专题03 分式及分式方程（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦分式及分式方程专题，整合山东2024-2026年中考真题与模拟题，覆盖6大核心考点，注重基础概念与综合应用，贴合中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约10题/2-3分|分式有意义条件、方程参数问题|结合二次根式等综合条件，如淄博真题考查多分母取值范围| |填空|约8题/2-3分|分式值为0、化简结果|开放设问，如烟台真题要求写出分式有意义的一个值| |解答|约15题/3-10分|化简求值、实际应用、函数综合|生活化情境（购物、节水）与时事热点（哪吒周边），如济南真题结合一次函数求费用最值|

专题03 分式及分式方程 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01分式值为0或有意义 济南、烟台、淄博等地连续考查，以选择、填空题为主 分值 2-3 分，以基础概念考查为主。早年多单一考查分母不为零，近年逐步叠加二次根式、多分母等综合条件，出现取值书写类开放设问。分式值为 0 的 “分子为 0 且分母不为 0” 是高频易错点，整体难度偏低，属于必得分考点。 考点02分式的化简计算 全省各地高频出现，覆盖选择、填空、解答题，常与不等式组、实数运算拼盘考查 分值 3-5 分，核心考查通分、约分、混合运算法则，对因式分解熟练度要求较高。近年命题形式创新，出现新定义运算、几何勾股背景的综合题型，不再局限于纯计算，注重运算步骤的规范性。 考点03分式化简求值 各地中考必考解答题，烟台、滨州、泰安、潍坊等连续三年命题 属于核心高频考点，分值 5-6 分。不再是单一数值代入，近年常结合不等式整数解、无理数估算、平方根计算确定取值，强化分式有意义条件的易错考查。整体代入求值题型占比上升，命题灵活度显著增加。 考点04解分式方程 选择、解答题均有考查，烟台等地出现与不等式组结合的参数型选择题 基础题考查去分母变形、求解与检验，分值 3-4 分；难点题型以参数范围设问为主，结合不等式组整数解综合命题，常作为选择压轴。增根、无解辨析与解的正负性讨论是高频考点，分类讨论考查频次明显提升。 考点05分式方程的实际应用 德州、东营、泰安等地连续考查，覆盖选择、填空、解答三类题型 以购物、生产、行程、节水等生活化情境为主，分值 3-6 分。核心考查 “数量 = 总价 ÷ 单价” 类等量关系，近年出现补全题干条件的逆向命题，对等量关系的理解要求提高，检验是必答步骤。 考点06分式方程与函数、方程的综合应用 济南、淄博、潍坊、日照等地均以解答题形式考查，为代数综合主流题型 分值 8-10 分，均为两问结构：第一问用分式方程求单价 / 速度，第二问结合不等式组与一次函数求方案数或费用最值。命题情境贴合时事热点，对方案讨论、最值分析的要求逐步提升，侧重代数建模能力。 考点01 分式值为0或有意义 一、单选题 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 二、填空题 2．（2026·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 3．（2025·山东·中考真题）写出使分式有意义的的一个值______． 4．（2024·山东·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 5．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是________． 考点02 分式的化简计算 一、单选题 1．（2026·山东·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 三、解答题 3．（2026·山东德州·中考真题）解答 (1)解不等式： (2)化简： 4．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 5．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 6．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 考点03 分式化简求值 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 3．（2024·山东泰安·二模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 4．（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 5．（2025·山东·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 6．（2024·山东日照·中考真题）（1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中x满足． 7．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    8．（2024·山东青岛·中考真题）（）解不等式组：； （）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 9．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 10．（2024·山东潍坊·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 考点04 解分式方程 一、单选题 1．（2026·山东烟台·中考真题）若整数使关于的一元一次不等式组，有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 考点05 分式方程的实际应用 一、单选题 1．（2026·山东德州·中考真题）书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为元，由已知可列方程（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 3．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 二、填空题 4．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 三、解答题 5．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 6．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 考点06 分式方程与函数、方程的综合应用 一、解答题 1．（2025·山东·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 2．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 3．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 4．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 5．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 6．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 一、单选题 1．（2026·山东潍坊·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 2．（2026·山东菏泽·二模）若m为整数，则能使也为整数的有（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2026·山东济宁·二模）已知，则代数式的值为（  ） A． B． C．4 D．2 4．（2026·山东临沂·二模）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设乙车的速度为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山东枣庄·三模）为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东枣庄·二模）在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为元，大巴每辆租金为元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（     ） ①大巴租金比中巴贵180元／辆； ②用7200元恰好可租4辆大巴和5辆中巴； ③若将7200元全部租用中巴，比全部租用大巴多2辆． A． B． C． D． 7．（2026·山东济宁·三模）某工厂计划生产1200个零件，但在实际生产时，···，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“···”表示的条件应是（     ） A．每天比原计划多生产3个，结果延期12天完成 B．每天比原计划少生产3个，结果延期12天完成 C．每天比原计划多生产3个，结果提前12天完成 D．每天比原计划少生产3个，结果提前12天完成 8．（2026·山东淄博·二模）若关于的分式方程无解，则m的值是（    ） A．3或 B．3或10 C．3 D． 二、填空题 9．（2026·山东菏泽·二模）已知（且），，，，，则的值为________． 10．（2026·山东临沂·二模）函数中自变量的取值范围是__________． 11．（2026·山东泰安·一模）若式子有意义，则x的取值范围是_____． 12．（2026·山东德州·三模）当___时，代数式的值为0． 13．（2026·山东潍坊·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 14．（2026·山东菏泽·一模）将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 15．（2026·山东青岛·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 三、解答题 16．（2026·山东东营·三模）按要求完成各题 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，并从、1、2、3中选一个合适的数代入求值． 17．（2026·山东日照·三模）计算与化简求值： (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中满足． 18．（2026·山东烟台·二模）先化简，再求值：，其中，且为整数，请从中选取一个合适的数代入求值． 19．（2026·山东青岛·三模）计算： (1)解不等式组：； (2)化简：． 20．（2026·山东德州·二模）计算： (1)计算：； (2)． 21．（2026·山东聊城·三模）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中x满足． 22．（2026·山东济南·二模）某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 23．（2026·山东济宁·二模）某中学计划采购甲、乙两种型号的体育器材，已知甲型器材的单价比乙型器材的单价少40元，用4800元购买甲型器材的数量和用6000元购买乙型器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号的体育器材的单价分别是多少元? (2)该学校计划采购甲、乙两种型号的体育器材共30台，且甲型器材的购买数量不超过乙型器材的购买数量的2倍，购买甲型器材多少台时采购费用最少?最少采购费用是多少元? 24．（2026·山东临沂·二模）计算、解分式方程 (1)计算：； (2)解分式方程：． 25．（2026·山东聊城·二模）学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． (1)求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； (2)若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式及分式方程 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01分式值为0或有意义 济南、烟台、淄博等地连续考查，以选择、填空题为主 分值 2-3 分，以基础概念考查为主。早年多单一考查分母不为零，近年逐步叠加二次根式、多分母等综合条件，出现取值书写类开放设问。分式值为 0 的 “分子为 0 且分母不为 0” 是高频易错点，整体难度偏低，属于必得分考点。 考点02分式的化简计算 全省各地高频出现，覆盖选择、填空、解答题，常与不等式组、实数运算拼盘考查 分值 3-5 分，核心考查通分、约分、混合运算法则，对因式分解熟练度要求较高。近年命题形式创新，出现新定义运算、几何勾股背景的综合题型，不再局限于纯计算，注重运算步骤的规范性。 考点03分式化简求值 各地中考必考解答题，烟台、滨州、泰安、潍坊等连续三年命题 属于核心高频考点，分值 5-6 分。不再是单一数值代入，近年常结合不等式整数解、无理数估算、平方根计算确定取值，强化分式有意义条件的易错考查。整体代入求值题型占比上升，命题灵活度显著增加。 考点04解分式方程 选择、解答题均有考查，烟台等地出现与不等式组结合的参数型选择题 基础题考查去分母变形、求解与检验，分值 3-4 分；难点题型以参数范围设问为主，结合不等式组整数解综合命题，常作为选择压轴。增根、无解辨析与解的正负性讨论是高频考点，分类讨论考查频次明显提升。 考点05分式方程的实际应用 德州、东营、泰安等地连续考查，覆盖选择、填空、解答三类题型 以购物、生产、行程、节水等生活化情境为主，分值 3-6 分。核心考查 “数量 = 总价 ÷ 单价” 类等量关系，近年出现补全题干条件的逆向命题，对等量关系的理解要求提高，检验是必答步骤。 考点06分式方程与函数、方程的综合应用 济南、淄博、潍坊、日照等地均以解答题形式考查，为代数综合主流题型 分值 8-10 分，均为两问结构：第一问用分式方程求单价 / 速度，第二问结合不等式组与一次函数求方案数或费用最值。命题情境贴合时事热点，对方案讨论、最值分析的要求逐步提升，侧重代数建模能力。 考点01 分式值为0或有意义 一、单选题 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 二、填空题 2．（2026·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得 3．（2025·山东·中考真题）写出使分式有意义的的一个值______． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． ∴的取值可以为． 故答案为：1（不唯一）． 4．（2024·山东·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≠1 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】∵分式在实数范围内有意义， ∴x−1≠0， 解得：x≠1 故答案为x≠1． 【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义． 5．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是________． 【答案】1 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 考点02 分式的化简计算 一、单选题 1．（2026·山东·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果． 【详解】解： ． 二、填空题 2．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 3．（2026·山东德州·中考真题）解答 (1)解不等式： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由不等式①，得； 由不等式②，得 ∴原不等式组的解集为； （2） 解：原式 ． 4．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a； （2）对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）略 （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 6．（2024·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 考点03 分式化简求值 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【详解】解：， ∵， ∴， 当时，原式无意义； 当时，原式． 2．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 3．（2024·山东泰安·二模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，， ，3，， ， 当时，原式． 4．（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可. 【详解】解： ， ∵， ∴原式. 5．（2025·山东·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2），4 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值． （1）根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 6．（2024·山东日照·中考真题）（1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）   （2）； 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，解题的关键是： （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集． （2）原式 ． 当时，， 原式 7．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 8．（2024·山东青岛·中考真题）（）解不等式组：； （）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（）；（），当时，原式 【分析】（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可； （）利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，根据分式有意义的条件可知，，，再从和任选一个数代入化简后的结果中计算即可； 本题考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为； （）原式 ， ， ， ∵， ∴当时，原式 当时，原式． 9．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴的平方根为， ∵， ∴， 又∵为的平方根， ∴， ∴原式． 10．（2024·山东潍坊·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混合运算，是解决问题的关键． （1）先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减； （2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得． 【详解】（1） ； （2） ； 当时， 原式． 考点04 解分式方程 一、单选题 1．（2026·山东烟台·中考真题）若整数使关于的一元一次不等式组，有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的范围，再解分式方程，根据解为非负数且分母不为0进一步确定的取值，最后，找出所有符合条件的整数，求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得 ， 解不等式得 ， ∴原不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的3个整数为， ∴． 解得 ． 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理，得 ． ∵分式方程的解为非负数，且分母不为0， ∴，即，解得 且 ． 综上，的取值范围为 ，且， ∵为整数， ∴符合条件的整数为． ∴符合条件的所有整数的和为 ． 2．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 二、解答题 3．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 【答案】（1），不等式组的解集在数轴上表示为：；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键； （1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 考点05 分式方程的实际应用 一、单选题 1．（2026·山东德州·中考真题）书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为元，由已知可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据设出的未知数表示出两类书籍的单价与购买数量，再根据两类书籍的数量差关系列出方程． 【详解】解：∵设文学类书籍的单价为元，科技类单价是文学类单价的倍， ∴科技类书籍的单价为元. 根据数量等于总价除以单价，可得：购买文学类书籍的数量为本，购买科技类书籍的数量为本. ∵文学类比科技类多买本，即文学类数量减去科技类数量等于， ∴列方程得． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 3．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数． 故选：B． 二、填空题 4．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 三、解答题 5．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 6．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 【答案】千瓦·时 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列出分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时. 考点06 分式方程与函数、方程的综合应用 一、解答题 1．（2025·山东·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 2．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 3．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 5．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元 (2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得： 解得：， 经检验是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元； （2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得： ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 在中， 为正整数， 当时，有最小值，最小值为（元）， 则（副） 答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元． 6．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 一、单选题 1．（2026·山东潍坊·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先用表示出分式方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义时，分母不为的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 移项合并同类项，得：， ∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时，分母不为， ∴，且， ∴， 解得且． 2．（2026·山东菏泽·二模）若m为整数，则能使也为整数的有（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，结合分式有意义的条件约分，再将分式变形，根据分式值为整数的条件，找出所有符合要求的整数即可． 【详解】解：对分子分母因式分解：，， ∵分式有意义要求分母不为， ∴，得且， 对原式约分变形：， 为整数，上式结果也为整数， 为整数，即是的整数约数，的所有整数约数为， 分别计算对应的值： ，符合要求； ，符合要求； ，符合要求； ，符合要求； ，不满足分式有意义，舍去； ，符合要求． 综上，符合条件的共有个． 3．（2026·山东济宁·二模）已知，则代数式的值为（  ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】先对所求分式因式分解化简，再利用已知条件得到的值，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 4．（2026·山东临沂·二模）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设乙车的速度为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将时间单位统一为小时，再根据速度关系得到甲车速度，最后利用“甲车行驶时间比乙车多5分钟”列方程即可. 【详解】解：，设乙车速度为，乙车速度是甲车速度的倍， 甲车速度为，甲车行驶全程的时间为，乙车行驶全程的时间为， 甲车先走，两车同时到达，即甲车比乙车多行驶， 列方程得. 5．（2026·山东枣庄·三模）为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“A品牌数量比B品牌多20个”的等量关系，用含的代数式表示出两种排球的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设B品牌每个排球的单价为元， ∵A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元， ∴A品牌每个排球的单价为元， 总预算为1500元，可得：购买A品牌排球的数量为个，购买B品牌排球的数量为个， 又∵全部购买A品牌可比全部购买B品牌多买20个， ∴可列方程：． 6．（2026·山东枣庄·二模）在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为元，大巴每辆租金为元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（     ） ①大巴租金比中巴贵180元／辆； ②用7200元恰好可租4辆大巴和5辆中巴； ③若将7200元全部租用中巴，比全部租用大巴多2辆． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给出的租金关系和数量关系，推导列出正确方程，再对比选项得到答案． 【详解】解：设中巴每辆租金为元，大巴每辆租金为元，大巴租金比中巴贵180元/辆， ∴ ∵7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆，全部租用中巴的数量为，全部租用大巴的数量为 ∴可列方程 ， 与选项B一致． 7．（2026·山东济宁·三模）某工厂计划生产1200个零件，但在实际生产时，···，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“···”表示的条件应是（     ） A．每天比原计划多生产3个，结果延期12天完成 B．每天比原计划少生产3个，结果延期12天完成 C．每天比原计划多生产3个，结果提前12天完成 D．每天比原计划少生产3个，结果提前12天完成 【答案】C 【分析】利用总工作量，工作效率和工作时间的关系，根据方程各部分的含义反推题目条件即可． 【详解】解：∵设实际每天生产x个零件，则原计划每天生产个零件， ∴实际每天比原计划多生产3个零件， ∵， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间比实际时间多12天， ∴题目中用“···”表示的条件应是：每天比原计划多生产3个，结果提前12天完成． 8．（2026·山东淄博·二模）若关于的分式方程无解，则m的值是（    ） A．3或 B．3或10 C．3 D． 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论：①若整式方程无解，则， ∵时，，等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根，原分式方程的分母为， 令，得增根为， 把代入，得， 解得； 综上，的值为或． 二、填空题 9．（2026·山东菏泽·二模）已知（且），，，，，则的值为________． 【答案】/ 【分析】先计算前几项，得到循环规律，再计算除以循环周期，即可确定的值． 【详解】由题意得： ， ， ， ， 每三项循环一次， ． 10．（2026·山东临沂·二模）函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】函数表达式同时含有二次根式和分式，需满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此列不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得且， 解得：且． 11．（2026·山东泰安·一模）若式子有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，分式有意义要求分母不为零，据此列出关于x的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 移项得， 系数化为可得：． 12．（2026·山东德州·三模）当___时，代数式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件和二次根式有意义的条件，根据分子等于零，分母不等于零，二次根式被开方数非负求解即可． 【详解】解：由题意得：，且． 由得． 解得或． 由得． 因此． 13．（2026·山东潍坊·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件，先令分子等于求出的可能取值，再根据分母不为排除不符合条件的取值，即可得到的值． 【详解】解：由题意可得：， 由①可得：， 由②可得：， ∴；， ∵恒成立， ∴ 即， 综上可得． 14．（2026·山东菏泽·一模）将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 【答案】 【分析】把分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，再用最简公分母除以第二个分式的分母，即可得到所求单项式． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， 最简公分母为， 计算得． 15．（2026·山东青岛·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的速度，再根据两者速度的倍数关系列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意可得，慢马所需时间为天、快马所需时间为天，则慢马的速度为里/天、快马的速度为里/天， 由快马的速度是慢马的倍，得． 三、解答题 16．（2026·山东东营·三模）按要求完成各题 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，并从、1、2、3中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1) (2)化简结果为，当时，原式的值为 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴，，， ∴， 当时，原式． 17．（2026·山东日照·三模）计算与化简求值： (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中满足． 【答案】(1) (2) 当时，值为；当时，值为 【分析】（1）根据指数幂的法则可得：，根据负整数指数幂的法则可得：，根据立方根的定义可知，根据算术平方根的定义可知，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的运算法则把分式化简，解方程，可得：，，把和分别代入化简后的分式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 有意义， 、、， 、， 解方程， 可得：，， 当时， 可得：原式； 当时， 可得：原式． 18．（2026·山东烟台·二模）先化简，再求值：，其中，且为整数，请从中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【分析】先化简分式，再根据分式有意义的条件选取合适的整数代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵分式有意义， ∴，，， ∴，，， ∵ 满足的整数， ∴的值可以为0或2， ∴当时，原式， 当时，原式． 19．（2026·山东青岛·三模）计算： (1)解不等式组：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法与分式的混合运算，解题关键是分别求出不等式组中各不等式的解集并取交集，同时熟练运用分式通分、因式分解和约分法则化简分式． （1）分别解出两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集； （2）先对括号内的分式进行通分、合并，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分得到最简结果． 【详解】（1）解：解不等式①得 解不等式②得 将不等式①②的解集在数轴上表示如图： 不等式解集为 （2）原式 20．（2026·山东德州·二模）计算： (1)计算：； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（2026·山东聊城·三模）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】(1)； (2)化简结果为，值为； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， 将代入，得：原式． 22．（2026·山东济南·二模）某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 【答案】(1)型每小时搬运材料，型每小时搬运材料 (2)有3种方案：方案1：购买2台型机器人，9台型机器人：方案2：购买4台型机器人，6台型机器人；方案3：购买6台型机器人，3台型机器人 【分析】（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意得： ， 整理得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：型每小时搬运材料，型每小时搬运材料； （2）解：设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得： ， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 23．（2026·山东济宁·二模）某中学计划采购甲、乙两种型号的体育器材，已知甲型器材的单价比乙型器材的单价少40元，用4800元购买甲型器材的数量和用6000元购买乙型器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号的体育器材的单价分别是多少元? (2)该学校计划采购甲、乙两种型号的体育器材共30台，且甲型器材的购买数量不超过乙型器材的购买数量的2倍，购买甲型器材多少台时采购费用最少?最少采购费用是多少元? 【答案】(1) 甲型号体育器材单价为160元，乙型号体育器材单价为200元． (2) 购买甲型器材20台时采购费用最少，最少采购费用是5200元． 【分析】（1）设甲型器材单价为未知数，因为甲型单价比乙型少40元，所以可以用含该未知数的式子表示乙型单价，如果用4800元买甲型的数量和6000元买乙型的数量相同，可根据数量相同的等量关系列分式方程求解； （2）设购买甲型器材的数量为未知数，因为总采购量为30台，所以可以用含该未知数的式子表示乙型器材的购买数量，根据“甲型数量不超过乙型数量的2倍”的条件，列不等式求出未知数的取值范围，设总采购费用为函数，结合甲、乙的单价，列出总费用关于甲型购买数量的一次函数，根据一次函数的单调性，在取值范围内求出费用最小值． 【详解】（1）解：设甲型器材单价为元，则乙型器材单价为元， ， 解得， 经检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴乙型单价为元， 答：甲型号体育器材单价为元，乙型号体育器材单价为元． （2）设购买甲型器材台，总采购费用为元，则乙型器材购买台， ， 解得（为非负整数）， ， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，最小， ， 答：购买甲型器材20台时采购费用最少，最少采购费用是5200元． 24．（2026·山东临沂·二模）计算、解分式方程 (1)计算：； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原方程可整理为， 方程两边同乘得， 展开得， 合并得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 25．（2026·山东聊城·二模）学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． (1)求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； (2)若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 【答案】(1)60元、40元 (2)40个 【分析】（1）设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号文创书签个，则购买B型号文创书签个，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B型号文创书签的单价为元，则A型号文创书签的单价为元． 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 当时，． 答：，两种型号文创书签的单价分别是60元和40元． （2）解：设购买A型号文创书签个，则购买B型号文创书签个． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买40个A型号的文创书签． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $