专题08 平面直角坐标系与函数基础（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇集2024-2026年山东中考真题及模拟题，聚焦平面直角坐标系与函数基础6大核心考点，融合新定义运算、数学文化及真实情境，体现命题创新与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约10题/3-4分|点的坐标、函数图象应用、动点问题|新定义运算结合坐标（2024威海卷），分段函数图象分析（2026山东卷）| |填空题|约8题/3-4分|坐标规律探索、自变量取值范围|数学文化融入坐标规律（冰雹猜想，2024山东卷），网格作图与中心对称（2025潍坊卷）| |解答题|约5题/8-12分|函数解析式、动点综合|真实情境函数建模（文创销售，2026烟台卷），二次函数与几何动态结合（2026德州卷）|

专题08 平面直角坐标系与函数基础 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01点的坐标 2024 威海 / 淄博 / 潍坊卷、2025 潍坊卷 涵盖选择、填空、作图解答三类题型，分值 3-6 分。早年以平移、旋转变换后求坐标为核心，2024 年新增新定义运算结合坐标的创新题型，2025 年融入网格作图与中心对称。2026 山东统考后更侧重坐标与图形变换的综合应用，对作图规范性与坐标书写准确性要求提升，整体难度中等偏下，属基础必掌握考点。 考点02点的坐标规律探索 2024 山东统考卷、2025 威海 / 山东统考卷、2026 烟台卷 以选择、填空压轴题为主，分值 3-4 分。早期以图形平移、坐标循环为核心模型，2024 年融入 “冰雹猜想” 等数学文化新定义，2025 年结合瓷砖图案、函数交点循环设题。2026 统考后延续几何图形递推规律，侧重周期性归纳与通项推导，对逻辑推理能力要求提升，区分度逐年增强，是中档拉分核心题型。 考点03函数基础知识——自变量与函数值 2024 东营卷、2025-2026 统考卷解答小问 多为填空题、解答题首小问，分值 3-5 分。早年侧重弹簧长度、行程等实际情境下的函数值计算，2025 年后增多自变量取值范围考查，常结合二次根式、分式设置易错点。2026 统考后常融入实际应用题开篇，依托待定系数法求解析式后求值，整体难度偏低，聚焦函数基本概念的落地应用。 考点04函数基础知识——函数解析式 2026 山东统考卷、2026 烟台 / 德州卷 以解答题为核心载体，分值 8-12 分。早年以单一一次函数解析式求解为主，2025 年逐步结合销售利润、行程问题设题。2026 统考后深度融合二次函数，以文创、物理运动、行程等真实情境为载体，首问求解析式，后续衔接方程、最值问题，对数学建模能力要求显著提升，是解答题的基础得分模块。 考点05函数基础知识——函数图象的应用 2024 淄博 / 潍坊 / 威海卷、2025 济南 / 山东统考卷、2026 山东统考卷 以选择题为主、填空题为辅，分值 3-4 分。素材覆盖行程、生物实验等多元场景，早期侧重读取图像计算速度、相遇时间。2025 年新增分段函数、二次函数图像性质结论判断题，2026 统考后情境贴合山东本地热点，选项多为正误判断，对读图分析与数形结合能力要求逐年提高。 考点06函数基础知识——动点问题 2024 烟台卷、2025 东营卷、2026 烟台卷 多为选择、填空压轴题，分值 3-4 分。核心考查动点运动中面积、线段长度的函数图像判断，早期以矩形、三角形单点运动为主，2025 年增多图形平移重叠面积的分段函数题型。2026 统考后结合中点性质、几何定理深化动点关系，需分类讨论分段函数形态，对动态分析能力要求明显提升，难度逐年递增。 考点01 点的坐标 一、单选题 1．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 三、解答题 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； 考点02 点的坐标规律探索 一、单选题 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 二、填空题 2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点为顶点作边长为2的菱形，点在轴上，且，将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；再将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；…；按照以上规律作图，则点的坐标为__________． 3．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 4．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 考点03 函数基础知识——自变量与函数值 一、填空题 1．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 考点04 函数基础知识——函数解析式 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 2．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 3．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 4．（2026·山东德州·中考真题）一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量与时间的函数关系式图象如图所示． (1)汽车从出发到加油站行驶了_______小时，在加油站加了_______升汽油； (2)求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量与时间的函数关系式； (3)若目的地距离加油站，汽车的行驶速度为，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 考点05 函数基础知识——函数图象的应用 一、单选题 1．（2026·山东·中考真题）在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A． B． C． D． 2．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 3．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接、、三地，地在、两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．、两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 二、填空题 6．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 考点06 函数基础知识——动点问题 一、单选题 1．（2024·河北石家庄·三模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·山东烟台·中考真题）如图1，点从矩形的顶点出发，沿的方向运动至点停止，连接，为的中点，连接．设点的运动路程为，线段的长为，图2表示点从运动到的过程中与的函数关系．当点运动到中点时，的长度为__________． 一、单选题 1．（2026·山东青岛·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知B点坐标为，将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到，再将绕原点O顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·二模）平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）在一个不透明的口袋中有三个小球，分别标有“”，每个小球除数字不同外其余均相同，每次取出前都先摇匀，从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后从剩下的小球中取出一个小球，记小球上的数字为，将有序数对记为点的坐标，得到的点的坐标在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动12次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山东临沂·二模）某实验小组研究某种液体的比热容随温度变化的规律，得到如图所示的比热容—温度图像．已知吸收热量计算公式为，其中为热量，为比热容，为物质质量，为温度变化量，下列判断正确的是（   ）． A．该液体的比热容随温度升高而减小 B．该液体在范围内比在范围内比热容变化慢 C．一定质量的该液体吸收相同的热量，时比时温度变化小 D．一定质量的该液体从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量少 6．（2026·山东·二模）如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．当时，随的增大而增大 B．摩天轮的直径为 C．点离地面最高为 D．点离地面时，摩天轮运动了 7．（2026·山东枣庄·三模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为4平方米； ②与之间的函数关系式为； ③当时，矩形的面积最大； ④的值为12．其中正确的结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·山东枣庄·三模）研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（     ）    图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况； 虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A．运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B．剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C．剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D．剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 9．（2026·山东日照·三模）如图1，在中，，，以中点为圆心、长为半径作弧．点从点出发，沿弧及线段向终点运动．记的运动路程为，，关于的函数图象如图所示，图象过点，则下列说法错误的是（     ） A．点在弧上运动时，的图象为一条线段 B．当时，点运动到点B C．的最小值为 D． 10．（2026·山东东营·二模）如图1，在菱形中，分别以，点为圆心，以大于长为半径画弧，经过两弧交点的直线交于点，交于点．若点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 12．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是______． 13．（2026·山东青岛·一模）铭记历史、缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义的教育，拟开展“重走先人足迹活动”为主题的思想革命活动．如图是该学校“重走长征路”活动路线大致示意图，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 14．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 15．（2026·山东临沂·二模）函数中自变量的取值范围是__________． 16．（2026·山东济宁·二模）写出使函数有意义的自变量x的一个值____．（写出任意一个符合题意的实数） 17．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，；②当时，随的增大而增大；③点在此函数图象上，则符合要求的点有3个；④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．上述结论中，其中，正确结论的序号是__________． 三、解答题 18．（2026·山东临沂·二模）某品牌电热水器水箱为长方体，底面积为，高为．水的初始温度为，通电加热时平均每小时升温．已知每立方米水升温可吸收焦耳的热量，假设热水器保温良好，忽略散热损失． (1)请写出水温与加热时间之间的关系式． (2)水温达到时自动断电，且一天内最长加热时间不超过，求时间的实际取值范围． (3)加热后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量？ 19．（2026·山东滨州·一模）如图，直线，被所截，． (1)请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式． 20．（2026·山东青岛·二模）如图，已知四边形，，，，，，点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为1单位．连接，将绕点旋转，得到．设运动时间为（）（）． 解答下列问题： (1)当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，设四边形的面积，求与之间的函数关系式； (3)延长与交于，当时，求的值． 21．（2026·山东泰安·三模）研究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数．的图象与性质． … 0 1 2 3 4 … … … (1)列表，写出表中的值：_______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最_______值，是_______； ②当自变量的取值范围是_______时，函数的值随自变量的增大而增大． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是_______． 22．（2026·山东临沂·二模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 0 1.2 2.4 4.8 6.0 … 0 0.5 2.0 4.5 8.0 12.5 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中的值为__________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与，与的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编，同时开始编织，编织面积恰好相等时，所用时间为__________； ②该工厂接到一批订单，需要平编产品200件，绞编产品100件．已知生产一件平编产品要比生产一件绞编产品多用，本次订单两种产品总编织面积为．那么两种产品每件的编织面积分别是多少？ 试卷第1页，共3页 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面直角坐标系与函数基础 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01点的坐标 2024 威海 / 淄博 / 潍坊卷、2025 潍坊卷 涵盖选择、填空、作图解答三类题型，分值 3-6 分。早年以平移、旋转变换后求坐标为核心，2024 年新增新定义运算结合坐标的创新题型，2025 年融入网格作图与中心对称。2026 山东统考后更侧重坐标与图形变换的综合应用，对作图规范性与坐标书写准确性要求提升，整体难度中等偏下，属基础必掌握考点。 考点02点的坐标规律探索 2024 山东统考卷、2025 威海 / 山东统考卷、2026 烟台卷 以选择、填空压轴题为主，分值 3-4 分。早期以图形平移、坐标循环为核心模型，2024 年融入 “冰雹猜想” 等数学文化新定义，2025 年结合瓷砖图案、函数交点循环设题。2026 统考后延续几何图形递推规律，侧重周期性归纳与通项推导，对逻辑推理能力要求提升，区分度逐年增强，是中档拉分核心题型。 考点03函数基础知识——自变量与函数值 2024 东营卷、2025-2026 统考卷解答小问 多为填空题、解答题首小问，分值 3-5 分。早年侧重弹簧长度、行程等实际情境下的函数值计算，2025 年后增多自变量取值范围考查，常结合二次根式、分式设置易错点。2026 统考后常融入实际应用题开篇，依托待定系数法求解析式后求值，整体难度偏低，聚焦函数基本概念的落地应用。 考点04函数基础知识——函数解析式 2026 山东统考卷、2026 烟台 / 德州卷 以解答题为核心载体，分值 8-12 分。早年以单一一次函数解析式求解为主，2025 年逐步结合销售利润、行程问题设题。2026 统考后深度融合二次函数，以文创、物理运动、行程等真实情境为载体，首问求解析式，后续衔接方程、最值问题，对数学建模能力要求显著提升，是解答题的基础得分模块。 考点05函数基础知识——函数图象的应用 2024 淄博 / 潍坊 / 威海卷、2025 济南 / 山东统考卷、2026 山东统考卷 以选择题为主、填空题为辅，分值 3-4 分。素材覆盖行程、生物实验等多元场景，早期侧重读取图像计算速度、相遇时间。2025 年新增分段函数、二次函数图像性质结论判断题，2026 统考后情境贴合山东本地热点，选项多为正误判断，对读图分析与数形结合能力要求逐年提高。 考点06函数基础知识——动点问题 2024 烟台卷、2025 东营卷、2026 烟台卷 多为选择、填空压轴题，分值 3-4 分。核心考查动点运动中面积、线段长度的函数图像判断，早期以矩形、三角形单点运动为主，2025 年增多图形平移重叠面积的分段函数题型。2026 统考后结合中点性质、几何定理深化动点关系，需分类讨论分段函数形态，对动态分析能力要求明显提升，难度逐年递增。 考点01 点的坐标 一、单选题 1．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故选：B． 二、填空题 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】(1) 如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； (2) 如图所示． 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 考点02 点的坐标规律探索 一、单选题 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 二、填空题 2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点为顶点作边长为2的菱形，点在轴上，且，将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；再将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；…；按照以上规律作图，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点H，从开始，每8个点记为1组，根据得到的位置和第1组中的位置相同，然后求出，，，发现规律求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵所以菱形都两两全等 ∴从开始，每8个点记为1组， ∵ ∴的位置和第1组中的位置相同， ∵ ∴ ∵菱形的边长为2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，， 由平移得， ∴ ∴， ∵菱形与菱形全等 ∴同理可得，，， ∴ ∴ ∴． 3．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 4．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 考点03 函数基础知识——自变量与函数值 一、填空题 1．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 考点04 函数基础知识——函数解析式 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 2．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 3．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，横坐标为，若点到直线的距离为，求出所有满足条件的的值； (3)若为抛物线的顶点，为对称轴上一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）根据一次函数先求得的坐标，进而根据对称轴求得点的坐标，设抛物线解析式为，代入，待定系数法即可求解； （2）根据是等腰直角三角形，点到直线的距离为，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂直分别为，得出在，根据一次函数的平移可得的解析式分别为，，分别联立抛物线解析式，即可求解； （3）先求得，根据转化为，构造的直角三角形，过点作使得，则，得出，，，当在上时，取得最小值，最小值为．进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ∴， 设抛物线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 如图，取点，，过点分别作的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点到直线的距离为 ∴在上， ∵平行， ∴的解析式分别为， 联立 消去得， 解得： 联立 消去得， 解得： ∵点横坐标为， ∴或或 （3）∵ ∴ 如图，过点作使得，则， ∴，，， ∴， 过点作，设的延长线交轴于点，交轴于点，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值，最小值为． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 4．（2026·山东德州·中考真题）一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量与时间的函数关系式图象如图所示． (1)汽车从出发到加油站行驶了_______小时，在加油站加了_______升汽油； (2)求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量与时间的函数关系式； (3)若目的地距离加油站，汽车的行驶速度为，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 【答案】(1)3，35 (2) (3) 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）利用待定系数法求解； （3）首先求出每小时的耗油量，然后求出汽车从加油站到目的地的时间，然后求出汽车到达目的地时的耗油量，然后求出剩余油量即可． 【详解】（1）解：由图象可得，汽车从出发到加油站行驶了3小时，在加油站加了升汽油； （2）解：设与时间的函数关系式为 根据题意得， 解得 ∴与时间的函数关系式为； （3）解：∵汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同 ∴每小时的耗油量为 根据题意得，汽车从加油站到目的地的时间为， ∴汽车到达目的地时，耗油量为， ∴汽车到达目的地时，油箱的剩余油量为． 考点05 函数基础知识——函数图象的应用 一、单选题 1．（2026·山东·中考真题）在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了，停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了，设出发后分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可 【详解】解：由图象可知，小英在内行走了， 小英的速度为， ∵小杰在内行走了， 小杰的速度为， 小英途中停留了， 小英再次出发的时刻为第，此时路程为， 设小英追上小杰的时刻为出发后， 根据题意得：， 解得， 两人从起点出发， 小英追上小杰的时刻是． 2．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 3．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 5．（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接、、三地，地在、两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．、两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【答案】A 【分析】根据函数图象可知，乙车的速度大于甲车的速度，乙车小时开始休息，甲、乙两车出发小时后同时到达地，据此逐项分析即可． 【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为， 第一段线段上升，表示乙车的速度大于甲车的速度， 第二段线段下降，表示乙车从时开始休息， 第三段线段上升，表示甲车追上乙车后，甲车继续行驶，乙车继续休息， 表示甲、乙两车之间的距离为，此时甲车到达某地，乙车停止休息，开始行驶， 表示甲、乙两车出发小时后同时到达地， ∵小时，乙车休息，甲车行驶了， ∴乙车中途休息小时，甲车的速度是，C、D选项错误； 小时， ∴、两地相距为，B选项错误； 甲、乙两车中途相遇的时间为，A选项正确． 二、填空题 6．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 考点06 函数基础知识——动点问题 一、单选题 1．（2024·河北石家庄·三模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 二、填空题 4．（2026·山东烟台·中考真题）如图1，点从矩形的顶点出发，沿的方向运动至点停止，连接，为的中点，连接．设点的运动路程为，线段的长为，图2表示点从运动到的过程中与的函数关系．当点运动到中点时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据函数图象可知，当点P运动到点B时，取得最小值，当点P运动到点C时，长度为5，利用直角三角形斜边中线性质求出和的长，进而求出的长，确定矩形边长，当点P在中点时，延长，，相交于点E，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由图2可知，当时，y取得最小值3，此时点P运动到点B， ∵点P与点B重合，且点Q是的中点， ∴， ∴； ∵当时，，此时点P运动到点C， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，，． 延长，，相交于点E， ∵点Q是的中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴，． ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∵， ∴． 一、单选题 1．（2026·山东青岛·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知B点坐标为，将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到，再将绕原点O顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照平移规律进行作图以及中心对称的规律进行作图，进而根据平面直角坐标系即可作答． 【详解】解：如图， 可知点的坐标为． 2．（2026·山东临沂·二模）平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点满足横坐标小于0，纵坐标大于0 ∴ 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 3．（2026·山东聊城·二模）在一个不透明的口袋中有三个小球，分别标有“”，每个小球除数字不同外其余均相同，每次取出前都先摇匀，从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后从剩下的小球中取出一个小球，记小球上的数字为，将有序数对记为点的坐标，得到的点的坐标在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合要求的结果数求出概率即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，得到的点坐标在第二象限的是 ，结果有种， ∴概率为． 4．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动12次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设移动中使用甲方式的次数为，根据平移规则分别得到与关于的表达式，消去参数即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：设次移动中使用了次甲方式，则使用了次乙方式， ∵起点坐标为，每次甲方式使增加，增加，每次乙方式使增加，增加， ∴， 整理得， 又∵， 将代入， 得， 化简得． 5．（2026·山东临沂·二模）某实验小组研究某种液体的比热容随温度变化的规律，得到如图所示的比热容—温度图像．已知吸收热量计算公式为，其中为热量，为比热容，为物质质量，为温度变化量，下列判断正确的是（   ）． A．该液体的比热容随温度升高而减小 B．该液体在范围内比在范围内比热容变化慢 C．一定质量的该液体吸收相同的热量，时比时温度变化小 D．一定质量的该液体从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量少 【答案】D 【分析】本题考查从图象中获取和分析数据． 根据图象是关于液体的比热容随温度变化的规律，以及，分析数据的变化规律，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A选项：由图象可知，该液体的比热容随温度升高而变大，故A选项错误； B选项：由图象可知，该液体的比热容在区间的图象比在区间的图象更陡峭，变化更快，故B选项错误； C选项：由图象可知，的该液体比的该液体比热容要小，根据，一定质量的该液体吸收相同热量，的该液体比的该液体温度变化大，故C选项错误； D选项：该液体在从升高至时的比热容小于从升高至时的比热容，根据，升高相同的温度，比热容越大，吸收热量越多，所以一定质量的该液体从升高至吸收的热量，比从升高至吸收的热量少，故D选项正确． 6．（2026·山东·二模）如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．当时，随的增大而增大 B．摩天轮的直径为 C．点离地面最高为 D．点离地面时，摩天轮运动了 【答案】C 【分析】根据函数图象给出的信息逐项判断即可． 【详解】解：A：结合函数图象分析，当时，随的增大先增大后减小再增大再减小，故该选项不合题意； B：由图像知，函数的最大值为，即点到地面的最大距离为，，， ∴摩天轮的直径为，故该选项不合题意； C：点到地面的最大距离为，故该选项符合题意； D：点离地面时，对应的摩天轮运动的时间点有个，故该选项不合题意． 7．（2026·山东枣庄·三模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为4平方米； ②与之间的函数关系式为； ③当时，矩形的面积最大； ④的值为12．其中正确的结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：观察图2，得出当时，函数值最大，即矩形的最大面积为4平方米， ∴①说法正确，③说法错误； 由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入得 解得， ∴， ∴②说法正确； 当时，函数值最大，即矩形的最大面积为4平方米，此时，， ∵隔断、分别与矩形的两条邻边平行， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∴矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长米， ∴④说法正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 8．（2026·山东枣庄·三模）研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（     ）    图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况； 虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A．运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B．剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C．剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D．剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误； B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误； C、由图象知，剧烈运动后，慢跑不到40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误； D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确． 9．（2026·山东日照·三模）如图1，在中，，，以中点为圆心、长为半径作弧．点从点出发，沿弧及线段向终点运动．记的运动路程为，，关于的函数图象如图所示，图象过点，则下列说法错误的是（     ） A．点在弧上运动时，的图象为一条线段 B．当时，点运动到点B C．的最小值为 D． 【答案】D 【分析】连接，先根据题意和图确定为等腰直角三角形、为等腰直角三角形，再根据图进行分类，①当点在上，②当点在线段上，结合等腰直角三角形的性质和弧长的性质、及函数图像的性质判断即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 由题意知，的运动路程为，，点从点出发，沿弧及线段向终点运动， ①当点在上， ∴， ∴为定值，的图象为一条线段，结合图像，，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴； ∴当时，点运动到点，故B选项正确，不符合题意， ②当点在线段上， 如图，过点作交于点 当，即有最小值，重合， ∵，，， ∴最小值，故C选项正确，不符合题意， ∵，，， ∴， ∵从图中，可看出先减小，再增大，由图可得，点与点为对称点， 点即在图中点在点时的坐标，即， ∴点表示图中点在点时的坐标， ∴，故D选项不正确，符合题意． 10．（2026·山东东营·二模）如图1，在菱形中，分别以，点为圆心，以大于长为半径画弧，经过两弧交点的直线交于点，交于点．若点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，观察图象可知，当点与重合时，，推出，，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接, 根据作图可得， 四边形是菱形，， 、关于对称，点是对角线上一动点， ， ， 当、、共线时，的值最小，即的长． 观察图象可知，当点与重合时，， ，， 在中， ， 的最小值为， 点的纵坐标． 二、填空题 11．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移与关于轴对称点的坐标规律，灵活运用平移和对称的坐标变化规律是解题的关键．根据点的平移规律，向右平移横坐标加、纵坐标不变，可求出点的坐标；再根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而求出点关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据点的平移规律：向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得平移后点的坐标为 已知的坐标为，因此可得，， 解得，，即点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 12．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得正方形的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第三个正方形和第四个正方形的边长，进一步得到点到轴的距离． 【详解】解：在中，，， 正方形的边长为， ，， ， ， ∴， ， 过作轴于， ∵， ∴， ∴， 依此可得，， ， 同理可得：点到轴的距离是． 13．（2026·山东青岛·一模）铭记历史、缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义的教育，拟开展“重走先人足迹活动”为主题的思想革命活动．如图是该学校“重走长征路”活动路线大致示意图，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据题干所给的点的坐标，找到原点建立坐标系，再根据坐标系得出点的坐标． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： 由坐标系可知，点的坐标为． 14．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可． 【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……， 由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上， 则第1层：的坐标为，， 第2层：的坐标为，， 第3层：的坐标为，， 第4层：的坐标为，， 第5层：的坐标为，， ……， 第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为， ∴即的坐标为，即， ∵， ∴由点的分布规律可知，和都在直线上， ∴的坐标为． 15．（2026·山东临沂·二模）函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】函数表达式同时含有二次根式和分式，需满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此列不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得且， 解得：且． 16．（2026·山东济宁·二模）写出使函数有意义的自变量x的一个值____．（写出任意一个符合题意的实数） 【答案】 （答案不唯一，任意满足的实数均可） 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到自变量的取值范围，在取值范围内任取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得：， 在的范围内任取一个实数，例如（答案不唯一）． 17．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，；②当时，随的增大而增大；③点在此函数图象上，则符合要求的点有3个；④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．上述结论中，其中，正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】结合函数图象逐个分析，进行作答，即可求解． 【详解】解：当时，或，故①错误； 由图可知，当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， ∴点M在一次函数的图象上， 如图： 由图象可得，有3个交点， ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③正确； 由条件可知将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②③④． 三、解答题 18．（2026·山东临沂·二模）某品牌电热水器水箱为长方体，底面积为，高为．水的初始温度为，通电加热时平均每小时升温．已知每立方米水升温可吸收焦耳的热量，假设热水器保温良好，忽略散热损失． (1)请写出水温与加热时间之间的关系式． (2)水温达到时自动断电，且一天内最长加热时间不超过，求时间的实际取值范围． (3)加热后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据水的初始温度为，通电加热时平均每小时升温列式即可； （2）根据水温达到时自动断电，且一天内最长加热时间不超过，即可求解； （3）根据每立方米水升温可吸收焦耳的热量，求解即可. 【详解】（1）解：∵水的初始温度为，平均每小时升温 ， ∴ ； （2）解：当 时， ， 解得： ∵一天内最长加热时间不超过 ， ∴ ，又 ， ∴； （3）解：∵水箱的容积为：，小时升温： ， ∴水箱中的水共吸收热量：. 19．（2026·山东滨州·一模）如图，直线，被所截，． (1)请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】（1）利用角平分线的性质，作与的角平分线，其交点即为圆心，再以到的距离为半径作圆，即可得到与、、都相切的． （2）先根据切线长定理得到线段相等关系，再通过作辅助线构造矩形和直角三角形，最后利用勾股定理建立等式，化简得出与的函数关系式． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，过点作． ∵分别与，，相切于点，，，， ∴，， ∴，，点，，共线． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形． ∴，， ∴， 在中，， ∴， 化简得，． ∴与的函数关系式为 20．（2026·山东青岛·二模）如图，已知四边形，，，，，，点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为1单位．连接，将绕点旋转，得到．设运动时间为（）（）． 解答下列问题： (1)当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，设四边形的面积，求与之间的函数关系式； (3)延长与交于，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，据此建立方程求解即可； （2）连接，由勾股定理可得，由勾股定理逆定理可得，过作于，过作于，可证，得，即可得解； （3）根据题意得，过作于，证，可得，过作于点，则，利用相似比建立方程求解即可． 【详解】（1）解：依据题意可得， ， 根据旋转可得， 当四边形是矩形时，， 则， 即， ． （2）解：连接， 在中，由勾股定理得， 在中，∵， ∴， ， 过作于，过作于， 则， ∴， ， ， ， ． （3）解：， ， 过F作于M， 则， ， ，即， ， ， 过作于点， 则， 由（2）知，， ， ， 即， 整理，得， 解得：（舍）． ∴． 21．（2026·山东泰安·三模）研究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数．的图象与性质． … 0 1 2 3 4 … … … (1)列表，写出表中的值：_______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最_______值，是_______； ②当自变量的取值范围是_______时，函数的值随自变量的增大而增大． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是_______． 【答案】(1)， (2)①小，；② (3)或 【分析】（1）把代入，计算即可； （2）观察图象，直接得出结果； （3）从图象中找出函数的图象在函数的图象上面的部分，再找出这部分图象对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：观察图象可得， ①函数有最小值，最小值是； ②当时，函数的值随自变量的增大而增大． （3）解：观察图象可得，函数的图象在函数的图象上面，对应的自变量的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或． 22．（2026·山东临沂·二模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 0 1.2 2.4 4.8 6.0 … 0 0.5 2.0 4.5 8.0 12.5 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中的值为__________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与，与的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编，同时开始编织，编织面积恰好相等时，所用时间为__________； ②该工厂接到一批订单，需要平编产品200件，绞编产品100件．已知生产一件平编产品要比生产一件绞编产品多用，本次订单两种产品总编织面积为．那么两种产品每件的编织面积分别是多少？ 【答案】(1) (2)如图所示： (3)①；②平编产品每件的编织面积是，绞编产品每件的编织面积是 【分析】（1）由与的关系可以近似用正比例函数表示，先求出函数表达式，再将代入求即可； （2）根据题干中数据，描点连线即可； （3）①观察函数图象，可得与的关系可用二次函数表示，求出二次函数解析式，再根据面积相等列方程求解即可； ②设生产一件绞编产品需要，则生产一件平编产品需要，根据题意及（1）（2）问得出的结论列一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意，与的关系可以近似用正比例函数， 可设， 将代入可得，解得， ， 当时，， ． （2）略 （3）解：①由函数图象，可得与的关系可用二次函数表示， 可设， 将代入可得， ，解得， ， 由（1）得， 当同时开始编织，编织面积恰好相等时， ，即， 解得或（舍） ． ②设生产一件绞编产品需要，则生产一件平编产品需要． 由题意可得，， 整理可得，因式分解得， 解得或（舍）， 平编产品每件的编织面积为， 绞编产品每件的编织面积为． 试卷第1页，共3页 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $