5.1 方程（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程核心知识，系统梳理等式性质（加减乘除运算规则）、方程与等式的区分（含未知数的等式）、一元一次方程的概念（定义、解、列方程步骤）及等式对称性、传递性拓展，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过“随学随练”“题型解析”“素养提升”分层设计，以实际问题列方程培养模型意识，用参数求解题型发展推理能力，课中辅助教师引导教学，课后助力学生查漏补缺，有效提升数学思维与应用能力。

第五章 一元一次方程 5.1 方程 课标要点 等式性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数 / 式子，左右两边仍然相等。用于移项、消去常数项。 等式性质 2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式仍成立。用于化系数为 1，除数不能为 0 是易错点。 方程与等式区分：含有未知数的等式叫方程；方程一定是等式，但等式不一定是方程。算式不含等号，方程是带等号、含未知数的等式。 利用性质解方程思路：先借性质 1 消常数，再用性质 2 化未知数系数为 1，每一步变形都必须保证等式两边同步操作。 学习重难点 重点： 掌握等式两条基本性质，能准确用文字、字母形式表述。 分清算式、等式、方程三者概念，判断一个式子是否为方程。 会运用等式性质对等式变形、规范解简单一元一次方程 难点： 等式性质 2 中除数不能为 0，做题时容易忽略该限制条件。 解方程时两边变形不同步，只对一边加减乘除，另一边漏操作。 区分等式变形和不等式变形，混淆乘负数后的符号变化规则。 知识点 一元一次方程的概念 方程的定义： 含有未知数的等式叫做方程。方程必须同时满足两个条件：① 是等式；② 等式中含有未知数，二者缺一不可。 一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 方程的解： 使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 列方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。列方程的一般步骤：① 设未知数；② 找相等关系；③ 根据相等关系列出方程。 特别提醒 1.判断一元一次方程时，需要先对方程进行化简，不能只看形式，比如化简后未知数被消去的方程（如）不是一元一次方程； 2. 一元一次方程要求未知数的系数不为0，如果题目给出“关于x的一元一次方程”，则隐含条$a≠0； 3. 区分“方程的解”和“解方程”，方程的解是一个结果，解方程是求方程解的过程； 4. 检验方程的解的方法：将数值代入方程左右两边，分别计算结果，如果两边相等，则该数值是方程的解，否则不是。 随学随练 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点 等式的基本性质 等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么。 等式的性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果，那么；如果，c≠0，那么。 特别提醒 1. 运用等式的性质1时，必须注意等式两边加（减）的是同一个数（或式子），不能一边加一边减，否则等式不成立； 2. 运用等式的性质2时，注意两点：一是必须乘同一个数，不能一边乘一边不乘，二是除以的数必须不为0，因为0不能做除数； 3. 对等式变形时，要注意整体性，比如等式，两边都减3，不是只把右边减3，要保证两边同时做相同的变形。 随学随练 1．下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程的变形，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 拓展 等式的其他性质 1 对称性：若，则，即等式左右两边互换，等式仍然成立； ② 传递性：若，，则，该性质也叫做等量代换。 活学活用 1.若对于任意实数a、b、c，已知且，根据等式的性质可以推出（ ） A. a > c B. C. a < c D. a与c的大小关系无法确定 2.已知等式，根据等式的对称性，下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确体现等式性质的是哪个？ ①如果，那么是等式的对称性； ②如果，，那么是等式的传递性（ ） A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确 4.已知，且，根据等式的传递性可以得到n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 10 D. 12 题型 判断是不是方程 解题贴士 要判断一个式子是不是方程，牢牢抓住方程的两个核心条件：①必须是含有未知数的等式，二者缺一不可。如果式子只是等式但没有未知数，或者含有未知数但不是等式，都不满足方程的定义 ▌例1 下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． ▌例2．下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． ▌对点练1-2．下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 题型 根据实际问题列方程 解题贴士 列方程的核心思路是找到题干中的等量关系，步骤为：先设出未知数，再把含未知数的量根据等量关系用代数式表示出来，最后用等号连接即可 ▌例1．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． ▌例2．用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． ▌对点练1-3．一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 题型 判断某个数是不是方程的解 解题贴士 把这个数代入方程的左右两边，分别计算结果，如果左右两边相等，这个数就是方程的解，反之就不是。 ▌例1是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． ▌例2有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2写出一个解为的一元一次方程：______． ▌对点练1-3___________（填“是”或“不是”）方程的解 题型 利用方程的解求参数的值 解题贴士 已知方程的解求未知参数，本质就是利用方程解的定义：把已知解代入原方程，得到一个关于参数的新方程，解这个新方程就能得到参数的值。 ▌例1若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． ▌例2若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 ▌对点练1-1已知是关于的方程的解，则的值为（     ） A．8 B．4 C．3 D．2 ▌对点练1-2若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 题型 判断是否是一元一次方程 解题贴士 1. 先看等式：必须带有等号，不含等号的代数式、算式直接排除。 2. 只含一个未知数：式子中只能出现一种字母，多个不同未知数不是一元。 3. 未知数次数为1：未知数不能有平方、立方、倒数、根号，次数必须是1。 4. 未知数不能在分母：分母中含有未知数属于分式方程，不是一元一次方程。 5. 化简后再判断：遇到括号、同类项先合并化简，再核对上面四条要求。 牢 ▌例1 下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌例2下列选项中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型 根据一元一次方程定义求参数 解题贴士 1. 未知数次数必须等于：令含参数的未知数指数=1，列出等式求解参数。 2. 未知数系数不能为0：求出参数后，代入未知数系数验算，系数为0直接舍去该解。 3. 只能有一类未知数：式子不能出现第二种字母，若有其他未知字母，对应参数需限定使其消失。 4. 先化简再列式：有括号、同类项先合并整理，再判断次数与系数，避免直接看原式出错。 解 ▌例1已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． ▌例2已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． ▌对点练1-1已知是关于x的一元一次方程，则___________． ▌对点练1-2已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． ▌对点练1-3关于x的方程是一元一次方程，则_______ ． 题型 等式的性质1 解题贴士 等式左右两边同时加或减同一个数、整式，不能只变形一边。 移项本质就是等式性质1：移项要变号，不移不变号。 加减的对象必须完全相同，一边加常数、另一边加含未知数式子不能直接抵消。 含括号式子先统一两边同步加减，不要单独拆分某一项计算。 ▌例1如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 ▌例2解方程时，若要得到，应在方程两边同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上 D．减去 ▌对点练1-1已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 ▌对点练1-2天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡．1个梨和______个桃同样重． ▌对点练1-3已知方程，用含的代数式表示，则_________ 题型 等式的性质2 解题贴士 1. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式才成立，除数绝对不能为0。 2. 两边乘除操作必须同步，不能只给一边乘除，另一边保持原样。 3. 化未知数系数为1时，除以一个数等价于乘它的倒数，计算注意正负符号。 4. 分母带有未知数时不能直接两边同除未知数，避免出现除数为0的漏洞。 ▌例1根据等式的基本性质，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌例2如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌对点练1-2若，则的值为______． ▌对点练1-3把方程改写成用含的式子表示的形式______． 基础通关 1．是（     ）方程的解． A． B． C． D． 2．下列式子中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 4．根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的方程的解是，则的值等于（    ） A．13 B． C． D．5 6．已知，则下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 7．下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 9．“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为__________ 10．若是关于的方程的解，则的值为________． 11．由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了_____________． 12．已知等式，那么______； ______． 13．若，那么______． 14．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 15．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 素养提升 1．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 2．下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 3．下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 4．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 6．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 8．如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 9．如果x与y互为倒数，且，那么______． 10．已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 11．对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 迁移创新、 1．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 2．对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：． (1)______； (2)当，时，有，求的值； (3)化简：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.1 方程 课标要点 等式性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数 / 式子，左右两边仍然相等。用于移项、消去常数项。 等式性质 2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式仍成立。用于化系数为 1，除数不能为 0 是易错点。 方程与等式区分：含有未知数的等式叫方程；方程一定是等式，但等式不一定是方程。算式不含等号，方程是带等号、含未知数的等式。 利用性质解方程思路：先借性质 1 消常数，再用性质 2 化未知数系数为 1，每一步变形都必须保证等式两边同步操作。 学习重难点 重点： 掌握等式两条基本性质，能准确用文字、字母形式表述。 分清算式、等式、方程三者概念，判断一个式子是否为方程。 会运用等式性质对等式变形、规范解简单一元一次方程 难点： 等式性质 2 中除数不能为 0，做题时容易忽略该限制条件。 解方程时两边变形不同步，只对一边加减乘除，另一边漏操作。 区分等式变形和不等式变形，混淆乘负数后的符号变化规则。 知识点 一元一次方程的概念 方程的定义： 含有未知数的等式叫做方程。方程必须同时满足两个条件：① 是等式；② 等式中含有未知数，二者缺一不可。 一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 方程的解： 使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 列方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。列方程的一般步骤：① 设未知数；② 找相等关系；③ 根据相等关系列出方程。 特别提醒 1.判断一元一次方程时，需要先对方程进行化简，不能只看形式，比如化简后未知数被消去的方程（如）不是一元一次方程； 2. 一元一次方程要求未知数的系数不为0，如果题目给出“关于x的一元一次方程”，则隐含条$a≠0； 3. 区分“方程的解”和“解方程”，方程的解是一个结果，解方程是求方程解的过程； 4. 检验方程的解的方法：将数值代入方程左右两边，分别计算结果，如果两边相等，则该数值是方程的解，否则不是。 随学随练 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，方程两边都是整式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，方程含有两个未知数和，不符合一元一次方程定义； 选项B中，方程中未知数的最高次数为，不符合一元一次方程定义； 选项C中，方程只含有个未知数，未知数最高次数为，且方程两边都是整式，符合一元一次方程定义； 选项D中，方程的分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义． 2．下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，方程两边为整式，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵选项A中，方程含有个未知数，不符合一元一次方程定义； 选项B中，方程未知数的最高次数为，不符合一元一次方程定义； 选项C中，方程分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义； 选项D中，方程只含个未知数，未知数最高次数为，且两边都是整式，符合一元一次方程定义． 3．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元一次方程的定义逐一判断选项即可，一元一次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且等号两边为整式． 【详解】解：选项A，含有两个未知数，不符合一元一次方程定义． 选项B，中未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义． 选项C，只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程定义． 选项D，中不是整式，不属于整式方程，不符合一元一次方程定义． 4．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 知识点 等式的基本性质 等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么。 等式的性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果，那么；如果，c≠0，那么。 特别提醒 1. 运用等式的性质1时，必须注意等式两边加（减）的是同一个数（或式子），不能一边加一边减，否则等式不成立； 2. 运用等式的性质2时，注意两点：一是必须乘同一个数，不能一边乘一边不乘，二是除以的数必须不为0，因为0不能做除数； 3. 对等式变形时，要注意整体性，比如等式，两边都减3，不是只把右边减3，要保证两边同时做相同的变形。 随学随练 1．下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 2．若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B正确； C、若，则，故C错误； D、若，且，则，故D错误； 3．下列方程的变形，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【详解】解：A、对于，等式两边同时减3，得，故本选项错误； B、对于，等式两边同时除以7，得 ，故本选项错误； C、对于，等式两边同时乘2，得，故本选项错误； D、对于，等式两边同时减3，得 ，故本选项正确． 4．下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．据此逐一判断变形是否正确． 【详解】解：根据等式的基本性质判断： 对于A，∵，等式两边同时减同一个数6，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于B，若，当时，无论是否相等，等式都成立， ∴无法推出，变形错误； 对于C，∵，分式分母不为0，可得，等式两边同时乘，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于D，∵，等式两边同时除以非零数，等式仍然成立， ∴，变形正确； 综上，变形错误的是B． 5．如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，观察题干中等式的变形过程，对应匹配变形依据即可得到答案． 【详解】解： 由变形得到，是给方程左右两边同时加上同一个整式， 该变形的依据是等式两边都加上同一个整式，等式仍成立， 对应选项C． 拓展 等式的其他性质 1 对称性：若，则，即等式左右两边互换，等式仍然成立； ② 传递性：若，，则，该性质也叫做等量代换。 活学活用 1.若对于任意实数a、b、c，已知且，根据等式的性质可以推出（ ） A. a > c B. C. a < c D. a与c的大小关系无法确定 答案：B 解析：这道题考察等式的传递性，等式传递性的定义是：如果，，那么一定有，因此正确选项为B。A、C选项涉及不等关系，不符合等式传递性的结论，D选项认为大小关系不确定，也违背了传递性的基本性质。 2.已知等式，根据等式的对称性，下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：本题考察等式的对称性，等式对称性的含义是：如果，那么，等式左右两边交换位置后仍然成立。原等式交换左右两边后得到，和选项A一致。B选项错误修改了(3y)的符号，C选项移项错误，D选项计算错误，均不符合等式对称性的要求。 3. 下列说法中，正确体现等式性质的是哪个？ ①如果，那么是等式的对称性； ②如果，，那么是等式的传递性（ ） A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确 答案：C 解析：本题同时考察对称性与传递性的基本概念。根据定义，等式对称性描述的是等式左右两边的可交换性，若则，符合对称性的定义，因此①正确；等式传递性描述的是相等关系的传递，若两个量都和第三个量相等，则这两个量也相等，，推出完全符合传递性的定义，因此②也正确。综上①②都正确，选择C。 4.已知，且，根据等式的传递性可以得到n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 10 D. 12 答案：C 解析：本题考察等式传递性的实际应用，已知，同时，根据等式传递性：如果且，那么，可以直接得到，因此选择C。其余选项均为错误计算结果，不符合传递性推导结论。 题型 判断是不是方程 解题贴士 要判断一个式子是不是方程，牢牢抓住方程的两个核心条件：①必须是含有未知数的等式，二者缺一不可。如果式子只是等式但没有未知数，或者含有未知数但不是等式，都不满足方程的定义 ▌例1 下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． ▌例2．下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，判断式子是否为方程需同时满足两个条件，一是含有未知数，二是等式，两个条件缺一不可，据此判断各选项即可. 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程. ∵选项A 是等式，但不含未知数，∴A不符合要求； ∵选项B 含有未知数，但不是等式，∴B不符合要求； ∵选项C 含有未知数，但不是等式，属于不等式，∴C不符合要求； ∵选项D 是含有未知数的等式，符合方程的定义，∴D符合要求. ▌对点练1-1．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． ▌对点练1-2．下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 题型 根据实际问题列方程 解题贴士 列方程的核心思路是找到题干中的等量关系，步骤为：先设出未知数，再把含未知数的量根据等量关系用代数式表示出来，最后用等号连接即可 ▌例1．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． ▌例2．用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出x的，再根据题意可知与的差为，据此列方程即可． 【详解】解：∵的可表示为，题意为“比它的多”，即与的差为， ∴可列方程为 ． ▌对点练1-1．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． ▌对点练1-2．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可 【详解】解：x的2倍可表示为，x的2倍与3的和可表示为， 根据和等于5，列方程为 ▌对点练1-3．一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意，数的相反数为，加上的即，由此列方程即可． 【详解】解：数的相反数是，这个数的是g， 根据题意可得． 故答案为：． 题型 判断某个数是不是方程的解 解题贴士 把这个数代入方程的左右两边，分别计算结果，如果左右两边相等，这个数就是方程的解，反之就不是。 ▌例1是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． ▌例2有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将依次代入各选项方程，验证方程左右两边是否相等，相等即为正确答案． 【详解】解：将代入选项A左边 ，右边， ，故A错误； 将代入选项B左边，右边，，故B错误； 将代入选项C左边 ，右边，左边右边，故C正确； 将代入选项D左边 ，右边，，故D错误． ▌对点练1-1下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：∵ 当时， 对于选项A：； 选项 B：； 选项 C：； 选项 D：． ∴ 只有选项 B 的等式成立． 故选：B． ▌对点练1-2写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． ▌对点练1-3___________（填“是”或“不是”）方程的解 【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 题型 利用方程的解求参数的值 解题贴士 已知方程的解求未知参数，本质就是利用方程解的定义：把已知解代入原方程，得到一个关于参数的新方程，解这个新方程就能得到参数的值。 ▌例1若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可求出未知参数的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 将 代入方程得 ， 移项计算得 . 因此的值为. ▌例2若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】将已知方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】∵方程的解是， ∴将代入原方程得 ， 解得 ． ▌对点练1-1已知是关于的方程的解，则的值为（     ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用方程的解的定义，将已知解代入原方程，即可计算得到参数a的值． 【详解】解：∵是关于y的方程的解， ∴将代入方程得：， 移项计算得：， ∴a的值为4． ▌对点练1-2若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程得到与的关系，再将所求代数式变形后整体代入要求值的代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得 ， ∴等式两边同乘得 ，即， ∴． ▌对点练1-3若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 题型 判断是否是一元一次方程 解题贴士 1. 先看等式：必须带有等号，不含等号的代数式、算式直接排除。 2. 只含一个未知数：式子中只能出现一种字母，多个不同未知数不是一元。 3. 未知数次数为1：未知数不能有平方、立方、倒数、根号，次数必须是1。 4. 未知数不能在分母：分母中含有未知数属于分式方程，不是一元一次方程。 5. 化简后再判断：遇到括号、同类项先合并化简，再核对上面四条要求。 牢 ▌例1 下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式，逐一分析各选项即可． 【详解】解：选项A中，方程的未知数最高次数为2，不满足一元一次方程定义，A不符合要求； 选项B中，方程含有两个未知数，不满足一元一次方程定义，B不符合要求； 选项C中，方程只含有1个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，满足一元一次方程定义，C符合要求； 选项D中，方程的分母含有未知数，不是整式方程，不满足一元一次方程定义，D不符合要求． ▌例2下列选项中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A中，满足只含一个未知数，未知数次数为，且是整式方程，符合一元一次方程定义，A符合题意； 选项B中不是等式，不属于方程，B不符合题意； 选项C中是不等式，不是方程，C不符合题意； 选项D中不含未知数，不符合一元一次方程要求，D不符合题意． ▌对点练1-1下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确一元一次方程的定义，再根据定义逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：选项A中含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，所以A错误； 选项B中未知数的最高次数为，不符合一元一次方程定义，所以B错误； 选项C中只含一个未知数，未知数次数为，等号两边都是整式，符合一元一次方程定义，所以C正确； 选项D中等号左边分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义，所以D错误． ▌对点练1-2下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】A．含有两个未知数，不满足一元一次方程的要求，故A不符合题意； B．中未知数的次数为2，不满足一元一次方程的要求，故B不符合题意； C．只含有1个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，故C符合题意； D．分母含有未知数，不属于整式方程，不满足一元一次方程的要求，故D不符合题意． 题型 根据一元一次方程定义求参数 解题贴士 1. 未知数次数必须等于：令含参数的未知数指数=1，列出等式求解参数。 2. 未知数系数不能为0：求出参数后，代入未知数系数验算，系数为0直接舍去该解。 3. 只能有一类未知数：式子不能出现第二种字母，若有其他未知字母，对应参数需限定使其消失。 4. 先化简再列式：有括号、同类项先合并整理，再判断次数与系数，避免直接看原式出错。 解 ▌例1已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. ▌例2已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． ▌对点练1-1已知是关于x的一元一次方程，则___________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为，列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，方程中未知数的次数为， 因此可得 移项计算得． ▌对点练1-2已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． ▌对点练1-3关于x的方程是一元一次方程，则_______ ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，确定未知数的次数为，由此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得． 题型 等式的性质1 解题贴士 等式左右两边同时加或减同一个数、整式，不能只变形一边。 移项本质就是等式性质1：移项要变号，不移不变号。 加减的对象必须完全相同，一边加常数、另一边加含未知数式子不能直接抵消。 含括号式子先统一两边同步加减，不要单独拆分某一项计算。 ▌例1如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．直接判断即可． 【详解】∵， ∴， 利用了等式的性质，符合等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， 故答案为：D． ▌例2解方程时，若要得到，应在方程两边同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上 D．减去 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 移项的依据是等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，据此判断变形过程即可． 【详解】解：由于原方程为， 根据等式的基本性质，等式两边同时减去 则左边得，右边得， 即变形后得到， 因此应在方程两边同时减去． ▌对点练1-1已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 【答案】C 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数或者式，等式仍成立，据此判断即可． 【详解】解：两边都减去，得， ∵等式可变形为， ∴， ∴． ▌对点练1-2天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡．1个梨和______个桃同样重． 【答案】3 【分析】等式左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立． 【详解】解：由题意知：2个梨个梨个桃 两边同时去掉一个梨：2个梨个梨个梨个桃个梨 1个梨个桃 ▌对点练1-3已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】/ 【详解】解：， 两边同减去，得． 题型 等式的性质2 解题贴士 1. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式才成立，除数绝对不能为0。 2. 两边乘除操作必须同步，不能只给一边乘除，另一边保持原样。 3. 化未知数系数为1时，除以一个数等价于乘它的倒数，计算注意正负符号。 4. 分母带有未知数时不能直接两边同除未知数，避免出现除数为0的漏洞。 ▌例1根据等式的基本性质，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】等式性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：A．有意义，，根据等式性质2，等式两边同乘，可得，故A正确； B．若，需时，才有；当时，对任意，等式都成立，因此该结论不一定成立，故B错误； C．若，整理得，仅当时才有，故C错误； D．若，当，时，需才有；当或中任意一个为0时，对任意，该等式都成立，因此该结论不一定成立，故D错误． ▌例2如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，等式仍然成立．根据等式的性质逐一判断各选项变形即可． 【详解】解：A．∵，等式左边加1，右边减1，不符合等式性质，可得， ∴A错误． B．∵，等式两边同时乘6，符合等式性质， ∴， ∴B正确． C．∵，可得，该变形仅当时成立，不是一定正确， ∴C错误． D．∵，可得，该变形仅当时成立，不是一定正确， ∴D错误． ▌对点练1-1下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：根据等式的性质1：左右两边同时加上或减去同一个数（或式子），等式仍成立；可知D正确，不符合题意； 根据等式的性质2：左右两边同时乘以同一个数（或式子），或除以同一个不为0的数（或式子），等式仍成立；可知A、B正确，不符合题意； 若，当时，不一定等于，C 错误． ▌对点练1-2若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． ▌对点练1-3把方程改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：， ． 基础通关 1．是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 【详解】解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 2．下列式子中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义：一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，解答即可． 【详解】解：A选项：含有和两个未知数，不属于一元一次方程，不符合题意； B选项：中未知数的最高次数为2，不属于一元一次方程，不符合题意； C选项：整理得，属于一元一次方程，符合题意； D选项：中不是整式，不是整式方程，不属于一元一次方程，不符合题意． 3．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中只有B选项中的式子是方程， 故选：B． 4．根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可 【详解】解：由题意可得：， 故选：C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 5．若关于的方程的解是，则的值等于（    ） A．13 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：方程的解是， ， 即， ． 故选：C． 6．已知，则下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 【详解】解：A. 如果，那么，变形正确，不符合要求； B. 如果，那么，正确，不符合要求； C. 如果，那么，正确，不符合要求；     D. 如果，那么，错误，符合要求； 7．下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为 0 ），所得结果仍是等式． 【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确，不符合题意； B、若，则，故本选项变形正确，不符合题意； C、当时，依然成立，故本选项变形错误，符合题意； D、若，则，故本选项变形正确，不符合题意． 8．运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】等式的基本性质为，等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍是等式，等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍是等式．根据等式的基本性质，逐项判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A、如果，则，等式两边同乘可得，变形正确，符合题意； B、如果，若，则和无意义，只有时才能得到，变形错误，不符合题意； C、如果，根据等式性质，等式两边同时加可得，无法得到，变形错误，不符合题意； D、如果，等式两边同时乘可得，只有当时，才有，结论不是恒成立，变形错误，不符合题意． 9．“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为__________ 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 10．若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 11．由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质．根据等式的性质，方程两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍然成立，理解题意，则，去括号合并同类项得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 即， ∴由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了， 故答案为：． 12．已知等式，那么______； ______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，等式两边同时加上或乘以同一个数，等式仍然成立解答即可． 【详解】已知，根据等式性质，等式两边同时加上，得，故第一个空白处为； 等式两边同时乘以，得，故第二个空白处为； 故答案为：；． 13．若，那么______． 【答案】2 【分析】该题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立． 【详解】解：∵， 根据等式的基本性质，等式两边同时加上 2，得． 故答案为：2． 14．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 15．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 素养提升 1．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 2．下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 【详解】解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 3．下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 4．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 5．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值是（   ） A．2 B． C．2 , D．1, 【答案】B 【分析】根据一元一次方程定义，结合只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，建立式子求解，即可解题． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 且， 解得且， ． 6．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 7．兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 8．如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 【答案】 25 【分析】先根据等式的性质说明，然后求出正方形的边长，再求长方形的长，进而求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴长方形的面积=长方形的面积， ∴正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴长方形的长， ∴正方形的边长， ∴正方形的面积． 9．如果x与y互为倒数，且，那么______． 【答案】8 【分析】根据倒数的定义得到，再利用比例的基本性质将比例式转化为方程，求出n的值后代入计算的结果． 【详解】解：∵x与y互为倒数， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴． 10．已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 【答案】// 【分析】本题考查了整式的加减运算，等式的性质，将题干中两式相加化简，即可得到b与c满足的数量关系． 【详解】解：，， 将两式相加得： ； 故答案为：． 11．对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质以及代数式整体代入求值，关键是根据“特殊数对”的定义列出等式，化简得到与的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值．首先将代入“特殊数对”的等式中，得到；再将变形为含的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 迁移创新、 1．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 2．对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：． (1)______； (2)当，时，有，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)4 (3)当时，为；当时，为；当时，为 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的运算，等式的性质，整式的加减等知识，理解新定义“关联数”是解题关键． （1）根据新定义进行运算即可求解； （2）根据，，，得到，即可求出； （3）分，，三种情况讨论，根据新定义化为整式加减运算，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $