专题04 二次根式（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦山东中考二次根式专题，整合2024-2026年3年真题及模拟题，覆盖有意义、运算、规律三大核心考点，凸显考情分析与命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|约10道（2-4分）|含二次根式有意义（2024烟台卷分式复合）、规律探究（2026烟台菱形平移）|真题注重概念综合（如分母非负+被开方数非负），模拟题新增几何最值| |单选题|3道（3分）|运算辨析（2025东营卷同类二次根式判断）|侧重符号处理与运算规范性，契合基础必得分要求| |解答题|4道（6分）|实数混合运算（2025德州卷含零指数幂）、化简求值（2026潍坊模考）|跨知识点拼盘（如二次根式+三角函数），体现山东中考综合化趋势|

专题04 二次根式 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01有意义 2026 烟台卷 2025 德州卷 2024 烟台卷 分值 2-3 分，核心考查被开方数非负的基础概念。早期以单一二次根式的直接求解为主，近年逐步叠加分式分母不为零、双重根号、非负性（平方、绝对值）等条件，高频出现 “分式 + 二次根式” 复合型设问，易错点集中在遗漏分母不为零的限制。整体难度偏低，属于必得分考点，综合化考查趋势逐年增强。 考点02二次根式的相关运算 东营、济宁以选择题考查，威海、烟台、淄博以填空题考查，德州、青岛纳入解答题实数运算板块，全省模考全覆盖 分值 3-6 分，核心考查二次根式化简与四则混合运算，常与零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数拼盘命题。早年以纯代数计算为主，近年逐步融入分式化简、不等式组、几何公式等跨知识点背景，侧重运算规范性，易错点为同类二次根式判断与符号处理。难度稳中有升，综合运算占比持续提高。 考点03二次根式中的规律问题 2026 烟台卷 2024 东营卷 分值 3-4 分，为拔高类考点，以坐标递变、图形循环为核心载体，结合菱形、直线、等边三角形等几何背景考查归纳推理能力。早期多为纯数字规律题，近年全面转向数形结合命题，融合平移性质、一次函数、几何边长计算等知识点。模考新增新定义、几何最值类创新考法，区分度逐步加大。 考点01 有意义 一、填空题 1．（2026·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得 2．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 3．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 考点02 二次根式的相关运算 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 2．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 二、填空题 3．（2025·山东威海·中考真题）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 4．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为________． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 5．（2024·山东淄博·中考真题）计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2024·山东威海·中考真题）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题 7．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2025·山东青岛·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 【答案】（1）7；（2）； 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及一元一次不等式组的求解，需熟练掌握二次根式的化简并正确计算，根据不等式组的解集写出整数解是解决本题的关键． （1）先将与化简，再进行二次根式的运算； （2）分别求解一元一次不等式的解，即可求出不等式组的解集，再由解集求出整数解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：不等式组为， 则有，解得， 则有，解得， ∴不等式组的解集为， 则整数解为． 考点03 二次根式中的规律问题 一、填空题 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点为顶点作边长为2的菱形，点在轴上，且，将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；再将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；…；按照以上规律作图，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点H，从开始，每8个点记为1组，根据得到的位置和第1组中的位置相同，然后求出，，，发现规律求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵所以菱形都两两全等 ∴从开始，每8个点记为1组， ∵ ∴的位置和第1组中的位置相同， ∵ ∴ ∵菱形的边长为2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，， 由平移得， ∴ ∴， ∵菱形与菱形全等 ∴同理可得，，， ∴ ∴ ∴． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·山东聊城·二模）若，则的算术平方根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方和绝对值的非负性得，求解，后计算，再求出的算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∵算术平方根为非负数， ∴的算术平方根为． 二、填空题 2．（2026·山东聊城·二模）任写一个使二次根式有意义的x值______． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件. 得到被开方数是解题的关键． 【详解】∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故可取（答案不唯一，满足即可）． 3．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 4．（2026·山东德州·二模）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简__________． 【答案】 【分析】根据数轴上各点的位置有：，即可化简作答． 【详解】根据数轴上点的位置有：， ∴， 即：． 5．（2026·山东德州·三模）当___时，代数式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件和二次根式有意义的条件，根据分子等于零，分母不等于零，二次根式被开方数非负求解即可． 【详解】解：由题意得：，且． 由得． 解得或． 由得． 因此． 6．（2026·山东临沂·二模）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】将已知三边长代入公式，根据运算法则计算即可． 【详解】解：将，，代入得： ． 7．（2026·山东枣庄·三模）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据图形得到，，最后根据，得到即可求出最小值． 【详解】解：如图，，， 连接，延长与交于点， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 8．（2026·山东枣庄·三模）已知是二次根式，则字母应满足的条件是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到满足的条件． 【详解】解：若是二次根式，则需满足被开方数为非负数，且分式的分母不为零． 由题意得，且． ． 解得． 9．（2026·山东青岛·二模）计算：=_____． 【答案】6 【详解】解：． 10．（2026·山东青岛·二模）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和特殊角的三角函数值，解题思路为先根据二次根式运算法则化简第一部分，再代入特殊角的三角函数值计算第二部分，最后作差即可求解． 【详解】解 ：原式 11．（2026·山东聊城·一模）计算_________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ． 12．（2026·山东德州·二模）计算：______，______． 【答案】 【详解】解：， ． 13．（2026·山东聊城·一模）写出使二次根式有意义的的一个值：_________． 【答案】0（满足即可） 【分析】要使二次根式有意义，被开方数应大于等于0，代入条件得到，只要x是满足的任意实数均可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数， 解不等式得， 取（满足的任意实数均可）． 14．（2026·山东菏泽·二模）计算：______． 【答案】1 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂的运算和二次根式的化简计算即可． 【详解】解：原式． 15．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，在直线上，若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为．则可表示为_______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，则，表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数求出角的度数，根据规律表示出相关线段的长度，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点在上，设，则， ∴， ∴， ∴直线与轴的夹角，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， 可知， ∴， ∴， ， ， ∴． 16．（2026·山东聊城·二模）用所学公式计算下面题目： （1）； （2）； （3）； （4）． 用你发现的规律写出下题的结果： __________． 【答案】 【分析】根据计算所得结果即可得到规律，进而可求解． 【详解】解： （1）； （2）； （3）； （4）， 根据上述几题的结果可得：， ∴． 三、解答题 17．（2026·山东潍坊·二模）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴原式 18．（2026·山东青岛·二模）根据要求解决问题： (1)【新知探究】 对于正数、，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 ， 3 ①表格中的__________； ②根据表格，猜想_________（比较大小） (2)【理解应用】 ①已知，，当_________时，代数式取得最大值是________； ②如图，已知，在中，，，则周长的最大值为_________． 【答案】(1)①；② (2)①20；100；② 【分析】（1）①直接代入公式计算即可求解；②根据表格直接观察即可求解； （2）①根据进行变形即可求解；②先利用勾股定理得到，再利用得出后即可求解． 【详解】（1）解：①； ②由表格数据发现，对于正数、，有， ∴． （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 当，即时，， ∴时，代数式取得最大值是100； ②∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最大值为． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01有意义 2026 烟台卷 2025 德州卷 2024 烟台卷 分值 2-3 分，核心考查被开方数非负的基础概念。早期以单一二次根式的直接求解为主，近年逐步叠加分式分母不为零、双重根号、非负性（平方、绝对值）等条件，高频出现 “分式 + 二次根式” 复合型设问，易错点集中在遗漏分母不为零的限制。整体难度偏低，属于必得分考点，综合化考查趋势逐年增强。 考点02二次根式的相关运算 东营、济宁以选择题考查，威海、烟台、淄博以填空题考查，德州、青岛纳入解答题实数运算板块，全省模考全覆盖 分值 3-6 分，核心考查二次根式化简与四则混合运算，常与零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数拼盘命题。早年以纯代数计算为主，近年逐步融入分式化简、不等式组、几何公式等跨知识点背景，侧重运算规范性，易错点为同类二次根式判断与符号处理。难度稳中有升，综合运算占比持续提高。 考点03二次根式中的规律问题 2026 烟台卷 2024 东营卷 分值 3-4 分，为拔高类考点，以坐标递变、图形循环为核心载体，结合菱形、直线、等边三角形等几何背景考查归纳推理能力。早期多为纯数字规律题，近年全面转向数形结合命题，融合平移性质、一次函数、几何边长计算等知识点。模考新增新定义、几何最值类创新考法，区分度逐步加大。 考点01 有意义 一、填空题 1．（2026·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 2．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 考点02 二次根式的相关运算 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·山东威海·中考真题）计算：___________． 4．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为________． 5．（2024·山东淄博·中考真题）计算：__________． 6．（2024·山东威海·中考真题）计算：________． 三、解答题 7．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 8．（2025·山东青岛·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 考点03 二次根式中的规律问题 一、填空题 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点为顶点作边长为2的菱形，点在轴上，且，将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；再将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；…；按照以上规律作图，则点的坐标为__________． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_______． 一、单选题 1．（2026·山东聊城·二模）若，则的算术平方根是（） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·山东聊城·二模）任写一个使二次根式有意义的x值______． 3．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 4．（2026·山东德州·二模）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简__________． 5．（2026·山东德州·三模）当___时，代数式的值为0． 6．（2026·山东临沂·二模）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________． 7．（2026·山东枣庄·三模）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为_______． 8．（2026·山东枣庄·三模）已知是二次根式，则字母应满足的条件是__________． 9．（2026·山东青岛·二模）计算：=_____． 10．（2026·山东青岛·二模）计算：______． 11．（2026·山东聊城·一模）计算_________． 12．（2026·山东德州·二模）计算：______，______． 13．（2026·山东聊城·一模）写出使二次根式有意义的的一个值：_________． 14．（2026·山东菏泽·二模）计算：______． 15．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，在直线上，若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为．则可表示为_______． 16．（2026·山东聊城·二模）用所学公式计算下面题目： （1）； （2）； （3）； （4）． 用你发现的规律写出下题的结果： __________． 三、解答题 17．（2026·山东潍坊·二模）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 18．（2026·山东青岛·二模）根据要求解决问题： (1)【新知探究】 对于正数、，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 ， 3 ①表格中的__________； ②根据表格，猜想_________（比较大小） (2)【理解应用】 ①已知，，当_________时，代数式取得最大值是________； ②如图，已知，在中，，，则周长的最大值为_________． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $