专题01一元二次方程（暑假预习讲义）-2026-2027学年人教版数学九年级上册.

专题01一元二次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础概念板块：一元二次方程三重判定条件 → 标准一般形式 → 二次项、一次项、常数项及系数定义 → 方程根的定义与应用 2.方程解法板块：特殊解法（直接开平方法、因式分解法）→ 核心原理解法（配方法）→ 万能通用解法（公式法）→ 解法择优规则 3.核心性质板块：根的判别式（Δ）→ 方程根的三种数量情况 → 韦达定理（根与系数关系）→ 韦达定理高频代数式变形 ✺学习目标： 1.概念：掌握一元二次方程的定义、一般形式及方程的根，能准确辨析方程、规范整理式子、识别各项系数，会利用方程的根求解参数。 2.运算：熟练掌握一元二次方程四种解法，明晰各解法适用场景与核心原理，能根据方程结构灵活选用最优解法，规范解题步骤。 3.性质：掌握根的判别式，能判断方程根的情况、解决含参数根的讨论问题；熟练运用韦达定理及常用变形，实现不解方程求值、求参数等运算。 ✺题型归纳： 题型1.一元二次方程的定义 题型2.将方程化为一元二次方程的一般形式 题型3.判断一个方程是否为一元二次方程 题型4.判断数值是否为一元二次方程的解 题型5.已知一元二次方程的解，求参数的值 题型6.估算一元二次方程的解 题型7.根据一元二次方程的定义求参数 题型8.用直接开平方法解一元二次方程 题型9.用配方法解一元二次方程 题型10.配方法的应用 题型11.利用判别式判断一元二次方程根的情况 题型12.根据方程根的情况，求参数的取值范围 题型13.用公式法解一元二次方程 题型14.用因式分解法解一元二次方程 题型15.用换元法解一元二次方程 题型16.解可化为一元二次方程的分式方程 题型17.利用根与系数的关系解题 题型18.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程． 知识点二、一元二次方程的一般形式 1.一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式． 其中：是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项． 2.由定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 3.一般情况下:二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数； 4:在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号． 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）． 1．一元二次方程根的情况：①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根；③可能没有实数根． 2．关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立． 知识点四、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法． 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1．形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根． 2． 形如x的一元二次方程， 可用直接开方法解得两个根分别是． 知识点五、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法． 1．对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根． 2．用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3．配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）． 知识点六、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根． 以上三点，反之也成立． 知识点七、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法． 1．因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． ✺题型◆精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 2．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 3．观察下列方程，找出他们的共同特征，试给出名称，并作出定义． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．观察方程的特点：含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程可得此方程的名称为一元二次方程． 【详解】解：它们的共同特征是：含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程，这种方程的名称是一元二次方程． 题型2.将方程化为一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 2．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型3.判断一个方程是否为一元二次方程 1．将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 2．将一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 3．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 题型4.判断数值是否为一元二次方程的解 1．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 题型5.已知一元二次方程的解，求参数的值 1．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 2．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 3．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 题型6.估算一元二次方程的解 1．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 2．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 题型7.根据一元二次方程的定义求参数 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 2．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 3．关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，依题意得，然后求出的值即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，得， 由，得，解得， 又因为，即， 所以的值为， ∴当时，方程是一元二次方程． 题型8.用直接开平方法解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2．方程的解为__________． 【答案】 【详解】解：， 即． 3．解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 题型9.用配方法解一元二次方程 1．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解： 移项，得． 两边都加一次项系数一半的平方，得， 即． 2．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 3．解方程：． 【答案】，． 【分析】运用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ，即， ， ∴，． 题型10.配方法的应用 1．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤完成移项和配方后，和要求的形式对比即可得到，的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 对左边配方，一次项系数的一半为，两边同时加得： ， 整理得：， ∴，． 2．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 3．某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现：，，，，于是他们猜想：当两个正数的和一定时，这两个数的积在它们相等时取得最大值．事实上，这个猜想是正确的． (1)用代数式表述这一猜想：若，，且（k为定值），则当________时，________最大； (2)以下是对猜想的证明，请继续完成． 因为，所以． 因为，，所以． 因为，所以． 配方，得…… 【答案】(1)， (2)配方，得 ： ， ∵ ∴ ∴ 当且仅当， 即时，等号成立 此时 ∴当时，取得最大值． 【分析】（1）根据题干给出的猜想，直接得出结论：两个正数和为定值时，两数相等时乘积取得最大值． （2）利用配方法变形二次式，结合平方数的非负性，即可验证猜想 【详解】（1）略 （2） 略 题型11.利用判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 2．写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，构造满足条件的方程即可． 【详解】解：设一元二次方程为，当，，时， 即方程有两个相等的实数根． 3．不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)无实数根； (2)无实数根； (3)有两个不相等的实数根． 【分析】（1）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断； （2）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断； （3）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断． 【详解】（1）解：整理， 可得：， ， 原方程没有实数根； （2）解：整理， ， ， 原方程没有实数根； （3）解：整理， 可得：， ， 原方程有两个不相等的实数根． 题型12.根据方程根的情况，求参数的取值范围 1．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 2．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，当时，方程为一元一次方程，必有实数根，当时，方程为一元二次方程，由根的判别式求出的取值范围，综合两种情况得到最终结果． 【详解】解：当时，原方程化为，是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程是关于的一元二次方程，由方程有实数根可得： ， ∴， 解得，且， 综合两种情况可得，的取值范围是． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 题型13.用公式法解一元二次方程 1．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 2．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的公式法即可得出答案． 【详解】解：由，， 得：． 3．解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 题型14.用因式分解法解一元二次方程 1．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 【详解】根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，． 2．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 【答案】， 【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可． 【详解】解：， 移项，得：， 提取公因式，因式分解得：， 或， 解得，． 3．先化简，其中a满足方程． 【答案】， 【分析】先计算括号内的异分母分式加减，再计算分式的除法，得到最简分式，再求方程的解，并结合分式的意义得到，最后将代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 解得或， 当时，原分式没有意义， 当时，原式． 题型15.用换元法解一元二次方程 1．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 2．关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【答案】 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【详解】解：对方程进行整理： ， 配方得： ， 变形得： ， 令，则原方程变为， 已知方程的根为，， 因此，， 即或 解得，， 所有实根之和为． 3．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 题型16.解可化为一元二次方程的分式方程 1．已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式因式分解求解即可． 【详解】解：令，则原方程为 ， ∴， ∴， 解得，即． 2．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 3．解分式方程：． 【答案】和 【分析】首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出，，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【详解】解：， 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 经检验，和均为方程的解， 方程的解为：、． 题型17.利用根与系数的关系解题 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 2．如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 【答案】 【分析】利用相反数的性质得到两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 该方程中，，根据根与系数的关系可得， 因此得， 解得． 当时，，方程有两个实数根， ∴． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ， 解得； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． ✺巩固测试 一、单选题 1．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 2．对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般式即可判断①；将代入即可判断②；将代入化简即可判断③；把代入，然后化简等式的左边与右边，即可判断④． 【详解】解：①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是，故①错误； ②把代入方程的左边，则， ∵， ∴方程左边等于0，即方程成立， ∴是方程的根，故②正确； ③将代入，则，则，由于，故，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，则 ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有3个． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 4．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 5．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 二、填空题 6．方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 7．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 8．类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将二次多项式进行化简，利用平方非负性求最小值即可． 【详解】解：原多项式为 ，进行配方：取一次项系数的一半的平方，即 ，添加并减去 9， 得 ， 由于 ， 因此当 时，，多项式取最小值 6． 故答案为 ：6． 9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时判别式等于0，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：原方程为一元二次方程的一般形式，其中，，常数项为， 因为方程有两个相等的实数根， 所以判别式， 解得 10．直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 【答案】或 【分析】先根据一次函数的图象性质确定的取值范围，再分和两种情况，分别判断方程的类型，进而确定方程实数解的个数． 【详解】解：直线的比例系数，且直线不经过第一象限， 分两种情况讨论方程的解的情况， （1）当时，方程化为，为一元一次方程，有个实数解； （2）当时，方程为一元二次方程， 计算根的判别式， ， ， 可得， 此时一元二次方程有个不相等的实数解． 综上，方程的实数解的个数为或． 三、解答题 11．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 因式分解得，， 解得：，． （2）解： 移项得，， 配方得，，即， ∴， 解得：，． 12．解关于的方程：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对原方程变形，再采用换元法将原方程转化为整式方程求解，最后对分式方程的根进行检验． 【详解】解：原方程变形，得， 移项，得 ， 设，则原方程化为： 因式分解，得 解得，， 当时，，方程两边同乘（），整理得，此时方程无实数根， 当时，，方程两边同乘（），整理得 因式分解得， 解得， 检验：将代入原方程分母，得 ， 因此是原方程的解． 13．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】(1) 证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程一定有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，把展开后整体代入即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：，， ． 14．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 15．为落实河南省义务教育阶段劳动教育要求，某中学计划在校园劳动实践基地种植甲、乙两种蔬菜苗．已知每株甲种蔬菜苗比乙种蔬菜苗贵2元，若用180元购买甲种蔬菜苗的数量与用120元购买的乙种蔬菜苗的数量相等． (1)求每株甲种蔬菜苗和每株乙种蔬菜苗各多少元？ (2)该学校计划购进甲、乙两种蔬菜苗共150株，且甲种蔬菜苗的数量不少于乙种蔬菜苗数量的，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) 每株甲种蔬菜苗6元，每株乙种蔬菜苗4元. (2) 购买甲种蔬菜苗50株，乙种蔬菜苗100株时总费用最少，最少总费用为700元. 【分析】（1）根据“180元买甲种蔬菜苗的数量和120元买乙种蔬菜苗的数量相等”的等量关系列分式方程求解，需检验根的有效性； （2）根据甲种蔬菜苗的数量限制列一元一次不等式得到自变量取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的性质求最小总费用． 【详解】（1）解：设每株乙种蔬菜苗的价格为元，则每株甲种蔬菜苗的价格为元 根据题意，得 去分母，得 解得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解，且符合题意， 答：每株甲种蔬菜苗6元，每株乙种蔬菜苗4元； （2）解：设购买甲种蔬菜苗株，总费用为元，则购买乙种蔬菜苗株 由题意得 解不等式得 总费用 随的增大而增大 当时，取得最小值 此时， 答：购买甲种蔬菜苗50株，乙种蔬菜苗100株时总费用最少，最少总费用为700元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础概念板块：一元二次方程三重判定条件 → 标准一般形式 → 二次项、一次项、常数项及系数定义 → 方程根的定义与应用 2.方程解法板块：特殊解法（直接开平方法、因式分解法）→ 核心原理解法（配方法）→ 万能通用解法（公式法）→ 解法择优规则 3.核心性质板块：根的判别式（Δ）→ 方程根的三种数量情况 → 韦达定理（根与系数关系）→ 韦达定理高频代数式变形 ✺学习目标： 1.概念：掌握一元二次方程的定义、一般形式及方程的根，能准确辨析方程、规范整理式子、识别各项系数，会利用方程的根求解参数。 2.运算：熟练掌握一元二次方程四种解法，明晰各解法适用场景与核心原理，能根据方程结构灵活选用最优解法，规范解题步骤。 3.性质：掌握根的判别式，能判断方程根的情况、解决含参数根的讨论问题；熟练运用韦达定理及常用变形，实现不解方程求值、求参数等运算。 ✺题型归纳： 题型1.一元二次方程的定义 题型2.将方程化为一元二次方程的一般形式 题型3.判断一个方程是否为一元二次方程 题型4.判断数值是否为一元二次方程的解 题型5.已知一元二次方程的解，求参数的值 题型6.估算一元二次方程的解 题型7.根据一元二次方程的定义求参数 题型8.用直接开平方法解一元二次方程 题型9.用配方法解一元二次方程 题型10.配方法的应用 题型11.利用判别式判断一元二次方程根的情况 题型12.根据方程根的情况，求参数的取值范围 题型13.用公式法解一元二次方程 题型14.用因式分解法解一元二次方程 题型15.用换元法解一元二次方程 题型16.解可化为一元二次方程的分式方程 题型17.利用根与系数的关系解题 题型18.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程． 知识点二、一元二次方程的一般形式 1.一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式． 其中：是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项． 2.由定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 3.一般情况下:二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘-1，使二次项系数变为正数； 4:在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号． 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）． 1．一元二次方程根的情况：①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根；③可能没有实数根． 2．关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立． 知识点四、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法． 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1．形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根． 2． 形如x的一元二次方程， 可用直接开方法解得两个根分别是． 知识点五、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法． 1．对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根． 2．用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3．配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）． 知识点六、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根． 以上三点，反之也成立． 知识点七、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法． 1．因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． ✺题型◆精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 3．观察下列方程，找出他们的共同特征，试给出名称，并作出定义． ，，，，． 题型2.将方程化为一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 2．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 题型3.判断一个方程是否为一元二次方程 1．将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A．B．C．D． 2．将一元二次方程化成一般形式为________． 3．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型4.判断数值是否为一元二次方程的解 1．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 题型5.已知一元二次方程的解，求参数的值 1．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 2．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 3．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 题型6.估算一元二次方程的解 1．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 2．根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 题型7.根据一元二次方程的定义求参数 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 2．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 3．关于的方程是一元二次方程，求的值． 题型8.用直接开平方法解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．方程的解为__________． 3．解方程： 题型9.用配方法解一元二次方程 1．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A．B． C． D． 2．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 3．解方程：． 题型10.配方法的应用 1．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 2．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 3．某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现：，，，，于是他们猜想：当两个正数的和一定时，这两个数的积在它们相等时取得最大值．事实上，这个猜想是正确的． (1)用代数式表述这一猜想：若，，且（k为定值），则当________时，________最大； (2)以下是对猜想的证明，请继续完成． 因为，所以． 因为，，所以． 因为，所以． 配方，得…… 题型11.利用判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 3．不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 题型12.根据方程根的情况，求参数的取值范围 1．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 2．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 题型13.用公式法解一元二次方程 1．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 2．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 3．解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 题型14.用因式分解法解一元二次方程 1．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 2．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 3．先化简，其中a满足方程． 题型15.用换元法解一元二次方程 1．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 2．关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 3．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 题型16.解可化为一元二次方程的分式方程 1．已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 2．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 3．解分式方程：． 题型17.利用根与系数的关系解题 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 2．如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 3．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． ✺巩固测试 一、单选题 1．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 2．对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 4．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A．B．C． D． 5．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．方程的根是________． 7．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 8．类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 _______． 9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 10．直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 三、解答题 11．解方程． (1)； (2)． 12．解关于的方程：． 13．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 14．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 15．为落实河南省义务教育阶段劳动教育要求，某中学计划在校园劳动实践基地种植甲、乙两种蔬菜苗．已知每株甲种蔬菜苗比乙种蔬菜苗贵2元，若用180元购买甲种蔬菜苗的数量与用120元购买的乙种蔬菜苗的数量相等． (1)求每株甲种蔬菜苗和每株乙种蔬菜苗各多少元？ (2)该学校计划购进甲、乙两种蔬菜苗共150株，且甲种蔬菜苗的数量不少于乙种蔬菜苗数量的，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用． 学科网（北京）股份有限公司 $