5.2.2同角三角函数的基本关系同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A级基础巩固、B级能力提升、C级创新探究的三层设计，构建从单一知识点应用到跨情境综合探究的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|同角三角函数基本关系（平方、商数关系）的直接应用|以选择、填空、证明题为主，如已知cosα求sinα、化简根式，强化运算能力与推理意识| |B级|基本关系与方程、三角形、象限角的综合应用|设置三角形内角判断、方程根与三角函数结合题，培养抽象能力与问题解决能力| |C级|跨知识整合（方程根与三角函数性质）|设计存在性探究题，提升创新意识与理性精神，实现从知识到素养的进阶|

培优专题　同角三角函数的基本关系 A级　必备知识基础练 1.(2026北京师范大学附中期中)若α为第四象限角,且cos α=,则sin α=(　　) A.- B.- C. D. 2.化简的结果是(　　) A.cos 160° B.±|cos 160°| C.±cos 160° D.-cos 160° 3.(2026湖南娄底期中)若tan θ=2 025,则=(　　) A. B.2 C.2 023 D.2 025 4.已知tan α=-1,则2sin2α-3cos2α=(　　) A.- B.- C. D. 5.已知tan α=,α∈(π,),则cos α=　　　　　.  6.若sin θ-cos θ=,则tan θ+=　　　　　.  7.已知α为第二象限角,则cos α·+sin α=　　　　　.  8.求证: (1)1+tan2α=; (2)2cos2θ+sin4θ=cos4θ+1; (3)tan2αsin2α=tan2α-sin2α. 9.已知α是第二象限角,sin α=, (1)求cos α,tan α的值; (2)求的值. B级　关键能力提升练 10.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,那么这个三角形的形状为(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 11.已知θ是第一象限角,tan θ,cos θ是方程2x2+ax+=0的两根,则a=(　　) A.2-1 B.-1-2 C.-2 D.2- 12.(2026河北保定期中)已知<α<π,tan α=-,则=(　　) A.1+ B.3- C.1- D.1- 13.若α∈[0,2π),且=sin α-cos α,则角α的取值范围是(　　) A.[0,] B.[,π] C.[π,] D.[,2π) 14.化简cos α+sin α(π<α<)得(　　) A.-sin α-cos α-2 B.2-sin α-cos α C.sin α-cos α D.cos α-sin α 15.若α∈(0,π),且sin α-cos α=sin αcos α,则sin α-cos α=(　　) A.-1+ B.-+1 C.-±1 D.-1± 16.已知A,B是两个锐角,且满足sin2A+cos2B=t,cos2A+sin2B=t2,则实数t=　　　　　.  17.已知cos(α+)=,0<α<,则sin(α+)=　　　　　.  18.若cos α+2sin α=-,则tan α=　　　　.  19.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π). (1)求sin θcos θ的值; (2)求sin3θ+cos3θ的值; (3)求sin4θ-cos4θ的值. C级　学科素养创新练 20.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根?若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由. 答案 1.A　因为α为第四象限角,且cos α=,所以sin α=-=-.故选A. 2.D　=|cos 160°|=-cos 160°. 3.A　.故选A. 4.B　因为tan α=-1,所以cos α≠0, 则2sin2α-3cos2α==-. 故选B. 5.-　因为tan α=,所以sin α=cos α, 又sin2α+cos2α=1,所以(cos α)2+cos2α=1, 所以cos2α=. 因为α∈(π,),所以cos α=-. 6.-2　由已知得(sin θ-cos θ)2=2, 所以sin θcos θ=-, 所以tan θ+=-2. 7.0　由题可知cos α≠0,sin α≠0, 所以原式=cos α+sin α=cos α+sin α. 因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0, 所以cos α+sin α=-1+1=0. 8.证明 (1)1+tan2α=1+. (2)因为2cos2θ+sin4θ-(cos4θ+1)=2cos2θ-1+(sin2θ+cos2θ)(sin2θ-cos2θ)=2cos2θ-1+sin2θ-cos2θ=cos2θ+sin2θ-1=0, 所以2cos2θ+sin4θ=cos4θ+1. (3)右边=tan2α-sin2α=-sin2α=sin2α(-1)=sin2α·=sin2α·=sin2α·tan2α=左边. 9.解 (1)因为α是第二象限角,sin α=, 所以cos α=-=-,tan α==-. (2)=, 因为tan α=-,所以. 10.B　∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,∴sin αcos α=-<0. 又α是三角形的一个内角,∴α∈.∴三角形为钝角三角形. 11.B　因为tan θ,cos θ是方程2x2+ax+=0的两根,则又因为θ是第一象限角,不妨设θ=+2kπ(k∈Z),故tan θ+cos θ==-,故a=-1-2.故选B. 12.A　由<α<π,知sin α>0,cos α<0,由题意tan α==-,即sin α=-cos α,由sin2α+cos2α=1,得sin α=,cos α=-,所以=1+sin α=1+.故选A. 13.B　由已知=|sin α|+|cos α|=sin α-cos α,∴sin α≥0,cos α≤0.又α∈[0,2π),∴α∈. 14.A　∵π<α<,∴-1<sin α<0,-1<cos α<0, ∴cos α+sin α =cos α+sin α =cos α+sin α =cos α·+sin α· =-sin α-1-cos α-1 =-sin α-cos α-2. 故选A. 15.A　∵sin α-cos α=sin αcos α,∴(sin α-cos α)2=(sin αcos α)2,∴1-2sin αcos α=sin2αcos2α, ∴sin2αcos2α+2sin αcos α+1=2,∴(sin αcos α+1)2=2, 又sin αcos α+1≥0,∴sin αcos α+1=,∴sin αcos α=-1,∴sin α-cos α=-1.故选A. 16.1　由已知t>0,且sin2A+cos2B+cos2A+sin2B=t+t2=2,则3t2+5t-8=0,解得t=-(舍去)或t=1. 17.　∵sin2+cos2=1, ∴sin2=1-. ∵0<α<,∴<α+, ∴sin. 18.2　解 析 由已知得(cos α+2sin α)2=5, 则=5, 化简得tan2α-4tan α+4=0,解得tan α=2. 19.解 (1)∵sin θ+cos θ=, ∴(sin θ+cos θ)2=, ∴1+2sin θcos θ=, ∴sin θcos θ=-. (2)sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ)=×(1+)=. (3)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-2×(-)=. ∵θ∈(0,π),∴sin θ>0, 又sin θcos θ=-<0, ∴cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0, ∴sin θ-cos θ=, ∴sin4θ-cos4θ=(sin2θ+cos2θ)(sin2θ-cos2θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=. 20.解 假设存在实数m满足条件,则由题设得Δ=36m2-32(2m+1)≥0. ① ∵α为第三象限角,∴sin α<0,cos α<0, ∴sin α+cos α=-m<0, ② sin αcos α=>0. ③ 又sin2α+cos2α=1,∴(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1. 把②③代入上式得-2×=1, 即9m2-8m-20=0,解得m1=2,m2=-. ∵m1=2不满足条件①,舍去; m2=-不满足条件②③,舍去. 故满足题意的实数m不存在. 7 学科网（北京）股份有限公司 $