专题02 整式、因式分解、分式、二次根式（5年汇编）（山西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合山西2022-2026中考真题及模拟题，聚焦整式、因式等6大考点，兼具基础巩固与创新应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题/3分|整数混合运算、二次根式|2026真题结合两位数数位推理，融合整除规律| |填空|约8题/3分|整式应用、因式分解|2025真题乡村电商利润计算，贴近生活情境| |解答|约5题/6-8分|分式运算、乘法公式|2023真题完整展开步骤，强调公式结构理解|

专题02 整式、因式、分式、二次根式 5年真题1年模拟 考点分类 山西考情（2022-2026） 命题规律 考点01整数的混合运算 2026山西卷 2025山西卷 2024山西卷 2023山西卷 近四年选择题必考，分值固定3分，是试卷基础入门题型。早期只单纯判断幂运算、同类项合并计算正误，易错陷阱集中在指数运算混淆、正负符号写错。近几年命题综合性大幅提高，出现两位数数位结合代数推理的创新题型，需要列式化简结合整数整除规律筛选答案，偶尔融合负整数指数、绝对值运算，对逻辑推理和综合计算能力要求更高。 考点02 乘法公式 2023山西卷 2022山西卷 2022、2023连续两年考查，选择、解答题都会出现，核心围绕平方差、完全平方公式命题。选择题常搭配分式、二次根式化简使用公式简便运算；解答题结合整式乘法、加减混合化简，完整展开步骤是得分关键。学生极易出现完全平方漏中间项、符号出错的问题，考题重点检验学生对公式结构的理解，不局限于背诵公式结果。 考点03 整式、代数式及其应用 2025山西卷 2023山西卷 主要以填空题形式考查，分为两大出题板块。第一类结合山西本地乡村电商、手工特产等生活化场景，让学生列代数式表示利润、数量关系；第二类图形圆点等差规律探究，用含 n 的代数式总结通用规律。命题脱离单纯数字计算，贴近真实生活情境，考验学生文字转数学式子的建模能力，规律题不再是简单罗列数字，更侧重实际应用表达。 考点04 分式的运算 2026山西卷 2024山西卷 在填空、解答大题高频出现，核心考查分式通分、约分、四则混合运算。考题常搭配负整数指数幂、绝对值知识点综合出题，计算步骤变多。解答题阅卷严格要求规范书写，因式分解约分、去括号变号都是高频失分点。整体计算复杂度逐年小幅上升，侧重检验学生细心程度与基础运算步骤的完整性，是代数板块重点计算题。 考点05 二次根式 2026山西卷 2023山西卷 2022山西卷 选择、填空两类题型交替考查，常规考点包含根式化简、根式数值大小对比。近年明显提升平方差公式在根式计算中的考查频率，利用公式简化无理数运算；单纯估算数值大小的题型逐年减少。考题兼顾基础计算与简便运算技巧，学生容易混淆根式乘除法则、化简后忘记最简形式，侧重灵活运用公式简化计算的能力。 考点05 因式分解 2025山西卷 填空题单独考查，分值3分，属于基础送分小题。命题固定两步分解模式，第一步提取公因式，第二步套用平方差或完全平方公式。常见失分点为分解不完全、正负符号处理失误，该知识点是分式约分、整式化简的基础工具，考题重点检验分解的完整性。 考点01 整数的混合运算 1．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 2．（2026·山西·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点02 乘法公式 1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 考点03 整式、代数式及其应用 1．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 2．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示）    考点04 分式的运算 1．（2026·山西·中考真题）计算的结果是_____． 2．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 考点05 二次根式 1．（2026·山西·中考真题）比较大小：_____6（填“>”“<”或“=”）． 2．（2023·山西·中考真题）计算（+）（﹣）的结果为__________． 3．（2022·山西·中考真题）计算的结果是______． 考点06 因式分解 1．（2025·山西·中考真题）因式分解： ________． 1．（2026·山西太原·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西长治·三模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山西临汾·三模）若，，则代数式的值为（    ） A．2020 B．2025 C．2022 D．2030 4．（2026·山西阳泉·三模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 2 3 … … 0 无意义 ☆ 无意义 ☆ … A． B． C． D． 5．（2026·山西忻州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西运城·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山西吕梁·二模）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（2026·山西临汾·三模）若二次根式是最简二次根式，则正整数x的值可以为______．（写出一个即可） 9．（2026·山西运城·二模）计算：______． 10．（2026·山西长治·三模）化简的结果为__________． 11．（2026·山西临汾·三模）计算：______． 12．（2026·山西阳泉·三模）因式分解：______． 13．（2026·山西阳泉·三模）忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 14．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 15．（2026·山西运城·二模）按要求完成下列各题 (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 16．（2026·山西吕梁·二模）计算与化简 (1)计算：； (2)化简：． 17．（2026·山西朔州·三模）完成下列各题： (1)计算：； (2)下面是乐乐进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成下面任务： 因式分解：． 解：原式……………第一步 ．…………………………………………第二步 ①任务一：以上解题过程，第________步出现错误，错误原因是________ ②任务二：请写出正确的解题过程． 18．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： (1)45是“k阶和倍数”，则______； (2)若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； (3)若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02整式、因式、分式、二次根式 5年真题1年模拟 五年真题分类园 考点01整数的混合运算 1.D 2.B 3.B 4.D 5.D 考点02乘法公式 1.A 2.(1)1(2)2x2+1 考点03整式、代数式及其应用 1.60a 2.(2+2n) 考点04分式的运算 1 1.m 2x 2.(1)-10:(2)x+2 考点05二次根式 113 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.= 2.-1 3.3 考点06因式分解 1.(m+4)(m-4) 一年模拟练测园 1.C 2.D 3.C 4.D 5.c 6.B 7.c 8.3(答案不唯一) 9.12 1.x- 12.(-4 13.80a 14.440 15.a4+v5 (2)-a-b;1 16.(1)-6: (2)-7a+15 213 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.a)5 (②)①一，去括号时，括号前是负号，去掉括号后-2b未变号：②正确过程如下： 解原式(2a+b+a-2b)(2a+b-a+2b) =(3a-b)(a+3b) 18.(1)5 (2)11 )解：设两位自然数p的十位数字为a,个位数字为b(1≤a≤9,1≤b≤9且a,b为整数)， 10a+b=7(a+b) 由p是“7阶和倍数”，得： 整理得：10a+b=7a+7b,化简得a=2b, 因此P=10a+b=10×2b+b=21b, 对P-P因式分解，P-p=pp-)代入P-2b,符：pp-1)=21b(216-1), 可知P-P是21的倍数， 又，21b和21b-1是两个连续整数， 它们的乘积一定是偶数，即P-P 也是2的倍数， .2和21互质， pi-p 一定是2×21=42的倍数， :216(21b-)定能被42整除。即广-P定是42的倍数。 313 专题02 整式、因式、分式、二次根式 5年真题1年模拟 考点分类 山西考情（2022-2026） 命题规律 考点01整数的混合运算 2026山西卷 2025山西卷 2024山西卷 2023山西卷 近四年选择题必考，分值固定3分，是试卷基础入门题型。早期只单纯判断幂运算、同类项合并计算正误，易错陷阱集中在指数运算混淆、正负符号写错。近几年命题综合性大幅提高，出现两位数数位结合代数推理的创新题型，需要列式化简结合整数整除规律筛选答案，偶尔融合负整数指数、绝对值运算，对逻辑推理和综合计算能力要求更高。 考点02 乘法公式 2023山西卷 2022山西卷 2022、2023连续两年考查，选择、解答题都会出现，核心围绕平方差、完全平方公式命题。选择题常搭配分式、二次根式化简使用公式简便运算；解答题结合整式乘法、加减混合化简，完整展开步骤是得分关键。学生极易出现完全平方漏中间项、符号出错的问题，考题重点检验学生对公式结构的理解，不局限于背诵公式结果。 考点03 整式、代数式及其应用 2025山西卷 2023山西卷 主要以填空题形式考查，分为两大出题板块。第一类结合山西本地乡村电商、手工特产等生活化场景，让学生列代数式表示利润、数量关系；第二类图形圆点等差规律探究，用含 n 的代数式总结通用规律。命题脱离单纯数字计算，贴近真实生活情境，考验学生文字转数学式子的建模能力，规律题不再是简单罗列数字，更侧重实际应用表达。 考点04 分式的运算 2026山西卷 2024山西卷 在填空、解答大题高频出现，核心考查分式通分、约分、四则混合运算。考题常搭配负整数指数幂、绝对值知识点综合出题，计算步骤变多。解答题阅卷严格要求规范书写，因式分解约分、去括号变号都是高频失分点。整体计算复杂度逐年小幅上升，侧重检验学生细心程度与基础运算步骤的完整性，是代数板块重点计算题。 考点05 二次根式 2026山西卷 2023山西卷 2022山西卷 选择、填空两类题型交替考查，常规考点包含根式化简、根式数值大小对比。近年明显提升平方差公式在根式计算中的考查频率，利用公式简化无理数运算；单纯估算数值大小的题型逐年减少。考题兼顾基础计算与简便运算技巧，学生容易混淆根式乘除法则、化简后忘记最简形式，侧重灵活运用公式简化计算的能力。 考点05 因式分解 2025山西卷 填空题单独考查，分值3分，属于基础送分小题。命题固定两步分解模式，第一步提取公因式，第二步套用平方差或完全平方公式。常见失分点为分解不完全、正负符号处理失误，该知识点是分式约分、整式化简的基础工具，考题重点检验分解的完整性。 考点01 整数的混合运算 1．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 【答案】D 【分析】先根据数位表示法写出原两位数，再根据题意写出新数，计算两者的差，整理后可得差是7的倍数，再判断选项中符合的结果即可． 【详解】解：∵原两位数的十位数字为，个位数字为， ∴原两位数可表示为 ，其中，，，均为整数， 由题意得新数为 ， 则新数与原数的差为： ∵，是整数， ∴差一定是的整数倍， 观察选项，只有是的倍数，因此答案选D． 2．（2026·山西·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、 ∵   ，∴ A错误； B ∵   ，∴ B正确； C 、∵   ，∴ C错误； D 、∵   ，∴ D错误． 3．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 4．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 考点02 乘法公式 1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 2．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）分别计算绝对值、乘方、加法及负整数指数幂，再计算有理数的乘法与减法即可； （2）分别利用单项式乘多项式、完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 考点03 整式、代数式及其应用 1．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 2．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 考点04 分式的运算 1．（2026·山西·中考真题）计算的结果是_____． 【答案】 【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后进行加减计算，最后化简得到最简分式． 【详解】解： ． 2．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 考点05 二次根式 1．（2026·山西·中考真题）比较大小：_____6（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质计算出左侧式子的值，再将计算结果与右侧的数比较大小． 【详解】解：． 2．（2023·山西·中考真题）计算（+）（﹣）的结果为__________． 【答案】﹣1 【分析】此题用平方差公式计算即可. 【详解】 3．（2022·山西·中考真题）计算的结果是______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3 考点06 因式分解 1．（2025·山西·中考真题）因式分解： ________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 1．（2026·山西太原·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误． 2．（2026·山西长治·三模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方法则逐一判断运算是否正确． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确． 3．（2026·山西临汾·三模）若，，则代数式的值为（    ） A．2020 B．2025 C．2022 D．2030 【答案】C 【分析】先将所求代数式中的分式通分变形，再把已知的和的值整体代入计算即可． 【详解】解： ． 4．（2026·山西阳泉·三模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 2 3 … … 0 无意义 ☆ 无意义 ☆ … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，结合表格提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：根据表格信息可得三个条件∶①当时，无意义，即时分母为； ②当时，无意义，即时分母为； ③当时，，即时分子为且分母不为． A选项：，时，分母，有意义，不符合条件①，排除A． B选项：，时，分母，有意义，不符合条件②，排除B． C选项：，时，分子，，不符合条件③，排除C． D选项：，时，分母，无意义，符合条件①；时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，故D符合题意． 5．（2026·山西忻州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的基本运算，根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除以单项式法则，分式的乘方法则，对各选项分别计算即可判断． 【详解】解：对选项A，∵合并同类项时，系数相加减，字母及指数不变， ，A错误； 对选项B，∵积的乘方等于各因式乘方的积，负数的偶次幂为正数，，B错误； 对选项C，∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂底数不变指数相减，，C正确； 对选项D，∵负数的奇次幂为负数，分式乘方需分子分母分别乘方，，D错误． 6．（2026·山西运城·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，不是同类二次根式，不能合并 B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 7．（2026·山西吕梁·二模）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误． 选项B：∵，B错误． 选项C：∵，∴C正确． 选项D：∵，D错误． 8．（2026·山西临汾·三模）若二次根式是最简二次根式，则正整数x的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，结合二次根式有意义的条件，可得，且不含能开得尽方的因数，为正整数，选取符合条件的即可． 【详解】解：根据题意，二次根式有意义，则，即． 又是最简二次根式，因此不含能开得尽方的因数，且为正整数． 当时，，是最简二次根式，符合题意． 9．（2026·山西运城·二模）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 10．（2026·山西长治·三模）化简的结果为__________． 【答案】 【详解】解： 11．（2026·山西临汾·三模）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 12．（2026·山西阳泉·三模）因式分解：______． 【答案】 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 13．（2026·山西阳泉·三模）忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】先求出原计划的台蘑总产量，再根据减产比例得到实际总产量占原计划的比例，化简代数式得到最终结果． 【详解】解：由题意可得，原计划收获台蘑的总产量为， 因为总产量减产，所以实际总产量为原计划总产量的， 计算最终收获台蘑的总质量：． 14．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 【答案】440 【分析】将每个图形的花卉分为圆点和三角形两部分；圆点数量规律为第个图形有个；三角形数量规律为第个图形有个；将两部分数量相加，，得到第个图形的总盆数，再将代入即可． 【详解】解：第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…； 圆点数量规律为第个图形有个； 第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，，…， 三角形数量规律为第个图形有个； ∴图中的花卉盆数是， 当时，． 15．（2026·山西运城·二模）按要求完成下列各题 (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再计算加减进行计算即可求解． （2）先计算完全平方公式，平方差公式进行计算，再根据多项式的除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ， ∴当，时，原式． 16．（2026·山西吕梁·二模）计算与化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（2026·山西朔州·三模）完成下列各题： (1)计算：； (2)下面是乐乐进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成下面任务： 因式分解：． 解：原式……………第一步 ．…………………………………………第二步 ①任务一：以上解题过程，第________步出现错误，错误原因是________ ②任务二：请写出正确的解题过程． 【答案】(1) (2)①一，去括号时，括号前是负号，去掉括号后未变号；②正确过程如下： 解：原式 ． 【详解】（1）解：原式； （2）解：①以上解题过程中，第一步出现错误，错误的原因是去括号时，括号前是负号，去掉括号后未变号； ②略． 18．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： (1)45是“k阶和倍数”，则______； (2)若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； (3)若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“k阶和倍数”的定义求解即可； （2）设原数为，则新数是，根据“k阶和倍数”的定义得到，据此化简即可求解； （3）设两位自然数的十位数字为，个位数字为，根据“7阶和倍数”的定义可得 ，化简得，故；要证明 是42的倍数，即证明 是42的倍数，只需证明 是2的倍数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴45是“k阶和倍数”，则； （2）解：设原两位数的十位为a，个位为b（，且a，b为整数），则 原数：①． 交换十位数字和个位数字得到的新数是：②， 将：， ∴， ∵， ∴． 两边同时除以，得： ； （3）解：设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）， 由p是“7阶和倍数”，得：， 整理得： ，化简得， 因此 ， 对因式分解：代入 ，得：， 可知 是21的倍数， 又∵和 是两个连续整数， ∴它们的乘积一定是偶数，即 也是2的倍数， ∵2和21互质， ∴ 一定是的倍数， ∴一定能被42整除．即一定是42的倍数． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $