5.2.2 同角三角函数的基本关系 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦同角三角函数基本关系，通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，实现从公式应用到推理创新的递进，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用|选择题1-5直接考查sin、cos、tan关系，强化运算能力| |中档|公式综合与象限角|填空题10-12结合三角形内角等情境，培养推理意识| |提升|综合应用与探究|解答题13-16含证明、方程思想及规律探究，发展创新意识|

5.2.2 同角三角函数的基本关系 1. 已知sin α＝－，且＜α＜2π，则tan α的值为 (　 　) A. － B. － C. － D. －2 2. 已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于 (　 　) A. － B. － C. － D. － 3. (2024·广东韶关实验中学高一检测)若tan α＝3，则2sin αcos α等于(　 　) A. ± B. － C. D. 4. 已知，则等于(　 　) A. B. － C. 2 D. －2 5. 设α是第二象限角，则·等于(　 　) A. 1 B. tan2α C. －tan2α D. －1 6. 若α∈(0，π)，2sin α＋cos α＝，则tan α等于(　 　) A. － B. － C. － D. － 7. 若＜α＜π，则化简的结果是(　 　) A. －2tan α B. 2tan α C. D. － 8. (多选)的值可能为(　 　) A. 0 B. 1 C. －3 D. 3 9. (多选)已知θ∈(0， π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论中，正确的有(　 　) A. θ∈ B. cos θ＝－ C. tan θ＝－ D. sin θ－cos θ＝ 10. 已知cos，0＜α＜，则sin＝ 　.  11. 若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ＝　 　.  12. 已知α是△ABC的内角，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为　 .  13. 已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，α∈.求： (1)tan α； (2). 14. 证明：1－＋tan α. 15. 已知sin α，cos α是关于x的方程x2＋ax－a＝0(a∈R)的两个实根，则a的值是(　 　) A. －1± B. 1± C. －1 D. 1－ 16. (1)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现? (2)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现? (3)证明：∀x∈R，cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x； (4)推测对于∀x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2 同角三角函数的基本关系 1. 已知sin α＝－，且＜α＜2π，则tan α的值为 (　B　) A. － B. － C. － D. －2 【解析】由sin α＝－＜α＜2π，可知cos α＝，则tan α＝＝－. 2. 已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于 (　C　) A. － B. － C. － D. － 【解析】∵α是第二象限角，∴cos α＜0.又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，∴cos α＝－. 3. (2024·广东韶关实验中学高一检测)若tan α＝3，则2sin αcos α等于(　C　) A. ± B. － C. D. 【解析】∵tan α＝3，∴2sin αcos α＝. 4. 已知，则等于(　B　) A. B. － C. 2 D. －2 【解析】由1－sin2x＝cos2x，可得＝－＝－. 5. 设α是第二象限角，则·等于(　D　) A. 1 B. tan2α C. －tan2α D. －1 【解析】由题意可得··× ×，由于α是第二象限角，故原式＝××＝－1. 6. 若α∈(0，π)，2sin α＋cos α＝，则tan α等于(　C　) A. － B. － C. － D. － 【解析】由2sin α＋cos α＝得cos α＝－2sin α，∴sin2α＋cos2α＝sin2α＋ ＝5sin2α－sin α＋＝1，解得sin α＝，或sin α＝－，又 α∈(0，π)，∴sin α＞0，即sin α＝，∴cos α＝＝－，∴tan α＝＝－. 7. 若＜α＜π，则化简的结果是(　A　) A. －2tan α B. 2tan α C. D. － 【解析】∵＜α＜π，∴cos α＜0， 则－ ＝－＝ －＝－2tan α. 8. (多选)的值可能为(　BCD　) A. 0 B. 1 C. －3 D. 3 【解析】令f(x)＝，当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f(x)＝2＋1＝3，当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f(x)＝2－1＝1，当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f(x)＝－2－1＝－3，当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f(x)＝－2＋1＝－1. 9. (多选)已知θ∈(0， π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论中，正确的有(　ABD　) A. θ∈ B. cos θ＝－ C. tan θ＝－ D. sin θ－cos θ＝ 【解析】由题知sin θ＋cos θ＝①，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， ∴2sin θcos θ＝－＜0.又θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，sin θ－cos θ＞0. ∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－，∴sin θ－cos θ＝②. 联立①②，得∴tan θ＝－. 10. 已知cos，0＜α＜，则sin＝ 　.  【解析】∵sin2＋cos2＝1，∴sin2＝1－cos2＝ 1－.∵0＜α＜，∴＜α＋，∴sin＞0，则sin. 11. 若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ＝　1或2　.  【解析】由1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sin θ·cos θ， 显然cos θ≠0，sin θ≠0，∴tan2θ＋2＝3tan θ，解得tan θ＝1或2. 12. 已知α是△ABC的内角，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为 　.  【解析】sin α＋cos α＝的两边同时平方，可得1＋2sin αcos α＝， 则2sin αcos α＝－＜0.∵α是△ABC的内角，∴sin α＞0，∴cos α＜0， ∴sin α－cos α＝. 13. 已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，α∈.求： (1)tan α； (2). 解：(1)∵2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝ ＝1，∴4tan2α－3tan α－1＝0， 解得tan α＝－，或tan α＝1.∵α∈，∴tan α＜0，∴tan α＝－. (2)原式＝. 14. 证明：1－＋tan α. 证明：化简得，要证，只需证 cos α(sin α－cos α＋1)＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，即证sin αcos α－cos2α＋ cos α＝sin α＋cos α－1＋sin2α＋sin αcos α－sin α，即证sin2α＋cos2α＝1，此式显然成立，得证. 15. 已知sin α，cos α是关于x的方程x2＋ax－a＝0(a∈R)的两个实根，则a的值是(　C　) A. －1± B. 1± C. －1 D. 1－ 【解析】∵sin α，cos α是关于x的方程x2＋ax－a＝0(a∈R)的两个实根，∴Δ＝a2＋4a≥0，解得a≥0，或a≤－4.由根与系数的关系得 ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1－2a＝a2，即a2＋2a－1＝0，解得a＝ －1＋，或a＝－1－(舍去)，∴a的值是－1. 16. (1)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现? (2)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现? (3)证明：∀x∈R，cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x； (4)推测对于∀x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明. 解：(1)∵cos4－sin4＝＝cos2－sin2 ，cos2－sin2，cos，∴cos4－sin4，cos2－sin2，cos 的值相等. (2)∵cos4－sin4 ＝cos2－sin2＝0，cos2－sin2＝0，cos＝0，∴cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值相等. (3)证明：∀x∈R，cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)·(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x. (4)推测∀x∈R，cos2x－sin2x＝cos 2x. 学科网（北京）股份有限公司 $