第一章 勾股定理 回顾与思考-练习题 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础计算-情境应用-综合探究三层设计，实现从知识理解到能力迁移的巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理直接计算|网格图判断直角三角形、已知两边求第三边，强化概念理解| |中档|实际情境应用|梯子问题、红莲移动等生活案例，培养数学眼光与应用意识| |提高|综合推理与拓展|勾股定理证明、台风影响范围等探究题，发展推理能力与创新思维|

回顾与思考 一、选择题： 1.如图，在的正方形网格中每个小正方形的边长均为，点，，，均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有(    ) 第1-4题图 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是  (    ) A. B. C. D. 3.如图，在边长均为的小正方形组成的网格中，点，都在格点上，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，网格中小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 5.如图，小巷左右两侧是竖起的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为(    ) 第5-8题图 A. B. C. D. 6.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面．若知道红莲移动的水平距离为尺，则此处的水深是(    ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 7.如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，若，，则为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，是上的一点，已知，，，则的长是  (    ) 第9、11、12题图 A. B. C. D. 10.下列选项中，不能判定是直角三角形的是  (    ) A. B. 三个内角的度数之比是 C. D. 三角形的三条边之比是 二、填空题： 11.如图，在中，，，，为上一点，若是的平分线，则          ． 12.如图，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形图是次操作后的图形图是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”若图中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为          ． 13.如图，的两直角边长分别为，以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第个再以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第个以此类推，第个直角三角形的斜边长的平方是          ． 第13、14、15题图 14.长方形零件尺寸单位：如图所示，则两孔中心和的距离为          ． 15.如图，在中，，，，平分交于点，则的长是          ． 如图是一个长方体盒子，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计结头，细线的最短长度为          ． 三、解答题： 16.如图，地面上放着一个小凳子与地面平行，点到墙面墙面与地面垂直的距离为在图中，一木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点处，．求小凳子的高度如图，另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处若，木杆比小凳子的宽长，求小凳子的宽和木杆的长度． 17.某社区在住宅楼和临街的拐角建造了一片绿地阴影部分，如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了求这片绿地的面积． 18.将两个全等的和如图所示摆放，使点，，在同一条直线上，，即可借助此图形来说明请写出说明过程． 19.如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村和李村送水，已知张村、李村到河边的距离分别为和，且两村庄相距．水泵站应建在什么地方，可使所用的水管最短请在图中设计出水泵站的位置如果铺设水管的工程费用为每千米元，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元． 20.如图，在四边形中，，，求证：． 如图，在中，，于点，点在边上，且，分别交，于点，． 如图，若，，求的长 如图，若，求证：． 21.葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如图，若树干的周长即底面圆的周长为，从点绕一圈到点，葛藤升高，则它爬行的路程是多少厘米？若树干的周长即底面圆的周长为，绕一圈爬行，则爬行一圈升高多少厘米？若爬行圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 22.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，已知，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． 的度数为          ； 海港受台风影响吗？为什么？ 若台风的速度为，当台风中心运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风中心运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 23.如图，一架梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的顶端距地面，梯子的长度比梯子底端离墙角的距离多． 这个梯子的底端离墙角有多远？如图，如果梯子的顶端下滑到达处，那么梯子的底端在水平方向滑动           答案和解析 1. 2. 【解析】解：因为，，，   所以，   所以正方形的面积  故选C． 3. 4. 5. 【解析】如图，由题意可知，，，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得，，小巷的宽为． 6. 【解析】【分析】 本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可． 【解答】 解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深尺，由题意得： 中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 故选C． 7. 8. 【解析】【分析】 东北方向和东南方向的夹角刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【解答】 解： 在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地， ， ， ，， ． 故选B． 9. 10. 11. 【解析】如图，过点作于点， 是的平分线，，， ， 在和中， ≌，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ，解得，． 12. 【解析】根据勾股定理易得题图中所有正方形的面积和为，经过第次操作后增加的个小正方形的面积和为，所以次操作后所有正方形的面积和；经过第次操作后增加的个小正方形的面积和也为，所以次操作后所有正方形的面积和，，可推断次操作后所有正方形的面积和． 13. 14. 15.【小题】【小题】 16.【小题】 【小题】小凳子的宽为，木杆的长度为   17.  18.解：如图，连接． 因为，  所以  因为，所以，所以，则，  则梯形，  所以，  即，  所以，所以．  19.【小题】解：如图所示，作关于的对称点，再连接，与的交点为，点即为水泵站的位置； 【小题】元 20.【小题】【证明】连接图略． ， ． ， ， ． ，， ，，． 【小题】【解】，，． ，． 在中，， ，． 在中，， 是等腰直角三角形， ，． 【证明】如图，在上取一点，使，连接，． 由可得，， ． 在和中， ， ，， ，． ，，， ，， ． 在中，由勾股定理，得， ．   21.【小题】 解：若树干的周长为，绕一圈升高，则路程的平方，  即葛藤绕树爬行的最短路程为． 【小题】 若树干的周长为，绕一圈爬行，则高度，  即爬行一圈升高厘米．  若爬行圈到达树顶，则树干高为． 22.【小题】  【小题】海港受台风影响．  理由：过点作于点  因为是直角三角形，  所以  所以  因为以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域，  所以海港受台风影响． 【小题】因为，，  所以  在中，，  所以  所以所以  因为台风的速度为，  所以  所以台风影响该海港持续的时间为． 【解析】 因为，，，  所以  所以是直角三角形，且  所以的度数为． 23.【小题】解：根据题意，得，． 设，则． 在中，， 由勾股定理，得， 即解得． 答：这个梯子的底端离墙角有远． 【小题】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $