第03讲 集合的运算（知识清单+11题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

第03讲 集合的运算 内容预览 知识清单 知识点01：交集及其性质 2 知识点02：并集及其性质 2 知识点03：全集、补集及其性质 3 题型归纳 题型01 交集的概念及运算 4 题型02 根据交集结果求集合或参数 4 题型03 并集的概念及运算 5 题型04 根据并集结果求集合或参数 5 题型05 根据交集、并集结果求集合元素个数 6 题型06 补集的概念及运算 6 题型07 根据补集运算确定集合或参数 7 题型08 交并补混合运算 7 题型09 根据交并补混合运算确定集合或参数 8 题型10 利用Venn图求集合 9 题型11 容斥原理的应用 10 强化训练 11 知识清单 知识点01：交集及其性质 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点02：并集及其性质 1.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 知识点03：全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 题型讲解 题型01 交集的概念及运算 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，则 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，是3的倍数，则可用列举法表示为 ． 【变式4】（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则 ． 题型02 根据交集结果求集合或参数 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）设集合，，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，若，则实数 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型03 并集的概念及运算 【例3】（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合，，则 ． 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合，，则 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 题型04 根据并集结果求集合或参数 【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，则集合B的个数为 . 【变式4】（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，若，则 题型05 根据交集、并集结果求集合元素个数 【例5】（22-23高一上·上海普陀·期末）设为常数，集合，集合，则的元素个数为 ． 【变式1】已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有 个 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 题型06 补集的概念及运算 【例6】（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，则 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集为，集合，则 . 【变式3】（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，，若，则a的取值范围为 【变式4】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 题型07 根据补集运算确定集合或参数 【例7】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，，则 . 【变式1】（23-24高一上·上海·阶段练习）若全集，，，求实数的值. 【变式2】（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 题型08 交并补混合运算 【例8】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，则 ． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，全集，集合，，若，求的值. 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，方程的解集是，集合，.求，，. 题型09 根据交并补混合运算确定集合或参数 【例9】（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 题型10 利用Venn图求集合 【例10】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 【变式1】（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，，，，则集合 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·开学考试）设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为 . 【变式4】（24-25高一上·上海·期中）集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    题型11 容斥原理的应用 【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A与集合B的元素个数之和为m个，中有n个元素，若，则的元素个数为（    ） A．mn B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）某校高中一年级学生中，参加数学兴趣小组的有85人，参加物理小组的有80人.其中既参加数学小组又参加物理小组的有35人，两个小组都不参加的有入160，则该校一年级共有 名学生. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人有且仅报了两个项目，则有且仅报了三个项目的共 人. 【变式3】（24-25高一上·上海·开学考试）某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购 张车票. 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）如图，表示全集，、是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）若全集，，，则（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合，则满足的集合S共有（    ）个 A．3 B．4 C．7 D．8 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，集合，则总与相同的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）判断下列命题为真命题的个数（   ） ①0是的真子集； ②； ③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，求 ． 10．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）全集为，，，则 . 11．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 12．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知全集为，集合，，则 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）2024年上南中学学生运动会，某班45名学生中有三分之一的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，田赛的有16人，径赛的有20人，则田赛和径赛都参加的学生人数为 . 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知为一个确定区间，且，，若，则a的取值范围为 15．（24-25高一上·上海静安·开学考试）如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是 （请用各集合的交，并，补表示） 16．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为 17．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为 . 三、解答题 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，． (1)求； (2)求． 19．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，已知集合，. (1)若，求a的值； (2)若，求a的取值范围. 21．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)当时，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 23．（24-25高一上·上海·期中）已知非空实数集满足：若，则;若，则. (1)若，直接写出中一定包含的元素； (2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求； (3)若由2024个元素组成，求的元素个数的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的运算 内容预览 知识清单 知识点01：交集及其性质 2 知识点02：并集及其性质 2 知识点03：全集、补集及其性质 3 题型归纳 题型01 交集的概念及运算 4 题型02 根据交集结果求集合或参数 6 题型03 并集的概念及运算 9 题型04 根据并集结果求集合或参数 10 题型05 根据交集、并集结果求集合元素个数 13 题型06 补集的概念及运算 14 题型07 根据补集运算确定集合或参数 17 题型08 交并补混合运算 19 题型09 根据交并补混合运算确定集合或参数 21 题型10 利用Venn图求集合 24 题型11 容斥原理的应用 27 强化训练 29 知识清单 知识点01：交集及其性质 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点02：并集及其性质 1.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 知识点03：全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 题型讲解 题型01 交集的概念及运算 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合交集运算的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由集合交集可得答案. 【详解】由交集定义，结合，则. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，是3的倍数，则可用列举法表示为 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【分析】根据题意可得，再结合交集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 且是3的倍数，所以. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集的运算法则运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 题型02 根据交集结果求集合或参数 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）设集合，，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 又，结合数轴分析可得， 所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，若，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的性质得，由此求得，并检验满足题意． 【详解】，则，所以，，此时满足题意． 故答案为：． 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 题型03 并集的概念及运算 【例3】（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合，，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义直接求解即可 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则 . 【答案】2 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由题意可得，可求. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合，，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用并集的定义，直接运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】（1）列举集合的元素，再求解并集； （2）（3）根据集合的特征，结合并集的定义，即可求解. 【详解】（1），所以; （2），， 则； （3）集合，或， 所以 故答案为：；；R 题型04 根据并集结果求集合或参数 【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合并集的定义即可求. 【详解】因为，， 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】因为，，， 所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，则集合B的个数为 . 【答案】8 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据并集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件，利用并集的结果可得集合是集合与的某个子集的并集得解. 【详解】由集合，得， 因此集合是集合与的某个子集的并集，而有个子集， 所以集合B的个数为8. 故答案为：8 【变式4】（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，若，则 【答案】1或2 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】讨论集合B中的元素，根据可得解. 【详解】因为， ， 当时，，此时，，满足题意， 当时，，由可得，即. 综上，1或2. 故答案为：1或2. 题型05 根据交集、并集结果求集合元素个数 【例5】（22-23高一上·上海普陀·期末）设为常数，集合，集合，则的元素个数为 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合元素个数 【分析】由交集定义可确定，由此可得元素个数. 【详解】，的元素个数为. 故答案为：. 【变式1】已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 【答案】16 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据并集结果求集合元素个数 【分析】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 故答案为：16 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有 个 【答案】32 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合元素个数 【分析】根据集合的交、并运算得出，再由子集个数计算公式得解. 【详解】因为，，集合M满足 所以，则这样的集合M共有个. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 【答案】41 【知识点】根据并集结果求集合元素个数 【分析】由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案. 【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 题型06 补集的概念及运算 【例6】（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】应用集合的补运算求集合. 【详解】由全集，且，则. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，则 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】先求,再根据交集的定义计算可得. 【详解】由题，， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集为，集合，则 . 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义运算即可. 【详解】因为，全集为，根据补集的定义可知. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，，若，则a的取值范围为 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】由集合的补集及并集运算即可求解. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 所以， 故答案为： 【变式4】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】（1）根据集合间的基本关系可得，对集合是否为空集进行分类讨论即可求得实数的取值范围； （2）由中只有一个整数可得，限定出与的范围即可求得结果. 【详解】（1）集合， 由可得； ①当时，，解得，符合要求； ②当时，需满足，解得； 综上，实数m的取值范围是 （2）由集合可得或； 若中只有一个整数，则必有，即，可得； 且，解得，即； 因此实数的取值范围是. 题型07 根据补集运算确定集合或参数 【例7】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据集合的交集运算和补集运算求解即可. 【详解】因为集合，，所以， 又全集，所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·上海·阶段练习）若全集，，，求实数的值. 【答案】 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】利用可得答案. 【详解】因为，， 所以， 解得，或， 当时，，，不是的子集， 不成立，所以； 当时，，，，成立； 所以. 【变式2】（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求； （2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a 【详解】（1），，由得， 当，则； 当，则； 当，则. 综上可得实数a组成的集合为； （2）由全集为A，，即得， ∴，∴，∴. 综上， 题型08 交并补混合运算 【例8】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，则 ． 【答案】． 【知识点】交并补混合运算 【分析】结合交集、补集的定义，即可求解． 【详解】全集，， 则， 集合， 则． 故答案为：． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据并集、补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，全集，集合，，若，求的值. 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】首先得到计算出，然后再根据补集的概念得出计算出. 【详解】，所以且，所以， 把代入到集合中，则集合， 所以，即，所以，把代入集合， 则集合，符合， 所以符合题意， 综上，，. 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，方程的解集是，集合，.求，，. 【答案】； 【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】由方程的根求出得出集合，再由集合的交并补运算求解即可. 【详解】因为方程的解集是， 所以由根与系数的关系可得， 故，， 所以，， 又， 所以. 题型09 根据交并补混合运算确定集合或参数 【例9】（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且且且 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解； （2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 则是方程的根， 所以，，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）对于方程，， 因为全集为，，则，分以下几种情况讨论： 当时，则，可得，此时，，合乎题意； 当时，则，可得， 因为，则、都不是方程的根， 所以，， 解得且且且， 此时，或或或. 综上所述，实数的取值范围是且且且. 题型10 利用Venn图求集合 【例10】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图及集合交、补运算求集合即可. 【详解】由题图知：阴影部分为，而或， 所以. 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案． 【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，，，，则集合 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据条件，用列举法表示全集，借助韦恩图，结合条件，即可求解. 【详解】因为，即， 又，，， 由图可知， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·开学考试）设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为 . 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算 【分析】根据阴影部分进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】阴影部分表示， 若，真子集有个. 若，真子集有个. 所以真子集个数的最大值与最小值的差为. 故答案为： 【变式4】（24-25高一上·上海·期中）集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【答案】（表示不唯一，可写成） 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据给定条件，利用韦恩图阴影部分表示的集合意义列出表达式. 【详解】观察韦恩图知，阴影部分是与的公共部分同与的公共部分，两部分合并在一起而得， 所以阴影所代表的集合是（也可表示为）. 故答案为： 题型11 容斥原理的应用 【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A与集合B的元素个数之和为m个，中有n个元素，若，则的元素个数为（    ） A．mn B． C． D． 【答案】D 【知识点】容斥原理的应用 【分析】由公式可得. 【详解】由题知， 所以. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）某校高中一年级学生中，参加数学兴趣小组的有85人，参加物理小组的有80人.其中既参加数学小组又参加物理小组的有35人，两个小组都不参加的有入160，则该校一年级共有 名学生. 【答案】290 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据给定条件，利用集合的容斥原理，列式计算得答案. 【详解】依题意，至少参加一个兴趣小组的人数为， 而两个小组都不参加的有入160，所以该校一年级共有（名）. 故答案为：290 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人有且仅报了两个项目，则有且仅报了三个项目的共 人. 【答案】 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据重复计算的数量来计算出正确答案. 【详解】依题意可知，有且仅报了三个项目的有人. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·开学考试）某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购 张车票. 【答案】27 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据韦恩图，即可求解总人数. 【详解】由题意可得韦恩图，如图所示， 参加数理化竞赛的学生有人， 所以需预购27张车票.    故答案为：27 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）如图，表示全集，、是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据补集、交集的定义判断即可. 【详解】依题意图中阴影部分表示集合的补集与集合的交集，即. 故选：A 2．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由集合的并集以及整数集，可得答案. 【详解】由题意可得，，则，，所以. 故选：C. 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）若全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算 【分析】化简A集合，结合集合的子交并补的运算即可. 【详解】由，则，，所以，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 故选：C 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知集合，则满足的集合S共有（    ）个 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【分析】先求出集合，进而求得，，进而根据集合间的包含关系求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以满足条件的集合为：，，，，，， ，，共8个. 故选：D. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先对集合进行化简，然后再求交集即可. 【详解】由题，， 则. 故选：C. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，集合，则总与相同的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合、交并补混合运算 【分析】分和进行分类讨论，确定集合具体元素，再结合选项进行判断即可. 【详解】若时，集合， 若时，集合 对于选项A，C表示含有两个元素的集合，因此A，C不符合； 对于选项B，当时，，当时，集合，因此B符合； 对于选项D，例如，则，此时与集合不相同，因此D不符合， 故选：B. 7．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）判断下列命题为真命题的个数（   ） ①0是的真子集； ②； ③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】对①，根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断；对②，根据交集，并集运算，真子集的关系判断；对③，根据子集的定义判断；对④，设，，讨论，求解判断. 【详解】对于①，因为0是集合中的元素，所以，故①错误； 对于②，当时，，此时不是的真子集，故②错误； 对于③，当时，，且，故③错误； 对于④，，当，时，则除以4的余数为0， 当时，则除以4的余数为1， 综上，除以4的余数为0或1，故④正确. 所以真命题个数为1. 故选：B. 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合新定义 【分析】对的元素个数进行分类讨论，列举出集合、，即可得出结果. 【详解】由题意可知，，，分以下几种情况讨论： （1），则，只有种情况； （2）当有个元素，有种情况，如时， 因为为“好集”，有种情况：，；、. 此时，共有种情况； （3）当有个元素时，则或或 ， 如，因为为“好集”，有以下种情况： ，；，； ，；，. 此时，共有种情况； （4）当有个元素时，则， 因为为“好集”，有以下种情况： ，；，； ，；，； ，；，； ，；，. 综上所述，所有“好集”的个数为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是对集合的元素个数进行分类讨论，并列举出符合条件的集合、. 二、填空题 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，求 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】解方程组，可得交集的元素. 【详解】集合，集合， ∴. 故答案为：． 10．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）全集为，，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据集合的运算求解. 【详解】，，， ， . 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 12．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知全集为，集合，，则 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】确定，再计算交集得到答案. 【详解】，，则，. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）2024年上南中学学生运动会，某班45名学生中有三分之一的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，田赛的有16人，径赛的有20人，则田赛和径赛都参加的学生人数为 . 【答案】6 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合的并集运算可得解. 【详解】没有参赛学生有人，故共有人参加比赛， 其中参加田赛的有16人，径赛的有20人，所以共有人田赛和径赛都参加. 故答案为：6 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知为一个确定区间，且，，若，则a的取值范围为 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据区间可得，分析可知，进而代入检验即可． 【详解】由区间可知：，解得， 则，可知， 满足，所以的取值范围为． 故答案为：． 15．（24-25高一上·上海静安·开学考试）如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是 （请用各集合的交，并，补表示） 【答案】 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】利用交集和补集的定义表示阴影部分所表示的集合. 【详解】由图可知，阴影部分的元素满足的条件是： 在集合中，但不在集合中， 所以可以表示为：. 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为 【答案】16 【知识点】容斥原理的应用 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 17．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为 . 【答案】或或 【知识点】集合新定义 【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得. 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或, 故答案为：或或 【点睛】思路点睛：解决集合新定义问题，要合理利用集合的性质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 三、解答题 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）根据集合交运算即可求解； （2）根据集合并运算即可求解. 【详解】（1）集合，， 则. （2）集合，， 则. 19．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）分析得出，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）分析得出，分和两种情况结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1）集合，， 若，则， 有，解得， 所以实数的取值范围为. （2）集合，， 若，则， 当，即时，，符合题意； 当时，有，解得， 所以实数的取值范围为. （3）集合，，若， 当，即时，，符合题意； 当时，有或，解得， 所以实数的取值范围. 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，已知集合，. (1)若，求a的值； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由，分类讨论求解参数的值即可； （2）解出集合，由可知，求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）， ∴或， 当时，，不符合，舍去， 当时，，，符合题意， 则. （2）或， ∵， ∴， ∴. 21．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）求出，当时，求出集合，利用交集运算可得出集合； （2）由已知条件可得，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，则或， 当时，，此时，. （2）解：因为，则. 当时，，解得； 当时，由，可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 22．（24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求出集合B，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）由题设得，分和两种情况分析计算即可得解. 【详解】（1）若，则， 所以，. （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则. 综上，实数a的取值范围为. 23．（24-25高一上·上海·期中）已知非空实数集满足：若，则;若，则. (1)若，直接写出中一定包含的元素； (2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求； (3)若由2024个元素组成，求的元素个数的最大值. 【答案】(1); (2); (3)674 【知识点】集合新定义 【分析】（1）由数集的属性求出中一定包含的元素； （2）令，求出中的3个元素，进而求出值，得数集； （3）求出数集中元素组成形式，结合元素循环的最小正周期，再分类讨论求出的元素个数的最大值. 【详解】（1）由题意可得：，则，于是，则， 则，则，则， 所以中一定包含的元素为. （2）因为，则, 令，则,,, 因为，，，可都化为， 因为，故无解， 故为中的三个元素， 因为所有元素之和为，所以， 整理得：，即， 解得或或， 所以. （3）当，则，，，， 而无解，所以，，，均无解. 所以数集以形式出现,4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，, 而数集以形式出现,3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，, 于是数集,的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当时，， 而4和3互素，因此数集,中各组最多只能有1个公共元素， 设集合中共有个元素，满足是4的整数倍，其中有个元素在中，满足， 由同一周期内元素不相等，得这个元素在集合中归属于不同组内，则集合中有个元素，同时在内还有个元素，并满足是3的整数倍，， 显然， 解得，当时，符合条件的整数， 所以的元素个数的最大值是674个. 【点睛】关键点点睛：解析第3问的关键是确定集合中元素的构成以及元素的个数表达式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$