专题07 不等式与不等式组（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合山东2024-2026中考真题及模拟题，聚焦不等式与不等式组四大核心考点，以基础解答题（3-6分）和实际应用题（8-10分）为主，融入非遗产业化、乡村振兴等本土情境，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|5题/3-4分|求解集、整数解、参数范围|结合二次根式有意义条件、点坐标平移等基础情境| |解答题|10题/3-10分|解不等式组、整数解列举、实际应用|含分母/绝对值变式题，步骤规范性要求高，如2026山东统考解答题首题| |单选题|5题/3分|参数取值、数轴表示、实际判断|已知整数解个数求参数区间，如2026烟台题结合分式方程解非负条件| |多选题|1题/3分|不等式性质|考查命题真假判断，如2024潍坊题结合有理数运算性质|

专题07 不等式与不等式组 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01求不等式组的解集 2026 山东统考卷、2025 济南 / 青岛卷、2024 烟台 / 潍坊卷 以选择、基础解答题为主，分值 3-6 分。核心考查不等式组解法与数轴表示，早年以直接求解集为主，2025 年后增多含分母、绝对值的变式题。2026 山东统考后固定为解答题首题，步骤规范性要求提高，侧重解集端点取舍的细节考查，整体难度偏低，属于基础必拿分考点。 考点02不等式组的整数解 2026 山东统考卷、2025 淄博 / 临沂卷、2024 济宁 / 德州卷 多见于选择、填空题，分值 3-4 分。早期以直接求解后列举整数解为主，设问直白。2025 年起逐步结合参数限定整数解个数，反向推导参数范围。2026 统考后成为高频中档题型，陷阱集中在端点值是否可取，对边界验证能力要求明显提升，题型区分度持续增强。 考点03已知不等式的解求参数 2026 山东统考卷、2025 威海 / 东营卷、2024 泰安 / 聊城卷 以填空、解答小问为主，分值 3-5 分。早年多为已知解集求参数值，侧重等式转化。2025 年后转向已知解集范围、整数解个数求参数区间，需分类讨论。2026 统考后频繁结合不等式性质 3 设置变号陷阱，常与分式有意义条件结合，对逻辑严谨性要求逐年提高。 考点04不等式的应用 2026 山东统考卷、2025 济南 / 济宁卷、2024 青岛 / 临沂卷 以解答题为主，分值 8-10 分。经典模型含方案设计、利润最值，早年常与二元一次方程组结合考查。2025 年起融入乡村振兴、非遗产业化等山东本地情境，2026 统考后新增最优方案取舍、结合一次函数求最值，对建模能力与实际意义验根的要求显著提高。 考点01 求不等式组的解集 一、填空题 1．（2026·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得 2．（2026·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点向右平移个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的的值_______． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的值均可） 【分析】根据点的平移规律得到平移后点的坐标，结合第一象限内点的坐标特征得到的取值范围，即可写出满足条件的的值． 【详解】解：点向右平移个单位长度后，得到的点的坐标为， ∵第一象限内点的横坐标大于，纵坐标大于，该点纵坐标为， ∴可得 解得 取（答案不唯一）． 二、解答题 3．（2026·山东德州·中考真题）解答 (1)解不等式： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由不等式①，得； 由不等式②，得 ∴原不等式组的解集为； （2） 解：原式 ． 4．（2026·山东·中考真题）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 5．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 【答案】（1），不等式组的解集在数轴上表示为：；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键； （1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 考点02 不等式组的整数解 一、填空题 1．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组的一个整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 二、解答题 2．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 3．（2025·山东青岛·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 【答案】（1）7；（2）； 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及一元一次不等式组的求解，需熟练掌握二次根式的化简并正确计算，根据不等式组的解集写出整数解是解决本题的关键． （1）先将与化简，再进行二次根式的运算； （2）分别求解一元一次不等式的解，即可求出不等式组的解集，再由解集求出整数解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：不等式组为， 则有，解得， 则有，解得， ∴不等式组的解集为， 则整数解为． 4．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 5．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 考点03 已知不等式的解求参数 一、单选题 1．（2026·山东烟台·中考真题）若整数使关于的一元一次不等式组，有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的范围，再解分式方程，根据解为非负数且分母不为0进一步确定的取值，最后，找出所有符合条件的整数，求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得 ， 解不等式得 ， ∴原不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的3个整数为， ∴． 解得 ． 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理，得 ． ∵分式方程的解为非负数，且分母不为0， ∴，即，解得 且 ． 综上，的取值范围为 ，且， ∵为整数， ∴符合条件的整数为． ∴符合条件的所有整数的和为 ． 二、填空题 2．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 考点04 不等式的应用 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 2．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负． 【详解】由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：． 3．（2024·山东·中考真题）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长的对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：C． 二、多选题 4．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 【答案】AC 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题； B、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题； C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题； D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题． 故选：AC． 三、填空题 5．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 四、解答题 6．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． (2)购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解； （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组： ， 解得：， 答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个． ， 解得（为整数）． 设总费用为，则． 因，则随增大而增大，故当时，最小． （元） 此时内画瓶数量为，最少费用为元． 答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 8．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 一、单选题 1．（2026·山东济南·二模）下列判断不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐一判断各选项，找出错误的判断即可． 【详解】解：A、由于，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， 则，选项正确，不符合题意； B、由于，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，则，选项正确，不符合题意； C、当时，则，选项错误，符合题意； D、由于，且，可得，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，选项正确，不符合题意． 2．（2026·山东潍坊·二模）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】求出的范围，推出的范围，即在和之间，根据数轴上点的位置判断即可． 【详解】解：， ， ， 即在和之间， 数轴上点符合． 3．（2026·山东临沂·二模）平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点满足横坐标小于0，纵坐标大于0 ∴ 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 二、填空题 4．（2026·山东聊城·二模）任写一个使二次根式有意义的x值______． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件. 得到被开方数是解题的关键． 【详解】∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故可取（答案不唯一，满足即可）． 5．（2026·山东泰安·三模）满足的所有的整数的和为_______． 【答案】 【分析】先求解给定的一元一次不等式，得到的取值范围，找出范围内所有整数，计算整数的和即可． 【详解】解： 不等式各边同时减去得：， 不等式各边同时除以得：， 则满足条件的整数解为：，0，1， 整数和为：． 6．（2026·山东德州·二模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值_____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定法则“同大取大”，推导得到的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】根据题意可得， 取满足的一个值即可， 故答案为（答案不唯一）． 7．（2026·山东潍坊·二模）若关于的不等式有且仅有个负整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求解一元一次不等式得到解集，再根据不等式有且仅有个负整数解的条件，判断的端点取值范围，确定最终结果． 【详解】解：解不等式，得， 不等式有且仅有一个负整数解， 满足条件的唯一负整数解是， 若，不等式不存在负整数解，不符合题意， 若，不等式至少存在和两个负整数解，不符合题意， 的取值范围是． 8．（2026·山东临沂·二模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大的原则确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 根据同大取大的原则，可得， 解得． 9．（2026·山东济宁·二模）若数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】分别计算不等式组和分式方程，根据条件综合得出的可能取值，最后求和． 【详解】解：已知不等式组， 则不等式组的解集为， 有且只有三个整数解， 的取值为，，， ， ， 已知， 则， 解得， 方程的解为非负数， ，解得， ，即， ， 综上，的取值范围为，且， 为整数， 的可能取值为，，， 所有可能的取值的和为． 三、解答题 10．（2026·山东青岛·二模）计算 (1)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． (2)计算：． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上如图， （2）解： 11．（2026·山东济南·二模）【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】(1)购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 (2)购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元 【分析】（1）根据 “数量总价单价”列出代数式，再根据“玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍”列出等量关系式解出答案； （2）将其中一种机器人的数量设出来，另一个由“两种机器人玩具共40个”列出代数式，再根据题意列出不等式求出设的值的取值范围，再列出一次函数，根据一次函数的增减性求出答案． 【详解】（1）解：设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 （2）解:设购进A种个，则B种个， 由题意： ， 解得， 且， ， ∴，m为整数， 设总花费为w元： ， ，w随m增大而减小， 取最大值30时，花费最少，， 此时：A种30个，B种（个）， 最少花费： 元； 答：购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元． 12．（2026·山东青岛·三模）计算： (1)解不等式组：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法与分式的混合运算，解题关键是分别求出不等式组中各不等式的解集并取交集，同时熟练运用分式通分、因式分解和约分法则化简分式． （1）分别解出两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集； （2）先对括号内的分式进行通分、合并，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分得到最简结果． 【详解】（1）解：解不等式①得 解不等式②得 将不等式①②的解集在数轴上表示如图： 不等式解集为 （2）原式 13．（2026·山东济南·二模）解不等式组并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有正整数解为，， 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据“同小取小”的原则确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的正整数即可． 【详解】解：解不等式得 解不等式得 原不等式组的解集为 不等式组的所有正整数解为，，． 14．（2026·山东日照·三模）计算与化简求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中为整数且满足 【答案】(1) (2) 化简结果为，最终值为 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； ∵， 由①，得； 由②，得， ∴， ∵为整数， ∴， ∴原式. 15．（2026·山东青岛·三模）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． (1)求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ (3)利润关系仍然满足（2）中的利润关系，商城推出福利活动，决定拿出销售利润的另购“樱珠”、“樱桃”赠送游客免费品尝，第二批购进“樱珠”至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 【答案】(1)每千克“樱珠”进价18元，每千克“樱桃”进价10元． (2)购进50千克“樱珠”，10千克“樱桃”时利润最大，最大利润为680元． (3)第二批购进“樱珠”至少30千克． 【分析】（1）利用两种樱桃购进数量相等的等量关系，列分式方程求解，检验后得到进价； （2）根据总费用不超过限额列不等式得到樱珠购进量的范围，再建立利润关于购进量的一次函数，根据一次函数的增减性求出最大利润及对应进货方案； （3）根据剩余利润的要求列出不等式，结合已有取值范围求出“樱珠”的最小购进量． 【详解】（1）解：设每千克“樱珠”进价是元，则每千克“樱桃”进价是元，根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴“樱桃”进价， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元． （2）解：设购买千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”， 根据题意得： 解得：， 设总利润为元，根据题意得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ，此时． 答：购进50千克“樱珠”，10千克“樱桃”时利润最大，最大利润是680元． （3）解：由题意得，拿出利润的后，剩余利润满足：， 将代入不等式得：， 解得， ∴的最小值为， 答：第二批购进“樱珠”至少30千克． 16．（2026·山东东营·二模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】(1)小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量 (2)小亮安排个深蹲消耗的热量最多 【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量，根据题意列出方程组并求解即可； （2）设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡，根据题意可得，变形得．由题意可列不等式组，解得，容易得到，结合一次函数的增减性与的取值范围，判断的最大值，和对应的的值． 【详解】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量， 根据题意可列方程： ， 解得， 答：小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量； （2）解：设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡， 根据题意，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值． 答：小亮安排个深蹲消耗的热量最多． 试卷第1页，共3页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 不等式与不等式组 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01求不等式组的解集 2026 山东统考卷、2025 济南 / 青岛卷、2024 烟台 / 潍坊卷 以选择、基础解答题为主，分值 3-6 分。核心考查不等式组解法与数轴表示，早年以直接求解集为主，2025 年后增多含分母、绝对值的变式题。2026 山东统考后固定为解答题首题，步骤规范性要求提高，侧重解集端点取舍的细节考查，整体难度偏低，属于基础必拿分考点。 考点02不等式组的整数解 2026 山东统考卷、2025 淄博 / 临沂卷、2024 济宁 / 德州卷 多见于选择、填空题，分值 3-4 分。早期以直接求解后列举整数解为主，设问直白。2025 年起逐步结合参数限定整数解个数，反向推导参数范围。2026 统考后成为高频中档题型，陷阱集中在端点值是否可取，对边界验证能力要求明显提升，题型区分度持续增强。 考点03已知不等式的解求参数 2026 山东统考卷、2025 威海 / 东营卷、2024 泰安 / 聊城卷 以填空、解答小问为主，分值 3-5 分。早年多为已知解集求参数值，侧重等式转化。2025 年后转向已知解集范围、整数解个数求参数区间，需分类讨论。2026 统考后频繁结合不等式性质 3 设置变号陷阱，常与分式有意义条件结合，对逻辑严谨性要求逐年提高。 考点04不等式的应用 2026 山东统考卷、2025 济南 / 济宁卷、2024 青岛 / 临沂卷 以解答题为主，分值 8-10 分。经典模型含方案设计、利润最值，早年常与二元一次方程组结合考查。2025 年起融入乡村振兴、非遗产业化等山东本地情境，2026 统考后新增最优方案取舍、结合一次函数求最值，对建模能力与实际意义验根的要求显著提高。 考点01 求不等式组的解集 一、填空题 1．（2026·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 2．（2026·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点向右平移个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的的值_______． 二、解答题 3．（2026·山东德州·中考真题）解答 (1)解不等式： (2)化简： 4．（2026·山东·中考真题）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组：． 5．（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 考点02 不等式组的整数解 一、填空题 1．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组的一个整数解________． 二、解答题 2．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 3．（2025·山东青岛·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 4．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 5．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 考点03 已知不等式的解求参数 一、单选题 1．（2026·山东烟台·中考真题）若整数使关于的一元一次不等式组，有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 考点04 不等式的应用 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·中考真题）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、多选题 4．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 三、填空题 5．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是_______． 四、解答题 6．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 7．（2025八年级上·全国·专题练习）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 8．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 一、单选题 1．（2026·山东济南·二模）下列判断不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·山东潍坊·二模）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．M B．N C．P D．Q 3．（2026·山东临沂·二模）平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·山东聊城·二模）任写一个使二次根式有意义的x值______． 5．（2026·山东泰安·三模）满足的所有的整数的和为_______． 6．（2026·山东德州·二模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值_____． 7．（2026·山东潍坊·二模）若关于的不等式有且仅有个负整数解，则的取值范围是________． 8．（2026·山东临沂·二模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 9．（2026·山东济宁·二模）若数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 三、解答题 10．（2026·山东青岛·二模）计算 (1)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． (2)计算：． 11．（2026·山东济南·二模）【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 12．（2026·山东青岛·三模）计算： (1)解不等式组：； (2)化简：． 13．（2026·山东济南·二模）解不等式组并写出它的所有正整数解． 14．（2026·山东日照·三模）计算与化简求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中为整数且满足 15．（2026·山东青岛·三模）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． (1)求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ (3)利润关系仍然满足（2）中的利润关系，商城推出福利活动，决定拿出销售利润的另购“樱珠”、“樱桃”赠送游客免费品尝，第二批购进“樱珠”至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 16．（2026·山东东营·二模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $