第一章 勾股定理高频易错题（单元达标检测）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元达标检测，聚焦高频易错题，通过生活情境（广场捷径、渔船航行）、文化素材（《九章算术》问题）及综合应用（最短路径、面积计算），考查几何直观、应用意识与推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|直角三角形判定、实际距离计算|结合校园（操场树木）、生活（货车卸货）场景，基础巩固| |填空题|8题|勾股定理应用、传统文化问题|含《九章算术》折竹抵地、芦苇问题，文化传承| |解答题|7题|综合计算（面积、高度）、最短路径、剪拼探究|分层设计，从基础计算到创新剪拼，提升推理与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一章 勾股定理高频易错题（单元达标检测） 一、选择题 1．如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 4．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 5．下列线段，，首尾相连不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 7．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 9．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 10．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 二、填空题 11．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    12．如图，在三角形支架中，，垂足为，，，，则的长为_______． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． 14．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 15．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 16．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 17．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 18．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 三、解答题 19．如图，在中，为边上的高，已知，，，求，的长． 20．某中学A，B两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地ABCD，学校计划在空地上种花草，经测量，米，米，米，米，若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元购买花草？ 21．某社区计划对一处地块进行绿化改造，如图，已知．规划在地块内设置休闲区，其中区域作为活动空间，测得． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求阴影绿化区域的面积． 22．如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光． （1）一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度； （2）一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 23．小明在测量风筝离地面的垂直高度时，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②风筝线的长为15米；③小明牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.6米． （1）求风筝到地面的距离的长； （2）如果小明想要风筝沿方向再上升7米，且和的长度不变，求他应该再放出多少米线． 24．某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． （1）如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ （2）如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 25．数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 （1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则 ． 【拓展迁移】 （2）如图2，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ① ， ； ②求正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一章 勾股定理高频易错题（单元达标检测） 参考答案 1．C 【分析】设，则，然后利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：设，则， ∵于点， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． 2．A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 3．A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高14米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选：B． 5．D 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，找出最长边后，计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方比较，不相等的即为不能构成直角三角形的选项． 【详解】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不能构成直角三角形。 A选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； B选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； C选项，最长边为 ， ，能构成直角三角形； D选项，最长边为 ， ，不能构成直角三角形． 6．B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． 7．A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 8．C 【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即弯折点与地面的距离为． 9．D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 10．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 11． 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 12． 【分析】先推导出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．10 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：， ， ， ， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 14． 【分析】证明是直角三角形，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴． 15．24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 16．13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 17．30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 18．12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 19．， 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为边上的高， ∴， 在中，， 在中，． 20．学校共需投入28080元购买花草. 【分析】连接，利用勾股定理及其逆定理，得到，分隔法求出四边形的面积，再乘以单价，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵，米，米， ∴米， ∵米，米， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（平方米）； ∴（元）； 答：学校共需投入28080元购买花草. 21．（1）是直角三角形，理由如下： ， ， ， 是直角三角形． （2） 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，再由阴影部分的面积是，即可得到答案． 【详解】（1）解：略； （2）解：在中，， 由勾股定理，得， ． 22．（1）米 （2）解：设身高米的人头顶为，此时水平距离米， 垂直距离：米， 在中，根据勾股定理：， 因为， 可得米， 即人到的距离超过米， 因此结论：灯不会发光． 【分析】（）通过构造矩形得到水平距离和对应高度差，再在直角三角形中利用勾股定理求出传感器到人的垂直高度，最后加上人的身高得到传感器离地面的总高度； （）先算出传感器到人的垂直高度差，再结合水平距离用勾股定理求人与传感器的直线距离，将该距离与米比较，判断灯是否发光． 【详解】（1）解：过人的头顶作于， 由题意可知四边形是矩形， ∴，，灯刚好发光时， 在中，根据勾股定理：米， 因此传感器离地面的高度：米； （2）略 23．（1）风筝到地面的距离的长为10.6米 （2）需要再放出的线长为5米 【分析】（1）得出米，再由勾股定理可得米，即可得出结果； （2）风筝上升7米后，新的垂直高度米，米不变，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，，，米， 根据勾股定理得（米）， （米）， 答：风筝到地面的距离的长为10.6米； （2）解：风筝上升7米后，新的垂直高度米，米不变． 在中，根据勾股定理得（米）， 需要再放出的线长为（米）． 24．（1）基地E距A为 （2）基地E距A为，图见解析，的最小值为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可； （2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值为的值，即的长，过点作于点，交于点，过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，，证明，得到，从而求出，再过点作，交的延长线于点F，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 25．（1） （2）①，；②正方形的边长是 【分析】（1）由勾股定理求出的长，由正方形的性质可得出答案； （2）由全等三角形的性质及正方形的性质可得出答案； 由勾股定理得出，设 ，则，求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵长方形纸片可看作由个全等的小正方形组成，是的中点， ∴， ∴， ∵拼接成一个大正方形纸片， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ②由①可知，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴ ， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 学科网（北京）股份有限公司 $