重难点专题01 含参方程分类讨论与整数根 暑期预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

重难点专题01 含参方程分类讨论与整数根 （核心知识+5易错辨析+4典例精讲） 【知识点01】含参方程分类讨论核心依据 含参数的整式方程，首要分类标准：二次项系数是否为0，区分一次方程与二次方程，再结合根的判别式细分讨论。 1.情况1：二次项系数为0方程退化为一元一次方程：，有且仅有一个实数根，无判别式可言。 2.情况2：二次项系数不为0方程为一元二次方程：，通过根的判别式判断根的情况： ：两个不相等的实数根； ：两个相等的实数根； ：无实数根。 【知识点02】整数根问题核心规则 已知方程根为整数或参数为整数，核心解题逻辑：有理根优先判别式为完全平方数，整数根优先因式分解/根与系数关系。 1.一元二次方程有整数根的必要条件：是非负完全平方数； 2.若方程可因式分解：直接求出根的表达式，令根为整数，反求参数； 3.根与系数关系（韦达定理）：，，结合整数和、整数积的性质求解参数。 【知识点03】分类讨论通用步骤 1. 定类型：讨论二次项系数，区分一次、二次方程； 2. 判根情：一次方程直接求解，二次方程用判断根的情况； 3. 限范围：结合题意（实数根、整数根、正根等）锁定参数范围； 4. 验结果：舍去不符合条件的参数值。 易错点1：忽略二次项系数为0的情况 错误表现：看到含的方程，直接默认是一元二次方程，直接使用计算，遗漏一次方程的可能性。 正确逻辑：题目仅说“方程有实数根”，未说明是二次方程时，必须分二次项系数=0（一次方程）和二次项系数≠0（二次方程）两种情况讨论。 例题反例：方程有实根，直接写，遗漏时方程为一次方程，有实根的情况。 易错点2：判别式使用条件混淆 错误表现：对一元一次方程使用根的判别式；或二次方程求解后，忘记保留的前提。 核心结论：仅适用于一元二次方程，前提是。 易错点3：整数根只看判别式，不验证根 错误表现：只要是完全平方数，就判定方程有整数根，忽略根的表达式需为整数。 正确逻辑：为完全平方数是必要不充分条件，最终必须代入求根公式，验证根是否为整数。 易错点4：参数范围取值遗漏边界、整数筛选不全 错误表现：解出参数取值范围后，忘记取整数；或筛选整数参数时，遗漏临界值、重复取值。 规避方法：先求参数取值范围，再逐一枚举整数代入验证，杜绝漏解、增解。 易错点5：韦达定理使用无前提 错误表现：利用根与系数关系解题，未提前保证方程有实数根（未验证）。 核心前提：韦达定理应用前提：且。 【题型一】由一元二次方程的定义求参数 【例1】．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 【例2】．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 【变式3】．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【知识点】判断是否是一元一次方程、由一元二次方程的定义求参数 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 【题型二】由一元二次方程的解求参数 【例3】．（22-23九年级上·云南昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 【例4】．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【答案】2024 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】将代入原方程得到关于、的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴． 【变式1】．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 【变式2】．（25-26九年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中m为方程的解． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据m为方程的解，可以求得，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 为的解 ， ∴， 原式． 【变式3】．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2)m的值为0或2 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：是． （2）解：， ， ∴，， 由题意得：，即或， 解得，， ∴m的值为0或2． 【题型三】根据一元二次方程根的情况求参数 【例5】．（2026·广东茂名·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解方程即可求出的值. 【详解】解：展开得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 【例6】．（2026·河南三门峡·二模）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得． 【例7】．（25-26九年级上·广东深圳·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______． 【答案】1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于零，据此建立不等式求出m的取值范围，再取最大整数，即可解题． 【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得， 因此m可取的最大整数为1， 故答案为：1． 【变式1】．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）已知整式，其中n为自然数，，，，…，为正整数，且．定义整式M的“权值”为，下列说法： ①整式M不可能是单项式； ②当时，满足条件的所有整式M权值最小值为12； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式的判断、多项式的项、项数或次数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】①若符合条件的M是单项式，分为M是常数单项式，和M是次数的单项式，则其余系数为0，分别判断即可；②当时，根据题意得均为正整数，且，每个数至少为1，四个数最小和为4，剩余2需分配给四个数，要使M的权值最小，需将额外的2分配给权系数最小的，得出，，据此求解即可；③二次三项式即，为正整数，，则，根据当x取任意实数时，整式M的值一定为非负数，得出，再分情况判断即可． 【详解】解：①若符合条件的M是单项式， 若M是常数单项式，则，∵题目要求n为正整数，不符合， 若M是次数的单项式，则其余系数为0，∵题目要求所有系数为正整数，0不符合要求， ∴不存在符合条件的单项式，①正确； ②当时，∵均为正整数，且，每个数至少为1， ∴四个数最小和为4，剩余2需分配给四个数， 整式M的权值，要使M的权值最小，需将额外的2分配给权系数最小的， 此时，，M的权值，其余分配方式的权值均大于12， ∴权值最小值为12，②正确； ③二次三项式即，为正整数，， ∴， ∵当x取任意实数时，整式M的值一定为非负数，， ∴， i、当时：若，则不符合； 若，则不符合；若，则符合；若，则符合；共2个符合； ii、当时：若，则不符合；若，则符合；若，则符合；共2个符合； iii、当时：若，则符合；若，则符合；共2个符合； iv、当时：若，则符合； 综上，符合条件的M共7个，③正确． 【变式2】．（2026·河南三门峡·三模）解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式的整数解、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 即， ∵是整数， ∴可以是． 【变式3】．（25-26九年级上·山东青岛·期末）（1）解方程； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【知识点】解一元二次方程——配方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤及方法；（2）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求出结论； （2）根据方程的系数结合根的判别式，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）， ，即， ∴， ∴，． （2）∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是． 【变式4】．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）现有三组数值：①，；②，；③，． 从①~③中任选一组，的值代入，得到方程． (1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）； (2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解． 【答案】(1)③ (2)选①代入，，；选②代入，， 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）利用一元二次方程根的判别式可作出选择； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，， ①，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ②，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ③，：，方程没有实数根，符合题意， 她选取的是：③； （2）解：选①，代入，得，，，， ∴， ， 解，； 选②，代入，得，，，， ， ， 即，． 【题型四】整数根高频难点 【例8】．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（    ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2≥8，即可判断B与D． 【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2． ∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根， ∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0， 故选项A与C说法均错误，不符合题意； ∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根， ∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0， ∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4≥8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根）， 故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键． 【例9】．（2024·辽宁鞍山·一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）选取一个合适的k值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根． 【答案】（1）证明见解析；（2）为整数时，方程有两个整数根，这两个整数根分别为：， 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、公式法解一元二次方程 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案； （2）根据公式法求解一元二次方程，结合题意分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴方程总有两个实数根； （2）∵一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0． ∴， 当时，， ∴， ∴或， ∴，且为整数时，方程有两个整数根， 当时，， ∴， ∴或， ∴，且为整数时，方程有两个整数根， ∴为整数时，方程有两个整数根，这两个整数根分别为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、公式法求解一元二次方程的性质，从而完成求解． 【例10】．（2023·四川乐山·一模）已知关于x的分式方程=2①和一元二次方程mx2﹣3mx+m﹣1=0②中，m为常数，方程①的根为非负数． （1）求m的取值范围； （2）若方程②有两个整数根x1、x2，且m为整数，求方程②的整数根． 【答案】（1）且，；（2）当m=1时，方程的整数根为0和3. 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据分式方程解的情况求值 【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出的取值； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=3，，根据方程的两个根都是整数可得m=1或.结合（1）的结论可知m1.解方程即可. 【详解】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴且. 又∵，且， ∴解得且. 又∵方程为一元二次方程， ∴. 综上可得：且，. （2）∵一元二次方程有两个整数根x1、x2，m为整数， ∴x1+x2=3，， ∴为整数，∴m=1或. 又∵且，， ∴m1. 当m=1时，原方程可化为. 解得：，.      ∴当m=1时，方程的整数根为0和3. 【点睛】考查了解分式方程，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握方程的解法是解题的关键. 【变式1】．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 【变式2】．（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、实数运算的实际应用、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形，列出方程求解并验证即可； （2）方法一：假设存在，则，即，再由根的判别式判断即可；方法二：对进行变形即可判断； （3）根据“双倍快乐数”的定义，结合根的判别式可得，再结合实数的运算求解． 【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 【变式3】．（2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；②；③；④⑤当时，；⑥当时， 【知识点】因式分解的应用、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． 【变式4】．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“求所有的正整数对，使得如下两个关于的方程：和均有两个不同的整数根”的问题． 指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 设为方程的两个不同的整数根， 则． 为正整数，为正整数， _____， ． 设为方程的两个不同的整数根，则______，_______． 为正整数，为正整数， ， ， ________， 为正整数，或或． 分三种情形讨论： ①若，则， 为正整数，且， ，， ， 当时，，符合要求； ②若，则， 为正整数，与_____矛盾， 不符合要求； ③若，则 阅读以上内容，解答下列问题： (1)请在横线上填写所缺内容； (2)请完善情形③所省略的内容． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系，以及题干所给信息，进行填写即可； （2）根据，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：设为方程的两个不同的整数根， 则． 为正整数，为正整数， ， ． 设为方程的两个不同的整数根，则，． 为正整数，为正整数， ， ， ， 为正整数，或或． 分三种情形讨论： ①若，则， 为正整数，且， ，， ， 当时，，符合要求； ②若，则， 为正整数，与为方程的两个不同的整数根矛盾， 不符合要求； （2）若，则， 为正整数，且， ，， ， 当时，，符合要求． 1. 含参方程分类讨论核心口诀 见参先定型，系数先判零；一次直接解，二次看判别；范围综合取，结果必核验。 2. 整数根问题核心逻辑 二次方程整数根：先判判别式（完全平方非负），再求根验整数，最后筛整数参数； 能因式分解优先分解，复杂题型用韦达定理结合整数和、积性质求解。 3. 避坑核心原则 ① 无说明二次方程，必讨论二次项系数为0； ② 判别式、韦达定理使用，必先保证二次方程有实根； ③ 整数问题枚举必验证，杜绝漏解、错解。 4. 考场解题流程 审题定题型→分类讨论方程类型→列条件（判别式/韦达）→求参数范围→枚举整数验证→规范作答 一、单选题 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 2．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 3．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 5．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 7．若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根确定的取值范围，再解分式方程，根据解为正整数筛选符合条件的整数，最后计算和即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且； 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理得，解得， ∵分式方程的解为正整数，且分母不为0即， ∴，，且是正整数， ∴，，且为正偶数，即为奇数， 结合且，可得符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 二、填空题 8．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，则 解得n即可． 【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程， ∴，解得 ． 此时，二次项系数为1，不为0，满足一元二次方程的条件， 故答案为：4． 9．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】/ 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 10．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 11．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 12．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 【答案】 【分析】一元二次方程无实数根时判别式小于零，列出关于的不等式，求解不等式即可得到满足的条件． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， ∴． 13．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 14．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 三、解答题 15．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 16．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式得到方程根的表达式，结合的表达式及的条件，确定的表达式，再通过两式相加证明． （2）通过将、的表达式相乘得到，结合、为正整数且互不相等的条件确定、的值，最后代入方程求出的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ． ． 由①+②，得， ． （2）解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 17．已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 18．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 19．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 含参方程分类讨论与整数根 （核心知识+5易错辨析+4典例精讲） 【知识点01】含参方程分类讨论核心依据 含参数的整式方程，首要分类标准：二次项系数是否为0，区分一次方程与二次方程，再结合根的判别式细分讨论。 1.情况1：二次项系数为0方程退化为一元一次方程：，有且仅有一个实数根，无判别式可言。 2.情况2：二次项系数不为0方程为一元二次方程：，通过根的判别式判断根的情况： ：两个不相等的实数根； ：两个相等的实数根； ：无实数根。 【知识点02】整数根问题核心规则 已知方程根为整数或参数为整数，核心解题逻辑：有理根优先判别式为完全平方数，整数根优先因式分解/根与系数关系。 1.一元二次方程有整数根的必要条件：是非负完全平方数； 2.若方程可因式分解：直接求出根的表达式，令根为整数，反求参数； 3.根与系数关系（韦达定理）：，，结合整数和、整数积的性质求解参数。 【知识点03】分类讨论通用步骤 1. 定类型：讨论二次项系数，区分一次、二次方程； 2. 判根情：一次方程直接求解，二次方程用判断根的情况； 3. 限范围：结合题意（实数根、整数根、正根等）锁定参数范围； 4. 验结果：舍去不符合条件的参数值。 易错点1：忽略二次项系数为0的情况 错误表现：看到含的方程，直接默认是一元二次方程，直接使用计算，遗漏一次方程的可能性。 正确逻辑：题目仅说“方程有实数根”，未说明是二次方程时，必须分二次项系数=0（一次方程）和二次项系数≠0（二次方程）两种情况讨论。 例题反例：方程有实根，直接写，遗漏时方程为一次方程，有实根的情况。 易错点2：判别式使用条件混淆 错误表现：对一元一次方程使用根的判别式；或二次方程求解后，忘记保留的前提。 核心结论：仅适用于一元二次方程，前提是。 易错点3：整数根只看判别式，不验证根 错误表现：只要是完全平方数，就判定方程有整数根，忽略根的表达式需为整数。 正确逻辑：为完全平方数是必要不充分条件，最终必须代入求根公式，验证根是否为整数。 易错点4：参数范围取值遗漏边界、整数筛选不全 错误表现：解出参数取值范围后，忘记取整数；或筛选整数参数时，遗漏临界值、重复取值。 规避方法：先求参数取值范围，再逐一枚举整数代入验证，杜绝漏解、增解。 易错点5：韦达定理使用无前提 错误表现：利用根与系数关系解题，未提前保证方程有实数根（未验证）。 核心前提：韦达定理应用前提：且。 【题型一】由一元二次方程的定义求参数 【例1】．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 【变式1】．（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【变式2】．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【变式3】．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【题型二】由一元二次方程的解求参数 【例3】．（22-23九年级上·云南昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【例4】．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【变式1】．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【变式2】．（25-26九年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中m为方程的解． 【变式3】．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 【题型三】根据一元二次方程根的情况求参数 【例5】．（2026·广东茂名·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【例6】．（2026·河南三门峡·二模）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例7】．（25-26九年级上·广东深圳·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______． 【变式1】．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）已知整式，其中n为自然数，，，，…，为正整数，且．定义整式M的“权值”为，下列说法： ①整式M不可能是单项式； ②当时，满足条件的所有整式M权值最小值为12； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】．（2026·河南三门峡·三模）解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 【变式3】．（25-26九年级上·山东青岛·期末）（1）解方程； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【变式4】．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）现有三组数值：①，；②，；③，． 从①~③中任选一组，的值代入，得到方程． (1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）； (2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解． 【题型四】整数根高频难点 【例8】．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（    ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 【例9】．（2024·辽宁鞍山·一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）选取一个合适的k值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根． 【例10】．（2023·四川乐山·一模）已知关于x的分式方程=2①和一元二次方程mx2﹣3mx+m﹣1=0②中，m为常数，方程①的根为非负数． （1）求m的取值范围； （2）若方程②有两个整数根x1、x2，且m为整数，求方程②的整数根． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【变式2】．（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【变式3】．（2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【变式4】．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“求所有的正整数对，使得如下两个关于的方程：和均有两个不同的整数根”的问题． 指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 设为方程的两个不同的整数根， 则． 为正整数，为正整数， _____， ． 设为方程的两个不同的整数根，则______，_______． 为正整数，为正整数， ， ， ________， 为正整数，或或． 分三种情形讨论： ①若，则， 为正整数，且， ，， ， 当时，，符合要求； ②若，则， 为正整数，与_____矛盾， 不符合要求； ③若，则 阅读以上内容，解答下列问题： (1)请在横线上填写所缺内容； (2)请完善情形③所省略的内容． 1. 含参方程分类讨论核心口诀 见参先定型，系数先判零；一次直接解，二次看判别；范围综合取，结果必核验。 2. 整数根问题核心逻辑 二次方程整数根：先判判别式（完全平方非负），再求根验整数，最后筛整数参数； 能因式分解优先分解，复杂题型用韦达定理结合整数和、积性质求解。 3. 避坑核心原则 ① 无说明二次方程，必讨论二次项系数为0； ② 判别式、韦达定理使用，必先保证二次方程有实根； ③ 整数问题枚举必验证，杜绝漏解、错解。 4. 考场解题流程 审题定题型→分类讨论方程类型→列条件（判别式/韦达）→求参数范围→枚举整数验证→规范作答 一、单选题 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 2．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 3．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 7．若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 二、填空题 8．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 9．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 10．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 11．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 12．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 13．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 14．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 三、解答题 15．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 16．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 17．已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 18．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 19．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $