专题 5.1方程 易错重难点培优 讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

5.1方程 【题型1】方程概念的判断 1.核心知识点总结 方程的定义：含有未知数的等式，需同时满足两个条件：①是等式（含“=”）；②含未知数（如x、y等）。 非方程情形：不含未知数的等式（如2+3=5）、不含等号的式子（如2x-1）、不等式（如2x>3）均不是方程。 2.高频考点梳理 直接判断给定式子是否为方程。 结合不等式、代数式、等式混合判断，选项多为4-6个式子的组合。 3.易错点警示 易错类型 示例 错误原因 误将代数式当方程 认为“3x-2”是方程 忽略“等式”条件，代数式不含等号 误将不等式当方程 认为“2x+1>5”是方程 混淆“等式”与“不等式”，不等式含“>”“<”等符号 4.解题技巧拆解 两步法：第一步判断是否为等式（看是否含“=”）；第二步判断是否含未知数，两者均满足才是方程。 快速排除法：先排除不含等号的式子，再排除不含未知数的等式。 【例题1】．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【题型2】一元一次方程的识别 1.核心知识点总结 一元一次方程定义：只含一个未知数、未知数的次数为1、含未知数的式子是整式的方程，一般形式为（）。 关键条件：①未知数个数=1；②未知数次数=1；③整式方程（分母不含未知数）；④一次项系数。 2.高频考点梳理 识别给定方程是否为一元一次方程。 结合二次方程（如）、分式方程（如）、二元方程（如）对比判断。 3.易错点警示 忽略“整式方程”条件：误将分式方程（如）当作一元一次方程。 忽略“一次项系数≠0”：如认为一定是一元一次方程，未考虑时为常数等式。 误判未知数次数：将的次数忽略，或误将的系数当作次数。 4.解题技巧拆解 四步法：①看未知数个数(仅1个)；②看未知数最高次数(为1)；③看是否为整式方程(分母无未知数)；④看一次项系数(不为0)。 先化简再判断：若方程含括号、合并同类项，先化简再验证条件(如化简为，是一元一次方程)。 【例题2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·云南曲靖·月考）下列各式中，是一元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】．（23-24六年级上·山东泰安·月考）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3】列简单实际问题方程 1.核心知识点总结 列方程步骤：①设未知数(直接设或间接设)；②找等量关系；③用含未知数的式子表示等量关系，列出方程。 常见等量关系：和差关系(“多”“少”)、倍数关系(“是几倍”“占几分之几”)、公式关系(周长、面积等)。 2.高频考点梳理 结合购物、行程、工程、几何等简单实际问题列方程(2024广州中考、江苏扬州期末真题)。 设未知数后直接列方程，不要求求解。 3.易错点警示 未知数设错：如“甲比乙多5”设甲为，乙误设为(正确为)。 等量关系混淆：如“超过2倍多3”误列为(正确为)。 4.解题技巧拆解 关键词法：圈出“多、少、倍、分、等于”等关键词，确定等量关系。 列表法：复杂问题可列表梳理已知量、未知量，明确数量关系。 【例题3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”列出等式为： ． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式题3-2】．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）儿童节前夕，学校安排两名教师带领42名留守儿童去公园划船，租10 只船正好坐满，已知每只大船坐5人，每只小船坐3人，小船和大船各租了几只？ 【变式题3-3】．（25-26七年级上·四川·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【题型4】利用等式的性质判断变形正误 1.核心知识点总结 等式性质1：等式两边加(减)同一个数(或式子)，结果仍相等(若，则)。 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等(若，则；若，，则)。 2.高频考点梳理 判断等式变形是否符合性质。 结合字母系数(如能否推出)的变形判断。 3.易错点警示 等式性质2中忽略“除数不为0”：如由直接推出，未考虑的情况。 两边加(减)不同的数：如由推出，违反性质1。 4.解题技巧拆解 关键看“变形依据”：加减速看“是否同数(式子)”，乘除看“是否同数、除数是否为0”。 反例法：若判断变形错误，可举反例验证(如，但，说明不能直接推)。 【例题4】．（25-26七年级上·北京·期中）下列关于等式变形的说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式题4-1】．（25-26七年级上·北京西城·期中）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式题4-2】．（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式题4-3】．（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型5】根据一元一次方程定义求参数(提升) 1.核心知识点总结 一元一次方程隐含条件：①未知数次数为1；②含未知数的项的系数≠0；③是整式方程。 一般形式：(，)，据此列关于参数的方程(组)求解。 2.高频考点梳理 已知方程是一元一次方程，求的值(2024福建泉州永春一中期中、山东泰安阶段练习真题)。 含多个参数的一元一次方程定义问题(如)。 3.易错点警示 只考虑次数为1，忽略系数≠0：如由得，未排除(此时系数)。 忽略“整式方程”条件：参数使分母含未知数时未排除。 4.解题技巧拆解 两步求解：①由次数为1列方程(如)；②由系数≠0列不等式(如)；③联立求解。 验证法：求出参数后代入原方程，验证是否为一元一次方程。 【例题5】．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【变式题5-1】．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【变式题5-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-3】．（22-23七年级下·广东湛江·开学考试）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C． D．1 【题型6】判断数值是否为方程的解(提升) 1.核心知识点总结 方程的解：使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解（一元方程的解也叫根）。 验证方法：将数值代入方程，分别计算左右两边的值，若相等则为解，否则不是。 2.高频考点梳理 选择题判断给出数值是否为方程的解 填空题直接求方程的解并验证，或根据解的定义补充条件。 3.易错点警示 代入计算错误：符号出错（如代入负数时未变号）、运算顺序出错（先乘除后加减）。 混淆“解”与“根”：一元方程的解可叫根，多元方程的解不能叫根，但验证方法一致。 4.解题技巧拆解 代入验证三步法：第一步将数值代入未知数位置，第二步分别计算左边和右边的值，第三步比较左右两边是否相等。 快捷排除法：先估算方程解的范围，排除明显不符合的选项。 【例题6】．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断是否为下列方程的解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·全国·随堂练习）判断和是不是方程的解． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 【变式题6-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 【题型7】根据方程的解求参数(提升) 1.核心知识点总结 方程的解的性质：将解代入原方程，左右两边相等，据此建立关于参数的新方程。 求解步骤：①代入解→②列参数方程→③解参数方程。 2.高频考点梳理 已知是方程的解，求的值。 含多个参数的方程解的问题(如是的解，求的值)。 3.易错点警示 代入时符号错误：如将代入，误算为(正确为)。 代入后解方程错误：如由得，误解得(正确为)。 4.解题技巧拆解 代入法核心：“解代入原方程，参数变未知数”。 整体思想：若参数含倍数关系(如)，可先求的值，再整体代入。 【例题7】．（25-26七年级上·北京·期中）若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【变式题7-2】．（25-26七年级上·全国·期末）已知是方程的解，则的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【题型8】根据方程的解求代数式的值(提升) 1.核心知识点总结 解题逻辑：①由方程的解求出参数(或参数关系式)；②将参数(或关系式)代入代数式求值。 整体代入法：无需单独求参数，利用参数关系式整体代入化简。 2.高频考点梳理 已知是的解，求的值。 结合一元二次方程的解求代数式的值(如是的解，求的值)。 3.易错点警示 单独求参数复杂时硬解：如由得，求时，硬解、(正确用整体)。 代数式化简错误：如，误化简为。 4.解题技巧拆解 整体代入口诀：“先找参数关系式，再将代数式凑成关系式形式”。 化简代数式：优先将代数式变形为含参数关系式的形式(如关系式，代数式)。 【例题8】．（25-26七年级上·四川自贡·期中）如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【变式题8-1】．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如果是关于的一元一次方程，求 ． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如果是关于的方程的解，求的值． 【变式题8-3】．（2025·黑龙江·三模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【题型9】利用等式性质巧解方程(培优) 1.核心知识点总结 解方程本质：利用等式性质，将方程逐步变形为(为常数)的形式。 常用变形：移项(等式性质1的应用，移项要变号)、系数化为1(等式性质2的应用)。 等式性质公式： 性质1：若，则(为任意数或式子)。 性质2：若，则；若且，则。 2.高频考点梳理 解答题直接解方程，步骤分点给分。 选择题判断解方程步骤是否正确，常设置移项不变号、系数化为1时乘除错误等干扰项。 3.易错点警示 移项不变号：如，误将移到左边为，正确为；移到右边为，正确变形为。 系数化为1时乘除错误：如，误解得(应两边同时除以2)；，误解得(应两边同时除以，得)。 分数系数方程运算错误：如，误将两边乘，正确为两边乘2。 4.解题技巧拆解 两步解方程法(整数系数方程)： 1.移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项时务必变号。 2.系数化为1：两边同时除以未知数的系数，得到。 分数系数方程技巧：先两边同时乘各分母的最小公倍数，消去分母后再按整数系数方程求解。 口诀记忆：“移项变号，系数化1，符号优先，分数先消”。 【例题9】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列利用等式的性质解方程中，正确的是（  ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式题9-1】．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）利用等式的性质解方程，在等式的两边都 ，得 ． 【变式题9-2】．（24-25七年级上·全国·期末）利用等式的性质解方程时，应在方程的两边同时（　　） A．加上 B．乘2 C．除以 D．乘 【变式题9-3】．（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【题型10】方程与天平平衡问题(培优) 1.核心知识点总结 天平平衡本质：左右两边质量相等，即等式关系，利用等式性质分析增减物体后的平衡。 常用模型：设物体质量为、、，由天平平衡列等式(如)。 2.高频考点梳理 由天平平衡求物体质量关系(如一个“□”的质量是“○”的几倍)(2024福建宁德期末、山西吕梁阶段练习真题)。 增减物体后判断天平是否平衡，或求需添加的物体个数。 3.易错点警示 误读天平图形：如左边2个和1个平衡右边3个，误列为。 应用等式性质时出错：如由推出，违反性质1。 4.解题技巧拆解 转化法：将天平图形转化为数学等式(左盘质量=右盘质量)。 等式性质应用：增减物体对应等式两边加/减同一质量，判断平衡即判断变形后等式是否成立。 【例题10】．（24-25七年级下·全国·假期作业）在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（　　） A． B． C． D． 【变式题10-1】．（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式题10-2】．（24-25七年级上·河南安阳·期末）【跨学科】小亮在实验室做实验时，称取实验所需药品的质量时没有找到天平，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂=阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为30克的物品时，右盘中放置10克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置45克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品的质量是 克． 【变式题10-3】．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）综合与实践 某中学的活动社团利用天平和常见的物品探究等式的基本性质．现在每个小组有一架天平和克的砝码，如何称出张卡片和根吸管的重量呢？以下是笃行小组的实验记录． 实验准备 重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干． 天平右边 天平左边 天平状态 记录 张卡片个克的砝码 根吸管 平衡 记录 张卡片根吸管 根吸管个克的砝码 平衡 问题解决 (1)设张卡片重克，根据记录，用表示根吸管的重量是_______克． (2)求张卡片和根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个克的砝码，再把若干张卡片和若干根吸管分别放在天平的左右两边使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B． C．1或0 D．0 3．（25-26七年级上·北京房山·期中）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（2025七年级上·全国·专题练习）下列推理中，同时运用了等式的对称性与传递性的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（25-26九年级上·四川成都·月考）关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ． 10．（20-21七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断是否是下列一元一次方程的解： ①；②；③；④． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）对于方程，小红判断该方程的解为，小亮判断该方程的解为，请你说明谁的判断正确． 15．（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： 甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元．用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 16．（24-25七年级下·全国·假期作业）仔细观察如图： (1)填一填． (2)说一说，你发现什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1方程 【题型1】方程概念的判断 1.核心知识点总结 方程的定义：含有未知数的等式，需同时满足两个条件：①是等式（含“=”）；②含未知数（如x、y等）。 非方程情形：不含未知数的等式（如2+3=5）、不含等号的式子（如2x-1）、不等式（如2x>3）均不是方程。 2.高频考点梳理 直接判断给定式子是否为方程。 结合不等式、代数式、等式混合判断，选项多为4-6个式子的组合。 3.易错点警示 易错类型 示例 错误原因 误将代数式当方程 认为“3x-2”是方程 忽略“等式”条件，代数式不含等号 误将不等式当方程 认为“2x+1>5”是方程 混淆“等式”与“不等式”，不等式含“>”“<”等符号 4.解题技巧拆解 两步法：第一步判断是否为等式（看是否含“=”）；第二步判断是否含未知数，两者均满足才是方程。 快速排除法：先排除不含等号的式子，再排除不含未知数的等式。 【例题1】．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的识别，根据含未知数的等式是方程逐项判断即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是方程，不符合题意； B．是含未知数的等式，是方程，符合题意； C．不是等式，故不是方程，不符合题意； D．不含未知数，故不是方程，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 4．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 【题型2】一元一次方程的识别 1.核心知识点总结 一元一次方程定义：只含一个未知数、未知数的次数为1、含未知数的式子是整式的方程，一般形式为（）。 关键条件：①未知数个数=1；②未知数次数=1；③整式方程（分母不含未知数）；④一次项系数。 2.高频考点梳理 识别给定方程是否为一元一次方程。 结合二次方程（如）、分式方程（如）、二元方程（如）对比判断。 3.易错点警示 忽略“整式方程”条件：误将分式方程（如）当作一元一次方程。 忽略“一次项系数≠0”：如认为一定是一元一次方程，未考虑时为常数等式。 误判未知数次数：将的次数忽略，或误将的系数当作次数。 4.解题技巧拆解 四步法：①看未知数个数(仅1个)；②看未知数最高次数(为1)；③看是否为整式方程(分母无未知数)；④看一次项系数(不为0)。 先化简再判断：若方程含括号、合并同类项，先化简再验证条件(如化简为，是一元一次方程)。 【例题2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程； 选项A：，不是整式方程，不符合题意； 选项B：，未知数次数为2，不符合题意； 选项C：，含两个未知数，不符合题意； 选项D：，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意； 故选：D． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·云南曲靖·月考）下列各式中，是一元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即可求解． 【详解】解：A. ，不是一元一次方程，不符合题意；     B. ，不是一元一次方程，不符合题意；      C. 是一元一次方程，符合题意；     D. 不是方程，不符合题意． 故选：C． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，化简后只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐一判断各选项即可； 本题主要考查了 一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：选项A：含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 选项B：方程可化简为，该方程只含一个未知数 ，且未知数的最高次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； 选项C：未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 选项D：分母含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【变式题2-3】．（23-24六年级上·山东泰安·月考）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握：含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程，根据定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义； 方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义； 方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义； 综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个， 故选：B． 【题型3】列简单实际问题方程 1.核心知识点总结 列方程步骤：①设未知数(直接设或间接设)；②找等量关系；③用含未知数的式子表示等量关系，列出方程。 常见等量关系：和差关系(“多”“少”)、倍数关系(“是几倍”“占几分之几”)、公式关系(周长、面积等)。 2.高频考点梳理 结合购物、行程、工程、几何等简单实际问题列方程(2024广州中考、江苏扬州期末真题)。 设未知数后直接列方程，不要求求解。 3.易错点警示 未知数设错：如“甲比乙多5”设甲为，乙误设为(正确为)。 等量关系混淆：如“超过2倍多3”误列为(正确为)。 4.解题技巧拆解 关键词法：圈出“多、少、倍、分、等于”等关键词，确定等量关系。 列表法：复杂问题可列表梳理已知量、未知量，明确数量关系。 【例题3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”列出等式为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为； 故答案为． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 【变式题3-2】．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）儿童节前夕，学校安排两名教师带领42名留守儿童去公园划船，租10 只船正好坐满，已知每只大船坐5人，每只小船坐3人，小船和大船各租了几只？ 【答案】大船只，小船只 【分析】本题一元一次方程问题，解题的关键是找出等量关系．设租大船只，则小船租只，根据船只上人数为44人，列出方程求解即可． 【详解】解：设租大船只，则小船租只， ， ， ， ， ， 答：租的大船只，租的小船只． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·四川·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 【题型4】利用等式的性质判断变形正误 1.核心知识点总结 等式性质1：等式两边加(减)同一个数(或式子)，结果仍相等(若，则)。 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等(若，则；若，，则)。 2.高频考点梳理 判断等式变形是否符合性质。 结合字母系数(如能否推出)的变形判断。 3.易错点警示 等式性质2中忽略“除数不为0”：如由直接推出，未考虑的情况。 两边加(减)不同的数：如由推出，违反性质1。 4.解题技巧拆解 关键看“变形依据”：加减速看“是否同数(式子)”，乘除看“是否同数、除数是否为0”。 反例法：若判断变形错误，可举反例验证(如，但，说明不能直接推)。 【例题4】．（25-26七年级上·北京·期中）下列关于等式变形的说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，该选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，该选项符合题意； C、若，则，原变形错误，该选项不符合题意； D、若，则，原变形错误，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·北京西城·期中）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，包括等式的对称性和移项法则．需逐一判断各选项是否符合等式性质． 【详解】解：∵ 等式性质：若，则，或， 选项A：若，当时，b可为任意值，不一定成立，∴ A错误． 选项B：若，则，但时分母为零，无意义，∴ B错误． 选项C：若，则，选项错误，不符合题意； 选项D：若，移项得，即，∴ D正确， 故选：D 【变式题4-2】．（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，由，等式两边同时除以，得；当时，等式两边同时除以无意义，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得到，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时乘以，得，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得，该选项等式变形正确； 故选：． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加减同一数或乘除同一非零数，等式仍成立．需注意乘除时数不能为零． 【详解】解：选项A：若， 两边加6得， 符合等式性质，正确． 选项B：若， 当时， 无论a、b为何值等式均成立， 此时无法推出． 因未限定，变形错误． 选项C：若， 隐含，两边乘c， 得，正确． 选项D：若， 两边除以（非零数），得，正确． 综上，B选项的变形未排除的情况，故错误． 故选：B． 【题型5】根据一元一次方程定义求参数(提升) 1.核心知识点总结 一元一次方程隐含条件：①未知数次数为1；②含未知数的项的系数≠0；③是整式方程。 一般形式：(，)，据此列关于参数的方程(组)求解。 2.高频考点梳理 已知方程是一元一次方程，求的值(2024福建泉州永春一中期中、山东泰安阶段练习真题)。 含多个参数的一元一次方程定义问题(如)。 3.易错点警示 只考虑次数为1，忽略系数≠0：如由得，未排除(此时系数)。 忽略“整式方程”条件：参数使分母含未知数时未排除。 4.解题技巧拆解 两步求解：①由次数为1列方程(如)；②由系数≠0列不等式(如)；③联立求解。 验证法：求出参数后代入原方程，验证是否为一元一次方程。 【例题5】．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是，系数不为，则这个方程是一元一次方程．可根据未知数的系数及未知数的指数列出关于的方程，继而求出的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式题5-1】．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式题5-2】．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解法等知识，根据一元一次方程的定义求出m是解题关键． 【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以， 所以， 所以原方程为， 所以， 故选：A． 【变式题5-3】．（22-23七年级下·广东湛江·开学考试）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据一元一次方程的定义计算即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且 解得且 即 故选：B． 【题型6】判断数值是否为方程的解(提升) 1.核心知识点总结 方程的解：使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解（一元方程的解也叫根）。 验证方法：将数值代入方程，分别计算左右两边的值，若相等则为解，否则不是。 2.高频考点梳理 选择题判断给出数值是否为方程的解 填空题直接求方程的解并验证，或根据解的定义补充条件。 3.易错点警示 代入计算错误：符号出错（如代入负数时未变号）、运算顺序出错（先乘除后加减）。 混淆“解”与“根”：一元方程的解可叫根，多元方程的解不能叫根，但验证方法一致。 4.解题技巧拆解 代入验证三步法：第一步将数值代入未知数位置，第二步分别计算左边和右边的值，第三步比较左右两边是否相等。 快捷排除法：先估算方程解的范围，排除明显不符合的选项。 【例题6】．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断是否为下列方程的解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查了方程的解的定义，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （2）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （3）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断； （4）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断． 【详解】（1）解：将代入，等号左边，右边， ∵左边右边 ∴不是的解； （2）解：将代入，等号左边，等号右边， ∵左边右边 ∴是的解； （3）解：将代入，等号左边，右边， ∵左边右边 ∴不是的解； （4）解：将代入，等号左边，等号右边， ∵左边右边 ∴是的解． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·全国·随堂练习）判断和是不是方程的解． 【答案】见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 将、分别代入方程，判断等号两边值是否相等即可解答． 【详解】解：将代入方程的左边，得左边， 则左边右边， ∴不是方程的解； 将代入方程的左边，得左边， 则左边右边， ∴是方程的解； 【变式题6-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 【答案】(1) (2)不是方程的解；是方程的解 (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其定义，熟练掌握一元一次方程的概念及解法是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程方程的定义，一元一次方程的解； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）分别将代入方程，进而判断方程的左右两边是否相等，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知且， 所以且， 所以； （2）由（1）可知方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边．所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边， 因为右边，所以左边右边， 所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边．因为右边， 所以左边右边， 所以是方程的解． 【题型7】根据方程的解求参数(提升) 1.核心知识点总结 方程的解的性质：将解代入原方程，左右两边相等，据此建立关于参数的新方程。 求解步骤：①代入解→②列参数方程→③解参数方程。 2.高频考点梳理 已知是方程的解，求的值。 含多个参数的方程解的问题(如是的解，求的值)。 3.易错点警示 代入时符号错误：如将代入，误算为(正确为)。 代入后解方程错误：如由得，误解得(正确为)。 4.解题技巧拆解 代入法核心：“解代入原方程，参数变未知数”。 整体思想：若参数含倍数关系(如)，可先求的值，再整体代入。 【例题7】．（25-26七年级上·北京·期中）若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴， 即， ∴． 因此，m的值为3． 故选：D． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·全国·期末）已知是方程的解，则的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定义及一元一次方程的求解，解题的关键是将方程的解代入原方程，转化为关于未知数的一元一次方程进行求解．先将代入方程，得到关于的一元一次方程；再通过移项、系数化为1求出的值，最后对照选项确定答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得； 移项，得； 系数化为1，得； 对照选项，的值为，对应选项B； 故选：B． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于m的一元一次方程． 把代入方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 即． 故答案为： 【题型8】根据方程的解求代数式的值(提升) 1.核心知识点总结 解题逻辑：①由方程的解求出参数(或参数关系式)；②将参数(或关系式)代入代数式求值。 整体代入法：无需单独求参数，利用参数关系式整体代入化简。 2.高频考点梳理 已知是的解，求的值。 结合一元二次方程的解求代数式的值(如是的解，求的值)。 3.易错点警示 单独求参数复杂时硬解：如由得，求时，硬解、(正确用整体)。 代数式化简错误：如，误化简为。 4.解题技巧拆解 整体代入口诀：“先找参数关系式，再将代数式凑成关系式形式”。 化简代数式：优先将代数式变形为含参数关系式的形式(如关系式，代数式)。 【例题8】．（25-26七年级上·四川自贡·期中）如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到关于a和b的关系式，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴； 故选：C． 【变式题8-1】．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如果是关于的一元一次方程，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，，进而求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式题8-2】．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如果是关于的方程的解，求的值． 【答案】21 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴． 【变式题8-3】．（2025·黑龙江·三模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】47 【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 【题型9】利用等式性质巧解方程(培优) 1.核心知识点总结 解方程本质：利用等式性质，将方程逐步变形为(为常数)的形式。 常用变形：移项(等式性质1的应用，移项要变号)、系数化为1(等式性质2的应用)。 等式性质公式： 性质1：若，则(为任意数或式子)。 性质2：若，则；若且，则。 2.高频考点梳理 解答题直接解方程，步骤分点给分。 选择题判断解方程步骤是否正确，常设置移项不变号、系数化为1时乘除错误等干扰项。 3.易错点警示 移项不变号：如，误将移到左边为，正确为；移到右边为，正确变形为。 系数化为1时乘除错误：如，误解得(应两边同时除以2)；，误解得(应两边同时除以，得)。 分数系数方程运算错误：如，误将两边乘，正确为两边乘2。 4.解题技巧拆解 两步解方程法(整数系数方程)： 1.移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项时务必变号。 2.系数化为1：两边同时除以未知数的系数，得到。 分数系数方程技巧：先两边同时乘各分母的最小公倍数，消去分母后再按整数系数方程求解。 口诀记忆：“移项变号，系数化1，符号优先，分数先消”。 【例题9】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列利用等式的性质解方程中，正确的是（  ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质及其计算是解题的关键． 等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立；由此即可求解． 【详解】解：A、，等式两边同时加上5得，，故原选项错误，不符合题意； B、，等式两边同时除以5得，，故原选项错误，不符合题意； C、，等式两边同时除以得，，故原选项错误，不符合题意； D、，等式两边同时减去3得，，正确，符合题意； 故选：D ． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）利用等式的性质解方程，在等式的两边都 ，得 ． 【答案】 乘以 【分析】本题考查了等式的性质 2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．根据等式的性质可以解答题目中的问题． 【详解】解：利用等式的性质解方程，在等式的两边都乘以，得， 故答案为：乘以，． 【变式题9-2】．（24-25七年级上·全国·期末）利用等式的性质解方程时，应在方程的两边同时（　　） A．加上 B．乘2 C．除以 D．乘 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键； 根据等式的基本性质，直接解答即可． 【详解】解： ， ∴利用等式的性质解方程时，应在方程的两边同时乘， 故选：D． 【变式题9-3】．（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等 (2)③，等式两边同时除以的x可能为0 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质． （1）①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． （2）小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； （3）正确的解题过程为：第③步改为x﹣3x＝0，故x＝0． 【详解】（1）解：①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． 故答案为：等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等； （2）解：小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； 故答案为：③，等式两边同时除以的x可能为0； （3）解：正确的解题过程为： 解方程：． 解：， ， ， ． ∴． 【题型10】方程与天平平衡问题(培优) 1.核心知识点总结 天平平衡本质：左右两边质量相等，即等式关系，利用等式性质分析增减物体后的平衡。 常用模型：设物体质量为、、，由天平平衡列等式(如)。 2.高频考点梳理 由天平平衡求物体质量关系(如一个“□”的质量是“○”的几倍)(2024福建宁德期末、山西吕梁阶段练习真题)。 增减物体后判断天平是否平衡，或求需添加的物体个数。 3.易错点警示 误读天平图形：如左边2个和1个平衡右边3个，误列为。 应用等式性质时出错：如由推出，违反性质1。 4.解题技巧拆解 转化法：将天平图形转化为数学等式(左盘质量=右盘质量)。 等式性质应用：增减物体对应等式两边加/减同一质量，判断平衡即判断变形后等式是否成立。 【例题10】．（24-25七年级下·全国·假期作业）在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，从图中可知，1个球的质量相当于2个正方体的质量，那么3个球的质量相当于6个正方体的质量；图中天平的右端已有2个正方体，再添加4个正方体，天平能保持平衡；否则天平不能保持平衡． 【详解】 解：A．天平右端原有2个正方体，再添加6个正方体，则右端有个正方体，天平不能保持平衡，故A符合题意； B．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故B不符合题意； C．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故C不符合题意； D．天平右端原有2个正方体，再添加4个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故D不符合题意． 故选：A． 【变式题10-1】．（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：C． 【变式题10-2】．（24-25七年级上·河南安阳·期末）【跨学科】小亮在实验室做实验时，称取实验所需药品的质量时没有找到天平，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂=阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为30克的物品时，右盘中放置10克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置45克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品的质量是 克． 【答案】15 【分析】本题主要考查一元一次的应用，设药品的质量为克，根据“动力动力臂=阻力阻力臂”，列出方程即可，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图可知，在两次称量中，动力臂、阻力臂没有改变， 设药品的质量为克， 列方程为， 解得， 故药品的质量为15克， 故答案为：15． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）综合与实践 某中学的活动社团利用天平和常见的物品探究等式的基本性质．现在每个小组有一架天平和克的砝码，如何称出张卡片和根吸管的重量呢？以下是笃行小组的实验记录． 实验准备 重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干． 天平右边 天平左边 天平状态 记录 张卡片个克的砝码 根吸管 平衡 记录 张卡片根吸管 根吸管个克的砝码 平衡 问题解决 (1)设张卡片重克，根据记录，用表示根吸管的重量是_______克． (2)求张卡片和根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个克的砝码，再把若干张卡片和若干根吸管分别放在天平的左右两边使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【答案】(1)； (2)张卡片重克，根吸管重克； (3)成立，卡片为张． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设张卡片重克，根据记录即可列出代数式； （）设张卡片重克，则根据记录得根吸管的重量是，由题意列出方程，然后解方程即可； （）设卡片的数量为张，则吸管的数量为张，则卡片重克，吸管重克，由题意可得出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设张卡片重克，根据记录得： 则根吸管的重量是:， 故答案为：； （2）解：设张卡片重克，则根据记录得根吸管的重量是， ∴， 解得：， 则根吸管的重量是， 答：张卡片重克，根吸管重克； （3）解：成立，理由， 设卡片的数量为张，则吸管的数量为张， 由（）得：张卡片重克，根吸管重克， ∴卡片重克，吸管重克， ∵为正整数， ∴， ∴， 解得：， 答：卡片的数量为张． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数是1）判断各选项． 【详解】∵ A选项含有一个未知数y，且次数为1，是一元一次方程； B选项没有未知数，不是方程； C选项未知数次数为2，不是一元一次方程； D选项含有两个未知数，不是一元一次方程． 故选A． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B． C．1或0 D．0 【答案】D 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数，根据一元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，且， 解得， 故选：D． 3．（25-26七年级上·北京房山·期中）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）下列推理中，同时运用了等式的对称性与传递性的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质1，等式的性质2，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据等式的性质1，等式的性质2等知识点，对四个选项逐一分析，再作判断． 【详解】解：若，则，这是等式的对称性，故A不符合题意； 若，，则，这是等式的传递性，故B不符合题意； ∵ 且 （已知）， ∴ （等式的传递性）， ∴ （等式的对称性）， 故C同时运用了等式的对称性与传递性，符合题意； 若，则，这是运用的等式的性质1，故D不符合题意， 故选：C． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将方程的解代入原方程，通过计算即可求出被污染的常数． 【详解】解：∵ 方程的解为， ∴ 代入方程得：， ∴， ∴， ∴， 故被污染的常数是3． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·四川成都·月考）关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到且，求解即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过一元一次方程求参数，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须是1且系数不为零，得到且，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ 且， 由，得，所以或 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件， 故答案为：． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入，得到和的数量关系并代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 经整理，得， 则 ． 故答案为：2025． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 根据方程解的定义，将代入方程求出的值，再代入计算． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以将代入方程，得， 因此，． 故答案为 3． 10．（20-21七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．设左盘中物体的质量等于，根据题意列方程并解得x的值即可． 【详解】解：设左盘中物体的质量等于， 由题意得， 解得：， 即左盘中物体的质量等于， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断是否是下列一元一次方程的解： ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题考查了一元一次方程的解．将分别代入各方程，判断方程左边是否等于方程右边，进而得解． 【详解】解：①将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； ②将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； ③将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； ④将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； 综上，符合题意的是②④． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先等式两边同加上4，再等式两边同除以5即可； （2）先等式两边同减去3，再等式两边同乘以2即可； （3）先等式两边同减去1，再等式两边同除以即可； （4）先等式两边同减去，再等式两边同除以3即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 【答案】（1）5，1，同时加上5（2），1，同时加上（3）3，2，同时乘以3 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）若，则， 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上5， 故答案为：5，1，同时加上5； （2）若，则． 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上， 故答案为：，1，同时加上． （3）若，则． 这是根据等式基本性质2，等式的两边同时乘以3； 故答案为：3，2，同时乘以3． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）对于方程，小红判断该方程的解为，小亮判断该方程的解为，请你说明谁的判断正确． 【答案】小亮，见解析 【分析】根据方程解的定义，将小红和小亮所说的值分别代入方程左右两边，计算并比较两边结果是否相等，以此判断谁的判断正确．本题主要考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程的两边时， 左边， 右边． 因为左边右边， 所以不是原方程的解． 把代入方程的两边时， 左边， 右边． 因为左边=右边， 所以是原方程的解， 所以小亮的判断正确． 15．（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： 甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元．用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 【答案】 【分析】本题考查了列方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 可以设甲种铅笔买了x支，根据“23元钱买了两种铅笔一共买了15支”列出方程即可． 【详解】解：设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买支， 由题意得． 16．（24-25七年级下·全国·假期作业）仔细观察如图： (1)填一填． (2)说一说，你发现什么？ 【答案】(1)=；2；=；=；3； (2)我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据天平左右两边相等即可得到答案． （2）通过观察发现，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 【详解】（1）解：∵天平平衡时，天平左右两边的质量相等， ∴，，， 填写如下： （2）解：我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 学科网（北京）股份有限公司 $