叫钝角，可以用三角尺的直角进行对比辨认；角的开口越大，角越大依此作答。 【详解】①是钝角，②是锐角，③是直角，④是锐角，⑤是钝角，所以锐角有②④，直角有③，钝角有①⑤；⑤开口最大，因此最大的角是①。 【变式训练】下面钟面上时针和分针所形成的角各是什么角？填一填。 ( )角           ( )角        ( )角        ( )角         ( )角 再将上面各角按从大到小的顺序排列：( )。 【答案】 锐 周 钝 平 直 周角＞平角＞钝角＞直角＞锐角 【分析】钟面一圈是360度，平均分成12个大格，每个大格对应角度是360÷12＝30度，根据钟面的分针和时针的夹角，依次计算出夹角的角度，再根据角的分类判断。锐角是指大于0度而小于90度的角；直角是指等于90度的角；钝角是指大于90度而小于180度的角；平角是指等于180度的角；周角是指等于360度的角。按角度的大小排序即可。 【详解】图一：2时，30×2＝60（度），锐角。 图二：12时，30×12＝360（度），周角。 图三：7时，30×5＝150（度），钝角。 图四：6时，30×6＝180（度），平角。 图五：9时，30×3＝90（度），直角。     周角＞平角＞钝角＞直角＞锐角 【变式训练】用10倍的放大镜看一个20°的角，看到这个角的度数是( )°。 【答案】20 【分析】角的大小与两边的长短无关，只与两边叉开的大小有关，两边叉开得越大，则角越大；用10倍的放大镜看一个20°的角，只放大了角的两边的长短和粗细，两边叉的大小没变，所以角的度数不变。据此解答。 【详解】根据分析可知： 【变式训练】如下图，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°。 【答案】 ＞ ＜ 【分析】如下图，如果敌机继续往前飞，那么炮筒要逆时针方向转动；如果敌机向后方逃跑那么炮筒要顺时针方向转动，画出可能的两个角度与40°对比，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应＞ 40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应＜40°。 考点六：角的度量 【典例精讲】明明在学习了用量角器测量角度后，如图是他用量角器测量的角，是( )度。 【答案】40 【分析】观察量角器的外圈，角的一边指向30°的位置，另一边指向70°的位置，根据角的度数计算方法，用大刻度减去小刻度，用70°减30°即可求出这个角的度数。 【详解】70°－30°＝40° 【变式训练】量角、算角。 请用量角器量出( )°，计算( )°。 【答案】 135 45 【分析】∠1和∠2组成平角，平角是180°，先测量∠1度数，再用180°减去∠1得到∠2； 量角的步骤：先用量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，再看角的另一条边与量角器的刻度数是多少就是多少度。 【详解】 图中测量∠1为135° 180°－135°＝45° 【变式训练】量一量，填一填。 (1)量出上图中∠1＝( )°。 (2)根据∠1的度数，请你推理出∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】(1)30 (2) 150 30 【分析】（1）角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；用量角器测量出∠1的度数即可解答。 （2）如图，∠1和∠2组成平角，平角是180°，用180°减去∠1的度数，就是∠2的度数。而∠2和∠3也组成平角。用180°减去∠2的度数，就是∠3的度数。 【详解】（1）根据测量，量出上图中∠1＝30°。 （2）180°－30°＝150° 180°－150°＝30° 所以，∠2＝150°，∠3＝30°。 【变式训练】先分别写出下面用一副三角尺拼成的角的度数，再写出角的名称。 ( )°            ( )°          ( )°            ( )° ( )角            ( )角          ( )角            ( )角 【答案】 180 120 150 75 平 钝 钝 锐 【分析】一套三角尺通常有两种三角板，分别是一个直角三角形（其中一个角为90°，另外两个角分别为30°和60°）和一个等腰直角三角形（一个角为90°，另外两个角均为45°），根据图中两个角的组合，计算出相应角度数即可。 【详解】，平角； ，钝角； ，钝角； ，锐角。 【点睛】解答此题需要熟练掌握两种直角三角尺的度数。 考点七：用量角器画角 【典例精讲】按要求画一画。以为顶点，画一个的角，并标出角的度数，再过点向角的两边分别作垂线。 【答案】 【分析】把量角器的中心点和点O重合，零度刻度线和射线重合，在量角器上找到100°的地方记一个点，从点O出发，通过新记的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是所要画的角； 三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点到角的另一条边的垂线。 【详解】图略 【变式训练】如图：操场上有一棵树，A点有一个升旗杆，升旗杆在图上的高为2厘米；B点有一个滑梯，滑梯与地面的夹角为30°。请在图中画出旗杆和滑梯。 【答案】（滑滑梯的画法不唯一） 【分析】在A点垂直于地面画一条长度为2厘米的线段代表旗杆；用量角器的中心点对准B点，使量角器的零刻度线与地面完全重合，然后画出30°的角，与地面形成30°夹角的线就代表滑滑梯的位置（滑梯的位置可以在B点的右上方也可以在B点的左上方）。 【详解】略 【变式训练】根据给定的顶点和一条边，画一个115°的角。 【答案】 【分析】把量角器的中心对准左边的顶点，量角器的0°刻度线对准题目给出的那条边，在量角器上找到外圈115°的刻度线，在这个位置轻轻点上一个点。以顶点为起点，经过刚画的点，画出一条新的射线，这就是角的另一条边。在角的内部标上符号，并写上115°。 【详解】略 【变式训练】根据人体工程学实验结果，儿童学习座椅靠背与坐垫呈105°时为阅读的最佳角度。请你把最有利于儿童阅读角度的座椅靠背的位置画出来，并在图中标出调整后座椅靠背与坐垫之间的角度。 【答案】 【分析】先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点。以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 座椅靠背与坐垫之间的角度为105°时坐着最舒适，那么以坐垫所在的位置为角的一条边，用量角器画一个105°的角，另一条边所在的位置就是座椅靠背的位置。以此画图即可。 【详解】略 考点八：用三角尺画角 【典例精讲】先用量角器画出一个85°的角，再用一副三角板画出一个150°的角。 【答案】 【分析】（1）先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器85°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角； （2）一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，因为60°＋90°＝150°，据此拼出即可。 【变式训练】选择合适的工具画出一个的角。 【答案】 【分析】用量角器画，先画射线，把量角器的中心与射线的顶点重合，0度刻度线与射线重合，在量角器上表示与已知角度数相等的刻度画与原来射线是公共顶点的射线，两射线所成的角就是与已知角相等的角。 可以用三角尺上的60°的角画，找到三角尺上60°的角，直接沿着角的两条边和顶点描出即可。 【详解】略 【变式训练】选择合适的方法画出下面的角，并说一说它们分别是哪一种角。 45°        90°        120° 【答案】见详解；锐角；直角；钝角 【分析】画角的方法：45°、90°、120°可以用三角板直接拼出，也可以用量角器画。 角的分类判断：大于0°且小于90°，是锐角；等于90°，是直角；大于90°且小于180°，是钝角。 【详解】45°角画法：（用量角器画）先画一条射线，将量角器中心与射线端点重合，0°刻度线与射线重合，在45°刻度处点一个点，再连接端点和这个点。 45°是锐角。 90°角画法：（用等腰直角三角板画）画一条射线，确定顶点与一条边；三角板直角顶点对齐射线端点，一条直角边对齐射线；沿另一条直角边画射线，形成角；标上直角符号。 90°是直角。 120°角画法：（用量角器画）先画一条射线，作为角的一条边，射线的端点就是角的顶点；把量角器的中心与射线的端点重合，量角器的0°刻度线与这条射线重合；在量角器上找到120°的刻度位置，在纸上轻轻点一个点；从射线的端点出发，经过刚才标记的点，再画一条射线；在角的内部标上120°，这个角就画好了。 120°是钝角。 【变式训练】淘气用一副三角板拼出了一个105°的角，请你用两种方法，试着拼一拼，并画出来，注意一定要标出角的度数。 【答案】见详解； 【分析】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°；105°=45°＋60°，105°=180°-30°-45°据此解答即可. 【详解】 考点九：角度的计算 【典例精讲】如图，∠1＝30°，求∠2，∠3的度数。 【答案】是60°；是150° 【分析】观察图可知，∠1＋∠2＝90°，那么∠2＝90°－∠1；∠1＋∠3＝180°，那么∠3＝180°－∠1； 【详解】∠2＝90°－30°＝60°； ∠3＝180°－30°＝150° 【变式训练】已知∠1＝75°，分别求出∠2、∠3的度数。 【答案】∠2＝15°；∠3＝105° 【分析】根据垂直定义∠1加∠2为90°直角，用90°－∠1即可得到∠2的度数；∠1和∠3构成平角，用180°－∠1即可求出∠3的度数。 【详解】∠2＝90°－∠1＝90°－75°＝15° 【变式训练】如图，小飞折起长方形纸的一个角，已知∠1＝25°，求∠2的度数。 【答案】 130° 【分析】根据折纸的对称性使折痕两侧角相等，也就是两个∠1和一个∠2三个角组成了一个平角，平角是180°，据此解答。 【详解】180°－25°－25° ＝155°－25° ＝130° ∠2是130°。 【变式训练】求下面各角的度数。    ∠1＝                  ∠2＝ 【答案】∠1＝47°；∠2＝43° 【分析】根据题图，已知∠1和133°组成了一个平角，平角的度数是180°，用180°减去133°即可求出∠1的度数；∠1和∠2组成了一个直角，直角的度数是90°，用90°减去∠1的度数即可求出∠2的度数，据此解答。 【详解】 答：∠1是47°，∠2是43°。 综合训练 1．从3时15分到3时45分，钟面上的分针转的角度是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．平角 D．周角 【答案】C 【分析】先求出从时分到时分经过的时间，再根据钟面一圈是，分针走一圈是分钟，计算出分针每分钟转动的度数，进而求出分针转动的总度数，最后根据角的分类标准判断是什么角。 【详解】45－15＝30（分） 360°÷60＝6° 30×6°＝180° 因为等于180°的角是平角，所以钟面上的分针转的角度是平角。 2．从3：00到3：15，分针绕钟面中心顺时针旋转了（    ）°。 A．15 B．60 C．90 D．45 【答案】C 【分析】钟面是一个圆，周角为，被平均分成个大格。每个大格表示30°。分针每走分钟经过个大格，从到经过了分钟，据此计算分针旋转的大格数，再乘每个大格对应的度数即可求解。 【详解】分针经过的大格数：（格） 分针旋转的角度： 3．钟面上的时间是5时整，时针和分针的夹角是（    ）。 A．150° B．130° C．120° D．90° 【答案】A 【分析】钟面是一个圆，周角是360°，被个数字平均分成个大格，每个大格对应的角是30°； 时整，分针指向，时针指向，两者之间相隔个大格，用每个大格的度数乘大格数即可求出夹角度数，据此解答。 【详解】根据分析可知， 每个大格对应的角度是：360°÷12＝30° 时整，分针指向，时针指向，中间相隔个大格，时针和分针的夹角是： 30°×5＝150°。 4．如图，直线a与直线b互相垂直，∠1的度数是（    ）。 A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】A 【分析】两条直线互相垂直，夹角为90°；平角是180°，图中30°、直角、∠1组成平角，用180°依次减去已知角度即可求出∠1。 【详解】直线a、b垂直，中间夹角＝90° 计算∠1： 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° ∠1的度数是60°。 5．亮亮从家去书店，最近的路是（    ）。 A．② B．④ C．① D．③ 【答案】D 【分析】两点间的所有连线中线段最短，找出选项中的线段即是最近的路。 【详解】由分析可知，只有③是线段，因此最近的路是③。 6．姜堰区小学举行“趣味运动会”投掷沙包项目中，选手需站在起掷线后投掷，沙包落地点到起掷线的距离即为成绩。下图是四位同学的投掷情况，（    ）的成绩最好。 A．明明 B．芳芳 C．强强 D．红红 【答案】A 【分析】根据沙包投掷的规则，沙包落地点与起掷线之间的距离才是投掷沙包的成绩，根据点到直线的距离，分别作出四位同学经过落地点作起掷线的垂线，再比较长短，即可解答。 【详解】如图所示： 虚线的长度才是四位同学实际的成绩，据此可知明明的成绩最好。 7．钟面上的分针绕中心点顺时针从“12”到“3”旋转了( )度。 【答案】 90 【分析】钟面是一个圆，周角是，钟面上有12个数字，将钟面平均分成12个大格，每个大格对应的圆心角是。分针从“12”到“3”顺时针旋转，经过了3个大格，用每个大格的度数乘大格的数量即可求出旋转的度数。 【详解】钟面一周是，共有12个大格。 每个大格的角度是30度 从“12”到“3”经过的大格数：3个 旋转的角度：（度） 8．钟面上的时间为4时整时，时针与分针的夹角是( )。 【答案】 【分析】钟面是一个圆，周角是360°，被平均分成12个大格，每个大格对应的圆心角是30°。4时整时，分针指向12，时针指向4，时针与分针之间相隔4个大格，根据每个大格的度数乘大格数即可求出夹角。 【详解】360°÷12＝30° 30°×4＝120° 4时整时，时针与分针的夹角是120°。 9．梦梦将两张长方形纸上下摆放，下面一张纸固定不动，上面的一张纸绕A点顺时针方向旋转，她发现在旋转的过程中，∠1和∠2的度数都在变化。当∠1＝20°时，∠2＝70°；那么∠1＝( )°时，∠2＝50°。 【答案】40 【分析】根据图示与已知∠1＝20°时，∠2＝70°，可知∠1与∠2与活动长方形的一个直角合起来是一个180°的平角，已知两个角的度数，求未知角的度数，利用180°减去两个角的度数即可。 【详解】当∠2＝50°时， ∠1＝180°－90°－50°＝90°－50° ＝40° 10．如图所示，可可从家去京剧艺术馆观看演出，第( )条路线最近，理由是( )。 【答案】 ② 两点之间线段最短 【分析】观察三条路线的形状，判断哪条是两点之间的线段。因为两点之间的所有连线中，线段的长度最短，所以对应线段的路线就是最近的。 【详解】把可可家和京剧艺术馆看作两个点，三条路线里，只有路线②是连接这两点的线段，因此第②条路线最近，理由是两点之间线段最短。 11．如图是由三个正方形拼接而成的，已知∠1＝27°，则∠2＝( )°。 【答案】117 【分析】正方形相邻的两条边互相垂直。图中∠1和旁边的锐角合起来是90°，先求出这个锐角；这个锐角又与∠2组成平角，再用180°减去这个锐角求出∠2。 【详解】90°－27°＝63° 180°－63°＝117° 所以∠2＝117°。 12．钟面上分针从数字3刻度位置绕中心点顺时针旋转90°后，指向数字( )刻度位置。 【答案】6 【分析】分针每小时旋转360°，被平均分成了12个大格，先利用除法计算出每大格的度数，再用90°除以每大格的度数，就可以计算出分针走了几个大格，最后用数字3加上大格的数量即可。 【详解】360°÷12＝30°，90°÷30°＝3（个），3＋3＝6，钟面上分针从数字3刻度位置绕中心点顺时针旋转90°后，指向数字6刻度位置。 13．度量一个角，将量角器的中心点对准角的顶点，角的一条边对准刻度线后，角的另一条边对着量角器上的刻度“60”，那么这个角是( )或( )。 【答案】 60 120 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 如果角的两边与量角器上的刻度线重合时读的都是内层或者外层的数据，则这个角为：180°－60°＝120°；如果角的两边与量角器上的刻度线重合时读的数据180°是外层的数据，60°是内层的数据，则要将外层的180°写成对应的是内层数据的0°，60°－0°＝60°。 【详解】如图： 180°－60°＝120° 60°－0°＝60° 14．朱自清的《春》一文中，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看，其实是把雨滴看成点，把雨看成线，说明( )。 【答案】点可以连成线 【分析】点动成线：一个点沿着固定方向持续运动，运动轨迹会形成一条线。 【详解】单个静止雨滴对应几何点，雨滴持续下落运动，无数连续运动的点轨迹汇聚成雨丝（直线），所以，朱自清的《春》一文中，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看，其实是把雨滴看成点，把雨看成线，说明点可以连成线。 15．下面的图形中，( )是线段，( )是直线，( )是锐角，( )是钝角。（填序号） 【答案】 ① ④ ③ ② 【分析】线段：有2个端点，长度固定。直线：没有端点，能向两边无限延长。锐角：用三角板的直角比一比，比直角小的角就是锐角。钝角：用三角板的直角比一比，比直角大的角就是钝角。 【详解】下面的图形中，①是线段，④是直线，③是锐角，②是钝角。（填序号） 16．6时整，钟面上时针与分针所成的角是( )角；9时整，钟面上时针与分针所成的较小的角是( )°。 【答案】 平 90 【分析】钟面一周是360度，被数字1－12平均分成12个大格，每个大格对应的度数是30度。先确定整时时时针和分针的位置，数出中间相隔的大格数，再乘30度求出角度，最后根据角的度数判断角的种类。 【详解】6时整，时针指向6，分针指向12，中间相隔6个大格，形成的角度数是：30×6＝180（度），180度是平角； 9时整，时针指向9，分针指向12，中间相隔3个大格，形成的角度数是：30×3＝90（度）。 17．画一画、量一量。 （1）过P点画直线a的垂线m； （2）过P点画直线a的平行线n； （3）直线a和n之间的距离是（    ）厘米。 【答案】（1）（2） （3）2.5 【分析】（1）将三角尺的一条直角边与直线a重合，沿着直线a移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过点P，沿着经过点P的这条直角边画直线，这条直线就是垂线m。 （2）把三角尺的一条直角边与直线m重合，沿着直线m移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过点P，沿着经过点P的这条直角边画直线，这条直线就是平行线n。 （3）直线a和n之间的距离，就是点P到直线a的垂线段的长度，用直尺测量即可。 【详解】（1）（2）略 （3）测量得出直线a和n之间的距离是2.5厘米。 18．选择合适的方法画出下面的角，并说一说它们分别是哪一种角。 90°            110° 【答案】见详解 【分析】90°角可用三角板的直角直接画出，110°角需用量角器画出。用量角器画角时，要做到量角器的中心和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合。判断角的类型时，要明确各类角的度数范围。 【详解】90°的角为直角；110°＞90°，所以110°的角是钝角。所画角如图所示： 19．如图，一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进河里了。狐狸想尽快上岸，请画出狐狸可以上岸的最短路线。 【答案】见详解 【分析】狐狸要想不被老虎抓住，不能逃向老虎所在的岸边，应向对岸逃去。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此作图。 【详解】作图如下： 20．画一画。 (1)画出射线OM、线段ON、直线MN。 (2)以O为顶点，射线OM为一条边，画一个40°的角。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，从O点出发，向右画一条线，经过M点即可得到射线OM；线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段，连接O点和N点即可得到线段ON；直线没有端点，两点确定一条直线，连接点M和点N，并分别向两边延长即可； （2）画角的步骤是：使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器40°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图即可。 【详解】（1） （2） 或 21．下图中，，，图中直线a与直线b互相垂直吗？请写出理由。 【答案】直线a与直线b互相垂直； 它们的夹角是90°，相交成直角。 【分析】两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。要想确认直线a与直线b是否互相垂直，只需要计算出直线a与直线b的夹角∠3是否是90°即可。看图可知，∠1、∠3和∠2构成了一个平角，平角是180°，用180°减去∠1和∠2的度数即可求得∠3的度数。 【详解】180°－25°－65° ＝155°－65° ＝90° ∠3＝90°，是直角，直线a与直线b互相垂直，因为它们的夹角是90°，相交成直角。 22．如下图，将一张长方形纸折一折，已知∠1＝20°，那么∠2的度数是多少？ 【答案】50° 【分析】将一张长方形纸折一折，已知∠1＝20°，从图中可以看出，折叠前的部分和折叠后形成的角的度数相同，可知∠2＝长方形的一个角减去两个∠1的度数，长方形的四个角都是直角，都是90°，用90°减去两个∠1的度数就是∠2的度数。 【详解】∠2＝90°－20°－20° ＝70°－20° ＝50° 答：∠2的度数是50°。 23．在科技展区展示了机器人和无人机。 (1)机器人能够按照设定的程序自动前进和装卸货物。请你设计一条让机器人从A点走到装货区的最短路线，画在下图中。 (2)一款农业无人机，一分钟能喷洒农药4千克。喷洒完60千克农药，需要几分钟？ 【答案】(1) (2)15分钟 【分析】点到直线的所有线段中，垂直线段最短。机器人从A点走到装货区的最短路线，就是过A点画到装货区的垂直线段。画法：使三角板的一条直角边与装货区的边重合，另一条直角边通过A点，画出垂直线段，这条线段就是最短路线。喷洒完60千克农药需要的时间＝农药的总质量÷每分钟喷洒农药的质量，由此解答题目即可。 【详解】（1）略 （2）（分钟） 答：需要15分钟。 24．已知∠1＝32°，∠2＝38°，求∠3的度数。 【答案】110° 【分析】根据题图可知，∠1、∠2和∠3组成一个平角，则∠3＝180°－∠2－∠1。 【详解】∠3＝180°－∠2－∠1＝180°－38°－32°＝110° 答：∠3的度数是110°。 【点睛】解决此类问题时，要善于利用图中隐藏的特殊角（直角、平角、周角），以及它与各角之间的关系，利用已知角，求出未知角。 25．小阳上学时从家到学校的路线有三条，（如图）哪条路最近？说说你的理由。 【答案】②最近；因为两点之间的连线中线段最短。 【分析】两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段的长度最短，由上图可知②是最近路线。 【详解】①＞②；③＞②； 答：小阳上学时从家到学校的路线有三条，（如图）②最近；因为两点之间的连线中线段最短。 【点睛】本题考查的是两点之间连线哪条最短。 26．求如图中各个角的度数． 如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数； 【答案】∠2=120°；∠3=60°；∠4=120° 【详解】因为∠1=60°， 所以∠2=180°﹣60°=120°， ∠3=180°﹣120°=60°， ∠4=180°﹣60°=120° 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $