专题十三 一元二次方程-【冲刺2026】2025年中考数学真题汇编

专题十三 一元二次方程 一．选择题（共21小题） 1．（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 2．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（　　） A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40 3．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 4．（2025•兰州）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（2025•广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 6．（2025•河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 8．（2025•广州）关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 9．（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 10．（2025•河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 11．（2025•云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．6000（1+x）2＝6200 B．6000（1﹣x）2＝6200 C．6000（1+2x）＝6200 D．6000x2＝6200 12．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 13．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860 14．（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 15．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 16．（2025•辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　） A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．2[x+（x+60）]＝864 17．（2025•潍坊）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 18．（2025•广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 19．（2025•甘肃）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 20．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 21．（2025•新疆）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 二．填空题（共14小题） 22．（2025•绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　 　 ． 23．（2025•山东）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　 ． 24．（2025•西藏）关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 　 　 ． 25．（2025•上海）一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　 ． 26．（2025•青海）若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为 　 　 ． 27．（2025•贵州）一元二次方程x2﹣1＝0的根是 　 　 ． 28．（2025•苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝　 　 ． 29．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是　 　 ． 30．（2025春•雨花区校级期末）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 31．（2025•西宁）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值　 　 ． 32．（2025•甘孜州）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的取值为 　 　 ． 33．（2025•宿迁）方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝ 　 　 ． 34．（2025•巴中）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实根，则m＝　 　 ． 35．（2025•上海）方程2的解为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 36．（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 37．（2025•淮安）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 38．（2025•无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0； （2）解不等式组：． 39．（2025•广元）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：x2﹣（1）x0； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：（1），其中x的值是（1）中的正整数解． 40．（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 参考答案 一．选择题 1．【答案】C 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0且a≠0．∴22﹣4a＝0且a≠0．∴a＝1．故选：C． 2．【答案】A 【解析】解：∵围栏的长度为24m，矩形的宽为xm，∴矩形的长为（24﹣2x）m． 根据题意得：x（24﹣2x）＝40．故选：A． 3．【答案】B 【解析】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 4．【答案】D 【解析】解：根据题意得Δ＝22﹣4a＞0，解得a＜1，所以a可以取0． 5．【答案】A 【解析】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，根据题意得：2500（1+x）2＝9100．故选：A． 6．【答案】C 【解析】解：由方程x（x+2）﹣3＝0，得到x2+2x﹣3＝0． 两根之和：，两根之积：3．∴m，n都为负数， ∴点（m，n）在第三象限． 7．【答案】C 【解析】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6，故选：C． 8．【答案】C 【解析】解：由题知，Δ＝（﹣1）2﹣4（k2+2）＝﹣4k2﹣7＜0， 所以方程无实数根．故选：C． 9．【答案】C 【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴，解得：a≤2且a≠1，∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1． 故选：C． 10．【答案】A 【解析】解：由条件可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 11．【答案】A 【解析】解：由题意可得，6000（1+x）2＝6200，故选：A． 12．【答案】D 【解析】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴x1+x24，x1•x23，故选：D． 13．【答案】C 【解析】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860． 14．【答案】D 【解析】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×1＜0，∴方程无实数根，不符合题意； B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0，∴方程无实数根，不符合题意； D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D． 15．【答案】B 【解析】解：由题意可得，8000（1+x）2＝12000，故选：B． 16．【答案】A 【解析】解：利用矩形面积公式即可列出方程为：x（60﹣x）＝864，故选：A． 17．【答案】D 【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4c＝0，解得c＝1． 18．【答案】C 【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x220． 19．【答案】B 【解析】解：∵一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3m≥0，∴m≤3． 20．【答案】A 【解析】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 21．【答案】B 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＜0，解得：a＞1， ∴实数a的取值范围是a＞1． 二．填空题 22．【答案】2027． 【解析】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根， ∴m+n＝2025，mn＝1，∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027 23．【答案】m＞﹣4． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝42+4m＞0，解得m＞﹣4． 24．【答案】． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根， ∴（﹣1）2﹣4×1×2m＝0，m． 25．【答案】m． 【解析】解：∵一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝12﹣4×2×m＝1﹣8m＜0，解得：m，∴m的取值范围是m． 26．【答案】3． 【解析】解：若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根， 则12﹣4×1+c＝0，解得：c＝3，故答案为：3． 27．【答案】x＝±1． 【解析】解：x2﹣1＝0，x2＝1，x＝±1，∴一元二次方程x2﹣1＝0的根是：x＝±1 28．【答案】﹣3 【解析】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2，又∵x1＝1，∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3． 29．【答案】方程有两个不相等的实数根． 【解析】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 30．【答案】2． 【解析】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2，故答案为：2． 31．【答案】﹣1（答案不唯一）． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4k＞0，∴k＜1且k≠0，不妨令k＝﹣1，故答案为：﹣1（答案不唯一）． 32．【答案】1． 【解析】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，解得：m＝1，∴实数m的取值为1． 33．【答案】﹣4048． 【解析】解：∵方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n， ∴m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025， ∴m2＝2024m+2025，n2＝2024n+2025， ∴（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026） ＝（2024m+2025﹣2023m﹣2026）（2024n+2025﹣2023n﹣2026） ＝（m﹣1）（n﹣1） ＝mn﹣（m+n）+1 ＝﹣2025﹣2024+1 ＝﹣4048 34．【答案】4． 【解析】解：∵x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0，解得m＝4． 35．【答案】x＝10． 【解析】解：已知方程2， 则x﹣6＝4，解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，故答案为：x＝10． 三．解答题 36．【答案】x1＝4，x2＝3． 【解析】解：整理得：x2﹣7x+12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0， 所以x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝4，x2＝3． 37．【答案】（1）y＝﹣x+40； （2）10元或30元． 【解析】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（25，15），（28，12）代入y＝kx+b得：，解得：， ∴y与x之间的函数表达式y＝﹣x+40； （2）根据题意得：xy＝300，即x（﹣x+40）＝300， 整理得：x2﹣40x+300＝0，解得：x1＝10，x2＝30． 答：每件玩具的售价为10元或30元． 38．【答案】（1）；x2＝1．（2）1≤x＜3． 【解析】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，（x﹣1）2＝3，x﹣1，∴；x2＝1． （2）由2x＜6，得x＜3；由3x﹣1≥x+1，得x≥1．∴不等式组的解集为：1≤x＜3． 39．【答案】（1）①x1，x2＝1；②﹣1＜x＜2； （2），原式＝﹣1． 【解析】解：（1）①x2﹣（1）x0， （x）（x﹣1）＝0， ∴x0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1； ②解不等式x+1＞0，得x＞﹣1， 解不等式2x+1＜5，得x＜2， ∴不等式组的解集是﹣1＜x＜2； （2）（1）， ＝（）• • ，由题意可知x＝1，∴原式1． 40．【答案】（1）20% （2）40 【解析】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品， 根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800， 解得：y≥40，∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品 学科网（北京）股份有限公司 $