5.2 解一元一次方程（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦解一元一次方程核心知识点，系统梳理去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的基本步骤，衔接解的检验方法、特殊情况处理（多重括号、分母含小数、字母系数）及绝对值方程拓展，搭建递进式学习支架。 该资料亮点在于分层设计知识点与题型，针对去分母漏乘、去括号变号等易错点精准提醒，通过“同解问题”“参数条件”等题型培养运算能力与推理意识，拓展内容及梯度练习助力课中教学与课后查漏，提升数学语言表达与创新意识。

第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 课标要点 1. 理解解方程本质：利用等式两条基本性质，对等号两边同步变形，逐步将方程化为x=a的标准形式。 2. 掌握完整解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，规范书写每一步变形依据。 3. 熟练处理易错变形：去分母时每一项都要乘最小公倍数，不含分母项不能漏乘；去括号注意符号分配。 4. 能检验方程解：将求出的未知数的值代入原方程，验证左右两边数值相等，判断解是否正确。 5. 规范书写格式：移项、化系数为1时不跳步，区分等式变形与算式计算，步骤逻辑清晰。 学习重难点 重点： 熟记解方程五大步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，清楚每一步依据等式性质。 熟练规范完成每一步变形，准确合并同类项、处理正负符号。 会把求出的解代入原方程检验，验证解的正确性。 难点： 去分母时容易漏乘不含分母的常数项，忽略分子多项式要加括号。 去括号时括号前是负号，括号内各项忘记全部变号。 移项混淆变号规则，不移项却乱变号、只移一边另一边不变。 系数化为 1 时分不清乘除关系，正负号计算出错。 知识点 解一元一次方程的基本步骤 去分母： 方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，把分母去掉，将分数系数方程化为整数系数方程。 去括号： 按照去括号法则去掉方程中的括号，去括号顺序一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 去括号法则：括号前是正号，去掉括号后原括号内各项的符号都不变；括号前是负号，去掉括号后原括号内各项的符号都要改变。 移项： 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。一般将含有未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边。 合并同类项： 把方程中同类项分别合并，将方程化为（）的最简形式。合并同类项时，系数相加，字母和次数不变。 3.5 系数化为1： 在方程两边同时除以未知数的系数(a)，得到方程的解，这一步的依据是等式的性质2。 特别提醒 1. 去分母时不要漏乘不含分母的项，尤其是常数项。 2. 如果分子是一个多项式，去分母后要将分子加上括号，避免符号错误。 3. 分母中含有小数时，一般先根据分数的基本性质将分母化为整数，再去分母。注意这个过程是分数自身的变形，和去分母不同，不要混淆。 4. 去括号时要将括号外的因数乘以括号内的每一项，不要漏乘括号内的某一项。 5. 注意符号变化，尤其是括号外是负因数时，所有项都要变号，不要只给第一项变号，其他项不变。 随学随练 1．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时方程每一项都要乘分母的最小公倍数，分子是多项式时去掉分母后要加括号． 【详解】∵ 原方程为 ，分母和的最小公倍数为， ∴ 方程两边同时乘去分母，得 ． 化简得 ， 整理得 ． 故选D． 2．在解方程 中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则计算原方程左边的去括号结果，再匹配选项．用到的知识点为：去括号时括号外的因数要乘括号内的每一项；若括号外因数为负数，去括号后原括号内各项符号要改变． 【详解】解：∵ 原方程为 ． 去括号得，． 3．下列选项中是方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用移项、合并同类项的方法即可求出方程的解． 【详解】解：原方程为， 移项，得， 合并同类项，得， 因此方程的解为． 4．解方程：． 【答案】 【详解】解： 移项得： 合并同类项得：． 5．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 知识点 一元一次方程的解与检验 方程的解的定义： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 检验方法： 检验一个数是不是一元一次方程的解，只需把这个数分别代入原方程的左右两边，分别计算出结果，如果左边等于右边，那么这个数就是原方程的解；如果左右两边不相等，那么这个数就不是原方程的解。 特别提醒 检验要代入原方程，不能代入变形后的方程，避免变形错误导致检验错误。 随学随练 1．下列方程求解正确的是（   ） A．的解是 B．的解是 C．的解是 D．的解是 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 每个选项中的一元一次方程，先合并同类项再求解方程即可． 【详解】解：A、的解是，符合题意； B、的解是，不符合题意； C、的解是，不符合题意； D、的解是，不符合题意． 故选：A． 2．下列关于的方程结论，其中错误的是（   ） A．若，则关于的方程的解为 B．若，且，则方程的解是 C．若有唯一解，则 D．若，且，则一定是方程的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解．A根据，时，即可判断关于的方程的解为；B根据，且，即可判断方程的解是；C根据有唯一的解，则即可；D根据，且，即可判断一定是方程的解． 【详解】解：A、，时，关于的方程的解为， 所以本选项符合题意； B、当，且，方程的解是， 所以本选项不符合题意； C、当有唯一的解，则， 所以本选项不符合题意； D、当，且，一定是方程的解， 所以本选项不符合题意； 故选：A． 3．下面解方程结果正确的是（    ） A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程的方法逐项判断即得答案. 【详解】解：A、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意； B、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意； C、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意； D、方程的解为，故解方程结果正确，符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确合并同类项和化系数为1是解题的关键. 4．下列方程求解正确的是（   ） A．3x－5x＝－1的解是x＝－ B．2x－x＝－2－3的解是x＝1 C．－x－x＝3的解是x＝－ D．6x－3x＝－2的解是x＝－ 【答案】C 【分析】根据解一元一次方程的步骤分别求解即可； 【详解】，解得：，故A错误； ，解得：，故B错误； －x－x＝3，解得x＝－，故C正确； ，解得，故D错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的计算，准确计算是解题的关键． 知识点 解一元一次方程的特殊情况处理 含有多重括号的方程： 对于含有多重括号的方程，除了按照从内到外去括号的方法，还可以根据方程特点从外到内去括号，或者先移项合并同类项再去括号，简化计算过程。 分母含有小数的方程： 当分母是小数时，利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同的倍数，把小数化为整数，再按照常规步骤求解。例如方程，可以先变形为，再进行求解。 含有字母系数的一元一次方程： 对于形如的方程，需要分情况讨论解的情况： 1. 当时，方程有唯一解 2. 当且时，方程有无数个解，任意数都是方程的解 3. 当且时，方程无解，没有任何数能满足方程 特别提醒 遇到含有字母系数的方程，一定要根据系数的取值情况分类讨论，不能默认系数不为0直接求解。 随学随练 1．把方程化为最简整数系数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将原方程中的系数化为整数：，， 故原方程可化为 2．整式的值随x取值的变化而变化，上表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 3 0 2 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解法，先根据表格中x与的对应值求出m、n的值，再将其代入方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵当时， ∴ ∴ ∵当时， ∴ ∴ 将，代入方程，得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 故选：D 3．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是（    ） A．12 B． C．36 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 解方程得到，由于解为正整数，因此必须是6的正因数，从而求出所有整数并求和． 【详解】解：∵， 两边乘6得：， 化简得：， 即：， 移项得：， 即：， ∴， ∵解为正整数， ∴值可能为： 1，2， 3， 6， 当，， 当，， 当，， 当 ，， ∴ 所有整数为， ∴和为， 故选：B． 4．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 等式两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后解出即可． 【详解】解：， ， , , ， ． 拓展 绝对值方程 绝对值方程是含有绝对值符号的方程，核心依据绝对值的定义：正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，解题关键是分类讨论去掉绝对值符号。 解题时分两种情况，一是绝对值内代数式等于正数、负数、0，分情况转化为普通一元一次方程求解；求出解后必须检验，要保证每种分类下绝对值内部式子的正负条件符合假设，不符合条件的解需要舍去；常见题型含单重绝对值，可利用“若|A|=b(b≥0)，则A=b或A=-b”直接拆分，若等式右侧小于0，则方程无实数解。 活学活用 1．假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 【答案】A 【分析】先把代入，求出，则原方程为，再解方程即可． 【详解】解：把代入，得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴方程的另一个解是． 2．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 3．若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】由，可知，得出，把代入得：，即，然后分两种情况求出x的值，再求出y的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴可化为， 把代入得：，即， 当时，，则即：，解得与不符，舍去； 当时，，则即：，解得，符合， 当时，则， ∴． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 题型 基础标准型 解题贴士 这是一元一次方程最基础的形式，核心考察移项法则和系数化1的基本操作。计算时要注意符号变化，尤其是移项后常数项的正负号，很多初学者容易在此处出错；另外当一次项系数为分数时，系数化1要转化为乘以倒数计算，不要直接颠倒分子分母的位置。 ▌例1 若代数式与互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C． D．－1 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，一元一次方程的应用，根据相反数的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ， 解得：， 故选：A． ▌例2．方程的解是_______． 【答案】 【分析】先移项后，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1，按此步骤求出方程的解即可． 【详解】移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． ▌对点练1-1．解方程：． 【答案】 【分析】由一元一次方程的解法步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． ▌对点练1-2．解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：． ▌对点练1-3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解方程的基本步骤求解即可； （2）根据解方程的基本步骤求解即可； 【详解】（1）解：， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 系数化为1，得； 题型 含括号型 解题贴士 去括号是这个题型的核心易错点：第一，不要漏乘括号内的常数项，比如本题如果只乘(3x)得到，就会算出错误结果；第二，如果括号外是负系数，去括号后所有项都要变号，比如展开应该是，不要写成。当括号系数和右侧常数存在倍数关系时，也可以先两边同时除以括号系数简化计算，比如本题可以先两边除以2，得到，计算更简便。 ▌例1．解方程去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原方程为 ， 根据去括号法则展开得：， 整理得. ▌例2．若，则_____________ . 【答案】 【分析】去括号，解方程即可. 【详解】解：， ， ， . ▌对点练1-1．解方程：． 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的一般步骤，本题先利用去括号法则去掉方程左侧的括号，再通过移项将含未知数的项移到方程的一侧，常数项移到另一侧，移项依据是等式的基本性质1，移项后合并同类项．最后将未知数的系数化为1，依据是等式的基本性质2，得到方程的解． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得． ▌对点练1-2．解方程：． 【答案】 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得. ▌对点练1-3．解方程：． 【答案】 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型 含分母型 解题贴士 去分母是本题型的核心易错点，有两个常见错误：一是漏乘没有分母的常数项，比如本题中如果忘记给(1)乘6，就会得到，最终算出错误结果；二是去分母后如果分子是多项式，要给分子加上括号，比如去分母后应该是(x+1)，不要直接写成x+1，遇到负号的时候就容易出错。另外，如果分母是小数，可以先利用分数的基本性质把分母化为整数再去分母，比如，先分子分母同乘10得到，再计算就更简单。 ▌例1把一元一次方程 去分母，变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原方程为 ， ∵方程分母为和，最小公倍数是， ∴给方程两边每一项同时乘以去分母，得， ， 化简得 . ▌例2方程的解为________． 【答案】3 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． ▌对点练1-1解下列方程： 【答案】 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， 解得：． ▌对点练1-2解方程：． 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的解方程步骤即可得到结果． 【详解】解：方程两边同乘去分母，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为，得 ． ▌对点练1-3解方程： 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，化系数为即可解答． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 题型含绝对值的一元一次方程 解题贴士 绝对值方程最容易丢解，很多同学解出一个正的就忘记负的，一定要记住绝对值等于正数的时候有两个解，要分成两种情况讨论。如果方程是，那么同样根据绝对值性质，得到或者，分别求解即可。解完之后如果题目有要求，可以代入原方程检验，排除增根。 ▌例1若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值方程的性质，将方程分为两种情况求解． 【详解】解：， 或， 当时，； 当 时，， 的取值为或 2， 故选： C． ▌例2，那么_________． 【答案】 或 【分析】本题考查绝对值方程，先计算等号右边的绝对值，得到，再根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：，即， 则或， 解得或． 故答案为：或． ▌对点练1-1解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． ▌对点练1-2解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质． 将原方程变形为，再根据绝对值的性质得到或，再解一元一次方程即可． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 ▌对点练1-3解方程：． 【答案】或 【分析】此题考查了解绝对值方程，根据题意分两种情况求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 解得或． 题型 同解问题：已知两个方程同解，求参数的值 解题贴士 同解问题的核心思路就是“先解无参，再代有参”，不要直接联立两个方程解方程组，那样计算更复杂。如果两个方程都含参数，可以先分别用参数表示出解，再令两个解相等，解关于参数的方程即可。 牢 ▌例1 若关于的方程和方程同解，则为（   ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解与解方程，先解方程可得：，然后根据题意可得：把代入方程中得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 方程和方程同解， 把代入方程中得：， ， ， ， ， 故选：B． ▌例2如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】先求解第一个一元一次方程得到x的值，再利用解相同的条件，将x代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：解方程， 移项得：， 即， ∴， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程，得， 解得． ▌对点练1-1若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知一元一次方程的解，再利用同解的性质，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解相同， ∴把代入方程，得， 解得：． ▌对点练1-2关于x的方程与的解相同，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】先求出第一个一元一次方程的解，再将解代入第二个方程， 即可求出的值． 【详解】解：解方程， 移项得，， 系数化为，得 ， 因为两个方程的解相同，把代入得， 整理，得， 移项，得， 系数化为，得． ▌对点练1-3如果方程与关于的方程的解相同，则的值是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中，即可求解． 【详解】解：方程， 解得：， 将代入方程，得： ， 解得：． 故答案为：9 题型 已知解满足特定条件，求参数 解题贴士 这类问题的思路是先把解用参数表示出来，再根据给定的条件（比如解是正数、负数、正整数、整数，满足某个不等式等）列不等式或整除条件，进而求出参数的值。如果是“解互为相反数”“解的和是某个数”这类条件，就把两个解加起来满足条件即可，核心就是用参数表示解，再根据条件列关系式。 解 ▌例1已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴将代入原方程，得， 化简得， 移项合并同类项得， 解得． ▌例2若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，即可求出参数的值． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴将代入方程，得， 解得：． ▌对点练1-1已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数． 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． ▌对点练1-2若关于的一元一次方程的解是，则________． 【答案】 【分析】将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元一次方程的解， ∴将代入中，得， 解得． ▌对点练1-3已知方程的解比关于x的方程的解小1，则a的值为____． 【答案】 【分析】先求出方程的解，进而得到方程的解，代入即可求出a的值． 【详解】解：解得， ∵方程的解比关于x的方程的解小1， ∴方程的解为， ∴， 解得：． 基础通关 1．解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程的去分母步骤，去分母时需将方程两边同乘所有分母的最小公倍数，常数项也需要乘，本题分母为2和3，计算后即可得到结果． 【详解】解：∵方程的分母是和，最小公倍数为， ∴方程两边同时乘以去分母，得：． 2．一元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元一次方程的移项法则计算即可得到结果. 【详解】解：∵ 原方程为 ∴ 移项得 计算得. 3．已知，是方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程解的定义，将已知的，的值代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵，是方程的解， ∴将，代入，得， 整理得， 解得． 4．下列各题中正确的是（     ） A．由，移项得 B．由去分母得 C．由移项、合并同类项得 D．由去括号得 【答案】C 【分析】根据移项、去分母、合并同类项以及去括号的运算规则，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：移项时只有移动的项要变号，由移项得，故A错误； 去分母时，方程每一项都要乘分母的最小公倍数，两边同乘去分母得，故B错误； 由，移项得，合并同类项得，故C正确； 去括号时，括号前是负因数，括号内每一项都要变号，由去括号得，故D错误． 5．如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 6．若代数式的值比的值大4，则_____． 【答案】3 【详解】解：根据题意可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 方程两边同时除以2得：． 7．若是关于的一元一次方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， 将代入方程得 解得． 8．关于的方程与的解相同，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先求出第二个一元一次方程的解，再将解代入第一个方程， 即可求出的值． 【详解】解：解方程， 移项得，， 系数化为，得 ， ∵两个方程的解相同， ∴把代入得， 整理，得， 移项，得， 系数化为，得． 9．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定，如．若，则的值为_____． 【答案】3 【分析】根据题目给出的新定义，列出关于的一元一次方程，再利用等式的性质求解方程即可得到的值． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 10．若，则____________． 【答案】 【详解】解：任意实数的绝对值和平方都大于等于0， ∴，， 又， ，， 即，， 解得， ． 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． 12．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 13．解方程：． 【答案】 【详解】解： ． 14．当为何值时，代数式与的值相等？ 【答案】 【分析】根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解： 去分母得： 移项合并同类项：， 系数化为1∶． 故当时，代数式与的值相等． 15．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 素养提升 1．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 2．已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】首先根据自定义运算规则，，先计算括号里面的，得出结果，再将其代入即可求解． 【详解】解： ， 即， ， ， ， ， ， 即等于． 3．若代数式与代数式的和为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意列出关于x的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算即可得到结果． 【详解】根据题意列方程得， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ∴的值为． 4．王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】先分别求出两个方程的解，再根据两个解相差4分两种情况列方程，即可求出a的值． 【详解】解：对于方程①， ∵两边同乘6得， 整理得， ∴； 对于方程②， 移项得， ∴； ∵两个解相差4，分两种情况讨论： 情况1：方程①的解比方程②的解小4，则， 整理得， 解得； 情况2：方程①的解比方程②的解大4，则， 整理得， 解得， 因此a的值为或． 5．若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】先根据，判断异号，求出的值，再将代入给定的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 异号， 分两种情况讨论， 当时， ， 当时， ， 综上可得， 将代入原方程得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． 6．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先理解题意，结合，得出，又因为，故，则，再进行分类讨论，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当时，则，整理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴ 则，此为矛盾，此种情况不成立，舍去． ∴的值为． 7．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 8．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵方程的解为负整数，且a为整数， ∴是9的负整数约数，即的值为或或， 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 则所有满足条件的整数a的和为． 9．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 10．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号，得 整理，得 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得 去括号，得 整理，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 迁移创新、 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， 解得：． 2．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 课标要点 1. 理解解方程本质：利用等式两条基本性质，对等号两边同步变形，逐步将方程化为x=a的标准形式。 2. 掌握完整解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，规范书写每一步变形依据。 3. 熟练处理易错变形：去分母时每一项都要乘最小公倍数，不含分母项不能漏乘；去括号注意符号分配。 4. 能检验方程解：将求出的未知数的值代入原方程，验证左右两边数值相等，判断解是否正确。 5. 规范书写格式：移项、化系数为1时不跳步，区分等式变形与算式计算，步骤逻辑清晰。 学习重难点 重点： 熟记解方程五大步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，清楚每一步依据等式性质。 熟练规范完成每一步变形，准确合并同类项、处理正负符号。 会把求出的解代入原方程检验，验证解的正确性。 难点： 去分母时容易漏乘不含分母的常数项，忽略分子多项式要加括号。 去括号时括号前是负号，括号内各项忘记全部变号。 移项混淆变号规则，不移项却乱变号、只移一边另一边不变。 系数化为 1 时分不清乘除关系，正负号计算出错。 知识点 解一元一次方程的基本步骤 去分母： 方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，把分母去掉，将分数系数方程化为整数系数方程。 去括号： 按照去括号法则去掉方程中的括号，去括号顺序一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 去括号法则：括号前是正号，去掉括号后原括号内各项的符号都不变；括号前是负号，去掉括号后原括号内各项的符号都要改变。 移项： 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。一般将含有未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边。 合并同类项： 把方程中同类项分别合并，将方程化为（）的最简形式。合并同类项时，系数相加，字母和次数不变。 3.5 系数化为1： 在方程两边同时除以未知数的系数(a)，得到方程的解，这一步的依据是等式的性质2。 特别提醒 1. 去分母时不要漏乘不含分母的项，尤其是常数项。 2. 如果分子是一个多项式，去分母后要将分子加上括号，避免符号错误。 3. 分母中含有小数时，一般先根据分数的基本性质将分母化为整数，再去分母。注意这个过程是分数自身的变形，和去分母不同，不要混淆。 4. 去括号时要将括号外的因数乘以括号内的每一项，不要漏乘括号内的某一项。 5. 注意符号变化，尤其是括号外是负因数时，所有项都要变号，不要只给第一项变号，其他项不变。 随学随练 1．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在解方程 中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列选项中是方程的解是（     ） A． B． C． D． 4．解方程：． 5．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 知识点 一元一次方程的解与检验 方程的解的定义： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 检验方法： 检验一个数是不是一元一次方程的解，只需把这个数分别代入原方程的左右两边，分别计算出结果，如果左边等于右边，那么这个数就是原方程的解；如果左右两边不相等，那么这个数就不是原方程的解。 特别提醒 检验要代入原方程，不能代入变形后的方程，避免变形错误导致检验错误。 随学随练 1．下列方程求解正确的是（   ） A．的解是 B．的解是 C．的解是 D．的解是 2．下列关于的方程结论，其中错误的是（   ） A．若，则关于的方程的解为 B．若，且，则方程的解是 C．若有唯一解，则 D．若，且，则一定是方程的解 3．下面解方程结果正确的是（    ） A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为 4．下列方程求解正确的是（   ） A．3x－5x＝－1的解是x＝－ B．2x－x＝－2－3的解是x＝1 C．－x－x＝3的解是x＝－ D．6x－3x＝－2的解是x＝－ 知识点 解一元一次方程的特殊情况处理 含有多重括号的方程： 对于含有多重括号的方程，除了按照从内到外去括号的方法，还可以根据方程特点从外到内去括号，或者先移项合并同类项再去括号，简化计算过程。 分母含有小数的方程： 当分母是小数时，利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同的倍数，把小数化为整数，再按照常规步骤求解。例如方程，可以先变形为，再进行求解。 含有字母系数的一元一次方程： 对于形如的方程，需要分情况讨论解的情况： 1. 当时，方程有唯一解 2. 当且时，方程有无数个解，任意数都是方程的解 3. 当且时，方程无解，没有任何数能满足方程 特别提醒 遇到含有字母系数的方程，一定要根据系数的取值情况分类讨论，不能默认系数不为0直接求解。 随学随练 1．把方程化为最简整数系数，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．整式的值随x取值的变化而变化，上表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 3 0 2 4 A． B． C． D． 3．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是（    ） A．12 B． C．36 D． 4．解方程 (1)； (2)． 5．计算：． 拓展 绝对值方程 绝对值方程是含有绝对值符号的方程，核心依据绝对值的定义：正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，解题关键是分类讨论去掉绝对值符号。 解题时分两种情况，一是绝对值内代数式等于正数、负数、0，分情况转化为普通一元一次方程求解；求出解后必须检验，要保证每种分类下绝对值内部式子的正负条件符合假设，不符合条件的解需要舍去；常见题型含单重绝对值，可利用“若|A|=b(b≥0)，则A=b或A=-b”直接拆分，若等式右侧小于0，则方程无实数解。 活学活用 1．假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 2．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 3．若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 4．解下列方程： (1)； (2)． 题型 基础标准型 解题贴士 这是一元一次方程最基础的形式，核心考察移项法则和系数化1的基本操作。计算时要注意符号变化，尤其是移项后常数项的正负号，很多初学者容易在此处出错；另外当一次项系数为分数时，系数化1要转化为乘以倒数计算，不要直接颠倒分子分母的位置。 ▌例1 若代数式与互为相反数，则x的值为（    ） A． B．1 C． D．－1 ▌例2．方程的解是_______． ▌对点练1-1．解方程：． ▌对点练1-2．解方程：． ▌对点练1-3．解下列方程： (1)； (2)． 题型 含括号型 解题贴士 去括号是这个题型的核心易错点：第一，不要漏乘括号内的常数项，比如本题如果只乘(3x)得到，就会算出错误结果；第二，如果括号外是负系数，去括号后所有项都要变号，比如展开应该是，不要写成。当括号系数和右侧常数存在倍数关系时，也可以先两边同时除以括号系数简化计算，比如本题可以先两边除以2，得到，计算更简便。 ▌例1．解方程去括号正确的是（   ） A． B． C． D． ▌例2．若，则_____________ . ▌对点练1-1．解方程：． ▌对点练1-2．解方程：． ▌对点练1-3．解方程：． 题型 含分母型 解题贴士 去分母是本题型的核心易错点，有两个常见错误：一是漏乘没有分母的常数项，比如本题中如果忘记给(1)乘6，就会得到，最终算出错误结果；二是去分母后如果分子是多项式，要给分子加上括号，比如去分母后应该是(x+1)，不要直接写成x+1，遇到负号的时候就容易出错。另外，如果分母是小数，可以先利用分数的基本性质把分母化为整数再去分母，比如，先分子分母同乘10得到，再计算就更简单。 ▌例1把一元一次方程 去分母，变形正确的是（     ） A． B． C． D． ▌例2方程的解为________． ▌对点练1-1解下列方程： ▌对点练1-2解方程：． ▌对点练1-3解方程： 题型含绝对值的一元一次方程 解题贴士 绝对值方程最容易丢解，很多同学解出一个正的就忘记负的，一定要记住绝对值等于正数的时候有两个解，要分成两种情况讨论。如果方程是，那么同样根据绝对值性质，得到或者，分别求解即可。解完之后如果题目有要求，可以代入原方程检验，排除增根。 ▌例1若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． ▌例2，那么_________． ▌对点练1-1解方程 (1)； (2)． ▌对点练1-2解方程： ▌对点练1-3解方程：． 题型 同解问题：已知两个方程同解，求参数的值 解题贴士 同解问题的核心思路就是“先解无参，再代有参”，不要直接联立两个方程解方程组，那样计算更复杂。如果两个方程都含参数，可以先分别用参数表示出解，再令两个解相等，解关于参数的方程即可。 牢 ▌例1 若关于的方程和方程同解，则为（   ）． A．1 B． C．2 D． ▌例2如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．5 ▌对点练1-1若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． ▌对点练1-2关于x的方程与的解相同，则k的值为_________． ▌对点练1-3如果方程与关于的方程的解相同，则的值是______． 题型 已知解满足特定条件，求参数 解题贴士 这类问题的思路是先把解用参数表示出来，再根据给定的条件（比如解是正数、负数、正整数、整数，满足某个不等式等）列不等式或整除条件，进而求出参数的值。如果是“解互为相反数”“解的和是某个数”这类条件，就把两个解加起来满足条件即可，核心就是用参数表示解，再根据条件列关系式。 解 ▌例1已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D．0 ▌例2若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-1已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 ▌对点练1-2若关于的一元一次方程的解是，则________． ▌对点练1-3已知方程的解比关于x的方程的解小1，则a的值为____． 基础通关 1．解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 2．一元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 3．已知，是方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．下列各题中正确的是（     ） A．由，移项得 B．由去分母得 C．由移项、合并同类项得 D．由去括号得 5．如果，那么（     ） A． B． C． D． 6．若代数式的值比的值大4，则_____． 7．若是关于的一元一次方程的解，则的值是____________． 8．关于的方程与的解相同，则的值为_____． 9．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定，如．若，则的值为_____． 10．若，则____________． 11．解方程： (1)； (2)． 12．解方程： (1) (2) 13．解方程：． 14．当为何值时，代数式与的值相等？ 15．解方程 (1) (2) 素养提升 1．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 2．已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 3．若代数式与代数式的和为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 4．王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 5．若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 6．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 7．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 8．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 9．解方程： (1) (2) 10．解方程： (1) (2) 迁移创新、 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 2．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $