专题06 平面直角坐标系与一次函数（山西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 平面直角坐标系与一次函数（解析版） 考点1 坐标与图形 1．（2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A．    【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 2．（2021·山西·中考真题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据A，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴B点向右移动3位即为原点的位置， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标． 考点2 求函数解析式 1．（2023·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【详解】解：由题意知：； 故选：B． 【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 3．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 考点3 一次函数的性质 1．（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可解决问题． 【详解】 随的增大而增大， 又点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B 一、单选题 1．（2025·山西太原·一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（    ） A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论 【答案】A 【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解． 【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是数形结合， 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键． 2．（2025·山西晋城·三模）五一假期正是踏青赏花的好时节，小米和小华相约去太原双塔公园赏花．如图为双塔公园中的牡丹园、双塔寺和文峰塔的位置．将其放在适当的平面直角坐标系中，若双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，则牡丹园的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形．根据双塔寺和文峰塔的坐标建立直角坐标系，即可得到牡丹园的坐标． 【详解】解：由双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，建立直角坐标系如下：   牡丹园的坐标为， 故选：D． 3．（2025·山西吕梁·二模）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称及规律探索．先求得点的坐标是，再根据关于坐标轴对称的点的坐标特征“关于轴对称的点坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，找到图形的变换规律即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，且，点为的中点，∴点的坐标是， 由题意可得，图形第一次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第二次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第三次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第四次关于轴对称后，点的对应点的坐标是，与原点重合， 由此可得，点的对应点的坐标随图形变换每4次一循环， ， 图形经过第2025次变换后，相当于第一次关于轴对称后的图形，此时点的对应点的坐标为， 故选：C． 4．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，坐标与图形，设中间正六边形的中心为，连接根据的坐标分别为，得出，求出，即可求出，得出结果． 【详解】解：如图，设中间正六边形的中心为，连接． 点的坐标分别为， ， ． ， ， 点的坐标为． 故选：B． 5．（2025·山西吕梁·二模）太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（    ） A．最大发电功率和最小发电功率相差 B．8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C．从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D．当天发电功率超过的时长为 【答案】B 【分析】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象判断出函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由图象可知，最大发电功率和最小发电功率相差，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，上午8时和下午16时，发电功率相同，故选项正确，符合题意； C．由图象可知，从早上10点到下午14点发电功率先增大后减小，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，8时至16时，发电功率超过， ∴发电功率超过的时间超过8小时，故选项正确，不符合题意； 故选：B． 6．（2025·山西晋中·三模）在化学实验中，小明研究三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度与温度对应的图象．下列说法正确的是（    ） A．三种物质的溶解度都随温度的增加而变大 B．三种物质中，物质的溶解度最小 C．温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是 D．温度为时，两种物质的溶解度相等 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的运用，理解函数图象的特点是解题的关键． 根据函数图象的性质判定即可． 【详解】解：物质的溶解度随温度的增加而减小，故A选项错误，不符合题意； 三种物质中，当温度为时，物质的溶解度最大，故B选项错误，不符合题意； 温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是，故C选项错误，不符合题意； 温度为时，两种物质的溶解度相等，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 7．（2025·山西太原·一模）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 … 则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加80千克，据此求解即可． 【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加80千克， ∴， 故选：D． 8．（2025·山西运城·二模）如图，图①~④分别表示甲、乙两辆汽车在同—条路上匀速行驶过程中，路程与时间的关系． 下列对4个图汽车运动的情况描述正确的是（   ） A．图①：乙的速度是甲的2倍 B．图②：乙的速度是甲的4倍 C．图③：乙的速度是甲的4倍 D．图④：甲的速度是乙的 【答案】A 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，分别计算每个图象中的甲、乙的速度，再判断即可． 【详解】解：A、图①：，， ∴乙的速度是甲的2倍，故符合题意； B、图②：，， 甲，乙的速度相同，故不符合题意； C、图③：，， ∴甲的速度是乙的4倍，故不符合题意； D、图④：，， ∴乙的速度是甲的，故不符合题意； 故选：A． 9．（2025·山西·一模）物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象和物理知识，正确从函数图象上获取所需信息成为解题的关键． 由图1可知液体1的压强大，然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可． 【详解】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大， ∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大， ∴． 故选A． 10．（2025·山西大同·一模）铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（   ） A．时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大 B．硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度 C．时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度 D．当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解纵横坐标表示的意义，然后分析两种物质的溶解度曲线的走势，再结合交点的位置进行分析，即可作答． 【详解】解：A、时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐减小，故该选项不符合题意； B、时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意； C、时，硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意； D、当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同，故该选项符合题意； 故选：D． 11．（2025·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据得，结合图象解答即可． 本题考查了跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得， 又， 故． 故选：C． 12．（2025·山西·三模）电动汽车的续航里程是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程．它是电动汽车重要的经济性指标．科研团队在相同环境及路况下．经过测试得到某型号电动汽车续航里程与行驶速度关系的图象如下，则下列结论正确的是（    ） A．行驶速度越快，续航里程越短 B．当行驶速度为时，续航里程最长 C．当行驶速度为时，续航里程不足 D．若续航里程大于，则行驶速度大于 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的应用，考查数形结合思想.根据函数图象，结合选项中的条件，即可判断正误． 【详解】解：由图象可知，当行驶速度为时，续航里程最长，故B正确； 当行驶速度在时，续航里程随着行驶速度的增大而增大，故A错误； 当行驶速度为时，续航里程大于，故C错误； 若续航里程大于，则行驶速度可以是，故D错误； 故选：B． 13．（2025·山西·模拟预测）排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为v，水的密度为ρ，则该物体的排水量，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据题意可以分别得到甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象，从而解答本题． 【详解】解：根据题意甲、乙两个铁块，在没有浸入装满水的烧杯时，都是0，即在原点，故排除选项A和B， 因为甲的体积>乙的体积，且同样的速度匀速浸入装满水的烧杯， 所以甲的排水量>乙的排水量， 故选：C． 14．（2025·山西晋中·三模）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同，若用表示小球滚动的时间，表示小球的速度，则下列图象中，能表示小球在斜坡上时与之间的函数关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像的知识．根据一次函数k的几何意义判断即可． 【详解】解：∵一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同 ∴=定值 ∴v与t是正比例函数的关系． 故选：C． 15．（2025·山西晋中·二模）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次）与其年龄（岁）的关系为．由此可知，正常情况下，随着一个人年龄的增加，这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数的变化情况是（   ） A．逐渐下降 B．逐渐提高 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的斜率判断函数的增减性． 分析函数的性质，判断随差增大的变化情况． 【详解】解：， ， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小．这里表示年龄，表示运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，所以随着年龄的增加，运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数函渐下降， 故选A． 16．（2025·山西吕梁·二模）已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，由直线经过第一、三象限，得到，解不等式即可确定答案，熟记正比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ，解得， 由四个选项中的数值可知，满足， 故选：D． 17．（2025·山西·模拟预测）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过二、四象限 B．图象与坐标轴有两个交点 C．图象经过点 D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：正比例函数， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限；故选项A正确； 正比例函数的图象与坐标轴交于原点，故选项B错误； ∵当时，， ∴正比例函数的图象不经过点，故选项C错误； ∵， ∴正比例函数的图象随着x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 18．（2025·山西长治·三模）下表为一次函数的自变量x与因变量y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 6 5 4 3 … 则下列关于该函数图象的说法中正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与x轴的交点坐标为 C．图象与坐标轴围成的三角形的面积为36 D．若点和在该函数图象上，且，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与其系数的关系，求一次函数与坐标轴的交点坐标等等，利用待定系数法求出函数解析式，即可判断其所经过的象限，据此可判断A；求出函数值为0时，自变量的值即可判断B；求出一次函数与两坐标轴的交点坐标即可判断C；根据增减性即可判断D． 【详解】解：把代入到中得：， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴图象与x轴的交点坐标为，故B说法错误，不符合题意； ∵时，， ∴图象与y轴的交点坐标为， ∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意； ∵在中，， ∴y随x增大而减小， 若点和在该函数图象上，且，则，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 19．（2025·山西吕梁·二模）要将直线平移后过点，下列平移方法正确的是（  ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【分析】此题主要是考查了一次函数的平移．利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出答案即可． 【详解】解：把代入得：， ∴直线经过点， ∵平移后经过点， ∴直线的图象向上平移1个单位后就经过点； 把代入得：， 解得：， ∴直线经过点， ∵平移后经过点， ∴直线向左平移个单位，经过点， 综上分析可知：直线的图象向上平移1个单位后就经过点或直线向左平移个单位，经过点． 故选：A． 20．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数，其中与的部分对应值如表所示，根据表中数据分析，下列结论不正确的是（   ） … 1 3 … … 5 … A．随着的增大而减小 B．一次函数的图象与正比例函数的图象平行 C．一次函数的图象与轴交于点 D．一次函数的图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质．根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； 一次函数的图象与正比例函数的图象平行，故选项B不正确，符合题意； ∵当时，， ∴一次函数的图象与轴交于点，故选项C正确，不符合题意； ∵一次函数的图象与轴交于点，且，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 21．（2025·山西·模拟预测）一次函数的图象上有两点，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键．根据一次函数的性质判断出增减性即可解答． 【详解】解：一次函数的， 随的增大而减小， ， ， 故选：C． 22．（2025·山西晋城·一模）已知直线经过点，在该函数的图象上还有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据直线经过点得，进而可判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：∵经过点，即：， ∴， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：B． 23．（2025·山西运城·模拟预测）小逸同学依据漏刻如图的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位单位：是关于时间单位：的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，然后把，代入解析式求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题． 【详解】解：设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ， 当时，， 当时，； 点不在该函数图象上，与题目中有一个h的值记录错误相符合， 故选：B． 24．（2025·山西·模拟预测）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（   ） A．12 B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 待定系数法求出直线解析式为，设点，得到，继而得到四边形周长． 【详解】解：设一次函数解析式为，由图象可知一次函数图象过，，代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为， 设点， 由解析式可知：， 四边形的周长是， 故选：A． 25．（2025·山西太原·三模）小华在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验；如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数、当斜面水平放置在地面上时．弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的应用，由题意求出一次函数解析式，求出当弹簧测力计的最大量程是时的h的值，即可得到答案. 【详解】解：由题意可得，， 弹簧测力计的最大量程是，此时，解得， 即装置高度h的取值范围为 故选：A 26．（2025·山西晋城·三模）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的纵坐标为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理，角平分线的性质，过点作于点先求出，的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质证得，然后根据列方程即可求出的长，进而得到答案． 【详解】解：过点作于点， 的图象分别与轴、轴交于点、， 当，当 点坐标为，点坐标为， ，， 在中，， 平分，，， ， ， ， 即， 解得：， 点的纵坐标为， 故选：A． 二、填空题 27．（2025·山西晋城·三模）山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，娘子关瀑布的坐标为，则壶口瀑布的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题关键． 根据云冈石窟和子关瀑布的坐标建立直角坐标系，然后确定壶口瀑布的坐标即可． 【详解】解：根据题意建立如图坐标系： 所以壶口瀑布的坐标为． 故答案为． 28．（2025·山西晋城·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 29．（2025·山西吕梁·一模）若点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于是解题关键．根据平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：， 故答案为：． 30．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作轴，轴，通过含的直角三角形的性质计算，，，即可． 【详解】解：过点作轴，轴，如图， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 31．（2025·山西吕梁·一模）窗格是中国传统建筑装饰的重要构成因素，是中国传统建筑文化的重要组成部分．图1就是由大小相等的圆弧型“青瓦”组成的一个窗格图案．图2是部分窗格截面示意图，将其放置在平面直角坐标系中，点，，均为弧的端点，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，先求得，进而根据平移的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为，则圆弧型“青瓦”的高为 根据平移可得的纵坐标为 ∴， 故答案为：． 32．（2025·山西晋城·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 本题考查规律探究及学生对于点的坐标的理解与应用．先通过点的坐标计算出线段的长度，找出其规律或者循环，得出一个循环也就是一个四边形的周长，然后再根据循环的个数结合计算进行解题． 【详解】 解：由题意得：四边形是一个矩形， ∵，，，， ∴， ∴矩形周长为， ∵， ∴细线可以绕着四边形转圈，回到点，并剩下个单位， ∵， ∴细线得另一端所在位置坐标为． 故答案为：． 33．（2025·山西太原·一模）随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度与光敏传感器感应到的环境光线强度值的关系，近似满足一次函数，其中．已知当时，灯光亮度的值为80，则当时，灯光亮度的值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求函数值，先把，分别代入，得出，即，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，且当时，灯光亮度的值为80， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 34．（2025·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如下表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，先根据表格中的数据求出水温T与时间t的关系式为，把代入求出t即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知，当时间增大温度升高，因此水温T是时间t的一次函数， ∴设水温T与时间t的关系式为： ， 把，代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴水温达到的时间是． 故答案为9． 35．（2025·山西·模拟预测）控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的一次函数( ，部分数据如下表所示： 营养素用量() 幼苗的生长速度(/天) 若营养素用量为，则幼苗的生长速度为 /天． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用．利用待定系数法求得解析式．然后将代入，即可求解． 【详解】解：设幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的函数关系式为： 代入得 解得： ∴ 当时， 故答案为：． 36．（2025·山西朔州·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的边长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质、一次函数的应用等知识点，求得点B的坐标是解题的关键．令求得，则，即即可解答． 【详解】解：令可得：， 解得：， ∴，即， ∴菱形的边长为5． 故答案为：5． 37．（2025·山西吕梁·二模）如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，先求出A、B的坐标，然后根据三线合一的性质求出，则可求出C的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线l的函数表达式为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 38．（2025·山西运城·二模）春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转速，已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，n为转速（转/分针），U为电源电压（），k为常数，为电枢磁通（）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数，若一台直流电动机的空载转数为300转/分钟，则在的电压下该电动机的空载转速为 转/分钟． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数的应用，根据一台12V直流电动机的空载转数为300转/分钟，可得，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵一台12V直流电动机的空载转数为300转/分钟，且， ∴， ∴， 当时， ∴， 故答案为： 39．（2025·山西朔州·模拟预测）将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点，则平移后的直线解析式为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点， ∴平移后的直线解析式为， ∴， ∴， 故答案为：3． 40．（2025·山西·一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位和时间的部分数据，猜想当时间t为时，受水壶中水位的高度为 ． … 1 2 3 4 5 … … 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 … 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．设水位和时间的一次函数解析式为，根据表格代入数据解方程组即可求出解析式，将代入即可求解． 【详解】解：设水位和时间的一次函数解析式为， 根据表格得， 解得， 一次函数解析式为， 当，． 故答案为：． 三、解答题 41．（2025·山西运城·模拟预测）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 曼哈顿距离 图1是具有正南正北，正东正西方向规则布局的城市，灰色区域是城市的道路，黑色区域是城市的建筑物．从A地到B地，有很多种路线．根据我们学过的“两点之间线段最短”可知线段是从A地到B地的最短距离，但很多时候，这种距离是理想化的．大部分情况下从A地到B地，所走的路程是A，B两点在南北方向上的距离加上东西方向上的距离，这种距离称为曼哈顿距离，例如图1中的实线（折线）就是A，B两点之间的曼哈顿距离． 查阅资料发现，曼哈顿距离与平面直角坐标系有密切关系．如图2，在平面直角坐标系中，设点，，则A，B两点之间的曼哈顿距离可用表示，且． 曼哈顿距离的几何意义：在图3所示的平面直角坐标系中，已知，，轴，轴，点D是线段上的一点，则． 证明：①当点D与点A重合时，． ②当点D与点C重合时，． ③当点D在线段上，且不与点A，C重合时，如图3，过点D作于点E， ．．．．．． 综上所述，． 任务： (1)根据上述信息，若点，，则的值为__________． (2)请你补全材料中③的证明过程． (3)如图4，直线与y轴、x轴分别交于点A，B，点C是线段上的一点．若，则的面积为__________． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，等腰三角形的性质和判定、一次函数的图象与性质，以及新定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据曼哈顿距离公式求解即可； （2）证明是等腰直角三角形，由即可得出结论； （3）设，则，根据点C是线段上的一点，进而得到，联 立 ，求出；进而求出，的长，根据三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）已知，，轴，轴，点D是线段上的一点，则． 证明：①当点D与点A重合时，． ②当点D与点C重合时，． ③当点D在线段上，且不与点A，C重合时，如图3，过点D作于点E， ∵，，轴，轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，． （3）设，则， 点C是线段上的一点， ∴， ，    ，                    联立 ：， ∴， 即直线与y轴、x轴分别交于点，， 的面积为； 42．（2025·山西晋中·一模）为响应《2025年中国低碳环保发展行动计划》，某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如下表： 类型 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 (1)设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； (2)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？ 【答案】(1) (2)商场购进A型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1520元 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，理清题目数量关系并列式求出m的取值范围是解题的关键． （1）由商场购进A型台灯x盏，则购进B型台灯为盏，然后根据题意列出函数解析式即可； （2）根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． 【详解】（1）解：商场购进A型台灯x盏，则购进B型台灯为盏， 由题意可得：， 所以y与之间的函数关系式：； （2）解：型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值为（元），此时． 答：商场购进A型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1520元． 43．（2025·山西临汾·一模）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 50g，其营养成分表如下： 考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共6包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于70g，且脂肪含量要尽可能低，请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用种食品4包，种食品2包 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，得到一元一次不等式进而得到的取值范围，再根据一次函数图像的性质进而得到答案即可． 【详解】解：设选用种食品包，则选用种食品包， 由题意得：， 解得：， 设每份午餐的总脂肪含量为， 由题意得：， 即， ∵， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时， 答：符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用种食品4包，种食品2包． 44．（2025·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用， 对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可； 对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 45．（2025·山西阳泉·模拟预测）“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．    (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 (2)购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可． 【详解】（1）解：设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元． 根据题意，得， 解得， 甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元． （2）解：设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个． 根据题意，得， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，，此时（个， 购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元． 46．（2025·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 【答案】(1)每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人 (2)八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出，再表示出，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人． 根据题意得， 解得． 答：每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人． （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元． 根据题意得， 解得， ． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最小值， ∴． 答：八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少． 47．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰好落在反比例函数的图象上，过，两点的直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把点代入，得出反比例函数的解析式为，根据平移得出的横坐标，进而代入解析式，即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式，进而得出的坐标，根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得 ． 反比例函数的解析式为． 将点A向右平移3个单位，再向上平移a个单位得到点B， 点B的横坐标为 当时， （2）设直线的解析式为， 由题意可得 解得 ． 当时，， ， 当时，， ， ． ， ． 48．（2025·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； (2)根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． 【答案】(1)空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为 (2) (3)a的值为 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，利用待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键． （1）根据题意结合图象解答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）根据题意和图象可知：点A的实际意义是：空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为． （2）设此一次函数的解析式为． 当时，， ， ． ． （3）该食品盒完全浸入水中时，． 由（2）知，， ， 解得． 答：a的值为． 49．（2025·山西阳泉·三模）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． 同学们类比学习一次函数的图象和性质的学习方法，从特殊到一般展开研究： (1)当时，即．当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … y … 3 1 2 3 4 5 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 【答案】(1) (2)①2；②见解析 (3)①；②见解析 (4)当，时，y随x增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． （1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写出即可得到答案． 【详解】（1）解：当时， ， 故答案为：； （2）解：①当时， ， 故答案为：2； ②根据表格描点再连接起来，如图所示，   ； （3）解：①当时， ， 故答案为：； ②当时，， 当时，， 当时，， 描点，连线，如图所示，   ； （4）解：由解析式得，当时，， 当，时，y随x增大而增大， 当，时，y随x增大而减小． 故答案为：当，时，y随x增大而增大（答案不唯一）． 50．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．        方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 【答案】(1)轴对称的性质 (2)B (3)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质等等： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据题意可知用了数形结合思想； （3）方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，则点的横坐标为c，设点的纵坐标为，则，据此求出，在中，当时，，据此可证明结论；方法二：在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，则点的横坐标为，求出，再证明，即可得到直线和直线关于直线对称． 【详解】（1）解：由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质， 故答案为：轴对称的性质； （2）解：由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：B． （3）解：方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D， ∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c， 设点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴在直线上， ∴直线和直线关于直线对称； 方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于， ∴点的横坐标为， 把代入中得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴直线和直线关于直线对称． 51．（2025·山西朔州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，． (1)求直线的函数表达式． (2)当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围． (3)设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式，熟练 以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出点C的横坐标为2，代入得出，再利用待定系数法求解即可； （2）在中，当时，，解得，再结合图象即可得出答案； （3）求出，设点P的坐标为，根据得出，从而即可得出点的横坐标，即可得解． 【详解】（1）解：∵轴于点D， ， ∴点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，，解得， 由图象可得：当反比例函数的函数值时，自变量x的取值范围为； （3）解：当时，，解得， ∴， ∵点P是x轴上的点， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 52．（2025·山西大同·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是点关于轴的对称点，连接，求的面积． 【答案】(1)反比例函数得解析式为，一次函数的解析式为 (2)16 【分析】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． （1）由点，点是的图象与直线的交点，则，解得，得到，，，得到反比例函数解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出点，得到，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点，点是的图象与直线的交点， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴反比例函数得解析式为， 将点，代入一次函数中， 得  解得 ∴一次函数的解析式为； （2）对于直线， 令，得， ∴点C的坐标为， ∵点D是点C关于x轴的对称点 ∴点，   ∴， ∴； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面直角坐标系与一次函数（原卷版） 考点1 坐标与图形 1．（2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 2．（2021·山西·中考真题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为 ． 考点2 求函数解析式 1．（2023·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 3．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 考点3 一次函数的性质 1．（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·山西太原·一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（    ） A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论 2．（2025·山西晋城·三模）五一假期正是踏青赏花的好时节，小米和小华相约去太原双塔公园赏花．如图为双塔公园中的牡丹园、双塔寺和文峰塔的位置．将其放在适当的平面直角坐标系中，若双塔寺的坐标为，文峰塔的坐标为，则牡丹园的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·山西吕梁·二模）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 5．（2025·山西吕梁·二模）太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（    ） A．最大发电功率和最小发电功率相差 B．8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C．从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D．当天发电功率超过的时长为 6．（2025·山西晋中·三模）在化学实验中，小明研究三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度与温度对应的图象．下列说法正确的是（    ） A．三种物质的溶解度都随温度的增加而变大 B．三种物质中，物质的溶解度最小 C．温度为时，三种物质的溶解度由大到小的顺序是 D．温度为时，两种物质的溶解度相等 7．（2025·山西太原·一模）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 … 则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山西运城·二模）如图，图①~④分别表示甲、乙两辆汽车在同—条路上匀速行驶过程中，路程与时间的关系． 下列对4个图汽车运动的情况描述正确的是（   ） A．图①：乙的速度是甲的2倍 B．图②：乙的速度是甲的4倍 C．图③：乙的速度是甲的4倍 D．图④：甲的速度是乙的 9．（2025·山西·一模）物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山西大同·一模）铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（   ） A．时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大 B．硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度 C．时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度 D．当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同 11．（2025·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．（2025·山西·三模）电动汽车的续航里程是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程．它是电动汽车重要的经济性指标．科研团队在相同环境及路况下．经过测试得到某型号电动汽车续航里程与行驶速度关系的图象如下，则下列结论正确的是（    ） A．行驶速度越快，续航里程越短 B．当行驶速度为时，续航里程最长 C．当行驶速度为时，续航里程不足 D．若续航里程大于，则行驶速度大于 13．（2025·山西·模拟预测）排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为v，水的密度为ρ，则该物体的排水量，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象是（   ） A．B．C． D． 14．（2025·山西晋中·三模）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同，若用表示小球滚动的时间，表示小球的速度，则下列图象中，能表示小球在斜坡上时与之间的函数关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 15．（2025·山西晋中·二模）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次）与其年龄（岁）的关系为．由此可知，正常情况下，随着一个人年龄的增加，这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数的变化情况是（   ） A．逐渐下降 B．逐渐提高 C．不变 D．无法确定 16．（2025·山西吕梁·二模）已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（2025·山西·模拟预测）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过二、四象限 B．图象与坐标轴有两个交点 C．图象经过点 D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 18．（2025·山西长治·三模）下表为一次函数的自变量x与因变量y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 6 5 4 3 … 则下列关于该函数图象的说法中正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与x轴的交点坐标为 C．图象与坐标轴围成的三角形的面积为36 D．若点和在该函数图象上，且，则 19．（2025·山西吕梁·二模）要将直线平移后过点，下列平移方法正确的是（  ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 20．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数，其中与的部分对应值如表所示，根据表中数据分析，下列结论不正确的是（   ） … 1 3 … … 5 … A．随着的增大而减小 B．一次函数的图象与正比例函数的图象平行 C．一次函数的图象与轴交于点 D．一次函数的图象经过第一、二、四象限 21．（2025·山西·模拟预测）一次函数的图象上有两点，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 22．（2025·山西晋城·一模）已知直线经过点，在该函数的图象上还有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 23．（2025·山西运城·模拟预测）小逸同学依据漏刻如图的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，实验发现水位单位：是关于时间单位：的一次函数，下表是小逸记录的数据，其中有一个h的值记录错误，则h的值记录错误的是( ) A． B． C． D． 24．（2025·山西·模拟预测）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（   ） A．12 B． C．10 D．6 25．（2025·山西太原·三模）小华在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验；如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数、当斜面水平放置在地面上时．弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·山西晋城·三模）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的纵坐标为（    ） A．4 B． C．5 D．6 二、填空题 27．（2025·山西晋城·三模）山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，娘子关瀑布的坐标为，则壶口瀑布的坐标为 ． 28．（2025·山西晋城·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为 ． 29．（2025·山西吕梁·一模）若点在第四象限，则的取值范围是 ． 30．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标为 ． 31．（2025·山西吕梁·一模）窗格是中国传统建筑装饰的重要构成因素，是中国传统建筑文化的重要组成部分．图1就是由大小相等的圆弧型“青瓦”组成的一个窗格图案．图2是部分窗格截面示意图，将其放置在平面直角坐标系中，点，，均为弧的端点，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 32．（2025·山西晋城·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ． 33．（2025·山西太原·一模）随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度与光敏传感器感应到的环境光线强度值的关系，近似满足一次函数，其中．已知当时，灯光亮度的值为80，则当时，灯光亮度的值为 ． 34．（2025·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如下表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是 ． 35．（2025·山西·模拟预测）控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的一次函数( ，部分数据如下表所示： 营养素用量() 幼苗的生长速度(/天) 若营养素用量为，则幼苗的生长速度为 /天． 36．（2025·山西朔州·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的边长为 ． 37．（2025·山西吕梁·二模）如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为 ． 38．（2025·山西运城·二模）春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转速，已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，n为转速（转/分针），U为电源电压（），k为常数，为电枢磁通（）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数，若一台直流电动机的空载转数为300转/分钟，则在的电压下该电动机的空载转速为 转/分钟． 39．（2025·山西朔州·模拟预测）将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 40．（2025·山西·一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位和时间的部分数据，猜想当时间t为时，受水壶中水位的高度为 ． … 1 2 3 4 5 … … 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 … 三、解答题 41．（2025·山西运城·模拟预测）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 曼哈顿距离 图1是具有正南正北，正东正西方向规则布局的城市，灰色区域是城市的道路，黑色区域是城市的建筑物．从A地到B地，有很多种路线．根据我们学过的“两点之间线段最短”可知线段是从A地到B地的最短距离，但很多时候，这种距离是理想化的．大部分情况下从A地到B地，所走的路程是A，B两点在南北方向上的距离加上东西方向上的距离，这种距离称为曼哈顿距离，例如图1中的实线（折线）就是A，B两点之间的曼哈顿距离． 查阅资料发现，曼哈顿距离与平面直角坐标系有密切关系．如图2，在平面直角坐标系中，设点，，则A，B两点之间的曼哈顿距离可用表示，且． 曼哈顿距离的几何意义：在图3所示的平面直角坐标系中，已知，，轴，轴，点D是线段上的一点，则． 证明：①当点D与点A重合时，． ②当点D与点C重合时，． ③当点D在线段上，且不与点A，C重合时，如图3，过点D作于点E， ．．．．．． 综上所述，． 任务： (1)根据上述信息，若点，，则的值为__________． (2)请你补全材料中③的证明过程． (3)如图4，直线与y轴、x轴分别交于点A，B，点C是线段上的一点．若，则的面积为__________． 42．（2025·山西晋中·一模）为响应《2025年中国低碳环保发展行动计划》，某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如下表： 类型 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 (1)设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； (2)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？ 43．（2025·山西临汾·一模）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 50g，其营养成分表如下： 考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共6包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于70g，且脂肪含量要尽可能低，请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 44．（2025·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 45．（2025·山西阳泉·模拟预测）“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．    (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 46．（2025·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 47．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰好落在反比例函数的图象上，过，两点的直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求的度数． 48．（2025·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； (2)根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． 49．（2025·山西阳泉·三模）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． 同学们类比学习一次函数的图象和性质的学习方法，从特殊到一般展开研究： (1)当时，即．当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … y … 3 1 2 3 4 5 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 50．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称．        方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： (1)小悦周记中得到，的依据是______； (2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想    B．数形结合思想    C．分类讨论思想 (3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 51．（2025·山西朔州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，． (1)求直线的函数表达式． (2)当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围． (3)设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标． 52．（2025·山西大同·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是点关于轴的对称点，连接，求的面积． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$