2.1 认识实数 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实数”核心内容，涵盖无理数概念、实数分类、与数轴的一一对应及性质运算。课堂导入通过回顾无限不循环小数，以问题链衔接旧知，引导学生构建知识支架，自然过渡到实数的学习。 其亮点在于以“数学眼光”引导学生观察有理数与无理数的小数特征，通过实例探究培养抽象能力；以“数学思维”设计题型训练，如识别有理数和无理数，发展推理意识；用分类表格、数轴表示等“数学语言”系统呈现知识。教学方法注重归纳总结与例题结合，小结梳理清晰，助力学生理解概念，也为教师提供高效教学路径。

第2章 实数 2.1 认识实数 第2课时 实数 学 习 目 标 1 2 3 感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由. 通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练思维判断能力. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 情景引入 上节课我们学习了无限不循环数的概念，谁能回忆一下：什么是无限不循环小数？ 所有的无限不循环小数是否都可以归为一类？ 包括刚接触不久的无限不循环小数在内的所有学过的数是否有一个总的概括？ 新知探究 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3， =0.8 =0.5 · = 0.18 ·· =﹣0.17 · 3=3.0 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 归纳总结 新知探究 无限不循环小数称为无理数. 如圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数.再如0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是无理数. 而能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数. 想一想：你能找到其他的无理数吗？ ※问题2 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 新知探究 探究2 实数的意义及表示 3.14， ， 0.57， 0.1010001000001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） 有理数： 无理数: 3.14， ， 0.57 0.1010001000001⋯（两个 1 之间 0 的个数加 2） 有理数和无理数统称为实数 区分以上数字是按照有理数和无理数区分的，若按照正负来分，那么正数和负数都有哪些？ 正数： 3.14，0.57，0.1010001000001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） 负数： ※问题2 还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 新知探究 探究2 实数的意义及表示 实数的运算规则和有理数的一致 当所学的数扩充到实数之后，其运算法则是怎样的？ 有理数可分为正有理数、负有理数和0 类似的，可将实数分为正实数、负实数和0 （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的完全一样； （2）实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用； 探究新知 探究1 实数的分类 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3，-，，， 3=_______ - =____________ =_______ =______ =____________ =_______ =____________ =_______ =____________ =_______ 3.0 -0.6666666··· -0. 5.875 0.818181··· -0. -0.1222222··· -0.1 -0.5555555··· -0. 发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数. 我们遇到、、、 是什么数呢？ 识别有理数、无理数 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 无理数的特征: 1．圆周率及一些最终结果含有的数. 2.有一定的规律，但不循环的无限小数. 例1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，- ，0.57，0.1212221222221…（相邻两个1之间2的个数逐次加2）. .. 解：有理数有：3.14， ，0.57； .. 无理数有：0.1212221222221… 有理数 无理数 归纳总结 新知探究 有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。 1、近似计算例子：求a=1.41421356…与π=3.14159265…的和（保留两位小数） 例题讲解 实数的意义及表示 解 2、试一试：将下列实数填入相应的集合中（每个数只能填一次）： 、−3、、、、、、​、0 无理数集合： 有理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 非负实数集合： 5、-2、−3、、​、0 、、、、、 −3、 、、、、、、0 1.414 3.141 ≈4.56 拓展提升 前面讨论的两个正方形，边长分别是 a, b，且满足 ; 如图，数轴上点 A 对应 a, b 中的哪个数？ 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的． 在数轴上找到任意大于2小于3的对应的点，并说明你是如何画出来的 解：① 作直角边长为_1和2的直角三角形； ② 以原点O为圆心，以_斜边长度为半径画弧交数轴于E，点E即是数b 无限不循环小数为无理数. 如π=3.14159265…， 0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0） 那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。 1.圆周率及一些含有的数 2.开方开不尽的数，如： 3.有一定的规律，但不循环的无限小数，如： 无理数的特征： 0.1010010001L（每两个1之间依次增加一个0） 注意：带根号的数不一定是无理数 新知探究 尝试思考 无理数和有理数一样，也有正负之分．如 是正的，-π是负的. 3.14， ， ，0.101 000 100 000 1…（相邻两 个 1 之间 0 的个数逐次加 2）. （1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 正数集合 负数集合 新知探究 【归纳总结】实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏 ①按概念分类： ②按性质符号分类： 实数 有理数 无理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 正无理数 负无理数 实数 正实数 负实数 正有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 正有理数 负无理数 0 正无理数 （2）你能仿照有理数的分类给实数分类吗？ 应用新知 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. （相邻两个1之间0的个数逐次加1） C. ​ D. 2. 实数的正确分类是（ ） A. 正数、负数和0 B. 有理数和无理数 C. 整数和分数 D. 有限小数和无限小数 B B 应用新知 3. 下列说法正确的是（ ） A. 无理数都是带根号的数 B. 有理数都是有限小数 C. 无限不循环小数是无理数 D. 4. 比较大小 -3.14 . 5.请你列举出一个无理数： ，列举出一个实数： C > 10（答案不唯一） 判定一个数是不是无理数： (1)看它是不是无限不循环小数； (2)所有的有理数都能写成分数形式，无理数则不能. 归纳总结 具体从以下几方面来判断： (1)开方开不尽的数是无理数； (2) π 是无理数； (3)无理数与有理数的和、差一定是无理数； (4)无理数与有理数（不为 0）的积、商一定是无理数. 新知探究 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数倒数、绝对值的意义完全一样。 名称 表示 性质 相反数 绝对值 倒数 实数a的相反数是－a a，b互为相反数a+b=0 实数a的绝对值表示为|a| （2）|a|≥0 （3）|a| = |－a| a与 互为倒数（其中 a ≠ 0） 1 a （1）|a|= a（a>0） 0（a=0） －a（a<0） （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数 （1）ab互为倒数ab=1 新知探究 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 归纳总结 题型总结 类型一：有理数与无理数的识别 1.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 有理数： 无理数： 2.将下列数分类： 类型二：实数的分类 −0.6，，0，0.121121112⋯（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 有理数：−0.6，，0 无理数：0.121121112⋯（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 题型总结 类型三：实数性质迁移应用 3.a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若 ，则它的倒数如何表示? 解: a的相反数是-a； a的绝对值是|a|; a的倒数是（a 类型四：实数的几何表示 4.请你在方格纸上分别按照如下要求设计一个直角三角形： （1）使它的三边中恰有一边边长是无理数；  （2）使它的三边中恰有两边边长是无理数；  （3）使它的三边边长都是有无理数。 有理数和无理数统称为实数. 按概念分类： 无理数： 无限不循环小数 有理数：可以写成 有限小数或无限循环小数 实 数 分数 整数 开不尽方的数开方所得结果； 有规律但不循环的无限小数； …… 化简后含有 π 的数； 按符号分类： 正实数 负实数 数实 负有理数 正有理数 0 负无理数 正无理数 正实数 0 1 负实数 新知探究 思考交流 前面讨论两个正方形，边长分别是a,b,且满足a2=2,b2=5. (1) 如图，OA=OB，数轴上点 A 对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？ －2 －1 0 1 2 A B O 介于整数1和2之间 新知探究 思考交流 （2）你能在数轴上找到 对应的点吗？与同伴进行交流. －2 －1 0 1 2 1 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. 实数和数轴上的点是一一对应的. 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 归纳总结 例2 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小. （用“＜”号连接） 典例精析 ，，，－，1.5 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 解: 如图所示. －2 1.5 - 1.5 课堂小结 本节课学习内容梳理： $