专题06圆（3大考点）（山东专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆3大考点概览 考点01圆的有关概念和性质 考点02与圆有关的位置关系 考点03与圆有关的计算 考点01 圆的有关概念和性质 1.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)如图，AB是©0的弦，OC⊥AB交⊙0于点C,点D是⊙0上一点， 连接BD,CD.若∠D=26°，则∠OAB的度数为() D A.62 B.56 C.38° D.260 2.(2026山东青岛南区一模)如图，AB为⊙0的直径，弦CD交AB于E,交⊙O于D, ∠ACD=40°，∠ABC=35°，则∠CD0的度数为() C B E D A.20 B.15° C.10° D.5 3.(2026山东淄博高新区一模)如图，EA,ED是⊙O的切线，切点为A,D,点B,C在圆⊙0上，若 ∠ABC+∠CDE=235·,则∠E=() E D C A.55° B.65 C.70° D.78° 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026山东青岛市崂山区一模)如图，AB是⊙0的直径，AC,ED是⊙0的弦，连接CD,BE,若 ∠ACD=60°，则∠BED的度数是() B D A.30o B.20o C.25 D.35 5.(2026山东滨州市阳信县.一模)如图，AB是⊙0的直径，若AC=2,∠D=60°，则BC长等于() A.4 B.5 c.5 D.2y5 6.(2026山东省菏泽市东明县一模)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材， 埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？大意是：如图，CD为⊙O的直径， 弦AB⊥CD,垂足为点E,CE=1寸，AB=10寸，则直径CD为() A.13寸 B.18寸 C.24寸 D.26寸 7.(2026山东省日照市高新区.一模)如图，AB是⊙0的直径，点D是AC的中点，过点D作DF⊥AB于 点E,交⊙0于另一点F.若AC=12,AE=3,则⊙0的半径是() D B A.号 B.号 C.6 D.10 8.(2026山东省德州市临邑县.一模)如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点 C,大圆的弦AD交小圆于点E和F.为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长.其中可以算出截面（图中阴影部分） 面积的同学是() D B A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲、丙 D.甲、乙、丙 9.(2026山东省聊城市东阿县高集中学.一模)如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A,OD交⊙0于点 C,AE⊥OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF 的最小值是() D F B A.4 B.2V万 C.6 D.45 10.(2026山东省济宁市泗水县.一模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，若⊙0的直径 为5，AC=4,则cosB的值是() A.号 B.胃 c. D.等 11.(2026山东济宁市充州区一模)如图，在⊙0中，弦AB与弦CD交于点P且AP>BP,DP>CP,已 知AB=7,CD=8,若DP=3CP,则PB的长为() 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q. D A.3 B.3 C.4 D.7 12.(2026山东滨州市滨城区一模)如图，点AB,C,D为一个正多边形的部分顶点，点0为正多边形的中心， 若∠A0D=120·,则这个正多边形的边数为() B A.6 B.9 C.10 D.12 13.(2026山东枣庄市·一模)如图，A,B,C,D为一个正多边形的顶点，点0为该正多边形外接圆的圆心， 连接AD、BD,∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为() A.7 B.8 C.9 D.10 14.(2026山东省淄博市一模)新考法正多边形纸片的缺失如图，正n边形纸片被撕掉左边一部分后，发现 其中两边AB,ED所在直线夹的锐角∠G=72°，则n的值为() 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B G A.12 B.10 C.9 D.8 15.(2026山东德州庆云县一模)公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆 周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆 面积和周长的方法.如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是() A.克 县 B. C.24-162 D.48-32V2 16.(2026山东省淄博市.一模)如图，以BC为直径的半圆O与△ABC的两边AB,AC相交于点D,E.已 知DE=EC=4,BC-BD=号，则的值为(） A.号 B.昌 c. D. 17.(2026山东省青岛莱西市.一模)如图，以正五边形ABCDEF的AB边为直径作⊙O,连接AC交⊙O于 点F,CB的延长线交⊙O于点G,则∠FAG的度数为 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D GB 18.(2026山东省淄博市一模)在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形 螺母中间圆形螺纹孔的直径.琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A,并与圆相切，交BC于 点M.测得AB=4,BM=2,螺纹孔的直径为 19.(2026山东日照市高新区·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4,线段CD绕点 C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 20.(2026山东省聊城市东阿县高集中学.一模)如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,4、B(6,0),⊙0 的圆心为原点O(0,0),半径r=2,点P是圆O上的一个动点，求号PB+PA的最小值为 4↑A 3 B 3 456 考点02 与圆有关的位置关系 1.(2026山东省青岛市一模)如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠B0C=117°，则∠A的度数为() 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.54o B.55° C.569 D.60° 2.(2026山东省青岛市市一模)如图，线段AB与⊙0相切于点B,连接A0并延长分别交⊙0于点CD, 点E是半圆CD上一点，连接CE、BE,若∠ABD=126°，则∠BEC的度数为(） E B A.36° B.38o C.48o D.54o 3.(2026山东省淄博市·模拟)如图，在四边形ABCD中，ADBC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A, E.若AB=15,BC=17,则AD的长为() B A.8 B.8.5 c.5v3 D.9 4.(2026山东聊城市冠县一模)如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(-1,0)，⊙A的 半径为1，点P为直线y=一x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q,求切线长PQ的最小值 () A.2V2 B.2 c D.4 5.(2026山东省潍坊市一模)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴交于点A、B,与x轴相切于点C, 点M的坐标为(-4,5)，则点A的坐标为 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M C 6.(2026山东德州市齐河县一模)如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M,N,F分别是边AE,AB, CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为。. N C 7.(2026山东临沂市郯城县一模)按要求解答： (1)课本再现：如图①，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B.若图中的PA=2,则PB的长度 是多少？如果∠AP0=35·,则∠BP0的度数是多少？请说明理由. A 图① (2)知识应用：如图②，PN、PD、DE分别与⊙O相切于点A、B、C,且DEPN,连接OD、OP,延长 PO交⊙O于点M交DE于点E,过点M作MNOD交PN于N.求证：MN是⊙O的切线. D C E M A 图② 8.(2026山东临沂沂水县一模)如图，AB是⊙0的弦，过点B作直线EF,以0为顶点作∠A0C=90°， 分别交EF、AB于点C、D,若CB=CD· 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EC (1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若⊙0的半径为3，tan∠0AD=青，求BC的长. 9.(2026山东济宁市邹城市·一模)如图，0A是⊙0的半径，点B是⊙0外一点，连接0B,交⊙0于点C ,连接AC,∠BAC=专∠AOB. E B (1)求证：AB是⊙O的切线： (2)过点C作AB的平行线，交⊙0于点D,交0A于点E,若0C=5,AC=2W5,求CD的长. 10.(2026山东东营市利津县.一模)如图，在△ABC中，AB=BC,以△ABC的边AB为直径作⊙O, 交AC于点D,且DE⊥BC,垂足为点E. D (I)求证：DE是⊙O的切线 (2)若DE=3,CE=6,求直径AB的长， 11.(2026山东省菏泽市牡丹区.一模)如图，△ABC内接于⊙0，∠B=45°，连接A0,过点C作⊙0的 切线，与BA的延长线交于点D. B (1)求证：OA‖CD: (2)若∠BAC=75°，AD=8,求图中阴影部分的面积. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026山东省聊城市东阿县高集中学一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, 以CD为直径的⊙O交BC于点E,交AC于点F,M为线段DB上一点，连接OM,ME,OMIBC. DM B (1)求证：ME是⊙0O的切线： (2)若CF=3,cosB=,求0M的长， 13.(2026山东德州庆云县一模)如图，AB为⊙0的直径，射线AC交⊙0于点C,过⊙0上点D作直线 DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.直线DE是⊙O切线，连接BD并延长交AC于点M, (I)求证：AD平分∠CAB; (2)若∠F=30·,请判断DM和ME的数量关系.并证明结论； (3)在(2)的条件下，若⊙0半径为1，求图中阴影部分面积 14.(2026山东省日照市高新区一模)如图，BC是⊙0的切线，点C为切点，以BC为边作平行四边形 ABCD,点A,D均在⊙O上，连接BD,圆心O在BD上 B (1)求证：AB是⊙0的切线： (2)若AB=2√3，求图中阴影部分的面积. 15.(2026山东省滨州市滨城区一模)如图，BD是△ABC的外接圆⊙0的直径，线段BE与⊙0相切于 点B,连接CE,交BD,AB于点EG,∠EBG=∠BFE. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E ⊙ E B 图1 图2 (1)求证：CG⊥AB; (2)求证：AC·BC=BD·CG; (3)如图2，若AC=V6,AG=V5BG,∠ABC=60°，求阴影部分的面积. 16.(2026山东省潍坊市·一模)如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，CE平分∠ACB交⊙0于 点E,过点E作EF‖AB,交CA的延长线于点F, G B (1)求证：EF与⊙0相切； (2)若∠CAB=30°，AB=8,过点E作EG⊥AC于点M,交⊙0于点G,交AB于点N,求AG的长. 17.(2026山东省德州市天衢新区一模)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD为⊙0的直径，连接 CD. 图1 图2 (1)如图1，若∠BAC=50°，求∠ABD的度数： (2)如图2，过点A作⊙0的切线，与DC的延长线交于点B,若AB=5V6,AB=5,求⊙0的半径. 18.(2026山东省淄博市一模)如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙0上，∠B=∠DCA,AD‖BC, 连接0D、AC. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求证：CD是⊙0的切线： (2)求证：△ACB∽△DAC (3)若器=与，0D=3V6,求AB的长. 19.(2026山东省临沂市罗庄区一模)如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，弧BC=弧 BD,DE⊥AC于点E,DE交BF于点F,交AB于点G,∠BOD=2∠F,连接BD (1)求证：BF是⊙O的切线： (2)判断△DGB的形状，并说明理由： (3)当BD=1时，求FG的长， 20.(2026山东省淄博市·一模)如图，点O,I分别是△ABC(AC<BC)的外心和内心，其中AB是 △ABC外接圆的直径.连接CI并延长交外接圆于点D,连接AD,BD. D (I)测量并找出图中所有与DI相等的线段，并加以证明； (2)若图中CI=V2,DI=V2,求△ABC的周长. 21.(2026山东省菏泽市巨野县一模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,过点D作DH⊥CB 交CB的延长线于点H,点F是DH延长线上一点，CF=CD. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：CF是⊙0的切线： (2)若tan∠FCH=专，CD=8,求⊙0半径的长. 22.(2026山东省潍坊市一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接AC、BD,过点B向圆外方向作 ∠CBE=∠BDC,点E在AC的延长线上， B (1)求证：EB2=EC·EA: (2)求证：EB为⊙O的切线. 23.(2026山东淄博高新区)如图，AB,CD是⊙O的直径，连接DB,BC,过点C作CE⊥AB于点P, CE交DB于点F,交⊙O于另一点E,延长DB至点G,连接CG,使CG=CF. B D (1)求证：CG为⊙O的切线； (2)求证：CP.CG=BF.BD: (③)若器=，DF=号，求⊙0的半径. 24.(2026山东枣庄市一模)如图，PA是⊙0的切线，点A为切点.点B为⊙0上一点，射线PB,A0交 于点C,连接AB,点D在AB上，过点D作DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足为点E. AD=BE,BD=AF. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：PB是⊙O的切线： (2)若AP=2,sinC=号，求⊙0的半径 25.(2026山东日照东港区开发区中学一模)如图，在正方形ABCD中，E是以AB为直径的⊙O上一点，连 接AE并延长，交BC边于点F,连接BE并延长，交CD边于点G,过点E作⊙O的切线交BF于点M. G B M F C (1)求证：CF=DG; (2)若⊙O的直径为4，DG=1,求EM的长（请用两种方法解答） 考点03 与圆有关的计算 1.(2026山东省青岛莱西市一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=V6,BC=V2,以AB为半 径画弧，交BC延长线于点D,则阴影部分的面积为() A.等π-V5B.π-25 C.m-5 D.号π-V5 2.(2026山东省淄博市.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90·,D为AB的中点，连接CD,O为 CD的中点，以点0为圆心，OC的长为半径作⊙O,交AC于点E,若∠BAC=30°，AC=6,则图中阴 影部分的面积是() 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.T- 35 B.T- C.2m-39 4 D.2m-9 3.(2026山东省临沂市罗庄区一模)如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90·至矩形AEFG,点D的旋 转路径为弧DG,若AB=3V2,BC=6,则阴影部分的面积为() E A B A.晋 B. C.暨+9 D.誓+9 4.(2026山东省德州市乐陵市一模)如图，在圆心角为90·的扇形BAC中，半径AC=12,以AB为直径 作半圆O.过点O作AC的平行线交两弧于D、E,则图中阴影部分的面积是() B A A.24m-9B.24r-165C.24m-185 D.24m-V5 5.(2026山东临沂沂水县)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别以点B、C为圆心、BC的 长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为() A.2-4 B.4π-4 C.8m-8 D.4m-8 6.(2026山东省德州市齐河县.一模)在△ABC中，己知∠ABC=90·,∠BAC=30°，BC=1.如图所 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到AABC.则图中阴影部分面积为(） B A.晋 B. -5 C.x-5 4 D. n 7.(2026山东青岛市市南区一模)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为 圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形 DEFG为矩形，BC⊥DG,垂足为C,tan∠0DC=是，BHDG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线 DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. G 8.(2026山东德州市天衢新区一模)如图，在扇形A0B中，∠A0B=90°，点C,D分别在AB,OA上， CE⊥OB于点E,连接AC,CD,DE.若AC=CD=OD,OA=5,则图中阴影部分面积为。 D 9.(2026山东省青岛市市北区一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，分别以点A、 B为圆心，AC、BC的长为半径作弧，与AB交于点D、E,若AB=4,则图中阴影部分的面积为 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026山东省青岛市一模)如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=12,以AB为直径的半圆0交AC于 点D,若BC与半圆O相切于点B,则AD的长为 A D 0 1/23 专题06 圆 3大考点概览 考点01圆的有关概念和性质 考点02与圆有关的位置关系 考点03与圆有关的计算 圆的有关概念和性质 考点01 1．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，再根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵所对圆心角为，所对圆周角为， ∴， ∵，是弦， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，则， ∵， ∴． 2．(2026·山东青岛南区·一模)如图，为的直径，弦交于，交于，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆周角定理求出和的度数，进而求出，最后利用等腰三角形性质求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ． 3．(2026·山东淄博高新区·一模)如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 4．(2026·山东青岛市崂山区·一模)如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角定理进行求解即可. 【详解】解：连接，则，， ∵是的直径， ∴， ∴. 5.(2026·山东滨州市阳信县·一模)如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．(2026·山东省菏泽市东明县·一模)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？大意是：如图，为的直径，弦，垂足为点E，寸，寸，则直径为（） A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径． 【详解】连接， ∵，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为，则 ∵， ∴ ， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， 化简得：， 即， ∴(寸)， 故选：D． 7．(2026·山东省日照市高新区·一模)如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 故选：A． 8．(2026·山东省德州市临邑县·一模)如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦切小圆于点C，大圆的弦交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得的长，乙测得的长，丙测得与的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（   ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明甲、乙同学可以测出阴影部分的面积；过点O作于点G，连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明丙同学可以测出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵与相切于点C， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵阴影部分的面积为：， ∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故甲同学符合题意； ∵， ∴阴影部分的面积为：， ∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故乙同学符合题意； 如图，过点O作于点G，连接，， 则，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为：， ∴测出和的长，即可求出阴影部分的面积，故丙同学符合题意； 综上，可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是甲、乙、丙． 9．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 10．(2026·山东省济宁市泗水县·一模)如图，是的外接圆，是的直径，若的直径为5，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则，利用勾股定理求出的长，则可求出的值，再根据同弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵的直径为5，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．(2026·山东济宁市兖州区·一模)如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等证得，进而证得，根据相似三角形的性质证得，列式求出的长，结合，求出的长即可． 【详解】解：弦与弦交于点， ， ， ， ， ，，， 、， ， 或， 当时，，当时，， ， ， 故选：A． 12．(2026·山东滨州市滨城区·一模)如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 13．(2026·山东枣庄市·一模)如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接，可得，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ∴这个正多边形的边数为． 14．(2026·山东省淄博市·一模)新考法正多边形纸片的缺失如图，正n边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则n的值为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆满周角定理，熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键． 连接，，作正n边形的外接圆，，连接，，，， 先证明，从而由三角形内角和求得，由圆周角定理求得，从而可求得正n边形的中心角，即可求解． 【详解】解：连接，，作正n边形的外接圆，连接，，，，如图， ∵正n边形 ∴，， ∴ ∴，即， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正n边形的外接圆为， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 15．(2026·山东德州庆云县·一模)公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，设，则 ，构建关于的方程即可求出结论． 【详解】解：如图，连接，， 正八边形把圆分成了等分， 根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等， 可得, , , , 设，则 . 由对称性可知四个阴影部分是全等的等腰直角三角形， 等腰直角三角形，， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 16．(2026·山东省淄博市·一模)如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，根据等边对等角可得，结合题意求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 17．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 【答案】/54度 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴. 18．(2026·山东省淄博市·一模)在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【分析】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 19．(2026·山东日照市高新区·一模)如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据可知点在以为直径的圆上运动，根据，绕点旋转，可知点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，所以可知当与相切于点且点在内时，最大，根据圆周角定理可知是等腰直角三角形，从而可知，利用勾股定理可以求出，从而可知的最大值是． 【详解】解：如下图所示， ， ， 点在以为直径的圆上运动， ，绕点旋转， 点是在以点为圆心，为半径的圆上运动， 如下图所示，当与相切于点且点在内时，最大， 则有， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ． 20．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知点、，的圆心为原点，半径，点P是圆O上的一个动点，求的最小值为______． 【答案】 【分析】在上取一点，证明，得出，则，当三点共线时，取得最小值，即线段的长度，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：已知半径，， ， 在上取一点， 此时， ， ， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即线段的长度， ， ， 故的最小值为． 与圆有关的位置关系 考点02 1．(2026·山东省青岛市·一模)如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 2．(2026·山东省青岛市市·一模)如图，线段与相切于点，连接并延长分别交于点，点是半圆上一点，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据题意，得，，根据圆的性质，得． 【详解】解：连接， 由线段与相切于点， 得， 故， ， ， ， ， ． 3．(2026·山东省淄博市·模拟)如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，．若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D．9 【答案】D 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：． 4．(2026·山东聊城市冠县·一模)如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，求出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为， ∵的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于， 当时，；当时，， 解得； ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，值最小，则的值也最小， ∴切线长的最小值为． 5．(2026·山东省潍坊市·一模)如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 【答案】 【分析】连接，过点M作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，过点M作于点E，如图所示： ∵与x轴相切于点C， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点M的坐标为， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴点A的坐标为． 6．(2026·山东德州市齐河县·一模)如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为______°． 【答案】36 【分析】连接OM，ON，根据多边形内角和公式求出度数，根据四边形内角和为，求出∠MON，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接OM，ON． ∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点， ∴OM⊥AE，ON⊥AB， ∴∠OMA＝∠ONA＝90°， ∵∠A＝180°×(5-2)÷5＝108°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°， ∴∠MFN＝∠MON＝36°， 故答案为：36． 7．(2026·山东临沂市郯城县·一模)按要求解答： (1)课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． (2)知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 【答案】(1)的长度是，的度数是 (2)证明见解析 【分析】（1）连接、，利用切线性质得两个直角三角形，通过证明全等，从而得到切线长相等和对应角相等 （2）先由切线长定理得角平分线，结合平行线证等腰三角形，再用三线合一得，最后由平行推出，判定是切线． 【详解】（1）解：的长度是，的度数是， 理由：如图，连接、， ∵，是的两条切线，切点分别为、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵、、分别与相切于点、、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 8．(2026·山东临沂沂水县·一模)如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 9．(2026·山东济宁市邹城市·一模)如图，是的半径，点B是外一点，连接，交于点C，连接，． (1)求证：是的切线； (2)过点C作的平行线，交于点D，交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）过点O作，垂足为F，由等腰三角形三线合一结合已知条件得出，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可证得结论； （2）利用勾股定理设未知数表示出，列方程求解x即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点O作，垂足为F， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径，， ∴是的切线． （2）解：设， ，， ， ，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， ，， ， ， ． 10．(2026·山东东营市利津县·一模) 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，且，垂足为点． (1)求证：是的切线 (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，根据平行线的性质可得，从而可得是的切线． （2）连接，证明，再根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径长为． 11．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D． (1)求证：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，以及圆周角定理得到，，再利用平行线判定证明，即可解题； （2）过点A作交于点F，结合平行线性质，以及直角三角形性质得到，再证明四边形是正方形，结合正方形性质，以及进行求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点A作交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴ ． 12．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)如图，在中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接半径，利用等腰三角形、平行线性质证明角相等，然后用证明全等三角形，得到，进而证明切线； （2）利用同角的余角相等、圆周角定理、余弦定义求出，再结合平行线性质、勾股定理求． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：连接，如图所示． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∵为的直径， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，，， 设，，， 即， ∴， ∴． 13．(2026·山东德州庆云县·一模)如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系．并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， 证明：直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）得，， 半径为1， ， ， 图中阴影部分面积． 14．(2026·山东省日照市高新区·一模)如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）连接交于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点E． ∵是的切线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，     ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，延长交于点F， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴. 由(1)可得，， ∴平行四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴.     由(1)知，， ， ． 15．(2026·山东省滨州市滨城区·一模)如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据切线的性质得，进而得出，再结合已知条件可得，则此题可解； （2）先根据直径所对的圆周角得，再根据“同弧所对的圆周角相等”得，接下来说明，进而得出，然后化成乘积式可得答案； （3）先根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后说明，接下来根据同弧所对的圆周角相等，再根据圆周角定理得，即可根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：连接, ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接, 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴ ． 16．(2026·山东省潍坊市·一模)如图，内接于，是的直径，平分交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)若，，过点作于点，交于点，交于点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】（1）连接，利用直径所对的圆周角为直角，角平分线的定义，圆周角定理，垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，，利用同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，圆周角定理求得的度数，再利用圆的弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵为的半径， ∴与相切． （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴的长为． 17．(2026·山东省德州市天衢新区·一模)已知内接于，，为的直径，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）根据是的直径，得出，由三角形内角和，得出，进而求得，根据等弧所对的圆周角相等，即可求解； （2）连接并延长，交于点，连接，先证明，根据切线的性质可得，结合得出四边形是矩形，根据勾股定理求得，设的半径为，则：，，在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， . ， ，由三角形内角和， 得. . ， （2）解：连接并延长，交于点，连接 ， 是的垂直平分线， ， 又为的切线， 由（1）得 四边形是矩形 ， ， 在中，. 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， ， ； 的半径为. 18．(2026·山东省淄博市·一模)如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． (1)求证：是的切线； (2)求证： (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）连接，由直径可得，利用等边对等角可推出，从而得出，即可得证； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （3）由相似三角形对应边成比例，得出，在中，利用勾股定理列方程，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是半的直径， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是半径， 是的切线； （2）证明：， ， 又， ； （3）解：由（2）可知，， ， ， ， ， 在中，，， ， 解得：（负值舍去）， ． 19．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模) 如图，内接于是的直径，弧弧于点交于点，交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理证明，求出，证明，在中，，即可得到结论； （2）证明，再根据证明，即可得到是等腰三角形； （3）设，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是的直径，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知，， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：， 设，则， ， ． 20．(2026·山东省淄博市·一模)如图，点O，I分别是（）的外心和内心，其中是外接圆的直径．连接并延长交外接圆于点D，连接，． (1)测量并找出图中所有与相等的线段，并加以证明； (2)若图中，，求的周长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形的内心性质得到，，然后利用圆周角定理得到，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （2）连接，过点作于点，于点，于点，根据内切圆的性质和角平分线性质得到，利用圆周角定理，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理求出，进而即可求的周长． 熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【详解】（1）解：，证明如下： 连接， I是的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，过点作于点，于点，于点， I是的内心， ，，，圆I是的内切圆， ∴， 是外接圆的直径， ， ，， ，， ， 的周长为． 21．(2026·山东省菏泽市巨野县·一模) 如图，是的直径，弦于点E，过点D作交的延长线于点H，点F是延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)详见解析 (2)半径的长为5 【分析】（1）连接，则，由于点E，得，由，，得，则，即可证明是的切线； （2）由垂径定理得，而，所以，由，则，根据勾股定理得，即可求得，则半径的长是5． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵于点E， ∴， ∵交的延长线于点H，点F是延长线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴半径的长是5． 22．(2026·山东省潍坊市·一模)如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先由圆周角定理得，结合已知等量代换得，即可证明，则，即可得出结论； （2）连接，延长交于点F，连接，由圆周角定理得，结合已知得，由是的直径，得，进而推出，即，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，延长交于点F，连接， ∵和都是弧所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． 23．(2026·山东淄博高新区·)如图，，是的直径，连接，，过点作于点，交于点，交于另一点，延长至点，连接，使． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的半径是 【分析】（1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质可推得 ，再结合 ，即可得出，，则结论得以论证； （2）通过论证，，可以得到， ，又结合， 继而得到 ； （3）设，，根据勾股定理可得， 通过论证可得， 最后根据列方程即可. 【详解】（1）解：是的直径， ，即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线 . （2）证明：是的直径， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ； （3）解：∵， ∴设，， ，， ， ，， ， 又， ， ，即， ， ，， ， ， ， 解得， ，即的半径是. 24．(2026·山东枣庄市·一模) 如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线，交于点C，连接，点D在上，过点D作，交于点F，作，垂足为点E．，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及解直角三角形． （1）通过证明三角形全等得到角相等，再结合切线的性质和等腰三角形的性质，证明半径与直线垂直，从而判定直线为圆的切线； （2）利用解直角三角形求出相关线段的长度，再通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列出方程，求解圆的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， 在与中， ， ， ， 是的切线，点A为切点， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， 即的半径为． 25．(2026·山东日照东港区开发区中学·一模)如图，在正方形ABCD中，E是以AB为直径的⊙O上一点，连接AE并延长，交BC边于点F，连接BE并延长，交CD边于点G，过点E作⊙O的切线交BF于点M． (1)求证：CF＝DG； (2)若⊙O的直径为4，DG＝1，求EM的长（请用两种方法解答） 【答案】(1)见解析 (2)1.5 【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，可得角与边的关系，从而证明，即可得证； （2）方法一：根据切线的性质以及正方形的性质，可得角之间、边之间的关系，即可求解；方法二：根据切线的性质以及正方形的性质，可证得，从而得出角之间、边之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：AB是直径， AЕB=90°， BAE+ ABE = 90°， 四边形ABCD是正方形， ABE+ CBG = ABC = C=90°，AB=BC=CD， BAF= CBG， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：方法一：连接OE， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 方法二：连接OE，OM， 是切线， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 与圆有关的计算 考点03 1．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解直角三角形求出，，再用扇形的面积减去的面积即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 2．(2026·山东省淄博市·一模)如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 连接，解得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此的半径，再求出，根据扇形的面积公式求得．过点O作于点F，解得到，，再由三线合一得到，根据三角形的面积公式求得，因此根据即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 过点O作于点F， ∴在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模) 如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为弧，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，连接，由题意得到，证明是等腰三角形，求出和即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 设与交于点，连接， 矩形绕点逆时针旋转至矩形， ， ， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ∵， ， 则阴影部分的面积为． 4．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，可得，由是半圆的直径，可得 ，根据平行线的性质可得，根据特殊角三角函数值得到，即可得出，利用勾股定理求出的长，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，、为扇形的半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ． 故选：C． 5．(2026·山东临沂沂水县·)如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．(2026·山东省德州市齐河县·一模) 在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出AC、AB，在根据求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵， ∴AC=2BC=2， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴ ∴ ∴．    故选：B 7．(2026·山东青岛市市南区·一模) 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线的切点，B是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】设大圆的半径为R，利用已知条件求出、的长，利用求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，作垂直于，交、于S、N，垂足为M，过点O作垂直于，垂足为Q， ∵A到直线和的距离均为， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由于是圆弧的切线， ∴，， 设大圆的半径为R，则， ，， ∵， ∴ 解得， 图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积， ∴ ． 故答案为：． 8．(2026·山东德州市天衢新区·一模)如图，在扇形中，，点，分别在，上，于点，连接，，．若，，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】连接，设，由等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，可得，由平行线的判定定理，可得，可得，根据扇形的面积公式可得扇形的面积，即为阴影部分面积． 【详解】解：连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 9．(2026·山东省青岛市市北区·一模)如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及直角三角形的性质，解题的关键是明确阴影部分面积为两个扇形面积之和减去三角形面积．先在中由求出，再分别求出以为圆心为半径的扇形面积和以为圆心、为半径的扇形面积：最后用两个扇形面积之和减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】解：， ， ， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， ． 故答案为：． 10．(2026·山东省青岛市·一模)如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，进而可得是等边三角形，，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与半圆相切于点， ∴ ， ， ∵ ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴的长为 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $