2.1《一元二次方程》课件2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及系数，通过知识回顾（方程、一元一次方程等）和现实问题情景（如正方形面积、矩形花圃），搭建从已有知识到新知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点是以现实问题为载体，培养学生用数学眼光观察世界，通过归纳共同特征形成概念发展推理意识，例题练习强化模型意识助力数学语言表达。学生能提升抽象能力和应用意识，教师可获得结构化资源提高教学效率。

研究课题 2026-2027学年 苏科版 九年级数学上册 2.1　一元二次方程 学习目标 1．感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2．理解一元二次方程的概念； 3. 了解一元二次方程的一般形式，会写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 知识回顾 什么叫方程？我们学过的方程有哪些？ 1 一元一次方程 3 含有未知数的等式叫做方程. 2 二元一次方程 4 分式方程 5 问题情景 问题1. 正方形桌面的面积是2m 2.设正方形桌面的边长是xm，该桌面的边长与面积之间的数量关系为_________. x 2＝2 问题2. 如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2.设花圃的宽是xm，该花圃的宽与面积之间的数量关系为______________. xm (19-2x)m x (19－2x )＝24 问题情景 问题3. 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册. 设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为________万册，两年后为_________万册，该图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间数量关系为_____________. 5(1＋x) 5(1＋x)2 5(1＋x)2 ＝9.8 问题情景 问题4.如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m．设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？ 5 m x m (x－1)m x 2＋(x －1)2 ＝25 尝试与交流 5(1＋x )2 ＝9.8 x (19－2x)＝24 x 2＝2 x 2＋(x－1 )2＝25 这些方程有哪些共同的特征？ 只含有1个未知数 未知数的最高次数是2 都是整式方程 19x -2x 2=24 5+10x +5x 2=9.8 x 2+x 2-2x +1=25 这些方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 7 一元二次方程概念 方程等号两边均为整式只含有一个未知数未知数最高次数为2满足以上条件的方程为一元二次方程 新知归纳 8 新知巩固 核心判断方法指导 各方程判定结果 判断一元二次方程 1. 需为整式方程 2. 整理后满足一元、二次条件 判定方法细则 (1)1-x²=0：是 (2)2(x²-1)=3y：否 (3)y(y-3)=-4：是 (4)t²=-1：是 各方程判定 (5)x=1/x：否 (6)ax²+bx+c=0：否 需满足a≠0 补充判定说明 新知归纳 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为a x 2 + b x + c = 0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的形式，我们把 这种形式 称为一元二次方程的一般形式. a≠0 ax 2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 例题讲解 例1 将方程3x (x -1)=5(x +2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x 2-3x =5x +10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x 2-8x -10=0. 二次项是3x 2，系数是3； 一次项是-8x，系数是-8； 常数项是-10. 新知巩固 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 5(1＋x )2 ＝9.8 x (19－2x)＝24 x 2＝2 x 2＋(x－1 )2 ＝25 x 2-2=0 1.填表： 1 0 -2 2x 2-19x+24=0 2 -19 24 5x 2+10x-4.8=0 5 10 -4.8 2x 2-2x-24=0 2 -2 -24 注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括前面符号的. 新知巩固 2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) x 2-x =2; (2) 4x +1=x 2; (3) 2x 2=-3x +1; (4) x (x +3)=-2. x 2-x -2=0 二次项系数1、一次项系数-1、常数项-2. x 2-4x -1=0 二次项系数1、一次项系数-4、常数项-1. 2x 2+3x -1=0 二次项系数2、一次项系数3、常数项-1. x 2+3x +2=0 二次项系数1、一次项系数3、常数项2. 例题讲解 例2 解： a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax 2－x =2x 2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. (1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x 2-x=0， ∴当a -2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a∣+1 =2，且a -1 ≠0得， 当a=-1时，原方程是一元二次方程. 新知巩固 2.如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为(　　) A．±3 B．3 C．－3 D．以上都不对 C 1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是(　　) A．a≠0 B．a＝1 C．a≠1 D．a为任意实数 C 例题讲解 例3 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x. 整理，得 25x 2＋50x－11＝0 根据题意得 75(1＋x )2＝108 新知巩固 用一元二次方程方程描述下列问题中的数量关系： (1)一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多8cm，设它的宽为xcm，可得方程_______________. (2)一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm 的正方形孔，已知正方形面积是圆面积的 ，设圆的半径为xcm，可得方程___________. x (8＋x )＝240 πx 2＝9 x2 ＋8x-240＝0 πx 2-9＝0 课堂小结 概念 是整式方程； 只含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a、b、c为常数且a ≠ 0) ax 2 称为二次项，a 称为二次项系数； bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项. 1.一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是____________. 2x 2 －x－7＝0 2.关于x 的方程(k 2－1)x 2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k______时，是一元二次方程；当k_______时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 当堂检测 当堂检测 3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 3x2－8x－10＝0 解:(1)原方程化为一般形式为： 二次项是3x2，二次项系数为3，一次项是-8x，一次项系数为-8， 常数项为-10. (1)3x(x－1)＝5(x＋2); (2)(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1 (2)原方程化为一般形式为： 5x2＋8x－2＝0， 二次项是5x2，二次项系数是5， 一次项是8x，一次项系数是8， 常数项是－2. 当堂检测 4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形? （2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次聚会？ 解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0. 解：设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得x2-x-20=0. 当堂检测 5. 已知关于x的方程（m－1）＋（m－2）x－1＝0，回答下面的问题： （1） 若方程是一元二次方程，求m的值. 解：（1） 根据题意，得m 2＋1＝2，且m－1≠0，解得m ＝－1 （2） 若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m 的值，并求出方程的解. 解：（2） 存在　有两种情况： ① 当满足m2＋1＝1，且（m－1）＋（m－2）≠0 时，解得m＝0， 则方程变为－3x－1＝0，解得x＝－； ② 当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1， 则方程变为－x－1＝0，解得x＝－1 课后思考 以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条件的不同的一元二次方程？ -2x 2-3x=0 -2x 2+3=0 3x 2-2x=0 3x 2-2=0 23 循理而行，来日再研 $