专题06 一元二次方程（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦一元二次方程，汇编2024-2026年山东中考真题及模拟题，覆盖解方程、根的判别式、实际应用等6大考点，情境融合乡村振兴、文旅消费等现实素材，梯度设计兼顾基础与综合提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约20题/60分|解一元二次方程、根的判别式、根与系数关系|日历九宫格考配方法，参数问题融入分式有意义条件| |解答题|约10题/40分|实际应用、与二次函数综合|充电桩建设增长率问题，长征文创销售利润模型，二次函数区间根分布综合题|

专题06 一元二次方程 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01解一元二次方程 2026 山东统考卷 2025 济南 / 青岛卷 2024 烟台 / 潍坊卷 以选择、填空及基础解答题为主，分值 3-6 分。核心考查配方法、公式法、因式分解法三类解法，早年以直接求解为主，2025 年后增多错解纠错、代数式化简结合的情境题。2026 统考后侧重因式分解法灵活运用，常融入新定义运算，运算量稳中有升，整体难度偏低，属必拿分基础考点。 考点02判断一元二次方程根的情况 2026 山东统考卷 2025 淄博 / 临沂卷 2024 济宁 / 德州卷 多为选择、填空题，分值 3-4 分。围绕判别式 Δ 展开，早期以直接计算判断根的个数为主，近年逐步结合参数范围、几何边长条件综合设题。2026 统考后常与三角形三边关系、分式有意义条件结合，知识点交叉性增强，对审题细致度要求提高，整体难度中等偏下。 考点03由根的情况求参数 2026 山东统考卷 2025 威海 / 东营卷 2024 泰安 / 聊城卷 以填空、解答题为主，分值 3-8 分。核心是根据根的个数列不等式求参数范围，早年易错点为二次项系数不为 0 的隐含条件。2026 统考后新增根的整数性、参数为整数的限定，频繁结合分式、二次根式有意义条件设题，陷阱点增多，题型区分度有所提升。 考点04根与系数的关系 2026 山东统考卷 2025 菏泽 / 枣庄卷 2024 日照 / 滨州卷 多见于选择填空压轴、解答题小问，分值 3-5 分。早期以直接代入两根和积公式求值为主，近年侧重对称式变形、已知一根求参数等进阶应用。2026 统考后常结合判别式综合考查，需验证 Δ≥0 的前提，易错点集中在忽略判别式检验，命题灵活性显著增强。 考点05一元二次方程的实际应用 2026 山东统考卷 2025 济南 / 济宁卷 2024 青岛 / 临沂卷 以解答题为主，分值 8-10 分。经典模型含增长率、利润、面积问题，早年情境较为常规。2025 年起融入乡村振兴、文旅消费等山东本地热点，2026 统考后增设方案设计与合理性判断，需结合实际意义验根，对建模能力与结果取舍的要求明显提高。 考点06一元二次方程与二次函数的综合 2026 山东统考卷 2025 烟台 / 潍坊卷 2024 淄博 / 泰安卷 多为解答题压轴小问，分值 4-6 分。核心考查函数交点与方程根的转化，早期以基础交点计算为主。2026 统考后深度结合二次函数图像性质、区间根分布，常融入动点、存在性问题，对数形结合思想要求显著提升，是拉开分差的核心考点，难度逐年递增。 考点01 解一元二次方程 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 二、解答题 3．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 考点02 判断一元二次方程根的情况 一、单选题 1．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 考点03 由根的情况求参数 一、单选题 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 4．（24-25八年级下·上海·阶段检测）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 5．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 考点04 根与系数的关系 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 3．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 4．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 5．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 6．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 考点05 一元二次方程的实际应用 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    三、解答题 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 4．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 5．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 考点06 一元二次方程与二次函数的综合 一、填空题 1．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 二、解答题 2．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 3．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 4．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 5．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 一、单选题 1．（2026·山东济南·二模）已知是关于的一元二次方程，其中为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．（2026·山东东营·二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东菏泽·二模）为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 5．（2026·山东日照·二模）已知m是方程的实数根，则的值为______． 6．（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 7．（2026·山东临沂·一模）用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 8．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 9．（2026·山东济宁·二模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 10．（2026·山东日照·二模）关于的一元二次方程的两个实数根为，设，则与方程根的判别式之间的数量关系是___________． 11．（2026·山东临沂·三模）如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________． 12．（2026·山东聊城·二模）已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 13．（2026·山东临沂·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 14．（2026·山东青岛·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 15．（2026·山东聊城·二模）已知，是方程的两个根，则______． 16．（2026·山东济宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 17．（2026·山东临沂·二模）已知方程的两根分别为a和b，则的值是________． 18．（2026·山东泰安·三模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则两次降价平均每次的降价率是_______． 三、解答题 19．（2026·山东淄博·二模）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 20．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 21．（2026·山东潍坊·模拟预测）抛物线（b，c为常数）经过点，与x轴的交点是点B，C（点B在点C的左边），对称轴为直线．点P在抛物线上，横坐标为m． (1)求b，c的值； (2)若点P在线段上方，求m为何值时，的面积最大； (3)若将点A和点P两点纵坐标差的绝对值记为n．点是平面内一点，请写出以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时m的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01解一元二次方程 2026 山东统考卷 2025 济南 / 青岛卷 2024 烟台 / 潍坊卷 以选择、填空及基础解答题为主，分值 3-6 分。核心考查配方法、公式法、因式分解法三类解法，早年以直接求解为主，2025 年后增多错解纠错、代数式化简结合的情境题。2026 统考后侧重因式分解法灵活运用，常融入新定义运算，运算量稳中有升，整体难度偏低，属必拿分基础考点。 考点02判断一元二次方程根的情况 2026 山东统考卷 2025 淄博 / 临沂卷 2024 济宁 / 德州卷 多为选择、填空题，分值 3-4 分。围绕判别式 Δ 展开，早期以直接计算判断根的个数为主，近年逐步结合参数范围、几何边长条件综合设题。2026 统考后常与三角形三边关系、分式有意义条件结合，知识点交叉性增强，对审题细致度要求提高，整体难度中等偏下。 考点03由根的情况求参数 2026 山东统考卷 2025 威海 / 东营卷 2024 泰安 / 聊城卷 以填空、解答题为主，分值 3-8 分。核心是根据根的个数列不等式求参数范围，早年易错点为二次项系数不为 0 的隐含条件。2026 统考后新增根的整数性、参数为整数的限定，频繁结合分式、二次根式有意义条件设题，陷阱点增多，题型区分度有所提升。 考点04根与系数的关系 2026 山东统考卷 2025 菏泽 / 枣庄卷 2024 日照 / 滨州卷 多见于选择填空压轴、解答题小问，分值 3-5 分。早期以直接代入两根和积公式求值为主，近年侧重对称式变形、已知一根求参数等进阶应用。2026 统考后常结合判别式综合考查，需验证 Δ≥0 的前提，易错点集中在忽略判别式检验，命题灵活性显著增强。 考点05一元二次方程的实际应用 2026 山东统考卷 2025 济南 / 济宁卷 2024 青岛 / 临沂卷 以解答题为主，分值 8-10 分。经典模型含增长率、利润、面积问题，早年情境较为常规。2025 年起融入乡村振兴、文旅消费等山东本地热点，2026 统考后增设方案设计与合理性判断，需结合实际意义验根，对建模能力与结果取舍的要求明显提高。 考点06一元二次方程与二次函数的综合 2026 山东统考卷 2025 烟台 / 潍坊卷 2024 淄博 / 泰安卷 多为解答题压轴小问，分值 4-6 分。核心考查函数交点与方程根的转化，早期以基础交点计算为主。2026 统考后深度结合二次函数图像性质、区间根分布，常融入动点、存在性问题，对数形结合思想要求显著提升，是拉开分差的核心考点，难度逐年递增。 考点01 解一元二次方程 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 二、解答题 3．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 【答案】(1)①； ②为定值，理由如下： 由题意可得：，，， ∴． (2) 【分析】（1）①根据中心数的特点可得；②根据中心数的特点分别表示，，，再进一步求解即可； （2）先解方程，再结合中心数的特点可得答案． 【详解】（1）解：①由题意可得：； ②略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵为九宫格的中心数， ∴不符合题意， ∴中心数为， ∴九宫格中最大的数为． 考点02 判断一元二次方程根的情况 一、单选题 1．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 考点03 由根的情况求参数 一、单选题 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． 二、填空题 3．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 4．（24-25八年级下·上海·阶段检测）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解， 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 5．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 考点04 根与系数的关系 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 二、填空题 3．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 4．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 5．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 6．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 考点05 一元二次方程的实际应用 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 二、填空题 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 三、解答题 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 4．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 5．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 考点06 一元二次方程与二次函数的综合 一、填空题 1．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 二、解答题 2．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 3．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． （3）解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当时， ，即 ， ∴， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 4．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 5．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； （2）解：，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 一、单选题 1．（2026·山东济南·二模）已知是关于的一元二次方程，其中为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（2026·山东东营·二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 3．（2026·山东菏泽·二模）为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设水池的边长为米，每边均相距米，则圆的半径为米，可种植绿植的面积为圆的面积减去正方形的面积，根据可种植绿植的面积恰好为平方米即可列出方程． 【详解】解：设水池的边长为米，每边均相距米， 则圆的半径为米， 可种植绿植的面积恰好为平方米， ． 二、填空题 4．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【分析】先根据一元二次方程的定义，列方程与不等式，解得，得到该一元二次方程为，再解该方程即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 5．（2026·山东日照·二模）已知m是方程的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 6．（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原一元二次方程，求出的值，再对所求代数式变形计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， ． 7．（2026·山东临沂·一模）用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同除以3，得， 移项，得， 配方，得，， ∴． 8．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 9．（2026·山东济宁·二模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】18 【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，得到第三边的可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算三角形周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当时，满足三角形三边关系， 因此三角形的周长为：； 当时，不满足三角形三边关系，应舍去； 综上，这个三角形的周长是18． 10．（2026·山东日照·二模）关于的一元二次方程的两个实数根为，设，则与方程根的判别式之间的数量关系是___________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到该一元二次方程的两根和与两根积，再分别计算和根的判别式，对比即可得到二者的数量关系． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项为， 由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 11．（2026·山东临沂·三模）如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，可得判别式小于，据此求出的取值范围，即可得到的最小整数值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 化简得， 解得， ∴的最小整数值为． 12．（2026·山东聊城·二模）已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】方程有两个实数根说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为零，且根的判别式大于等于零，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ 方程 有两个实数根， ∴， 解得：且． ∴的取值范围是且． 13．（2026·山东临沂·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0. 再结合方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0. 解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 又方程有两个不相等的实数根， 根的判别式，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 14．（2026·山东青岛·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得； ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 综上，实数的取值范围为且． 15．（2026·山东聊城·二模）已知，是方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若，是方程的两根，有，．利用一元二次方程的根与系数关系求出与的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，其中，，， ，， ∴． 16．（2026·山东济宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形后代入建立关于的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， ， 解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 代入得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 17．（2026·山东临沂·二模）已知方程的两根分别为a和b，则的值是________． 【答案】 【分析】若，为方程的两个根，则有，，先根据根与系数的关系得到与的值，再展开所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：方程的两根分别为和， 由根与系数的关系可得，， ． 18．（2026·山东泰安·三模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则两次降价平均每次的降价率是_______． 【答案】 【分析】设平均每次降价的百分率为，根据原价经过两次降价后零售价为9元，找出等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到结果． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：或 由于降价率大于且小于， 则两次降价平均每次的降价率是． 三、解答题 19．（2026·山东淄博·二模）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】(1) 证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程一定有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，把展开后整体代入即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：，， ． 20．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 【答案】(1) 当日的快充充电单价为元/度 (2) 快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元 【分析】（1）根据快充和慢充单价的关系得到与的表达式，再结合快充和慢充充电总量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先根据题目条件表示出日充电量，再结合日收益的计算公式列一元二次方程，求解后根据的取值范围筛选得到结果． 【详解】（1）解：快充充电单价为元/度，慢充充电单价元/度，快充充电单价比慢充充电单价多元/度， 慢充充电单价为元/度， 根据题意得， 化简得， 方程两边同乘得：， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解，且符合题意． 答：当日的快充充电单价为元/度； （2）解：当时，日充电量为度；单价每降价元/度，日充电量增加度， 日充电量为， 根据题意得， 整理得 ， 因式分解得， 解得，， 两个解都满足，均符合题意； 答：快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元． 21．（2026·山东潍坊·模拟预测）抛物线（b，c为常数）经过点，与x轴的交点是点B，C（点B在点C的左边），对称轴为直线．点P在抛物线上，横坐标为m． (1)求b，c的值； (2)若点P在线段上方，求m为何值时，的面积最大； (3)若将点A和点P两点纵坐标差的绝对值记为n．点是平面内一点，请写出以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)或或 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）作轴交轴于点，交于点，过点作于点，然后求出经过点，点的直线函数解析式为，设，，则，由，通过二次函数的性质即可求解； （3）设点，则，，因此轴，故只存在或，且，据此分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）经过点， ∴， 抛物线对称轴为直线， ， ∴． （2）解：∵，， ∴抛物线为； 如图，作轴交轴于点，交于点，过点作于点， 抛物线与轴的交点是、， 当时，解得：或， 点在点左边， ，， 设经过点，点的函数解析式为， ，解得：， ∴直线函数解析式为， 设，则，， ， 当时，的面积最大； （3）解：设点，则， ∴，轴， ∵以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴只存在或，且． 若，则点P在点Q上方， ∴， 若，即时，该方程可化为，方程恒成立， 当时，点P与点A重合，舍去， ∴m的取值范围是； 若，即或时，该方程可化为， 解得或，都不满足或，舍去． 若，则点Q在点P上方， ∴， 若，即时，该方程可化为，方程无解； 若，即或时，该方程可化为， 解得或． 综上所述，当或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 试卷第1页，共3页 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $